Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Định Nghĩa Tính Chất Số Nguyên Tố Hợp Số
>>> Mọi người cũng quan tâm:
Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Định Nghĩa Tính Chất Số Nguyên Tố Hợp Số – Toán 6 là tài liệu học tập được Trang Tài Liệu biên soạn và sưu tầm từ những nguồn dữ liệu mới nhất hiện nay. Tài liệu này sẽ giúp các em luyện tập, củng cố kiến thức từ đó nâng cao điểm số cho môn học. Ngoài ra, cũng giúp các thầy cô giáo có nguồn tài nguyên phong phú để giảng dạy.
Dưới đây là bản đọc trực tuyến giúp thầy cô và các em học sinh có thể nghiên cứu Online hoặc bạn có thể tải miễn phí với phiên bản word để dễ dàng in ấn cũng như học tập Offline.
ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ
CHỦ ĐỀ 1:ĐỊNH NGHĨA,TÍNH CHẤT,SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ
PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.SỐ NGUYÊN TỐ
-Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
-Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2.
-Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố là vô hạn.
-Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương.
-Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố.
-Để
kết luận số tự nhiên a là một số nguyên tố
,
chỉ cần chứng minh a không chia hết cho mọi số nguyên
tố mà bình phương không vượt quá a.
-Nếu
tích
(
là số nguyên tố)
-Đặc
biệt nếu
(
là số nguyên tố)
-Mọi
số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng:
-Mọi
số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng:
-Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị.
2.HỢP SỐ
-Hợp số là số tự nhiên lớn lơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nguyên dương.
-Để
chứng tỏ một số tự nhiên
là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và
.
-Ước số nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá nó.
-Một hợp số bằng tổng các ước của nó (không kể chính nó) được gọi là: Số hoàn chỉnh.
-Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số)
3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
-Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất bằng 1.
nguyên
tố với nhau
- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
- Các số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
-
Các số
nguyên
tố cùng nhau
-
nguyên
tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
nguyên
tố sánh đôi
4.MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐẶC BIỆT
-
Định
lí Đirichlet: Tồn tai vô số số nguyên tổ p có dạng:
-
Định lí Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên
đến số tự nhiên
có ít nhất một số nguyên tố
-
Định lí Vinogradow: Mọi số lẻ lớn hơn
là
tổng của 3 số nguyên tố.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1:Tính chất đặc trưng của số nguyên tố và cách nhận biết số nguyên tố,hợp số.
I.Phương pháp giải
- Dựa vào các dấu hiệu chia hết và các tính chất về số nguyên tố ,hợp số, để giải các bài toán về chứng minh hoặc giải thích.
- Thông qua việc phân tích và xét hết khả năng có thể xảy ra, đối chiếu với giả thiết và các định lý, hệ quả đã học để loại bỏ các trường hợp mâu thuẫn và nhận biết được đâu là số nguyên tố, hợp số.
II.Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng:
a,
Mọi
số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng:
b,
Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng:
Lời giải:
a,
Gọi
là một số tự nhiên lớn hơn 2. Khi đó
sẽ có dạng
-Nếu
hay
thì
và
là hợp số
Suy
ra nếu
là số nguyên tố thì
sẽ có dạng
Vì
nên suy ra mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng:
(đpcm)
b,
Gọi
là một số tự nhiên lớn hơn 3.Khi đó
sẽ có dạng
-Nếu
hay
thì
và
là hợp số.
-Nếu
thì
và
là hợp số.
Suy
ra nếu
là số nguyên tố thì
sẽ có dạng
Vì
nên suy ra mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng:
(đpcm)
Bài 2: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số này là số chẵn hay số lẻ?
Lời giải:
Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số nguyên tố lẻ. Do đó tổng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.
Bài 3: Tổng 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 được không ?
Lời giải:
Ta
thấy 2003 là một số lẻ nên nếu 2003 là tổng của hai
số nguyên tố thì một trong hai số phải là số chẵn và
bằng 2. Vậy số còn lại là 2001 nhưng 2001 lại không là
số nguyên tố vì
Vậy tổng của hai số nguyên tó không thể bằng 2003.
Bài
4: Cho
và
là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tổng
của chúng chia hết cho 12.
Lời giải:
Ta
thấy
là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
có dạng
TH1:
thì
Mà
là số lớn hơn 3 nên
là
hợp số ( Trái với GT, loại )
TH2:
thì
Khi
đó
Bài
5:
Cho
là số nguyên tố và một trong hai
là số nguyên tố .Hỏi số còn lại là số nguyên tố
hay hợp số.
Lời giải:
-Nếu
thì
là
hợp số
-Nếu
thì
là
hợp số
-Nếu
thì
không chia hết cho 3
Vậy
1 trong 2 số
sẽ chia hết cho 3 và là hợp số.
Vậy số còn lại là hợp số.
Bài
6: Hai
số
có
thể cùng là số nguyên tố hay không ? Vì sao ?
Lời giải:
Vì
là
3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3.Mà
và
3 là số nguyên tố nên
không
chia hết cho 3.
Mà
nên
Từ
,
suy
ra 1 trong 2 số
phải
chia hết cho 3.
Hai
số
không
thể cùng là số nguyên tố.
Bài
7:
Cho
3 số nguyên tố lớn hơn 3,trong đó số sau lớn hơn số
trước là
đơn vị.Chứng minh rằng
.
