Chuyên Đề Toán 6 Cách Tìm Ước Của Một Số Có Lời Giải Chi Tiết

CHUYÊN ĐỀ 12: BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Với và Nếu có số nguyên sao cho thì ta ta có phép chia hết (trong đó ta cũng gọi là số bị chia, là số chia, là thương). Khi đó ta nói chia hết cho , kí hiệu là .

Khi ( , ) ta còn gọi là bội của và là ướccủa .

2. Nhận xét

- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

- Các số 1 và là ước của mọi số nguyên.

3. Tính chất

Có tất cả các tính chất như trong tập .

-Nếu chia hết cho và chia hết cho thì cũng chia hết cho .

và

- Nếu chia hết cho thì bội của cũng chia hết cho .

( )

- Nếu , chia hết cho thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho .

- Nếu , chia cho cùng số dư thì chia hết cho .

Nhận xét:

- Nếu chia hết cho , chia hết cho thì

- Nếu chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì chia hết cho .

- Nếu chia hết cho số nguyên tố thì chia hết cho .

- Nếu chia hết cho và nguyên tố chung nhau thì chia hết cho .

- Trong số nguyên liên tiếp có đúng một số chia hết cho .

II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1. Tìm bội và ước của số nguyên

I. Phương pháp giải

-Tập hợp các bội của số nguyên a có vô số phần tử và bằng

- Tập hợp các ước số của số nguyên luôn là hữu hạn.

Cách tìm:

Trước hết ta tìm các ước số nguyên dương của phần số tự nhiên (làm như trong tập số tự nhiên), chẳng hạn là Khi đó cũng là ước số của a. Do đó các ước của a là , .

Như vậy số các ước nguyên của gấp đôi số các ước tự nhiên của nó.

- Số ước nguyên dương của số là

II. Bài toán

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 1.Khi nào ta nói là bội của ?

A. B. C. D.

Lời giải

Đáp án: A

Bài 2.Hãy nêu cách tìm bội của một số:

Ta viết:

                         hay           

                          hay          

Các ước nguyên dương của 36  là :

Tất cả có 9 ước  nguyên dương là:   .

Tập hợp tất cả các ước nguyên của 36 là :

Bài 7. Tìm tất cả các ước của 12 mà lớn hơn – 4.

Lời giải

Các ước của 12 là:

Các ước của 12 mà lớn hơn – 4 là .

Bài 8.Tìm các số tự nhiên sao cho: là ước của 28

Lời giải

Ta có: .

_Vì , ta có bảng sau:

_Vì là số tự nhiên nên

Bài 9. Tìm các bội của -13 lớn hơn -40 nhưng nhỏ hơn 40.

Lời giải

Các bội của -13 là

Các bội của -13 lớn hơn -40 nhưng nhỏ hơn 40

Bài 10.Tìm các số tự nhiên x là bội 75 đồng thời là ước của 600

Lời giải

Đáp án:

Bài 11. Chứng tỏ rằng số có dạng là bội của 37

Lời giải

Đáp án: Ta có: nên là bội của 37

Bài 12. Tìm các chữ số và sao cho vừa là bội của 5, vừa là bội của 6

Lời giải

Ta có nên

Số chia hết cho cả 2 và 5 nên

Ta có nên hay , do đó

Vậy cả 3 số này vừa là bội của 5, vừa là bội của 6

Bài 13.

a) Tìm năm bội của: ;

b) Tìm các bội của , biết rằng chúng nằm trong khoảng từ đến 24.

Lời giải

a) Các bội số của đều có dạng ( ).

Chẳng hạn chọn năm bội số của là: ( ứng với lần lượt bằng ).

b) Các bội số của –12 có dạng 12.k ( ). Cần tìm sao cho: .

Tức là: , chọn

Vậy các bội của nằm trong khoảng từ đến 24 là

Bài 14. Tìm tất cả các ước của:

a) ; b) ; c) 12.

Lời giải

a) Các ước tự nhiên của 3 là 1, 3.Do đó các ước của là

b) Các ước tự nhiên của 25 là .Do đó các ước của 25 là

c) Các ước tự nhiên của 12 là .Do đó các ước của 12 là

Nhận xét:

Số tự nhiên a phân tích ra thừa số nguyên tố có dạng (p, q, r là số nguyên tố) thì số ước tự nhiên của a là Khi đó mỗi số nguyên đều có ước nguyên.

Số nguyên tố có 4 ước nguyên là

Bài 15. Tìm số nguyên để:

a) chia hết cho ; b) 8 chia hết cho ;

c) 9 chia hết cho ; d) chia hết cho 17.

