Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Các Bài Toán Quy Về Tìm ƯCLN Và BCNN

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 4 – ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

CHỦ ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN QUY VỀ TÌM ƯCLN VÀ BCNN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Ước và Bội của một số nguyên

Với và Nếu có số nguyên q sao cho thì ta nói chia hết cho . Ta còn nói là bội của và là ước của .

2. Nhận xét

- Nếu thì ta nói chia cho được và viết

- Số là bội của mọi số nguyên khác . Số không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

- Các số và là ước của mọi số nguyên.

3. Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết.

Nếu số tự nhiên chia cho số tự nhiên được số dư là thì số

4. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Ước chung của các số được kí hiệu là

5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

Bội chung của các số được kí hiệu là:

6. Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất

- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

- Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội chung của các số đó.

7. Các tính chất

-

- Nếu

- Nếu nguyên tố cùng nhau

- và

_{- Nếu}

- Nếu

_-

_{8. Phương pháp giải}

- Nếu số tự nhiên chia cho số tự nhiên được số dư là

- Nếu và mà

chia hết cho tích với

- Nếu và mà a là số nhỏ nhất

- Nếu và mà b lớn nhất

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1. Bài toán đưa về tìm ƯCLN và BCNN của hai hay nhiều số

I. Phương pháp giải.

* Phương pháp giải bài toán đưa về tìm ƯCLN

- Nếu , lớn nhất thì

- Tìm ƯCLN theo ba bước

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

- Kết luận bài toán

* Phương pháp giải bài toán đưa về tìm BCNN

- Nếu , nhỏ nhất thì

- Tìm BCNN theo ba bước

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

- Kết luận bài toán

II.Bài toán.

Bài 1.Tìm số tự nhiên lớn nhất biết rằng

Lời giải

Vì và lớn nhất nên

Ta có:

Vậy

Bài 2.Tìm số tự nhiên lớn nhất biết rằng

Lời giải

Vì và lớn nhất nên

Ta có:

Vậy

Bài 3. Lan có một tấm bìa hình chữ nhật, kích thước cm và cm, Lan muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết không còn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn nhất cạnh hình vuông?

Lời giải

Gọi độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là (cm)

Theo bài ra ta có: và lớn nhất nên

Ta có:

Vậy độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là .

Bài 4. Phần thưởng cho học sinh của một lớp học gồm vở, bút chì, nhãn vở. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu phần thưởng như nhau, mỗi phần thưởng gồm bao nhiêu vở, bút chì, nhãn vở?

Lời giải

Gọi số phần thưởng được chia là (phần thưởng),

Theo bài ra ta có: và lớn nhất nên

Ta có:

Vậy có thể chia được nhiều nhất phần thưởng

Mỗi phần thưởng có số vở là ( vở)

Mỗi phần thưởng có số bút chì là ( bút chì)

Mỗi phần thưởng có số nhãn vở là ( nhãn vở)

Bài 5. Hùng có một tấm bìa hình chữ nhật, kích thước cm và cm, Hùng muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết không còn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn nhất cạnh hình vuông?

Lời giải

Gọi độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là (cm)

Theo bài ra ta có: và lớn nhất nên

Ta có:

Vậy độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là

Bài 6. Một đội y tế có bác sĩ và y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ để các bác sĩ cũng như các y tá được chia đều vào mỗi tổ ?

Lời giải

Gọi số tổ được chia là (tổ),

Theo bài ra ta có: và lớn nhất nên

Ta có:

Vậy có thể chia được nhiều nhất tổ.

Bài 7. Khối lớp có học sinh, khối lớp có học sinh, khối lớp có học sinh. Trong một buổi chào cờ học sinh cả ba khối xếp thành các hàng dọc như nhau. Hỏi có thể xếp nhiều nhất thành bao nhiêu hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng ?

Lời giải

Gọi số hàng dọc được xếp là ( hàng ),

Theo bài ra ta có: và lớn nhất nên

Ta có:

Vậy có thể xếp được nhiều nhất hàng dọc.

Bài 8.Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác biết rằng

Lời giải

Vì và nhỏ nhất khác nên

Ta có:

Vậy

Bài 9. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác biết rằng chia hết cho và chia hết cho .