Lời giải
Các
số nguyên tố lớn hơn 3 nên
có dạng
hoặc
Có
3 số mà chỉ có 2 dạng nên tồn tại hai số thuộc cùng
một dạng, hiệu của chúng ( là
hoặc
) chia hết cho 3 ( theo nguyên lý Drichlet ). Mặt khác
chia hết cho 2 vì
là hiệu của hai số lẻ.Vậy
chia hết cho 6.
Bài 8: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6.
Lời giải:
Gọi
là số nguyên tố lơn hơn 3 và
lẻ nên
Mà
là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
có dạng
.
Dạng
không
xảy ra vì nếu
thì
là
hợp số (Loại)
Từ
,
ĐPCM
Bài
9:
Cho
và
là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi
là số nguyên tố hay là hợp số ?
Lời giải:
Ta
thấy
là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
có dạng
TH1:
thì
Mà
là số lớn hơn 3 nên
là
hợp số ( Trái với GT, loại )
TH2:
thì
Khi
đó
Mà
là số lớn hơn 3 nên
là hợp số.
Bài
10: Cho
và
là hai số nguyên tố lớn hơn
3. Hỏi
là số nguyên tố hay hợp số ?
Lời giải:
Ta
thấy
là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng
TH1:
thì
Mà
là số lớn hơn 3 nên
là
hợp số ( Trái với GT, loại )
TH2:
thì
Khi
đó
Mà
là số lớn hơn 3 nên
là hợp số.
Bài 11: Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố.
Lời giải:
Giả
sử
là số nguyên tố và
có dạng
Nếu
là hợp số thì
có ước nguyên tố
sao cho
Nhưng
với
thì
p lần lượt chia hết cho
( Vô lý )
Vậy
hoặc
là số nguyên tố.
Bài
12:
Một
số nguyên tố chia cho 30 có số dư là
.Tìm
biết rằng
không là số nguyên tố.
Lời giải:
Gọi
số nguyên tố là
(
)
Ta
có:
Vì
là số nguyên tố nên r không chia hết cho
Số
nguyên dương không là số nguyên tố nhỏ hơn 30 và không
chia hết cho
chỉ có số 1.
Vậy
.
Bài
13: Một
số nguyên tố chia cho 42 có số dư là
.
Tìm r biết rằng
là
hợp số.
Lời giải:
Gọi
số nguyên tố là
(
)
Ta
có:
Vì
là số nguyên tố nên
không chia hết cho
.
Số
nguyên dương là hợp số nhỏ hơn 42 và không chia hết
cho
chỉ có số 25.
Vậy
.
Bài 14: Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được 1997 số liên tiếp nhau mà không có số nguyên tố nào hay không ?
Lời giải:
Chọn dãy số:
……............. ………….
Như
vậy: Dãy số
gồm
có 1997 số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số
nguyên tố.
Bài
15: Trong
dãy số tự nhiên có thể tìm được
số liên tiếp nhau
mà không có số nguyên tố nào hay không ?
Lời giải:
Chọn dãy số:
nên
là hợp số
nên
là
hợp số
nên
là
hợp số
……............. ………….
nên
là
hợp số
Như
vậy: Dãy số
gồm
có
số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên
tố.
Bài 16: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số này là số chẵn hay số lẻ?
Lời giải:
Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số nguyên tố lẻ. Do đó tổng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.
Bài
17: Chứng
minh rằng nếu tổng của
lũy thừa bậc 4 của các số nguyên tố lớn hơn 5 là một
số nguyên tố thì
Lời giải:
Số
nguyên tố
khi chia cho 30 chỉ có thể dư là:
Với
thì
tương tự với
,
,
Với
thì
tương tự với
,
,
Suy
ra
Giả
sử
là các số nguyên tố lớn hơn 5
Khi
đó
là
số nguyên tố nên
.
Dạng 2:Tìm số nguyên tố p để thỏa mãn điều kiện.
I.Phương pháp giải
-
Trong
số tự nhiên liên tiếp chỉ có một và chỉ một số
chia hết cho
.
- Nắm chắc các tính chất đặc trưng của số nguyên tố để giải bài toán.
II.Bài toán
Bài
1:
Tìm số nguyên tố
sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
a,
b,
Lời giải:
a,
Vì
là
số nguyên tố và 10;14 là hợp số
có
dạng
.
-Nếu
là
hợp số (Loại)
-Nếu
là
hợp số (Loại)
-Nếu
(vì
là số nguyên tố)
(đều
là số nguyên tố,thỏa mãn)
Vậy
thì
là
số nguyên tố.
b,
Vì
là số nguyên tố
.
có
dạng
-Nếu
là
hợp số (loại)
-Nếu
là
hợp số (loại)
-Nếu
là
hợp số (loại)
-Nếu
là
hợp số (loại)
-Nếu
mà
là số nguyên tố nên
đều
là số nguyên tố (thỏa mãn, lấy)
Vậy
thì
là
số nguyên tố.
Bài 2: Tìm 3 số lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố.
Lời giải:
Gọi
3 số lẻ liên tiếp là:
Trong 3 số lẻ liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3
-Nếu
(vì
là
số nguyên tố)
(Loại
vì 1 không là số nguyên tố)
-Nếu
(vì
là
số nguyên tố)
(Loại
vì -1 không phải là số tự nhiên)
-Nếu
(vì
là
số nguyên tố)
(Thỏa
mãn vì đều là số nguyên tố)
Vậy 3 số tự nhiên lẻ cần tìm là 3,5,7.
