Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Định Nghĩa Tính Chất Số Nguyên Tố Hợp Số

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

CHỦ ĐỀ 1:ĐỊNH NGHĨA,TÍNH CHẤT,SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.SỐ NGUYÊN TỐ

-Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

-Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2.

-Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố là vô hạn.

-Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương.

-Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố.

-Để kết luận số tự nhiên a là một số nguyên tố , chỉ cần chứng minh a không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.

-Nếu tích ( là số nguyên tố)

-Đặc biệt nếu ( là số nguyên tố)

-Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng:

-Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng:

-Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị.

2.HỢP SỐ

-Hợp số là số tự nhiên lớn lơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nguyên dương.

-Để chứng tỏ một số tự nhiên là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và .

-Ước số nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá nó.

-Một hợp số bằng tổng các ước của nó (không kể chính nó) được gọi là: Số hoàn chỉnh.

-Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số)

3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU

-Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất bằng 1.

nguyên tố với nhau

- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau

- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau

- Các số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau

- Các số nguyên tố cùng nhau

- nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau nguyên tố sánh đôi

4.MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐẶC BIỆT

- Định lí Đirichlet: Tồn tai vô số số nguyên tổ p có dạng:

- Định lí Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên đến số tự nhiên có ít nhất một số nguyên tố

- Định lí Vinogradow: Mọi số lẻ lớn hơn là tổng của 3 số nguyên tố.

PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1:Tính chất đặc trưng của số nguyên tố và cách nhận biết số nguyên tố,hợp số.

I.Phương pháp giải

- Dựa vào các dấu hiệu chia hết và các tính chất về số nguyên tố ,hợp số, để giải các bài toán về chứng minh hoặc giải thích.

- Thông qua việc phân tích và xét hết khả năng có thể xảy ra, đối chiếu với giả thiết và các định lý, hệ quả đã học để loại bỏ các trường hợp mâu thuẫn và nhận biết được đâu là số nguyên tố, hợp số.

II.Bài toán

Bài 1: Chứng minh rằng:

a, Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng:

b, Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng:

Lời giải:

a, Gọi là một số tự nhiên lớn hơn 2. Khi đó sẽ có dạng

-Nếu hay thì và là hợp số

Suy ra nếu là số nguyên tố thì sẽ có dạng

Vì nên suy ra mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: (đpcm)

b, Gọi là một số tự nhiên lớn hơn 3.Khi đó sẽ có dạng

-Nếu hay thì và là hợp số.

-Nếu thì và là hợp số.

Suy ra nếu là số nguyên tố thì sẽ có dạng

Vì nên suy ra mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: (đpcm)

Bài 2: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số này là số chẵn hay số lẻ?

Lời giải:

Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số nguyên tố lẻ. Do đó tổng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.

Bài 3: Tổng 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 được không ?

Lời giải:

Ta thấy 2003 là một số lẻ nên nếu 2003 là tổng của hai số nguyên tố thì một trong hai số phải là số chẵn và bằng 2. Vậy số còn lại là 2001 nhưng 2001 lại không là số nguyên tố vì

Vậy tổng của hai số nguyên tó không thể bằng 2003.

Bài 4: Cho và là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 12.

Lời giải:

_{Ta thấy} là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng

_TH1: thì

Mà là số lớn hơn 3 nên là hợp số ( Trái với GT, loại )

_TH2: thì

_{Khi đó}

Bài 5: Cho là số nguyên tố và một trong hai là số nguyên tố .Hỏi số còn lại là số nguyên tố hay hợp số.

Lời giải:

-Nếu thì là hợp số

-Nếu thì là hợp số

-Nếu thì không chia hết cho 3

Vậy 1 trong 2 số sẽ chia hết cho 3 và là hợp số.

Vậy số còn lại là hợp số.

Bài 6: Hai số có thể cùng là số nguyên tố hay không ? Vì sao ?

Lời giải:

_Vì là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3.Mà và 3 là số nguyên tố nên không chia hết cho 3.

Mà nên

Từ , suy ra 1 trong 2 số phải chia hết cho 3.

Hai số không thể cùng là số nguyên tố.

Bài 7: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3,trong đó số sau lớn hơn số trước là đơn vị.Chứng minh rằng .

Lời giải

Các số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng hoặc

Có 3 số mà chỉ có 2 dạng nên tồn tại hai số thuộc cùng một dạng, hiệu của chúng ( là hoặc ) chia hết cho 3 ( theo nguyên lý Drichlet ). Mặt khác chia hết cho 2 vì là hiệu của hai số lẻ.Vậy chia hết cho 6.