Lời giải

a) chia hết cho , nên là bội của 2 ( vì 5 không chia hết cho 2).

Vậy ( là số nguyên tùy ý).

b) 8 chia hết cho , nên là ước của 8.

Vậy

c) 9 chia hết cho , nên là ước của 9.

Suy ra

Với suy ra hay

Với suy ra hay

Với suy ra hay

Với suy ra hay

Với suy ra hay

Với suy ra hay

Vậy

d) chia hết cho 17, nên là bội của 17. Do đó ( ).

Vậy ( ).

III. Bài tập có hướng dẫn

Bài 1.

a) Tìm bốn bội của .

b) Tìm các bội của , biết rằng chúng nằm trong khoảng từ 100 đến 200.

HD

a) Chẳng hạn là: –18; –9; 0; 9

b) 120; 144; 168; 192

Bài 2. Tìm tất cả các ước của:

a) ; b) 49; c) .

HD

a)

b)

c)

Bài 3.

a) Tìm tập hợp ;

b) Tìm tập hợp .

HD

a) suy ra

b) suy ra

Bài 4. Tìm số nguyên để:

a) chia hết cho 3; b) chia hết cho ;

c) chia hết cho ; d) chia hết cho 18.

HD

a) mà (7; 3) = 1 nên do đó

b) nên

c) nên

Vậy

d) nên suy ra

Bài 5. Tìm tập hợp .

HD

Suy ra

Bài 6. Cho hai tập hợp và

a) Viết tập hợp gồm các phần tử có dạng với

b) Trong các tích trên có bao nhiêu tích chia hết cho 5?

HD

a) C = =

( Chú ý: Các phần tử trong tập hợp phải khác nhau đôi một)

b) Trong các tích trên có 3 tích chia hết cho 5 ứng với và

Dạng 2. Vận dụng tính chất chia hết của số nguyên

I. Phương pháp giải

Để chứng minh một biểu thức A chia hết cho số nguyên a;

- Nếu A có dạng tích thì cần chỉ ra m (hoặc n, hoặc p) chia hết cho a. Hoặc m chia hết cho n chia hết cho , p chia hết cho trong đó

- Nếu A có dạng tổng m + n + p thì cần chỉ ra m, n, p cùng chia hết cho a, hoặc tổng các số dư khi chia m, n, p cho a phải chia hết cho a.

- Nếu A có dạng hiệu m – n thì cần chỉ ra m, n chia cho a có cùng số dư. Vận dụng tính chất chia hết để làm bài toán về tìm điều kiện để một biểu thức thỏa mãn điều kiện cho hết.

II. Bài toán

Bài 1. Chứng minh rằng: chia hết cho .

Lời giải

Nhóm tổng S thành tổng của các bội số của bằng cách:

Mỗi số hạng của tổng S đều chia hết cho , nên S chia hết cho .

Bài 2. Cho số Hỏi số a có chia hết cho không?

Lời giải

.

Số hạng đầu của chia hết cho 9, còn 7 không chia hết cho 9 nên không chia hết cho 9. Do đó cũng không chia hết cho .

Bài 3. Cho là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 31 thì cũng chia hết cho 31. Điều ngược lại có đúng không?

Lời giải

Ta có: (*)

_{Do đó} và từ (*) suy ra

Mà 6 và 31 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra

Ngược lại, nếu , mà từ (*) suy ra

Vậy điều ngược lại cũng đúng.

Ta có thể phát biểu bài toán lại như sau:

“Cho là các số nguyên. Chứng minh rằng chia hết cho 31 khi và chỉ khi chia hết cho 31”.

Bài 4. Tìm số nguyên sao cho:

a) chia hết cho b) là ước số của

Lời giải

a) Nhận thấy

Do nên khi và chỉ khi

Suy ra hay Vậy

b) Nhận thấy

Do nên khi và chỉ khi

Suy ra

Vậy

III. Bài tập có hướng dẫn

Bài 1. Chứng minh rằng: chia hết cho

HD

=

= 39 + 3³.39 + 3⁶.39 = 39.(1 + 3³ + 3⁶)

Suy ra nên

Bài 2. Cho số (gồm 20 chữ số 1). Hỏi số a có chia hết cho 111 không?

HD

Nhận thấy:

=

Suy ra là tổng của hai số hạng trong đó có 1 số chia hết cho 111, 1 số không chia hết cho 111 nên không chia hết cho 111.