Bài
3: Tìm
các số nguyên tố
sao cho
vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố.
Lời giải:
Giả
sử
là số nguyên tố cần tìm thì ta có
(
đều
là các số nguyên tố và
)
Để
là số nguyên tố thì
có
một trong hai số là số chẵn và
cũng
có một trong hai số là số chẵn.
Giả
sử
thì
Ta
có:
.
Ta
thấy
là
3 số nguyên tố lẻ liên tiếp.
Theo
câu a
.
Thử
lại:
Vậy số cần tìm là 5.
Bài
4:Tìm
để
dãy số
chứa
nhiều số nguyên tố nhất.
Lời giải:
-Nếu
Ta
có dãy số
có
các số nguyên tố là
Có
4 số nguyên tố.
-Nếu
Ta
có dãy số
có
các số nguyên tố là
Có
5 số nguyên tố.
-Nếu
Ta
có dãy số
có
các số nguyên tố là
Có
4 số nguyên tố.
-Nếu
Dãy
số
đều
gồm các số lớn hơn 3 và bao gồm 5 số lẻ liên tiếp
và 5 sô chẵn liên tiếp.
Vì các số trong dãy đều lớn hơn 3 nên suy ra 5 số chẵn liên tiếp đều là hợp số và trong 5 số lẻ liên tiếp tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 và số này cũng là hợp số.
Vậy
là
giá trị cần tìm.
Bài
5: Ta
gọi
là 2 số nguyên tố liên tiếp nếu giữa
và
không có số nguyên tố nào khác. Tìm 3 số nguyên tố
liên tiếp
sao cho
cũng
là số nguyên tố.
Lời giải:
+Nếu
đều khác 3 mà
là các số nguyên tố.
chia
3 dư 1 hoặc dư 2 ( hay dư -1 ).
chia
3 dư 1.
chia
hết cho 3.
Vậy
tồn tại 1 số bằng 3.
TH1:
Ba số nguyên tố đó là 2, 3, 5 Khi đó
là
hợp số ( Loại )
TH2:
Ba số nguyên tố đó là 3, 5, 7 Khi đó
là
số nguyên tố ( Thỏa mãn )
Vậy
3 số nguyên tố liên tiếp cần tìm là:
.
Bài
6:
Tìm
3 số nguyên tố
sao
cho:
.
Lời giải:
Vì
r
là số lẻ (
là số nguyên tố ).
có
1 số lẻ và 1 số chẵn.
Giả
sử
là
số chẵn
chẵn
(
vì
là số nguyên tố )
+Nếu
Mặt
khác
là số lẻ
(
Vì
là số nguyên tố )
(
Loại vì
là số nguyên tố nên
)
+Nếu
thì
là
số nguyên tố ( Thỏa mãn )
Vậy
.
Bài 7: Đề thi học sinh giỏi 2020-20121,huyện Yên Mô:
Cho
là 3 số nguyên tố khác nhau đôi một.Tìm 3 số
để
giá trị của biểu thức:
đạt
GTLN.
Lời giải:
Ta
có:
là
3 số nguyên tố khác nhau nên
;
;
Vì
vai trò
như
nhau nên để không mất tính mất tính tổng quát ta giả
sử:
Mà
là
3 số nguyên tố nên
.
Vậy
đạt GTLN khi
và
các hoán vị của nó.
Bài 8: Tìm 2 số nguyên tố có tổng bằng 2005.
Lời giải:
Ta thấy tổng số nguyên tố hai số cần tìm là số lẻ nên một trong hai số cần tìm phải là số nguyên tố chẵn và bằng 2. Khi đó số còn lại là 2003 ( là số nguyên tố, thỏa mãn)
Vậy hai số cần tìm là 2 và 2003.
Bài 9: Tìm 2 số nguyên tố có tổng bằng 309.
Lời giải:
Ta thấy tổng số nguyên tố hai số cần tìm là số lẻ nên một trong hai số cần tìm phải là số nguyên tố chẵn và bằng 2. Khi đó số còn lại là 307 ( là số nguyên tố, thỏa mãn)
Vậy hai số cần tìm là 2 và 307.
Bài 10: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong 3 số.
Lời giải:
Trong ba số nguyên tố có tổng bằng 1012, phải có một số chẵn, là số 2. Đó là số nhỏ nhất trong ba số.
Bài
11: Tìm
tất cả các số nguyên tố p để
là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
Lời giải:
Vì
là số nguyên tố nên
Mà
là số nguyên tố nhỏ hơn 30 nên
+
Nếu
thì
là số nguyên tố ( Thỏa mãn, lấy )
+
Nếu
thì
là số nguyên tố ( Thỏa mãn, lấy )
+
Nếu
thì
không là số nguyên tố ( Trái với GT, loại )
Vậy số nguyên tố cần tìm là 2 và 3.
Bài
12: Tìm
các số nguyên tố
thỏa mãn
Lời giải:
Do
là số nguyên tố và
nên chỉ xảy ra các trường hợp sau:
TH1:
TH2:
vô nghiệm nguyên tố
TH3:
Vậy
cặp nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài là
Bài
13: Tìm
các số nguyên tố
thỏa mãn
.