Bài 8: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6.

Lời giải:

Gọi là số nguyên tố lơn hơn 3 và lẻ nên

Mà là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng .

Dạng không xảy ra vì nếu thì là hợp số (Loại)

Từ , ĐPCM

Bài 9: Cho và là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi là số nguyên tố hay là hợp số ?

Lời giải:

_{Ta thấy} là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng

_TH1: thì

Mà là số lớn hơn 3 nên là hợp số ( Trái với GT, loại )

_TH2: thì

_{Khi đó}

Mà là số lớn hơn 3 nên là hợp số.

Bài 10: Cho và là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi là số nguyên tố hay hợp số ?

Lời giải:

_{Ta thấy} là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng

_TH1: thì

Mà là số lớn hơn 3 nên là hợp số ( Trái với GT, loại )

_TH2: thì

_{Khi đó}

Mà là số lớn hơn 3 nên là hợp số.

Bài 11: Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố.

Lời giải:

_{Giả sử} là số nguyên tố và có dạng

_Nếu là hợp số thì có ước nguyên tố sao cho

Nhưng với thì p lần lượt chia hết cho ( Vô lý )

Vậy hoặc là số nguyên tố.

Bài 12: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là .Tìm biết rằng không là số nguyên tố.

Lời giải:

Gọi số nguyên tố là ( )

Ta có:

Vì là số nguyên tố nên r không chia hết cho

Số nguyên dương không là số nguyên tố nhỏ hơn 30 và không chia hết cho chỉ có số 1.

Vậy .

Bài 13: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư là . Tìm r biết rằng là hợp số.

Lời giải:

Gọi số nguyên tố là ( )

_{Ta có:}

Vì là số nguyên tố nên không chia hết cho .

Số nguyên dương là hợp số nhỏ hơn 42 và không chia hết cho chỉ có số 25.

Vậy .

Bài 14: Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được 1997 số liên tiếp nhau mà không có số nguyên tố nào hay không ?

Lời giải:

Chọn dãy số:

……............. ………….

Như vậy: Dãy số gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên tố.

Bài 15: Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được số liên tiếp nhau mà không có số nguyên tố nào hay không ?

Lời giải:

Chọn dãy số:

nên là hợp số

nên là hợp số

nên là hợp số

……............. ………….

nên là hợp số

Như vậy: Dãy số gồm có số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên tố.

Bài 16: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số này là số chẵn hay số lẻ?

Lời giải:

Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số nguyên tố lẻ. Do đó tổng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.

_Bài 17: Chứng minh rằng nếu tổng của lũy thừa bậc 4 của các số nguyên tố lớn hơn 5 là một số nguyên tố thì

Lời giải:

Số nguyên tố khi chia cho 30 chỉ có thể dư là:

Với thì tương tự với , ,

Với thì tương tự với , ,

Suy ra

Giả sử là các số nguyên tố lớn hơn 5

Khi đó

là số nguyên tố nên .

Dạng 2:Tìm số nguyên tố p để thỏa mãn điều kiện.

I.Phương pháp giải

- Trong số tự nhiên liên tiếp chỉ có một và chỉ một số chia hết cho .

- Nắm chắc các tính chất đặc trưng của số nguyên tố để giải bài toán.

II.Bài toán

Bài 1: Tìm số nguyên tố sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:

a,

b,

Lời giải:

a, Vì là số nguyên tố và 10;14 là hợp số

có dạng .

-Nếu là hợp số (Loại)

-Nếu là hợp số (Loại)

-Nếu (vì là số nguyên tố) (đều là số nguyên tố,thỏa mãn)

Vậy thì là số nguyên tố.

b, Vì là số nguyên tố .

có dạng

-Nếu là hợp số (loại)

-Nếu là hợp số (loại)

-Nếu là hợp số (loại)

-Nếu là hợp số (loại)

-Nếu mà là số nguyên tố nên đều là số nguyên tố (thỏa mãn, lấy)

Vậy thì là số nguyên tố.

Bài 2: Tìm 3 số lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố.

Lời giải:

Gọi 3 số lẻ liên tiếp là:

Trong 3 số lẻ liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3

-Nếu (vì là số nguyên tố) (Loại vì 1 không là số nguyên tố)

-Nếu (vì là số nguyên tố) (Loại vì -1 không phải là số tự nhiên)

-Nếu (vì là số nguyên tố) (Thỏa mãn vì đều là số nguyên tố)

Vậy 3 số tự nhiên lẻ cần tìm là 3,5,7.

