Bài Tập Hình 8 Bài Tính Chất Đường Phân Giác Của Tam Giác

3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

II. BÀI TẬP

Bài 1: Tính độ dài , trong các hình vẽ sau:

Bài 2: Cho tam giác có các đường phân giác và cắt nhau ở

a) Tính các độ dài

b) Tính các độ dài

Bài 3: Cho tam giác cân có Đường phân giác góc cắt tại đường phân giác góc cắt tại Chứng minh //

Bài 4: Cho có , , là các đường phân giác. Chứng minh rằng: .

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của và cắt các đường chéo BD và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: MN song song với AD.

Bài 6: Cho có phân giác , biết .

a) Tính tỉ số diện tích của và theo và .

b) Vẽ phân giác của và vẽ phân giác của . Chứng minh rằng: .

Bài 7: Cho , trung tuyến , đường phân giác của cắt ở , đường phân giác của cắt ở .

a) Chứng minh rằng .

b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng

c) Tính , biết

d) phải thêm điều kiện gì để ta có

e) Chứng minh rằng cân nếu biết .

Bài 8: Cho ∆ABC vuông cân tại A. Đường cao AH và đường phân giác BE cắt nhau tại I. Chứng minh rằng:

Tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC , đường phân giác AD. Biết rằng BC = 10cm và 2AB = 3AC.

Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD.

KQ: BD = 6 cm; CD = 4cm.

Bài 2: Gọi Ai là đường phân giác của tam giác ABC; im, in thứ tự là các đường phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: .

Bài 3: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại M , đường phân giác của góc C cắt AB tại N. Biết rằng , tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

KQ: AB = 4cm; AC = 6cm, BC = 8 cm.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD.

a) Tính các độ dài DA, DC.

b) Tia phân giác của cắt BD ở I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh

KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ

Bài 1:

a) Xét có là đường phân giác trong nên:

Hay

b) Xét có là đường phân giác ngoài nên: (1)

Mà là trung điểm của đoạn thẳng nên: (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Bài 2: a ) Theo tính chất đường phân giác:

Do đó,

b) Ta có: Theo tính chất đường phân giác:

Do đó,

B ài 3: là phân giác của nên

là phân giác của nên

Lại có:

Suy ra: //

B ài 4: Xét , áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

(1)

(2)

(3)

Nhân (1), (2), (3) theo vế ta được: .

Bài 5: Gọi O là giao điểm của BD và AC.

Xét tam giác ABD, phân giác AM, ta có:

T ương tự, ;

Mà , suy ra

Từ đó, ta có:

Suy ra

Bài 6: a ) Vẽ đường cao của .Vì có phân giác nên:

. Vậy

b) Ta có: (do là phân giác )

(do là phân giác )

Bài 7: a) Ta có

(do là phân giác của )

(do là phân giác của )

Mà ( là trung điểm của )

b) Xét và lần lượt có và .

Mà

c) Ta có: . Mà (do )

Ta lại có: ( do )

(do )

d) Để ta cần tứ giác là hình chữ nhật

Hay

Khi thì (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )

cân tại

(đường phân giác của tam giác cân đồng thời là đường cao

Mà . Suy ra . Suy ra tứ giác là hình chữ nhật

Vậy vuông tại thì .

e) Khi thì cân tại có là trung tuyến ( ) nên đồng thời là đường cao

Mà (cmt) nên

có vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên là tam giác cân.

Bài 8: T
a có .

Suy ra ∆AIE cân tại A  (1).

Áp dụng tính chất đường phân giác của ∆ABH và ∆BAC ta có: (2); (3)

Từ (2) và (3) suy ra:

Vì ∆ABC vuông cân tại A nên

Từ đó kết hợp với (4) suy ra .