Lời giải:
Ta có:
Mà
;
là số nguyên tố nên
hoặc
không
có
thỏa mãn
và
Vậy không tồn tại
nguyên tố để
Bài
14: Tìm
tất cả các bộ ba số
sao cho
Lời giải:
Vì
có
vai trò như nhau nên giả sử
khi đó
vì
là số nguyên tố.
Với
thì ta có
(
vì p là số nguyên tố )
+
Nếu
thì
thỏa mãn với
là số nguyên tố bất kì
+
Nếu
thì
Vậy
các cặp số
cần tìm là
và các hoán vị của chúng, với
là số nguyên tố.
Dạng 3: Các bài toán chứng minh số nguyên tố,hợp số
I.Phương pháp giải
-Dựa vào các tính chất đặc trưng của số nguyên tố và hợp số để giải các bài toán về chứng minh số nguyên tố, hợp số.
II.Bài toán
Bài
1: Cho
và
là
các số nguyên tố (
).Chứng
minh rằng
là
hợp số .
Lời giải:
Ta
có:
là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
có dạng
+Nếu
thì
là
hợp số ( Trái với GT,loại )
Vậy
có dạng
,
khi đó
là hợp số
ĐPCM
Bài
2: Cho
và
là
các số nguyên tố. Chứng minh rằng
là
hợp số.
Lời giải:
Ta
xét các trường hợp:
TH1:
thì
là
các hợp số ( Trái với giả thiết,loại )
TH2:
(
vì
là số nguyên tố )
là
số nguyên tố
Và
khi đó
là hợp số
TH3:
thì
Và
khi đó
là
hợp số
Từ
,
ta
suy ra
là
hợp số
ĐPCM
Bài
3: Chứng
minh rằng
chia hết cho
nếu
là hợp số, không chia hết cho
nếu
là số nguyên tố.
Lời giải:
+TH1:
là hợp số:
Nếu
là hợp số thì
là tích các thừa số nguyên tố nhỏ hơn
và số mũ các lũy thừa này không thể lớn hơn số mũ
của chính các lũy thừa ấy trong
.
Vậy:
(
ĐPCM )
+TH2:
là số nguyên tố:
Vì
là số nguyên tố nên
nguyên tố cùng nhau với mọi thừa số của
Kết
hợp với
không chia hết cho
( ĐPCM )
Bài
4: Cho
là số nguyên tố. Chứng minh rằng
cũng là số nguyên tố.
Lời giải:
Giả
sử
là hợp số
Khi
đó:
Vì
(
Giả sử ) nên
và
nên
là hợp số ( Trái với giả thiết )
Giả
sử là sai
không thể là hợp số
là số nguyên tố (ĐPCM)
Bài
5: Chứng
minh rằng: mọi số nguyên tố của
đều
lớn hơn 1994.
Lời giải:
Gọi
là ước số nguyên tố của
Giả
sử
chia
hết cho p
chia hết cho
Mà
nên
( vô lý )
Vậy
( ĐPCM )
Bài
6: Chứng
minh rằng:
thì giữa
và
có ít nhất 1 số nguyên tố ( từ đó suy ra có vô số số
nguyên tố ).
Lời giải:
Vì
nên
,
do đó
có ít nhất một ước nguyên tố
.
Ta
chứng minh
.Thậy
vậy: nếu
thì
Mà
k
.Do
đó
( vô lý )
Vậy
(
ĐPCM )
Bài 7: Hãy chứng minh các số sau là hợp số:
a)
(
2001 chữ số 1 );
b)
c)
d)
Lời giải:
a)
Tổng các chữ số của
là:
mà
nên
là hợp số ( ĐPCM )
b)
là
hợp số ( đpcm )
c)
Vì
và
luôn chia hết cho 3 nên
Mà
nên
là hợp số (ĐPCM )
d)
là
hợp số (ĐPCM )
Bài
8: Chứng
minh rằng số
là hợp số.
Lời giải:
Đặt
,
khi đó
là
tích của hai số nguyên lớn hơn 1 nên
là hợp số ( ĐPCM )
Bài
9: Chứng
minh với mọi số tự nhiên lớn hơn 0 thì
là hợp số.
Lời giải:
Với
nên
Hay
Tức
là
Mà
nên
là hợp số. ( ĐPCM )
Bài
10: Chứng
minh với mọi số tự nhiên lớn hơn 0 thì
là hợp số.
Lời giải:
+
Nếu
thì
+
Nếu
thì
+
Nếu
thì
Như
vậy với mọi giá trị
thì số
là hợp số.
Bài
11: Cho
,
biết
.Chứng
minh rằng:
Lời giải:
Ta
có
,mà
5 là số nguyên tố nên suy ra
.
Mà
nên
đpcm
Bài
12: Cho
.Chứng
minh rằng nếu
chia hết cho
thì
là số nguyên tố.
Lời giải:
Giả
sử
không là số nguyên tố.
Do
đó
có ước nguyên tố
Do
đó
.
Mặt
khác
,
nên
(
Vô lí )
Mà
nguyên dương nên
.
Vậy
là số nguyên tố ( đpcm )
Bài
13: Cho
các số nguyên dương
thỏa
mãn
.
Chứng minh rằng
là
hợp số.