Bài 3: Tìm các số nguyên tố sao cho vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố.

Lời giải:

Giả sử là số nguyên tố cần tìm thì ta có ( đều là các số nguyên tố và )

Để là số nguyên tố thì có một trong hai số là số chẵn và cũng có một trong hai số là số chẵn.

Giả sử thì

Ta có: .

Ta thấy là 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp.

Theo câu a .

Thử lại:

Vậy số cần tìm là 5.

Bài 4:Tìm để dãy số chứa nhiều số nguyên tố nhất.

Lời giải:

-Nếu Ta có dãy số có các số nguyên tố là Có 4 số nguyên tố.

-Nếu Ta có dãy số có các số nguyên tố là Có 5 số nguyên tố.

-Nếu Ta có dãy số có các số nguyên tố là Có 4 số nguyên tố.

-Nếu Dãy số đều gồm các số lớn hơn 3 và bao gồm 5 số lẻ liên tiếp và 5 sô chẵn liên tiếp.

Vì các số trong dãy đều lớn hơn 3 nên suy ra 5 số chẵn liên tiếp đều là hợp số và trong 5 số lẻ liên tiếp tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 và số này cũng là hợp số.

Vậy là giá trị cần tìm.

Bài 5: Ta gọi là 2 số nguyên tố liên tiếp nếu giữa và không có số nguyên tố nào khác. Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp sao cho cũng là số nguyên tố.

Lời giải:

+Nếu đều khác 3 mà là các số nguyên tố.

chia 3 dư 1 hoặc dư 2 ( hay dư -1 ).

chia 3 dư 1.

chia hết cho 3.

Vậy tồn tại 1 số bằng 3.

TH1: Ba số nguyên tố đó là 2, 3, 5 Khi đó là hợp số ( Loại )

TH2: Ba số nguyên tố đó là 3, 5, 7 Khi đó là số nguyên tố ( Thỏa mãn )

Vậy 3 số nguyên tố liên tiếp cần tìm là: .

Bài 6: Tìm 3 số nguyên tố sao cho: .

Lời giải:

Vì r là số lẻ ( là số nguyên tố ).

có 1 số lẻ và 1 số chẵn.

Giả sử là số chẵn chẵn ( vì là số nguyên tố )

+Nếu

Mặt khác là số lẻ

( Vì là số nguyên tố )

( Loại vì là số nguyên tố nên )

+Nếu thì là số nguyên tố ( Thỏa mãn )

Vậy .

Bài 7: Đề thi học sinh giỏi 2020-20121,huyện Yên Mô:

Cho là 3 số nguyên tố khác nhau đôi một.Tìm 3 số để giá trị của biểu thức:

đạt GTLN.

Lời giải:

Ta có: là 3 số nguyên tố khác nhau nên ; ;

Vì vai trò như nhau nên để không mất tính mất tính tổng quát ta giả sử:

Mà là 3 số nguyên tố nên

.

Vậy đạt GTLN khi và các hoán vị của nó.

Bài 8: Tìm 2 số nguyên tố có tổng bằng 2005.

Lời giải:

Ta thấy tổng số nguyên tố hai số cần tìm là số lẻ nên một trong hai số cần tìm phải là số nguyên tố chẵn và bằng 2. Khi đó số còn lại là 2003 ( là số nguyên tố, thỏa mãn)

Vậy hai số cần tìm là 2 và 2003.

Bài 9: Tìm 2 số nguyên tố có tổng bằng 309.

Lời giải:

Ta thấy tổng số nguyên tố hai số cần tìm là số lẻ nên một trong hai số cần tìm phải là số nguyên tố chẵn và bằng 2. Khi đó số còn lại là 307 ( là số nguyên tố, thỏa mãn)

Vậy hai số cần tìm là 2 và 307.

Bài 10: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong 3 số.

Lời giải:

Trong ba số nguyên tố có tổng bằng 1012, phải có một số chẵn, là số 2. Đó là số nhỏ nhất trong ba số.

Bài 11: Tìm tất cả các số nguyên tố p để là số nguyên tố nhỏ hơn 30.