Vậy không chia hết cho 111.

Bài 3. Cho là các số nguyên. Chứng minh rằng chia hết cho 17 khi và chỉ khi chia hết cho 17.

HD

Xét hiệu

Nhận thấy nên:

Nếu thì , mà nên

Nếu thì , mà nên

Bài 4. Tìm số nguyên sao cho:

a) chia hết cho ; b) là ước số của

HD

a) nên do đó

Vậy

b) Do nên

Do đó

Vậy

Bài 5. Tìm cặp số nguyên sao cho:

a) b) c)

HD

a) Vì 5 = 5.1 = nên ta có các trường hợp sau:

1) và và

2) và và

3) và và

4) và và

b)

c)

Do đó tìm được .

Bài 6. Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho 20x + 10y = 2010.

HD

Từ điều kiện đề bài suy ra

201 là số lẻ và 2x là số chẵn, suy ra y là số lẻ. Khi đó y có dạng:

Chẳng hạn, bốn cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

Bài 7. Tìm số nguyên sao cho là bội của 15 và là ước số của 1001.

HD

Ta có: là bội của 15 nên ( ) suy ra ( )

Mà là ước của 1001 nên kiểm tra thấy hay

Vậy

Dạng 3. TÌM SỐ NGUYÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ CHIA HẾT

I. Phương pháp giải.

Áp dụng tính chất: Nếu chia hết cho và chia hết cho thì chia hết cho .

II. Bài toán.

Bài 1.Tìm các số tự nhiên sao cho

Lời giải

Ta có khi đó là ước của 10

Ta có bảng sau:

Suy ra ( )

Bài 2.Tìm sao cho :

a) chia hết cho ; b) chia hết cho .

Lời giải

a) Ta có: .

Ta có: chia hết cho .

Do đó chia hết cho khi 5 chia hết cho , tức là là ước của 5.

Ước của 5 gồm các số .

Ta có bảng sau:

Suy ra

b)

Ta có: chia hết cho

Do đó chia hết cho khi 7 chia hết cho

Do đó là ước của 7.

Ước của 7 gồm các số .

Ta có bảng sau:

Suy ra: .

Bài 3.Tìm các số nguyên thoả mãn:

Lời giải

a) Ta có

nên khi , tức là là ước của 3.

Vì , ta có bảng sau:

ĐS : .

b) HD: Ta có

nên khi , tức là là ước của 11.

Đáp số: .

Bài 4.Tìm   sao cho :

a) chia hết cho b) chia hết cho .

Lời giải

a) Ta có: .

Ta có: chia hết cho .

Do đó chia hết cho khi 1 chia hết cho , tức là là ước của 1.

Ước của 1 gồm các số . Suy ra .

b) Ta có:

Ta có: chia hết cho .

Do đó chia hết cho khi 4 chia hết cho , tức là là ước của 4.

Ước của 4 gồm các số . Suy ra .

Bài 5.Tìm các số tự nhiên sao cho là bội của

Lời giải

là bội của

mà

Do đó

Mà nên

Bài 6.Tìm số nguyên biết rằng chia hết cho .

Lời giải

Ta có: chia hết cho
chia hết cho
Mà chia hết cho

⇒ 7 chia hết cho
thuộc ước của 7

mà

Vậy

Bài 7.Tìm số nguyên dương sao cho là bội của .

Lời giải

là bội của

Mà . Do đó

Mà nên

Bài 8. Có hai số nguyên , khác nhau mà chia hết cho và chia hết cho không ?

Lời giải

chia hết cho

chia hết cho

hoặc

Vì nên . Do đó:

Vậy mọi cặp số nguyên đối nhau và khác  0 đều có tính chất chia hết cho ( ) và ( ) chia hết cho và chỉ những cặp số đó.

Bài 9. Cho hai tập hợp số:

a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng với ?

b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho ?

Lời giải

Giải

a) Ta lập bảng cộng sau :

Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng được tạo thành, trong đó có 7 tổng khác nhau: .

b) Có 7 tổng chia hết cho 2 là :

(Có 3 tổng khác nhau chia hết cho 2 : ).

Bài 10.Cho hai tập hợp số 

a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng với ?

b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho 3?

Lời giải

Lập bảng ta thấy :

1. Ta lập bảng cộng sau:

Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng được tạo thành, trong đó có 7 tổng khác nhau : .

b) Trong đó có 5 tổng chia hết cho 3 là : .

Như vậy có hai tổng khác nhau chia hết cho 3 là 18 và 21.