Lời giải:
Giả
sử
Đặt
Mà
Đặt
,
Ta có
Vì
là
số nguyên dương nên
là hợp số.
Bài
14: Chứng
minh rằng có vô số nguyên tố có dạng:
Lời giải:
Mọi
số tự nhiên không nhỏ hơn 2 có 1 trong 3 dạng:
+Những
số có dạng
mà
nên
là hợp số.
+Xét
2 số có dạng
:đó
là số
và
Xét
tích
Tích
trên có dạng
+
Lấy một số nguyên tố
có dạng
(với
là số nguyên tố bất kỳ ) ta lập tích của
với tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn
rời trừ đi 1 ta có:
có
dạng:
Có 2 khả năng xảy ra:
*Khả
năng 1:
là số nguyên tố có dang
,bài
toán được chứng minh.
*Khả
năng 2:
là hợp số: Ta chia
cho
đều
tồn tại một số dư khác 0 nên các ước số nguyên tố
của
đều lớn hơn
,
trong các ước này không có số nào có dạng
(đã
chứng minh trên). Do đó ít nhất một trong các ước
nguyên tố của
phải có dạng
(
hợp số ) hoặc
.
Vậy
có vô số nguyên tố có dạng:
Bài
15:
Chứng
minh có vô số số nguyên tố có dạng
Lời giải:
Các
số nguyên tố lẻ không thể có dạng
và
.
Vậy
chúng chỉ có thể tồn tại dưới dạng
hoặc
+
Xét tích 2 số có dạng
là:
và
Ta
có:
Vậy
tích của 2 số có dạng
là
một số cũng có dạng
+Lấy
một số nguyên tố p bất kỳ có dạng
,
ta lập tích của
với tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn
rồi chứ đi 1 khi ta có:
Có 2 khả năng xảy ra:
*Khả
năng 1:
là số nguyên tố có dang
,bài
toán được chứng minh.
*Khả
năng 2:
là hợp số: Ta chia M cho
đều
tồn tại một số dư khác 0 nên các ước số nguyên tố
của
đều lớn hơn
,trong
các ước này không có số nào có dạng
(
đã chứng minh trên). Do đó ít nhất một trong các ước
nguyên tố của
phải có dạng
(
hợp số ) hoặc
.mà
ước này hiển nhiên lơn hơn
.
Dạng 5: Áp dụng định lí Fermat
I.Phương pháp giải
-Định
lí Fermat nhỏ:
với
là số nguyên tố.
-Bằng cách sử dụng định lí Fermat để giải các bài toán về số nguyên tố.
II.Bài toán
Bài
1: Chứng
minh định lí Fermat nhỏ. Nếu
là số nguyên tố và
thì
với
mọi số nguyên dương
.
Lời giải:
Vì
không chia hết cho
nên các số
cũng
không chia hết cho
.
Giả sử khi các số
chia
cho
được các số dư là
đôi
một khác nhau.
Thật
vậy nếu có
thì
Mà
không chia hết cho
và
không
chia hết cho
nên
không xảy ra.
do
đó
Vì
Bài
2: Chứng
minh rằng tổng
Lời giải:
Vì
mà
nên chỉ cần chứng minh
và
* Chứng minh chia hết cho 1983
Ta có :
(
nguyên )
Vậy
hiệu này chia hết cho 1983. Từ đó suy ra S chia hết cho
1983.
* Chứng minh chia hết cho 101
Trừ
các số chia hết cho 101 là
trong tổng
còn lại các số có dạng
với
.
Mà 101 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, thì
các số này chia 101 dư 1. Số các số hạng mang dấu cộng
bằng số số hạng mang dấu trừ. Từ đó suy ra
chia hết cho 101
Từ
,
suy ra
chia hết cho 200283.
Bài
3:
Nhà
toán học Pháp Fermat đã đưa ra công thức
để
tìm các số nguyên tố với mọi số tự nhiên
.
1.
Hãy tính giá trị của công thức này khi
.
2. Với giá trị này hãy chứng tỏ ba tính chất sau:
a) Tổng hai chữ số đầu và cuối bằng tổng các chữ số còn lại.
b) Tổng bình phương các chữ số là số chính phương.
c) Hiệu giữa tổng các bình phương của hai chữ số đầu và cuối với tổng các bình phương của các chữ số còn lại bằng tổng các chữ số của số đó.
Lời giải:
1.
Ta thay
vào công thức Fermat và được:
là
số nguyên tố.
2. Số nguyên tố 65537 có ba tính chất sau:
a)
Tổng hai chữ số đầu và cuối
đúng
bằng tổng ba chữ số còn lại
.
b)
Tổng bình phương các chữ số
là số chính phương.
c)
Tổng bình phương của hai chữ số đầu và cuối là
Tổng
các bình phương của ba chữ số còn lại là:
Tổng
các chữ số đó là:
Ta
nhận thấy rằng:
Hiệu này đúng bằng tổng các chữ số của số nguyên tố
Bài
4:
Cho
,
chứng minh rằng:
là hợp số.
Lời giải:
Ta
chứng minh
với
mọi
Ta
có:
.
Theo định lý Fermat:
Mà
nên
là
hợp số ( ĐPCM )
Bài
5:
Cho
,
chứng minh rằng:
là hợp số.
Lời giải:
Theo
định lí Fermat nhỏ ta có
.