Lời giải:

Vì là số nguyên tố nên

Mà là số nguyên tố nhỏ hơn 30 nên

+ Nếu thì là số nguyên tố ( Thỏa mãn, lấy )

+ Nếu thì là số nguyên tố ( Thỏa mãn, lấy )

+ Nếu thì không là số nguyên tố ( Trái với GT, loại )

Vậy số nguyên tố cần tìm là 2 và 3.

Bài 12: Tìm các số nguyên tố thỏa mãn

Lời giải:

Do là số nguyên tố và nên chỉ xảy ra các trường hợp sau:

_TH1:

TH2: vô nghiệm nguyên tố

TH3:

Vậy cặp nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài là

Bài 13: Tìm các số nguyên tố thỏa mãn .

Lời giải:

Ta có:

Mà ; là số nguyên tố nên

hoặc

không có thỏa mãn và Vậy không tồn tại nguyên tố để

Bài 14: Tìm tất cả các bộ ba số sao cho

Lời giải:

Vì có vai trò như nhau nên giả sử khi đó

vì là số nguyên tố.

Với thì ta có

( vì p là số nguyên tố )

+ Nếu thì thỏa mãn với là số nguyên tố bất kì

_{+ Nếu} thì

Vậy các cặp số cần tìm là và các hoán vị của chúng, với là số nguyên tố.

Dạng 3: Các bài toán chứng minh số nguyên tố,hợp số

I.Phương pháp giải

-Dựa vào các tính chất đặc trưng của số nguyên tố và hợp số để giải các bài toán về chứng minh số nguyên tố, hợp số.

II.Bài toán

Bài 1: Cho và là các số nguyên tố ( ).Chứng minh rằng là hợp số .

Lời giải:

Ta có: là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng

+Nếu thì là hợp số ( Trái với GT,loại )

Vậy có dạng , khi đó là hợp số

ĐPCM

Bài 2: Cho và là các số nguyên tố. Chứng minh rằng là hợp số.

Lời giải:

Ta xét các trường hợp:

TH1: thì là các hợp số ( Trái với giả thiết,loại )

TH2: ( vì là số nguyên tố ) là số nguyên tố

Và khi đó là hợp số

TH3: thì

Và khi đó là hợp số

Từ , ta suy ra là hợp số ĐPCM

Bài 3: Chứng minh rằng chia hết cho nếu là hợp số, không chia hết cho nếu là số nguyên tố.

Lời giải:

+TH1: là hợp số:

Nếu là hợp số thì là tích các thừa số nguyên tố nhỏ hơn và số mũ các lũy thừa này không thể lớn hơn số mũ của chính các lũy thừa ấy trong .

Vậy: ( ĐPCM )

+TH2: là số nguyên tố:

Vì là số nguyên tố nên nguyên tố cùng nhau với mọi thừa số của

Kết hợp với không chia hết cho ( ĐPCM )

Bài 4: Cho là số nguyên tố. Chứng minh rằng cũng là số nguyên tố.

Lời giải:

Giả sử là hợp số

Khi đó:

Vì ( Giả sử ) nên và nên là hợp số ( Trái với giả thiết ) Giả sử là sai không thể là hợp số là số nguyên tố (ĐPCM)

Bài 5: Chứng minh rằng: mọi số nguyên tố của đều lớn hơn 1994.

Lời giải:

Gọi là ước số nguyên tố của

Giả sử chia hết cho p chia hết cho

Mà nên ( vô lý )

Vậy ( ĐPCM )

Bài 6: Chứng minh rằng: thì giữa và có ít nhất 1 số nguyên tố ( từ đó suy ra có vô số số nguyên tố ).

Lời giải:

Vì nên , do đó có ít nhất một ước nguyên tố .

Ta chứng minh .Thậy vậy: nếu thì

Mà k .Do đó ( vô lý )

Vậy ( ĐPCM )

Bài 7: Hãy chứng minh các số sau là hợp số:

a) ( 2001 chữ số 1 );

b)

c)

d)

Lời giải:

a) Tổng các chữ số của là:

mà nên là hợp số ( ĐPCM )

b) là hợp số ( đpcm )

c) Vì và luôn chia hết cho 3 nên

Mà nên là hợp số (ĐPCM )

d)

là hợp số (ĐPCM )

Bài 8: Chứng minh rằng số là hợp số.

Lời giải:

Đặt , khi đó

là tích của hai số nguyên lớn hơn 1 nên là hợp số ( ĐPCM )

Bài 9: Chứng minh với mọi số tự nhiên lớn hơn 0 thì là hợp số.

Lời giải:

_Với nên

Hay

Tức là

Mà nên là hợp số. ( ĐPCM )

Bài 10: Chứng minh với mọi số tự nhiên lớn hơn 0 thì là hợp số.

Lời giải:

+ Nếu thì

+ Nếu thì

+ Nếu thì

Như vậy với mọi giá trị thì số là hợp số.

Bài 11: Cho , biết .Chứng minh rằng:

Lời giải:

Ta có ,mà 5 là số nguyên tố nên suy ra .

Mà nên đpcm

Bài 12: Cho .Chứng minh rằng nếu chia hết cho thì là số nguyên tố.

Lời giải:

Giả sử không là số nguyên tố.

_{Do đó} có ước nguyên tố

Do đó .

Mặt khác , nên

( Vô lí )

Mà nguyên dương nên .

Vậy là số nguyên tố ( đpcm )

Bài 13: Cho các số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng là hợp số.

Lời giải:

Giả sử

Đặt

_Mà

Đặt ,

_{Ta có}

_Vì là số nguyên dương nên là hợp số.

Bài 14: Chứng minh rằng có vô số nguyên tố có dạng:

Lời giải:

Mọi số tự nhiên không nhỏ hơn 2 có 1 trong 3 dạng:

+Những số có dạng mà nên là hợp số.

+Xét 2 số có dạng :đó là số và

Xét tích

Tích trên có dạng

+ Lấy một số nguyên tố có dạng (với là số nguyên tố bất kỳ ) ta lập tích của với tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn rời trừ đi 1 ta có:

có dạng:

Có 2 khả năng xảy ra:

*Khả năng 1: là số nguyên tố có dang ,bài toán được chứng minh.

*Khả năng 2: là hợp số: Ta chia cho đều tồn tại một số dư khác 0 nên các ước số nguyên tố của đều lớn hơn , trong các ước này không có số nào có dạng (đã chứng minh trên). Do đó ít nhất một trong các ước nguyên tố của phải có dạng ( hợp số ) hoặc .

Vậy có vô số nguyên tố có dạng:

_{Bài 15}: Chứng minh có vô số số nguyên tố có dạng

Lời giải:

Các số nguyên tố lẻ không thể có dạng và .

Vậy chúng chỉ có thể tồn tại dưới dạng hoặc

+ Xét tích 2 số có dạng là: và

Ta có:

Vậy tích của 2 số có dạng là một số cũng có dạng

+Lấy một số nguyên tố p bất kỳ có dạng , ta lập tích của với tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn rồi chứ đi 1 khi ta có:

Có 2 khả năng xảy ra:

*Khả năng 1: là số nguyên tố có dang ,bài toán được chứng minh.

*Khả năng 2: là hợp số: Ta chia M cho đều tồn tại một số dư khác 0 nên các ước số nguyên tố của đều lớn hơn ,trong các ước này không có số nào có dạng ( đã chứng minh trên). Do đó ít nhất một trong các ước nguyên tố của phải có dạng ( hợp số ) hoặc .mà ước này hiển nhiên lơn hơn .

Dạng 5: Áp dụng định lí Fermat

I.Phương pháp giải

-Định lí Fermat nhỏ: với là số nguyên tố.

-Bằng cách sử dụng định lí Fermat để giải các bài toán về số nguyên tố.

II.Bài toán

Bài 1: Chứng minh định lí Fermat nhỏ. Nếu là số nguyên tố và thì với mọi số nguyên dương .

Lời giải:

Vì không chia hết cho nên các số cũng không chia hết cho . Giả sử khi các số chia cho được các số dư là

đôi một khác nhau.

Thật vậy nếu có thì

Mà không chia hết cho và không chia hết cho nên không xảy ra.

do đó

Vì

_{Bài 2:} Chứng minh rằng tổng

Lời giải:

Vì mà nên chỉ cần chứng minh và

* Chứng minh chia hết cho 1983

Ta có :

( nguyên )

Vậy hiệu này chia hết cho 1983. Từ đó suy ra S chia hết cho 1983.

* Chứng minh chia hết cho 101

Trừ các số chia hết cho 101 là trong tổng còn lại các số có dạng với . Mà 101 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, thì các số này chia 101 dư 1. Số các số hạng mang dấu cộng bằng số số hạng mang dấu trừ. Từ đó suy ra chia hết cho 101

Từ _, suy ra chia hết cho 200283.

Bài 3: Nhà toán học Pháp Fermat đã đưa ra công thức

để tìm các số nguyên tố với mọi số tự nhiên .

1. Hãy tính giá trị của công thức này khi .

2. Với giá trị này hãy chứng tỏ ba tính chất sau:

a) Tổng hai chữ số đầu và cuối bằng tổng các chữ số còn lại.

b) Tổng bình phương các chữ số là số chính phương.

c) Hiệu giữa tổng các bình phương của hai chữ số đầu và cuối với tổng các bình phương của các chữ số còn lại bằng tổng các chữ số của số đó.

Lời giải:

1. Ta thay vào công thức Fermat và được:

là số nguyên tố.

2. Số nguyên tố 65537 có ba tính chất sau:

a) Tổng hai chữ số đầu và cuối đúng bằng tổng ba chữ số còn lại .

b) Tổng bình phương các chữ số

là số chính phương.

c) Tổng bình phương của hai chữ số đầu và cuối là

Tổng các bình phương của ba chữ số còn lại là:

Tổng các chữ số đó là:

Ta nhận thấy rằng:

Hiệu này đúng bằng tổng các chữ số của số nguyên tố

Bài 4: Cho , chứng minh rằng: là hợp số.

Lời giải:

Ta chứng minh với mọi

Ta có: .

Theo định lý Fermat:

Mà nên là hợp số ( ĐPCM )

Bài 5: Cho , chứng minh rằng: là hợp số.

Lời giải:

Theo định lí Fermat nhỏ ta có .

Ta tìm số dư trong phép chia và cho 10, tức là tìm chữ số tận cùng chúng.

Mà và nên

Mà với mọi số tự nhiên khác 0

Vậy là hợp số với mọi số tự nhiên khác 0.

Bài 6: Tìm số nguyên tố p để

Lời giải:

Vì là số nguyên tố mà .

Ta thấy không chia hết cho 2 vì .

Theo định lí Fermat nhỏ ta có mà ( Giả thiết )

( vì )

( vì là số nguyên tố )

Vậy số nguyên tố cần tìm là 3.

Bài 7: Cho là số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên thỏa mãn

Lời giải:

Ta có: , ta tìm sao cho .

Ta có:

Vậy, với thì .

Bài 8: Cho là số nguyên tố,chứng minh rằng số chỉ có ước nguyên tố có dạng là: .

Lời giải:

Gọi là ước nguyên tố của thì lẻ, nên theo định lý Fermat:

,vì nếu thì ,vô lý.

Mặt khác chẵn

Bài 9: Chứng minh rằng dãy số với chứa vô hạn số là lũy thừa của cùng một số nguyên tố.

Lời giải:

Gỉa sử tồn tại số nguyên tố sao cho:

Trong đó là các số nguyên dương nào đó.

Từ dễ thấy không chia hết cho 23 nên .

Theo định lý Fermat thì với mọi số nguyên dương .

Từ đó hay với mọi

Bài toán được giải đầy đủ khi ta chỉ ra sự tồn tại số nguyên tố p thỏa mãn .Chẳng hạn:

Với thì

Với thì

Với thì tồn tại k theo định lí Fermat thỏa mãn .

Bài 10: Giả sử là số nguyên tố lẻ đặt . Chứng minh rằng m là một hợp số lẻ không chia hết cho 3 và _.

Lời giải:

Ta có

dễ thấy đều là số nguyên dương lớn hơn 1 nên là hợp số mà suy ra lẻ và chia 3 dư 1.

Theo định lí Fermat nhỏ: vì

Vì chẵn nên cũng có

Do đó ĐPCM

_{Bài 11:} Cho số nguyên tố , các số dương Tìm số dư khi chia cho _.

Lời giải:;

Xét các trường hợp sau:

1) .Ta có

lẻ. Đặt

Dễ suy ra .

2) ta có ( định lí Fermat nhỏ )

vì không chia hết cho

mà

Bài 12: Chứng minh rằng ( với là số nguyên tố lớn hơn 7 )

Lời giải:

Ta có:

.

_vì là số nguyên tố lớn hơn 7 nên chỉ có thể có dạng

Nếu

_Vì

Nếu

Ta cũng có:

Vậy chia hết cho 7

Mặt khác theo định lí Fermat nhỏ ta có:

và nên

đôi một nguyên tố cùng nhau nên ( đpcm )

Bài 13: Cho là hai số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng: chia hết cho

Lời giải:

Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có: do là số nguyên tố).

Vì là các số nguyên tố nên

Từ suy ra

Từ suy ra

Vì và có vai trò như nhau nên

Lại vì nên từ và ta suy ra điều phải chứng minh.

Bài 14: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho

Lời giải:

_{Ta có 2 không chia hết cho 7; 7 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat ta có}

Ta có

Do đó tất cả các số chia hết cho 3 đều thỏa mãn yên cầu đề bài.

Bài 15: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho

Lời giải:

Gỉa sử số nguyên tố thỏa mãn điều kiện đã cho.

Khi đó

Vì nên theo định lí Fermat nhỏ ta có :

Từ đó suy ra nên

Thử lại ta thấy thỏa mãn điều kiện đề bài.

Dạng 6: Các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau

I.Phương pháp giải

- Sử dụng lý thuyết và tính chất của 2 số nguyên tố cùng nhau để giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau.

II.Bài toán

Bài 1: Chứng minh rằng: 5 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

_{Ta có} ;

Vậy hai số 5 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 2: Chứng minh rằng: Hai số tự nhiên liên tiếp khác 0 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là:

Đặt

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 3: Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Gọi 2 số lẻ liên tiếp là: .

Đặt

Mà là ước số lẻ nên . Vậy hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 4: Chứng minh rằng : và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

.

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 5 : Cho và là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau là hai số nguyên tố cùng nhau: và .

Lời giải:

Đặt

Mà và là 2 số nguyên tố cùng nhau nên

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )

_Bài 6: Cho và là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau là hai số nguyên tố cùng nhau: và

Lời giải:

Đặt

Mà và là 2 số nguyên tố cùng nhau nên

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )

Bài 7: Cho và là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau là hai số nguyên tố cùng nhau: và .

Lời giải:

Đặt

+ TH1:

Mà và là 2 số nguyên tố cùng nhau nên

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )

+ TH2:

Mà và là 2 số nguyên tố cùng nhau nên

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )

Bài 8 : Cho và là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau là hai số nguyên tố cùng nhau: và .

Lời giải:

Đặt

Mà và là 2 số nguyên tố cùng nhau nên

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )

_{Bài 9:} Chứng minh rằng nếu nếu nguyên tố cùng với và thì c nguyên tố cùng nhau với tích

Lời giải:

Gọi là ước chung nguyên tố của và .

+ TH1:

Mà và là 2 số nguyên tố cùng nhau nên

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )

+ TH2:

Mà và là 2 số nguyên tố cùng nhau nên

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )

Bài 10: Tìm số tự nhiên n để các số và là các số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Giả sử và cùng chia hết cho số nguyên tố d thì

Điều kiện để là .Hiển nhiên vì không chia hết cho 3.Muốn

phải có ít nhất một trong 2 số và không chia hết cho 2.Ta thấy:

+ Nếu là số lẻ lẻ lẻ,

+ Nếu là số lẻ lẻ lẻ.

Vậy điều kiện để hai số và là các số nguyên tố cùng nhau là n lẻ.

Bài 11: Tìm số tự nhiên để các số và là các số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Giả sử và cùng chia hết cho số nguyên tố d thì

Điều kiện để là .Hiển nhiên vì không chia hết cho 3. Muốn thì số không chia hết cho 7 (vì luôn chia hết cho 7 )

Vậy điều kiện để hai số và là các số nguyên tố cùng nhau là .

Bài 12: Chứng minh rằng hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

Lời giải:

_Gọi

Mà là số lẻ nên

Vậy hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

Bài 13: Chứng minh rằng hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

Lời giải:

_Gọi

Vậy hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

Bài 14: Chứng minh rằng hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

Lời giải:

_Gọi

Vì là số lẻ.

Vậy hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

Bài 15: Chứng minh rằng hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

Lời giải:

_Gọi

Vậy hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1: Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố.

(HSG Tỉnh Quảng Ngãi 2015 – 2016).

Lời giải:

Xét thì không phải là số nguyên tố

Xét thì là số nguyên tố.

Xét :

Mà chia hết cho , suy ra chia hết cho .

Tương tự: chia hết cho .

Vậy chia hết cho nên là hợp số. Số tự nhiên cần tìm .

Bài 2 : Tìm các số nguyên tố để cũng là số nguyên tố.

(HSG Thành phố Hà Nội 2016 – 2017).

Lời giải:

Nếu thì (không thỏa mãn).

Nếu thì (thỏa mãn).