Lời giải

Vì và nhỏ nhất khác nên

Ta có:

Vậy

Bài 10. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác biết rằng chia hết cho và

Lời giải

Vì và nhỏ nhất khác nên

Ta có:

Vậy

Bài 11. Hai bạn Tùng và Hải thường đến thư viện đọc sách, Tùng cứ ngày đến thư viện một lần, Hải ngày một lần. Lần đầu cả hai bạn cùng đến thư viện vào ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng đến thư viện?

Lời giải

Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng đến thư viện là ( ngày ),

Vì và nhỏ nhất khác nên

Ta có:

Vậy sau ngày hai bạn lại cùng đến thư viện.

Bài 12. Hai bạn An và Bách cùng trực nhật, An cứ ngày lại trực nhật còn Bách ngày lại trực nhật. Lần đầu cả hai bạn cùng trực nhật vào ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng trực nhật?

Lời giải

Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng trực nhật là ( ngày ),

Vì và nhỏ nhất khác nên

Ta có:

Vậy sau ngày hai bạn lại cùng trực nhật.

Bài 13. Hai bạn Minh và Nhâm cùng trực nhật, Minh cứ ngày lại trực nhật còn Nhâm ngày lại trực nhật. Lần đầu cả hai bạn cùng trực nhật vào ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng trực nhật?

Lời giải

Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng trực nhật là ( ngày ),

Vì và nhỏ nhất khác nên

Ta có:

Vậy sau 36 ngày hai bạn lại cùng trực nhật.

Bài 14. Ba con tàu cập bến theo cách sau: Tàu I cứ ngày cập bến một lần, tàu II cứ ngày cập bến một lần, tàu III cứ ngày cập bến một lần. Lần đầu cả ba tàu cùng cập bến vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày cả ba tàu lại cùng cập bến ?

Lời giải

Gọi số ngày ít nhất để ba tàu lại cùng cập bến là ( ngày ),

Vì và nhỏ nhất khác 0 nên

Ta có:

Vậy sau ngày ba tàu lại cùng cập bến.

Bài 15. : Ba ô tô chở khách cùng khởi hành lúc sáng từ bến xe đi theo ba hướng khác nhau, xe thứ nhất quay về bến sau phút và sau phút lại đi, xe thứ hai quay về bến sau phút và lại đi sau phút, xe thứ ba quay về bến sau phút và sau phút lại đi, hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để xe cùng xuất phát lần thứ hai trong ngày và đó là lúc mấy giờ?

Lời giải.

Đổi phút = phút

Gọi thời gian ngắn nhất để ba xe cùng xuất lần thứ trong ngày là ( phút ),

Thời gian xe thứ nhất đi chuyến thứ là ( phút)

Thời gian xe thứ hai đi chuyến thứ là ( phút)

Thời gian xe thứ ba đi chuyến thứ là ( phút)

Vì và nhỏ nhất khác nên

Ta có:

( phút) (giờ)

Vậy sau giờ thì ba xe lại cùng xuất phát lần thứ . Lúc đó là trưa.

Dạng 2. Bài toán đưa về tìm BCNN của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước.

I. Phương pháp giải.

– Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm bội chung của hai hay nhiều số cho trước.

Nếu

Nếu chia cho dư , chia cho dư

– Tìm BCNN của các số đó.

– Tìm BC của các số là các bội của BCNN này .

– Chọn trong số đó các bội thỏa mãn điều kiện đã cho.

II. Bài toán.

Bài 1. Tìm số tự nhiên biết rằng và

Lời giải

Vì nên

Ta có:

Vì nên

Vậy

Bài 2. Tìm số tự nhiên biết rằng và

Lời giải

Vì nên

Ta có:

Vì nên

Vậy

Bài 3. Một số sách khi xếp thành từng bó cuốn, cuốn, cuốn đều vừa đủ. Tính số sách đó biết số sách trong khoảng đến .

Lời giải

Gọi số sách cần tìm là ( cuốn) , ,

Vì số sách khi xếp thành từng bó cuốn, cuốn, cuốn đều vừa đủ nên

Ta có:

Vì nên

Vậy số sách cần tìm là cuốn.