Ta
tìm số dư trong phép chia
và
cho 10, tức là tìm chữ số tận cùng chúng.
Mà
và
nên
Mà
với mọi số tự nhiên
khác 0
Vậy
là hợp số với mọi số tự nhiên
khác 0.
Bài
6:
Tìm
số nguyên tố p để
Lời giải:
Vì
là số nguyên tố mà
.
Ta
thấy
không chia hết cho 2 vì
.
Theo
định lí Fermat nhỏ ta có
mà
(
Giả thiết )
(
vì
)
(
vì
là số nguyên tố )
Vậy số nguyên tố cần tìm là 3.
Bài
7: Cho
là số nguyên tố
lớn hơn 2. Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên
thỏa mãn
Lời giải:
Ta
có:
,
ta tìm
sao cho
.
Ta
có:
Vậy,
với
thì
.
Bài
8: Cho
là số nguyên tố,chứng minh rằng số
chỉ
có ước nguyên tố có dạng là:
.
Lời giải:
Gọi
là ước nguyên tố của
thì
lẻ, nên theo định lý Fermat:
,vì
nếu
thì
,vô
lý.
Mặt
khác
chẵn
Bài
9: Chứng
minh rằng dãy số
với
chứa vô hạn số là lũy thừa của cùng một số nguyên
tố.
Lời giải:
Gỉa sử tồn tại số nguyên tố sao cho:
Trong
đó
là
các số nguyên dương nào đó.
Từ
dễ thấy
không chia hết cho 23 nên
.
Theo
định lý Fermat thì
với
mọi số nguyên dương
.
Từ
đó
hay
với
mọi
Bài
toán được giải đầy đủ khi ta chỉ ra sự tồn tại
số nguyên tố p thỏa mãn
.Chẳng
hạn:
Với
thì
Với
thì
Với
thì
tồn tại k theo định lí Fermat thỏa mãn
.
Bài
10: Giả
sử
là số nguyên tố lẻ đặt
. Chứng minh rằng m là một hợp số lẻ không chia hết
cho 3 và
.
Lời giải:
Ta
có
dễ
thấy
đều
là số nguyên dương lớn hơn 1 nên
là hợp số mà
suy ra
lẻ và chia 3 dư 1.
Theo
định lí Fermat nhỏ:
vì
Vì
chẵn nên cũng có
Do
đó
ĐPCM
Bài
11:
Cho
số nguyên tố
,
các số dương
Tìm số dư khi chia
cho
.
Lời giải:;
Xét các trường hợp sau:
1)
.Ta
có
lẻ.
Đặt
Dễ
suy ra
.
2)
ta
có
( định lí Fermat nhỏ )
vì
không chia hết cho
mà
Bài
12: Chứng
minh rằng
(
với
là số nguyên tố lớn hơn 7 )
Lời giải:
Ta
có:
.
vì
là số nguyên tố lớn hơn 7 nên
chỉ có thể có dạng
Nếu
Vì
Nếu
Ta
cũng có:
Vậy
chia hết cho 7
Mặt khác theo định lí Fermat nhỏ ta có:
và
nên
đôi
một nguyên tố cùng nhau nên
( đpcm )
Bài
13: Cho
là hai số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng:
chia
hết cho
Lời giải:
Áp
dụng định lý Fermat nhỏ ta có:
do
là số nguyên tố).
Vì
là các số nguyên tố nên
Từ
suy ra
Từ
suy ra
Vì
và
có vai trò như nhau nên
Lại
vì
nên từ
và
ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài
14: Tìm
tất cả các số nguyên dương n sao cho
Lời giải:
Ta
có 2 không chia hết cho 7; 7 là số nguyên tố nên theo định
lí Fermat ta có
Ta
có
Do đó tất cả các số chia hết cho 3 đều thỏa mãn yên cầu đề bài.
Bài
15: Tìm
tất cả các số nguyên tố p sao cho
Lời giải:
Gỉa
sử số nguyên tố
thỏa mãn điều kiện đã cho.
Khi
đó
Vì
nên theo định lí Fermat nhỏ ta có :
Từ
đó suy ra
nên
Thử
lại ta thấy
thỏa mãn điều kiện đề bài.
Dạng 6: Các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau
I.Phương pháp giải
- Sử dụng lý thuyết và tính chất của 2 số nguyên tố cùng nhau để giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau.
II.Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng: 5 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Ta
có
;
Vậy hai số 5 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 2: Chứng minh rằng: Hai số tự nhiên liên tiếp khác 0 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Gọi
2 số tự nhiên liên tiếp là:
Đặt
Vậy
và
là
hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 3: Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Gọi
2 số lẻ liên tiếp là:
.
Đặt
Mà
là ước số lẻ nên
.
Vậy hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng
nhau.
Bài
4: Chứng
minh rằng :
và
là
hai số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
.
Vậy
và
là
hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài
5 :
Cho
và
là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số
sau là hai số nguyên tố cùng nhau:
và
.
Lời giải:
Đặt
Mà
và
là 2 số nguyên tố cùng nhau nên
Vậy
và
là
hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài
6:
Cho
và
là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số
sau là hai số nguyên tố cùng nhau:
và
Lời giải:
Đặt
Mà
và
là 2 số nguyên tố cùng nhau nên
Vậy
và
là
hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài
7:
Cho
và
là
hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau là
hai số nguyên tố cùng nhau:
và
.