Nếu thì .

Kết luận là giá trị cần tìm.

Bài 3: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố thỏa mãn .

(Chuyên Vũng Tàu 2016 – 2017).

Lời giải:

Do và nguyên tố nên chỉ có thể nhận các giá trị .

Ta có bảng giá trị tương ứng:

1		3	1
5		7	3
		3	1
	5	3	1

Do là các số nguyên tố nên chỉ có cặp thỏa mãn.

Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên (theo hệ thập phân) thỏa mãn các điều kiện sau: , trong đó và là số nguyên tố.

Lời giải:

Do là số nguyên tố, tức là là số nguyên tố ta có hoặc 9.

Từ điều kiện thứ nhất ta có: .

Theo bảng số nguyên tố ta tìm được các cặp số nguyên tố và thỏa mãn điệu kiện thứ nhất sau đây: , , , , , , , , , ,

Tương ứng với là các số sau: ; ; ; ; 409 là số nguyên tố; ; ; ; ; ; 907 là số nguyên tố.

Vậy

Bài 5: Tìm số tự nhiên sao cho và đều là số nguyên tố.

Lời giải:

Một số tự nhiên bất kì có 1 trong hai dạng: với . Nếu thì chia hết cho 2.

Ta có và chia hết cho 2. Nên là hợp số trái đề bài.

Do đó: . Nhưng nguyên tố nên và nguyên tố.

Vậy .

Bài 6: Tìm số nguyên tố sao cho và đều là số nguyên tố.

Lời giải:

Bất kì số tự nhiên nào cũng có một trong ba dạng: . Nếu thì , vô lí.

Nếu thì , vô lí. Do đó .

Nhưng nguyên tố nên nguyên tố. Vậy .

Bài 7: Tìm các số nguyên tố thỏa mãn

Lời giải:

Vì là các số nguyên tố

là số nguyên tố lẻ

là số chẵn chẵn

thay vào ta có

Nếu lẻ ( lẻ)

vô lí

Do đó là số chẵn

Thay

Vậy

Bài 8: Tìm để là số nguyên tố

Lời giải:

1. 

Để là số nguyên tố thì

Thử lại với thì là số nguyên tố.

Vậy với thì là số nguyên tố.

Bài 9: Tìm số nguyên tố sao cho và là các số nguyên tố (trích đề thi HSG Quãng Trạch)

Lời giải:

Với thì và là các số nguyên tố

Với thì

Nếu thì

Nếu thì

Vậy thì và là các số nguyên tố.

Bài 10: Tìm các số tự nhiên để là số nguyên tố.( trích đề thi HSG Thanh Oai)

Lời giải:

Ta có

Vì nên để là số nguyên tố thì

Thử lại là số nguyên tố

Vậy với thì là số nguyên tố

Bài 11: Chứng minh rằng nếu và là các số nguyên tố thì cũng là số nguyên tố. (trích đề thi HSG Nga Sơn)

Lời giải:

Với mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì chia hết cho 3 đều có dạng hoặc

Với thì chia hết cho

Với thì chia hết cho

Vì là số nguyên tố nên khi đó trong cả hai trường hợp trên thì đều lớn hơn và chia hết cho , tức là là hợp số

chỉ là hợp số khi khi đó là số nguyên tố

là số nguyên tố

Vậy nếu và là các số nguyên tố thì cũng là số nguyên tố.

Bài 12:Cho là số nguyên tố hay hợp số? vì sao? (trích đề thi HSG Nam Trực)

Lời giải:

_Mà

Nên là hợp số

Bài 13: Cho là số nguyên tố. Hỏi là số nguyên tố hay hợp số? (trích đề thi HSG Bá Thước)

Lời giải:

Ta có là số nguyên tố suy ra chia dư

chia dư

chia hết cho

Vậy là hợp số

Bài 14: Tìm số tự nhiên sao cho là số nguyên tố. (Trích đề thi HSG Hiệp Hòa)

Lời giải:

Vì nên và Ư

Vì là số nguyên tố nên hoặc

+ Nếu thì (thỏa)

+ Nếu

thì không phải là số nguyên tố, loại

Vậy thì là số nguyên tố.

Bài 15: Tìm các số tự nhiên để là số nguyên tố. (trích đề thi HSG Hưng Hà).

Lời giải:

Với ta có là số nguyên tố.

Với ta có nên mà do đó là hợp số

Vậy thì là số nguyên tố.

 HẾT 