Bài 4. Một trường tổ chức cho khoảng đến học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết nếu xếp hoặc học sinh lên xe thì vừa đủ.

Lời giải

Gọi số học sinh cần tìm là ( học sinh) , ,

Vì xếp hoặc học sinh lên xe thì vừa đủ nên

Ta có:

Vì nên

Vậy trường đó có học sinh.

Bài 5. Một trường tổ chức cho khoảng đến học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết nếu xếp người hoặc người lên xe ô tô thì vừa đủ.

Lời giải

Gọi số học sinh của trường là:

Theo bài ta có:

Vì

_{Ta có:}

Vậy số học sinh của trường đó là

Bài 6. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số chia cho có số dư lần lượt .

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là , ,

Vì chia cho có số dư lần lượt nên

Ta có:

Vì nên và x nhỏ nhất

Vậy số cần tìm là 170

Bài 7. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, sao cho chia nó cho có số dư lần lượt và .

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là , ,

Vì chia cho có số dư lần lượt và nên

Vì nên

Vậy số cần tìm là hoặc .

Bài 8. Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, sao cho chia cho thì dư , chia cho thì dư .

Lời giải

Vì chia cho thì dư , chia cho thì dư nên

với

Vì là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số nên

Vậy

Bài 9. Tìm số tự nhiên nhỏ hơn , sao cho chia nó cho ; cho có số dư lần lượt và

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là , ,

Vì chia cho ; có số dư lần lượt và nên

với

Ta có:

Vì nên

Vậy

Bài 10. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho , cho cho có số dư theo thứ tự là

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là: a ( )

Theo bài ta có:

Vì a nhỏ nhất

Vậy số tự nhiên cần tìm là

Bài 11. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho , cho cho có số dư theo thứ tự là

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là ,

Vì chia cho , cho cho có số dư theo thứ tự là nên

với

mà nhỏ nhất

Vậy

Bài 12. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho dư , chia cho dư chia cho dư và chia hết cho .

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là ,

Vì chia cho dư , chia cho dư chia cho dư

nên

Ta có:

Vì nhỏ nhất, chia hết cho nên = 598.

Vậy = 598

Bài 13. Một đội thiếu niên khi xếp hàng đều thừa người, Tính số đội viên biết số đó nằm trong khoảng đến ?

Lời giải

Gọi số đội viên cần tìm là ( đội viên) , ,

Đội thiếu niên khi xếp hàng đều thừa người nên chia cho đều dư

Vì nên

Vậy số đội viên là đội viên

Bài 14. Số học sinh khối của một trường THCS trong khoảng từ đến , khi xếp hàng và đều thừa học sinh. Tính số học sinh của trường đó.

Lời giải

Gọi số học sinh của trường đó là ( học sinh), ,

Khi xếp hàng đều thừa học sinh nên chia cho đều dư

Ta có:

Vì nên

Vậy số học sinh của trường đó là học sinh.

Bài 15. Một trường học có số lượng học sinh không quá Khi xếp hàng thì đều dư . Nhưng khi xếp hàng thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường đó.

Lời giải

Gọi số học sinh của trường đó là: n ( )

Theo bài ra ta có:

_{Lại có:}

Mà

Vậy số học sinh của trường là học sinh.

Bài 16. Một buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng từ đến người tham gia. Khi tổng chỉ huy cho xếp hàng thì thấy lẻ người, Khi cho đoàn xếp hàng thì vừa vặn không thừa người nào. Hỏi số người tham gia tập đồng diễn là bao nhiêu ?

Lời giải

Gọi số người tham gia tập đồng diễn là ( người), ,

Khi tổng chỉ huy cho xếp hàng thì thấy lẻ người

Ta có:

Vì và chia hết cho nên

Vậy số người tham gia đồng diễn là người

Bài 17. Một khối học sinh khi xếp hàng đều thiếu người nhưng xếp hàng thì vừa đủ, biết số học sinh chưa đến . Tính số học sinh của khối đó ?

Lời giải

Gọi số học sinh cần tìm là ( học sinh), ,

Một khối học sinh khi xếp hàng đều thiếu người nên

Khối học sinh xếp hàng thì vừa đủ nên chia hết cho và nên

Vậy số học sinh của khối đó là

Bài 18. Số học sinh tham gia nghi thức đội là một số có ba chữ số lớn hơn Nếu xếp hàng thì dư em, nếu xếp hàng thì thiếu em và xếp hàng thì thiếu em. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh tham gia?

Lời giải

Gọi số học sinh tham gia nghi thức đội là ( học sinh), ,

Nếu xếp hàng thì dư em, nếu xếp hàng thì thiếu em và xếp hàng thì thiếu em nên

với

Ta có:

Vì nên

Vậy số học sinh tham gia nghi thức đội là em

Bài 19. Người ta đếm số trứng trong một rổ. Nếu đếm theo từng chục cũng như theo tá hoặc theo từng quả thì lần nào cũng dư quả. Tính số trứng trong rổ, biết rằng số trứng đó lớn hơn và nhỏ hơn quả.

Lời giải

Gọi số trứng trong rổ là n ( )

_{Ta có:}

Theo (1)

Vậy số trứng trong rổ là quả

Bài 20. Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: kg; kg; kg; kg; kg. Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng xoài còn lại gấp ba lần số lượng cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài ?

Lời giải

Tổng số xoài và cam lúc đầu:

Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho , mà chia cho dư nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho dư .

Trong các số chỉ có chia cho dư .

Vậy giỏ cam bán đi là giỏ kg.

Số xoài và cam còn lại:

Số cam còn lại:

Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng kg ; kg .

Các giỏ xoài là giỏ đựng kg; kg; kg.

Bài 21. Một số tự nhiên chia cho dư , chia cho dư . Nếu đem số đó chia cho thì dư bao nhiêu?

Lời giải

Gọi số đó là a

Vì a chia cho dư , chia cho dư

mà ƯCLN(7, 13) = 1 nên

Vậy a chia cho dư .

Bài 22. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho cho cho cho đều dư là còn chia cho thì dư .

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là

Khi chia cho cho cho cho đều dư là

Nên nhận các giá trị

Mặt khác là số nhỏ nhất chia cho thì dư tức là là số nhỏ nhất chia hết cho 7

(vì thì không chia hết cho ).

Vậy số cần tìm là

Bài 23. Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có bạn thu được kg còn lại mỗi bạn thu được kg. Lớp 6B có bạn thu được kg còn lại mỗi bạn thu được kg. Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng kg đến kg.

Lời giải

Gọi số giấy mỗi lớp thu được là và

Do đó và

Số học sinh lớp 6A là: (học sinh)

Số học sinh lớp 6B là: (học sinh)

Vậy lớp 6A có học sinh

Lớp 6B có học sinh.

Bài 24. Số học sinh khối của một trư­ờng ch­ưa đến bạn, biết khi xếp hàng đều dư­ nh­ưng nếu xếp hàng thì không dư­. Tính số học sinh khối của tr­ường đó.

Lời giải

Gọi số học sinh là

Vì số học sinh khi xếp hàng đều dư

Mà

Ta có bảng sau:

	1	2	3	4	5	6	7
	63	123	183	243	303	363	423

Vì số học sinh chưa đến bạn và khi xếp hàng thì không dư nên và

Trong các giá trị trên, chỉ có thỏa mãn bài toán

Vậy số học sinh cần tìm là học sinh.

Dạng 3. Bài toán đưa về tìm ƯCLN của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước.

I. Phương pháp giải.

– Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm ước chung của hai hay nhiều số cho trước.

Nếu

Nếu chia cho dư , chia cho dư

– Tìm ƯCLN của các số đó.

– Tìm ƯC của các số là các ước của ƯCLN này .

– Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.

II. Bài toán.

Bài 1.Tìm số tự nhiên biết rằng khi chia cho thì dư và khi chia cho cũng dư

Lời giải

Vì chia cho thì dư và khi chia cho cũng dư nên

và

và

Ta có :

Vì nên

Vậy

Bài 2. Tìm số tự nhiên biết rằng chia dư và chia dư

Lời giải

Vì chia dư và chia dư nên

và

và

Ta có :

Vì nên

Vậy

Bài 3. Tìm số tự nhiên biết chia dư và chia dư

Lời giải

Vì chia dư và chia dư nên

và

và

Ta có :

Vì nên

Vậy

Bài 4. Tìm số tự nhiên lớn nhất biết rằng chia cho thì dư còn chia cho thì dư

Lời giải

Vì chia cho thì dư còn chia cho thì dư nên

và

và

Ta có :

Vì , lớn nhất nên

Vậy

Bài 5. Tìm số tự nhiên biết rằng chia dư chia dư

Lời giải

Vì chia dư chia dư nên

và

và

Ta có :

Vì nên

Vậy

Bài 6. Tìm số tự nhiên biết rằng chia dư và chia dư

Lời giải

Vì chia dư và chia dư nên

và

và

Ta có :

Vì nên

Vậy

Bài 7. Tìm số tự nhiên biết rằng chia dư và chia dư

Lời giải

Vì chia dư và chia dư nên

và

và

Ta có :

Vì nên

Vậy

Bài 8. Tìm số tự nhiên biết rằng khi chia cho thì dư còn khi chia cho thì dư

Lời giải

Vì chia cho thì dư còn khi chia cho thì dư nên

và

và

Ta có :

Vì nên

Vậy

Bài 9. Nếu ta chia số và cho cùng một số thì sẽ được số dư tương ứng là và Hỏi số chia là bao nhiêu?

Lời giải

Gọi số chia cần tìm là

Vì chia dư và chia dư nên

và

và

Vì nên

Vậy

Bài 10. Tìm số tự nhiên biết rằng chia thì dư còn chia cho thì dư

Lời giải

Vì chia dư và chia dư nên

và

và

Ta có :

Vì nên

Vậy

Bài 11. Tìm số tự nhiên biết rằng khi chia và cho thì có số dư lần lượt là và

Lời giải

Vì chia dư và chia dư nên

và

và

Ta có :

Vì nên

Vậy

Bài 12. Tìm số tự nhiên biết rằng chia cho dư còn chia cho dư

Lời giải

Vì chia dư và chia dư nên

và

và

Ta có :

Vì nên

Vậy

Bài 13. Tìm số tự nhiên biết rằng chia cho thì dư còn chia cho thì dư

Lời giải

Vì chia cho thì dư còn chia cho thì dư nên

và

và

Ta có :

Vì nên

Vậy

Bài 14. Tìm số tự nhiên lớn nhất sao cho khi chia cho ta được số dư bằng nhau

Lời giải

Vì ba số chia có cùng số dư nên hiệu số chia hết cho

mà lớn nhất

Ta có :

Vậy

Bài 15. Tìm số tự nhiên a biết chia a có cùng số dư là

Lời giải

Vì chia dư và chia a dư nên

và

và

Ta có :

Vì nên

Vậy

Bài 16. Một số chia cho dư chia cho dư chia cho dư . Hỏi số đó chia cho dư bao nhiêu?

Lời giải

Gọi số đã cho là A. Theo bài ra ta có:

Mặt khác:

Như vậy đồng thời chia hết cho , và .

Nhưng ƯCLN(7, 17, 23) = 1

Do nên là số dư của phép chia số cho

Bài 17. Cho là các số tự nhiên khác sao cho là số tự nhiên. Gọi là ƯCLN của

Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có :

với

đpcm

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho dư , chia cho dư và chia cho dư ( HSG huyện Quế Võ – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Theo đề bài số cần tìm là , theo đề ra ta có:

dư chia hết cho (Do )

dư chia hết cho (Do )

dư chia hết cho (Do )

Suy ra chia hết cho các số mà n là số tự nhiên nhỏ nhất nên

Vậy

Bài 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho dư , chia cho dư , chia cho dư , chia cho dư

( HSG CƯM’GAR – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Theo đề bài số cần tìm là , theo đề ra ta có:

dư chia hết cho (Do )

dư chia hết cho (Do )

dư chia hết cho (Do )

dư chia hết cho (Do )

Suy ra cùng chia hết cho mà là số nhỏ nhất nên

Mà đôi một nguyên tố cùng nhau

Do vậy:

Vậy

Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi số đó chia cho dư ; chia cho dư ; chia cho dư ; chia cho dư . ( HSG Quảng Trạch – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số cần tìm là , theo đề ra ta có:

dư

dư

dư

dư

Suy ra cùng chia hết cho mà là số nhỏ nhất nên

Vậy

Bài 4: Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, sao cho khi chia số đó cho , cho cho cho cho ta được các số dư lần lượt là . ( HSG Nho Quan – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số cần tìm là ( , )

dư chia hết cho (Do )

dư chia hết cho (Do )

dư chia hết cho (Do )

dư chia hết cho (Do )

dư chia hết cho (Do )

Suy ra cùng chia hết cho

Ta có:

Vì a là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số nên

Vậy

Bài 5: Số học sinh của trường THCS A nếu xếp mỗi hàng học sinh thì thừa ra học sinh, nếu xếp mỗi hàng thì thừa ra học sinh, nếu xếp mỗi hàng thì thừa ra học sinh, nếu xếp mỗi hàng thì vừa đủ . Hỏi trường THCS A có bao nhiêu học sinh tất cả , biết số học sinh của trường đó lớn hơn và nhỏ hơn . ( OLYMPIC Toán 6 – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số học sinh của trường THCS A là (

Theo đề ra ta có:

Xếp mỗi hàng học sinh thì vừa đủ nên , suy ra đặt khi đó vì:

Xếp mỗi hàng học sinh thừa học sinh nên dư , suy ra dư hay (vì )

Xếp mỗi hàng học sinh thì thừa học sinh nên dư , suy ra dư hay (vì )

xếp mỗi hàng học sinh thì thừa học sinh nên dư , suy ra dư 8 hay (vì )

Do đó

Vì nên

Lập bảng:

		900
k	(loại)	47 (Thỏa mãn)	(loại)

(học sinh)

Vậy số học sinh của trường THCS A là học sinh.

Bài 6: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết chia cho dư , chia cho dư .

( HSG Kim Sơn – Năm 2020 – 2021).

Lời giải

Gọi số cần tìm là , theo đề ra ta có:

(Vì )

(Vì )

Vì là số tự nhiên nhỏ nhất nên:

Vậy

Bài 7: Tìm số tự nhiên , biết rằng chia cho thì dư , còn chia cho thì dư

( Năng khiếu toán 6 lần 1 – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số cần tìm là , theo đề ra ta có:

Vì nên

Vậy

Bài 8: Tìm số tự nhiên biết rằng chia cho dư ; chia cho dư , chia hết cho và nằm trong khoảng từ đến .

( HSG Nam Đàn – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số cần tìm là , theo đề ra ta có:

dư nên chia hết cho (Do )

dư nên chia hết cho (Do )

(Do )

Suy ra cùng chia hết cho

Nên

Vì do đó

Vậy

Bài 9: Tìm số tự nhiên , biết chia cho dư , còn chia cho dư .

( OLYMPIC toán 6 Quốc Oai – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số cần tìm là , theo đề ra ta có:

Vì nên

Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết khi chia số đó cho lần lượt được các số dư là (OLYMPIC toán 6 Quốc Oai – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số cần tìm là , , theo đề ra ta có:

dư chia hết cho (Do )

dư chia hết cho (Do )

dư chia hết cho (Do )

Vì là số tự nhiên nhỏ nhất nên:

Vậy

Bài 11: Tìm số tự nhiên lớn nhất có chữ số, sao cho khi chia số đó cho dư và chia số đó cho dư .

( HSG Lục Nam – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là ,

Vì chia cho dư , chia cho dư nên

với

Vì là số tự nhiên lớn nhất có chữ số nên

Vậy số cần tìm là

Bài 12: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số và thì được các số dư lần lượt là

( HSG Bá Thước – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là ,

Vì chia cho các số và thì được các số dư lần lượt là nên

Ta có:

Vì là số tự nhiên có chữ số nên

Vậy số cần tìm là

Bài 13: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng khi chia số đó cho các số được số dư lần lượt là

(HSG Gia Bình – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là ,

Vì chia cho cho các số được số dư lần lượt là nên

( Với )

mà nhỏ nhất

Vậy số cần tìm là

Bài 14: Số học sinh khối của một trường khi xếp hàng , hàng hàng đều thừa học sinh. Biết số học sinh khối chưa đến em. Hỏi khối của trường đó có bao nhiêu học sinh ?

( HSG Lục Ngạn – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số học sinh khối của trường đó là ( học sinh), ,

Nếu xếp hàng , hàng hàng đều thừa học sinh nên

Ta có:

Vì nên

Vậy số học sinh khối của trường đó là em

Bài 15: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia cho , cho cho được số dư theo thứ tự là .

( HSG Thái Thụy – Năm 2019 – 2020)

Lời giải

Vì chia cho , cho cho được số dư theo thứ tự là nên

( Với )

mà nhỏ nhất

Vậy

Bài 16: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết nó chia cho thì dư và chia cho thì dư .

( HSG Tiền Hải – Năm 2018 – 2019)

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là , ,

Vì chia cho thì dư và chia cho thì dư nên

Vì nên

Vậy số cần tìm là

Bài 17: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số đó cho dư , chia cho dư và chia cho dư .

( HSG Nhơn Trạch – Năm 2018 – 2019)

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là , , nhỏ nhất.

Vì chia cho dư , chia cho dư và chia cho dư nên

( Với )

mà nhỏ nhất

Vậy số cần tìm là

Bài 18: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có tính chất sau:

Số đó chia cho dư chia cho thì dư chia cho thì dư , chia cho thì dư và chia hết cho

( HSG Sơn Tịnh – Năm 2018 – 2019)

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là , nhỏ nhất.

Vì chia cho dư chia cho thì dư chia cho thì dư , chia cho thì dư nên

Mà , x nhỏ nhất nên

Vậy số cần tìm là

Bài 19: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho dư , chia cho dư chia cho dư

( HSG Kiến Xương – Năm 2012 – 2013)

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là , , nhỏ nhất.

Vì chia cho dư , chia cho dư chia cho dư nên

( Với )

mà nhỏ nhất

Vậy số cần tìm là

Bài 20: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số thì được số dư lần lượt là

( HSG Kiến Xương – Năm 2011 – 2012)

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là ,

Vì chia cho các số thì được số dư lần lượt là nên

Mà nên

Vậy số cần tìm là

Bài 21: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho dư chia cho dư và chia cho dư .

( HSG Phú Lương – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là , , nhỏ nhất.

Vì chia cho dư chia cho dư và chia cho dư nên

( Với )

mà nhỏ nhất

Vậy số cần tìm là

Bài 22: Có quyển vở và cái bút được chia thành các phần thưởng đều nhau. Hỏi có thể chia được thành bao nhiêu phần thưởng để số quyển vở và số bút trong mỗi phần thưởng là bé nhất.

( HSG Anh Sơn – Năm 2018 – 2019)

Lời giải

Gọi số phần thưởng được chia là (phần thưởng),

Theo bài ra ta có: nên

Ta có:

Vì số quyển vở và số bút trong mỗi phần thưởng là bé nhất nên

Vậy có thể chia được phần thưởng

Mỗi phần thưởng có số vở là ( vở)

Mỗi phần thưởng có số bút là ( bút )

Bài 23: Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh gồm ba môn Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, số học sinh tham gia như sau: Ngữ văn có học sinh; Toán có học sinh và Tiếng Anh có học sinh. Trong buổi lễ tổng kết, các bạn tham gia thi được phân công đứng thành hàng dọc sao cho mỗi hàng có số bạn thi mỗi môn bằng nhau. Hỏi có thể phân công học sinh đứng thành bao nhiêu hàng để số học sinh mỗi môn trong một hàng ít nhất.

( HSG Bắc Ninh – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số hàng được phân công là (hàng),

Theo bài ra ta có: nên

Ta có:

Vì số học sinh mỗi môn trong một hàng ít nhất nên

Vậy có thể phân công được hàng

******************** **********************