Lời giải:
Đặt
+
TH1:
Mà
và
là
2 số nguyên tố cùng nhau nên
Vậy
và
là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )
+
TH2:
Mà
và
là
2 số nguyên tố cùng nhau nên
Vậy
và
là
hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài
8 :
Cho
và
là
hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau là
hai số nguyên tố cùng nhau:
và
.
Lời giải:
Đặt
Mà
và
là
2 số nguyên tố cùng nhau nên
Vậy
và
là
hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài
9: Chứng
minh rằng nếu nếu
nguyên tố cùng với
và
thì
c nguyên tố cùng nhau với tích
Lời giải:
Gọi
là ước chung nguyên tố của
và
.
+
TH1:
Mà
và
là 2 số nguyên tố cùng nhau nên
Vậy
và
là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )
+
TH2:
Mà
và
là 2 số nguyên tố cùng nhau nên
Vậy
và
là
hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài
10: Tìm
số tự nhiên n để các số
và
là các số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Giả
sử
và
cùng
chia hết cho số nguyên tố d thì
Điều
kiện để
là
.Hiển
nhiên
vì
không
chia hết cho 3.Muốn
phải
có ít nhất một trong 2 số
và
không
chia hết cho 2.Ta thấy:
+
Nếu
là
số lẻ
lẻ
lẻ,
+
Nếu
là
số lẻ
lẻ
lẻ.
Vậy
điều kiện để hai số
và
là các số nguyên tố cùng nhau là n lẻ.
Bài
11: Tìm
số tự nhiên
để các số
và
là các số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Giả
sử
và
cùng
chia hết cho số nguyên tố d thì
Điều
kiện để
là
.Hiển
nhiên
vì
không
chia hết cho 3. Muốn
thì
số
không
chia hết cho 7 (vì
luôn
chia hết cho 7 )
Vậy
điều kiện để hai số
và
là các số nguyên tố cùng nhau là
.
Bài
12: Chứng
minh rằng hai số
và
là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên
.
Lời giải:
Gọi
Mà
là
số lẻ nên
Vậy
hai số
và
là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên
.
Bài
13: Chứng
minh rằng hai số
và
là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên
.
Lời giải:
Gọi
Vậy
hai số
và
là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên
.
Bài
14: Chứng
minh rằng hai số
và
là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên
.
Lời giải:
Gọi
Vì
là số lẻ.
Vậy
hai số
và
là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên
.
Bài
15:
Chứng
minh rằng hai số
và
là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên
.
Lời giải:
Gọi
Vậy
hai số
và
là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên
.
PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.
Bài
1:
Tìm
số tự nhiên
để
là số nguyên tố.
(HSG Tỉnh Quảng Ngãi 2015 – 2016).
Lời giải:
Xét
thì
không phải là số nguyên tố
Xét
thì
là số nguyên tố.
Xét
:
Mà
chia hết cho
,
suy ra
chia hết cho
.
Tương
tự:
chia hết cho
.
Vậy
chia hết cho
nên
là hợp số. Số tự nhiên cần tìm
.
Bài
2 :
Tìm
các số nguyên tố
để
cũng là số nguyên tố.
(HSG Thành phố Hà Nội 2016 – 2017).
Lời giải:
Nếu
thì
(không thỏa mãn).
Nếu
thì
(thỏa mãn).
Nếu
thì
.
Kết
luận
là giá trị cần tìm.
Bài
3:
Tìm
tất cả các cặp số nguyên tố
thỏa mãn
.
(Chuyên Vũng Tàu 2016 – 2017).
Lời giải:
Do
và
nguyên tố nên
chỉ có thể nhận các giá trị
.
Ta có bảng giá trị tương ứng:
|
|
|
|
1 |
|
3 |
1 |
5 |
|
7 |
3 |
|
|
3 |
1 |
|
5 |
3 |
1 |
Do
là các số nguyên tố nên chỉ có cặp
thỏa mãn.
Bài
4:
Tìm
tất cả các số tự nhiên
(theo hệ thập phân) thỏa mãn các điều kiện sau:
,
trong đó
và
là số nguyên tố.
Lời giải:
Do
là số nguyên tố, tức là
là số nguyên tố ta có
hoặc 9.
Từ
điều kiện thứ nhất ta có:
.
Theo
bảng số nguyên tố ta tìm được các cặp số nguyên tố
và
thỏa mãn điệu kiện thứ nhất sau đây:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Tương
ứng với
là các số sau:
;
;
;
;
409 là số nguyên tố;
;
;
;
;
;
907 là số nguyên tố.
Vậy
Bài
5:
Tìm
số tự nhiên
sao cho
và
đều là số nguyên tố.
Lời giải:
Một
số tự nhiên bất kì có 1 trong hai dạng:
với
.
Nếu
thì
chia hết cho 2.
Ta
có
và
chia hết cho 2. Nên
là hợp số trái đề bài.
Do
đó:
.
Nhưng
nguyên tố nên
và
nguyên tố.
Vậy
.
Bài
6:
Tìm
số nguyên tố
sao cho
và
đều là số nguyên tố.
Lời giải:
Bất
kì số tự nhiên nào cũng có một trong ba dạng:
.
Nếu
thì
,
vô lí.
Nếu
thì
,
vô lí. Do đó
.
Nhưng
nguyên tố nên
nguyên tố. Vậy
.
Bài
7:
Tìm
các số nguyên tố
thỏa mãn
Lời giải:
Vì
là các số nguyên tố
là
số nguyên tố lẻ
là
số chẵn
chẵn
thay
vào ta có
Nếu
lẻ
(
lẻ)
vô
lí
Do
đó
là số chẵn
Thay
Vậy
Bài
8:
Tìm
để
là số nguyên tố
Lời giải:
Để
là số nguyên tố thì
Thử
lại với
thì
là số nguyên tố.
Vậy
với
thì
là số nguyên tố.
Bài
9:
Tìm
số nguyên tố
sao
cho
và
là
các số nguyên tố (trích đề thi HSG Quãng Trạch)
Lời giải:
Với
thì
và
là các số nguyên tố
Với
thì
Nếu
thì
Nếu
thì
Vậy
thì
và
là
các số nguyên tố.
Bài
10:
Tìm
các số tự nhiên
để
là số nguyên tố.( trích đề thi HSG Thanh Oai)
Lời giải:
Ta
có
Vì
nên để
là số nguyên tố thì
Thử
lại
là số nguyên tố
Vậy
với
thì
là số nguyên tố
Bài
11:
Chứng
minh rằng nếu
và
là
các số nguyên tố thì
cũng
là số nguyên tố. (trích đề thi HSG Nga Sơn)
Lời giải:
Với
mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì chia hết cho 3 đều có
dạng
hoặc
Với
thì
chia
hết cho
Với
thì
chia hết cho
Vì
là
số nguyên tố nên
khi
đó trong cả hai trường hợp trên thì
đều lớn hơn
và chia hết cho
,
tức là
là hợp số
chỉ
là hợp số khi
khi
đó
là
số nguyên tố
là
số nguyên tố
Vậy
nếu
và
là
các số nguyên tố thì
cũng
là số nguyên tố.
Bài
12:Cho
là
số nguyên tố hay hợp số? vì sao?
(trích
đề thi HSG Nam Trực)
Lời giải:
Mà
Nên
là
hợp số
Bài
13:
Cho
là số nguyên tố. Hỏi
là
số nguyên tố hay hợp số? (trích đề thi HSG Bá Thước)
Lời giải:
Ta
có
là số nguyên tố suy ra
chia
dư
chia
dư
chia
hết cho
Vậy
là hợp số
Bài
14:
Tìm
số tự nhiên
sao cho
là
số nguyên tố. (Trích đề thi HSG Hiệp Hòa)
Lời giải:
Vì
nên
và
Ư
Vì
là
số nguyên tố nên
hoặc
+
Nếu
thì
(thỏa)
+
Nếu
thì
không
phải là số nguyên tố, loại
Vậy
thì
là
số nguyên tố.
Bài
15:
Tìm
các số tự nhiên
để
là
số nguyên tố. (trích đề thi HSG Hưng Hà).
Lời giải:
Với
ta
có
là số nguyên tố.
Với
ta có
nên
mà
do đó
là
hợp số
Vậy
thì
là
số nguyên tố.
HẾT
Ngoài Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Định Nghĩa Tính Chất Số Nguyên Tố Hợp Số – Toán 6 thì các tài liệu học tập trong chương trình 6 sẽ được cập nhật liên tục và nhanh nhất có thể sau khi kỳ thi diễn ra trên Danh mục Tài Liệu Học Tập nhằm giúp các bạn đọc thuận tiện trong việc nghiên cứu tài liệu. Quý thày cô và các bạn đọc có thể chia sẻ thêm những tài liệu học tập hữu ích đến địa chỉ email của chúng tôi, nhằm xây dựng nên kho đề thi phong phú, đa dạng cho các em học sinh tham khảo và rèn luyện.
Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ tìm hiểu về số nguyên tố và hợp số. Số nguyên tố là một số chỉ có hai ước số dương là 1 và chính nó, trong khi hợp số là một số có ít nhất ba ước số dương. Chúng ta sẽ đi sâu vào các định nghĩa, tính chất và quy tắc của số nguyên tố và hợp số.
Chuyên đề này tập trung vào việc định nghĩa các số nguyên tố và hợp số, cũng như khám phá các tính chất quan trọng của chúng. Chúng ta sẽ học cách phân tích một số thành các thừa số nguyên tố và tìm các ước số của nó. Đồng thời, chúng ta cũng sẽ áp dụng kiến thức này để giải các bài toán thực tế liên quan đến số nguyên tố và hợp số.
Chuyên đề cung cấp các ví dụ và bài tập để học sinh rèn kỹ năng trong việc xác định và phân tích các số nguyên tố và hợp số. Học sinh sẽ được thử thách và phát triển khả năng tư duy logic, suy luận và giải quyết vấn đề. Đồng thời, chuyên đề cũng khuyến khích sự sáng tạo và tư duy sâu sắc của học sinh trong việc áp dụng kiến thức vào các bài toán thực tế.
Với chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6 về định nghĩa và tính chất của số nguyên tố và hợp số, học sinh sẽ nắm vững và hiểu sâu hơn về các khái niệm quan trọng trong toán học. Đồng thời, họ cũng phát triển khả năng tư duy logic, sự linh hoạt trong suy nghĩ và khả năng giải quyết vấn đề.
>>> Bài viết có liên quan: