Đề Thi Toán THPT Quốc Gia 2019 Có Đáp Án và Lời Giải

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THPT QG NĂM 2019 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Mã Đề: 101 (Đề gồm 07 trang)

Họ và tên: ……………………………………………………….SBD:………………………

Câu 1. Trong không gian , cho mặt phẳng . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 2. Với là số thực dương tùy, bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. Nghiệm phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 5. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 6. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên

A. . B. . C. . D. .

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

A. B. C. D.

Câu 8. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là

A. B. C. D.

Câu 9. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Câu 11. Biết và khi đó bằng

A. B. C. D.

Câu 12. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. B. C. D.

Câu 13. Số phức liên hợp của số phức là

A. . B. . C. . D. .

Câu 14. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A. . B. . C. . D. .

Câu 15. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là

A. B. C. D.

Câu 16. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình là

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Câu 17. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông tại , và (minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 18. Gọi là hai nghiệm phức phương trình . Giá trị bằng

A. 16. B. 56. C. 20. D. 26.

Câu 19. Cho hàm số có đạo hàm là

A. . B. . C. . D. .

Câu 20. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 21. Trong không gian , cho mặt cầu . bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 22. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh và (hình minh họa như hình vẽ). Thể tích của lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 23. Cho hàm số có đạo hàm , . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Câu 24. Cho và là hai số thực dương thỏa mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 25. Cho hai số phức và . Trên mặt phẳng toạ độ , điểm biểu diễn số phức có toạ độ là

A. . B. . C. . D. .

Câu 26. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 27. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 28. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. B. C. D.

Câu 29. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 30. Trong không gian , cho hai điểm và . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 32. Cho hàm số . Biết và , , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 33. Trong không gian , cho các điểm , , và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 34. Cho số phức thỏa mãn . Mô đun của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 35. Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 36. Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.

Bất phương trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

A. . B. . C. . D. .

Câu 37. Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 38. Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 39. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm

A. . B. . C. . D. Vô số.

Câu 40. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 41. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 42. Trong không gian , cho điểm . Xét đường thẳng thay đổi, song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ đến nhỏ nhất, đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 43. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.

_{Số nghiệm thực của phương trình} là

A. . B. . C. . D. .

Câu 44. Xét các số phức thỏa mãn . Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn của các số phức là một đường tròn có bán kính bằng

A. B. C. D.

Câu 45. Cho đường thẳng và Parabol ( là tham số thực dương). Gọi và lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi thì thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D.

Câu 46. Cho hàm số , bảng biến thiên của hàm số như sau

Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 47. Cho lăng trụ có chiều cao bằng và đáy là tam giác đều cạnh bằng . Gọi và lần lượt là tâm của các mặt bên , và . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 48. Trong không gian , cho mặt cầu . Có tất cả bao nhiêu điểm ( là các số nguyên) thuộc mặt phẳng sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

A. . B. . C. . D. .

Câu 49. Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại điểm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

Câu 50. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt

A. . B. . C. Vô số. D. .

…………………………….HẾT………………………….

BẢNG ĐÁP ÁN ĐỀ 101

1.B	2.A	3.C	4.C	5.D	6.A	7.C	8.A	9.C	10.B
11.A	12.B	13.C	14.C	15.A	16.C	17.B	18.A	19.A	20.B
21.C	22.A	23.D	24.A	25.A	26.D	27.D	28.D	29.B	30.B
31.B	32.C	33.C	34.C	35.B	36.B	37.C	38.C	39.A	40.B
41.B	42.C	43.B	44.A	45.C	46.C	47.A	48.A	49.B	50.B

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ 101

1. Trong không gian , cho mặt phẳng . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Từ phương trình mặt phẳng ta có vectơ pháp tuyến của là .

2. Với là số thực dương tùy, bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

3. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có nghịch biến trên khoảng .

4. Nghiệm phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có .

5. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có:

6. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nên loại C và D.

Khi thì nên hệ số . Vậy chọn A.

7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

8. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

9. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là .

10. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là .

11. Biết và khi đó bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có

12. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

13. Số phức liên hợp của số phức là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

.

14. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại .

15. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có

16. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình là

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Lời giải

Chọn C

Ta có

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại bốn điểm phân biệt. Do đó phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

17. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông tại , và (minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta thấy hình chiếu vuông góc của lên là nên .

Mà nên .

Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .

18. Gọi là hai nghiệm phức phương trình . Giá trị bằng

A. 16. B. 56. C. 20. D. 26.

Lời giải

Chọn A

Theo định lý Vi-ét ta có .

Suy ra .

19. Cho hàm số có đạo hàm là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

20. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Có:

Mặt khác : .

Vậy .

21. Trong không gian , cho mặt cầu . bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

Suy ra bán kính của mặt cầu đã cho bằng .

21. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh và (hình minh họa như hình vẽ). Thể tích của lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có: là tam giác đều cạnh nên .

Ta lại có là khối lăng trụ đứng nên là đường cao của khối lăng trụ.

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là: .

21. Cho hàm số có đạo hàm , . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Xét . Ta có .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm suy ra hàm số có một cực trị.

21. Cho và là hai số thực dương thỏa mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

21. Cho hai số phức và . Trên mặt phẳng toạ độ , điểm biểu diễn số phức có toạ độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

 .

 Vậy số phức được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là .

21. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D



 .

 Vậy có một nghiệm .

21. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

và

Theo đề bài ta lại có:

( lần lượt là thể tích và bán kính của bể nước cần tính)

21. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Dựa vào bản biến thiên ta có

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 2

21. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có

21. Trong không gian , cho hai điểm và . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng có phuowbg trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có tọa độ trung điểm của là và .

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là .

21. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

.

Vì nên

21. Cho hàm số . Biết và , , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có: .

Theo bài: . Suy ra .

Vậy:

.

21. Trong không gian , cho các điểm , , và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có , .

Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

.

21. Cho số phức thỏa mãn . Mô đun của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi .

Ta có

.

Suy ra .

Vậy .

21. Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Vì hàm số nghịch biến trên khoảng nên nghịch biến trên .

21. Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.

Bất phương trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Dựa vào đồ thị của hàm số ta có với thì .

Xét hàm số trên khoảng .

.

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng .

Do đó .

21. Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

.

Trong 25 số nguyên dương đầu tiên có 13 số lẻ và 12 số chẵn

Gọi là biến cố chọn được hai số có tổng là 1 số chẵn.

Chọn 2 số lẻ trong 13 số lẻ hoặc chọn 2 số chẵn trong 12 số chẵn .

Vậy

21. Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Goi hình trụ có hai đáy là và bán kính .

Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục nên thiết diện thu được là hình chữ nhật với là chiều cao khi đó suy ra .

Gọi là trung điểm của ta có suy ra .

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là .

21. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm

A. . B. . C. . D. Vô số.

Lời giải

Chọn A

Điều kiện:

Phương trình tương đương với:

Xét ;

Bảng biến thiên

Để phương trình có nghiệm thì , suy ra có 2 giá trị nguyên thỏa mãn

21. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là trung điểm . Suy ra .

Ta có .

Gọi là trung điểm , suy ra (với là tâm của đáy hình vuông).

Suy ra . Lại có .

Vẽ . Ta có .

Suy ra .

21. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Đặt

Khi đó:

Xét:

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:

21. Trong không gian , cho điểm . Xét đường thẳng thay đổi, song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ đến nhỏ nhất, đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có mô hình minh họa cho bài toán sau:

Ta có .

Khi đó đường thẳng đi qua điểm cố định và do làm vectơ chỉ phương của . Dựa vào 4 phương án ta chọn đáp án C. .

21. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.

_{Số nghiệm thực của phương trình} là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Lời giải

Chọn B

Xét phương trình: .

Đặt , ta có: ; .

Bảng biến thiên:

Phương trình trở thành với .

Từ đồ thị hàm số ban đầu, ta suy ra đồ thị hàm số như sau:

Suy ra phương trình có các nghiệm .

Từ bảng biến thiên ban đầu ta có:

+) có 1 nghiệm .

+) có 1 nghiệm .

+) có 3 nghiệm .

+) có 3 nghiệm .

Vậy phương trình có 8 nghiệm.

21. Xét các số phức thỏa mãn . Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn của các số phức là một đường tròn có bán kính bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có

Đặt

Ta có

Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức là đường tròn có bán kính bằng

21. Cho đường thẳng và Parabol ( là tham số thực dương). Gọi và lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi thì thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn C

Xét phương trình tương giao:

, với điều kiện .

Đặt .

Xét và .

Theo giả thiết ta có .

.

Do

và (loại).

Khi .

21. Cho hàm số , bảng biến thiên của hàm số như sau

Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Cách 1

Từ bảng biến thiên ta có phương trình có các nghiệm tương ứng là .

Xét hàm số .

Giải phương trình .

Xét hàm số ta có do đó

Phương trình vô nghiệm.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt không trùng với nghiệm của phương trình .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt không trùng với nghiệm của phương trình và phương trình .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt không trùng với nghiệm của phương trình và phương trình và phương trình .

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt nên hàm số có điểm cực trị.

Cách 2

Từ bảng biến thiên ta có phương trình có các nghiệm tương ứng là

Xét hàm số .

.

Vẽ đồ thị hàm số

Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình vô nghiệm. Các phương trình mỗi phương trình có 2 nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau.

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt nên hàm số có điểm cực trị.

21. Cho lăng trụ có chiều cao bằng và đáy là tam giác đều cạnh bằng . Gọi và lần lượt là tâm của các mặt bên , và . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh .

Khối lăng trụ có chiều cao là là tam giác đều cạnh .

Ba khối chóp , , đều có chiều cao là 4 và cạnh là tam giác đều cạnh Ta có:

21. Trong không gian , cho mặt cầu . Có tất cả bao nhiêu điểm ( là các số nguyên) thuộc mặt phẳng sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Do thuộc mặt phẳng nên .

Nhận xét: Nếu từ kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc đến mặt cầu khi và chỉ khi .

Tập các điểm thỏa đề là các điểm nguyên nằm trong hình vành khăn (kể cả biên), nằm trong mặt phẳng , tạo bởi 2 đường tròn đồng tâm bán kính lần lượt là và .

Nhìn hình vẽ ta có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

21. Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại điểm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của và :

(1).

Đặt .

Tập xác định .

.

Bảng biến thiên

Yêu cầu bài toán (1) có 4 nghiệm phân biệt .

21. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt

A. . B. . C. Vô số. D. .

Lời giải

Chọn B

Điều kiện:

Với , phương trình trở thành .

Phương trình này có hai nghiệm (thỏa)

Với , điều kiện phương trình là

Pt

Do không là số nguyên, nên phương trình có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi

(nghiệm không thỏa điều kiện và nghiệm thỏa điều kiện và khác )

Vậy . Suy ra có giá trị của .

Do đó có tất cả giá trị của

….………………………HẾT…………………………

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THPT QG NĂM 2019 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Mã Đề: 102 (Đề gồm 07 trang)

Họ và tên: ……………………………………………………….SBD:………………………

1. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

2. Trong không gian ,cho mặt phẳng : . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của

A. . B. . C. . D. .

3. Thể tích của khối nón có chiều cao và bán kính đáy là

A. . B. . C. . D. .

4. Số phức liên hợp của số phức là

A. . B. . C. . D. .

5. Với là số thực dương tùy ý, bằng

A. . B. . C. . D. .

6. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

7. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là

A. . B. . C. . D. .

8. Biết và khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

9. Trong không gian , cho đường thẳng . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của ?

A. . B. . C. . D. .

10. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình

A. . B. . C. . D. .

11. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

12. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. . B. . C. . D. .

13. Nghiệm của phương trình là.

A. . B. . C. . D. .

14. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

15. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. . B. . C. . D. .

16. Nghiệm của phương trình là:

A. . B. . C. . D. .

17. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng

A. . B. . C. . D. .

18. Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kể quả nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

19. Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

20. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

21. Cho khối chóp đứng có đáy là tam giác đều cạnh và (minh hoạ như hình vẽ bên).

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

22. Trong không gian , cho mặt cầu . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

23. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình là:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 0

24. Cho hàm số có bảng biến thiên sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

A. 3 B. 1 C. 2 D. 4

25. Cho và là các số thực dương thỏa mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

26. Hàm số có đạo hàm là

A. . B. . C. . D. .

27. Trong không gian , cho hai điểm và . Mặt phẳng trung trực của đoạn có phương trình là?

A. . B. . C. . D. .

28. Cho hai số phức và . Trên mặt phẳng tọa độ điểm biểu diễn số phức có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

29. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

30. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông tại , và (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

31. Cho số phức thỏa mãn . Môđun của bằng

A. . B. . C. . D. .

32. Trong không gian , cho các điểm , , và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

33. Cho hàm số Biết và khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

34. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng là

A. . B. .

C. . D. .

35. Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

36. Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

37. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm?

A. . B. . C. Vô số. D. .

38. Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

A. . B. . C. . D. .

39. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến bằng? (minh họa như hình vẽ sau)

A. . B. . C. . D. .

40. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là

A. . B. . C. . D. .

41. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

42. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

43. Cho đường thẳng và parbol ( là tham số thực dương). Gọi , lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên.

Khi thì thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

44. Xét các số phức thỏa mãn . Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn các số phức là một đường tròn có bán kính bằng

A. B. C. D.

45. Trong không gian , cho điểm . Xét đường thẳng thay đổi, song song với trục và cách trục một khoảng bằng . Khi khoảng cách từ đến lớn nhất, đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

46. Trong không gian , cho mặt cầu . Có tất cả bao nhiêu điểm ( là các số nguyên) thuộc mặt phẳng sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

A. . B. . C. . D. .

47. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. . B. . C. Vô số. D. .

48. Cho hàm số , bảng biến thiên của hàm số như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

49. Cho khối lăng trụ có chiều cao bằng và đáy là tam giác đều cạnh bằng . Gọi và lần lượt là tâm của các mặt bên , và . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm bằng

A. . B. . C. . D. .

50. Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

BẢNG ĐÁP ÁN 102

1.A	2.C	3.C	4.D	5.D	6.C	7.C	8.C	9.B	10.B
11.D	12.B	13.B	14.C	15.C	16.C	17.D	18.A	19.B	20.B
21.D	22.A	23.C	24.C	25.A	26.D	27.B	28.C	29.B	30.D
31.A	32.C	33.C	34.A	35.B	36.D	37.B	38.A	39.D	40.A
41.B	42.D	43.B	44.D	45.D	46.A	47.A	48.D	49.A	50.D

Hướng dẫn giải mã đề 102

1. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

có họ tất cả các nguyên hàm là .

2. Trong không gian ,cho mặt phẳng : . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

: có một vtpt là .

3. Thể tích của khối nón có chiều cao và bán kính đáy là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

4. Số phức liên hợp của số phức là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

5. Với là số thực dương tùy ý, bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có

6. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là .

7. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là .

8. Biết và khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có .

9. Trong không gian , cho đường thẳng . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

10. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Dựa vào đồ thị trên là của hàm số bậc ba ( loại A và D).

Nhánh cuối cùng đi xuống nên , nên Chọn B

11. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Công sai của cấp số cộng này là: .

12. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

13. Nghiệm của phương trình là.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta xét phương trình .

14. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Quan sát bảng biến thiên ta thấy trên khoảng thì nên hàm số đồng biến trên .

15. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

16. Nghiệm của phương trình là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

.

17. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

; ; ; .

Vậy .

18. Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kể quả nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi , , lần lượt là bán kính của các bể nước hình trụ thứ nhất, thứ hai và bể nước mới.

Ta có .

19. Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có , trong đó là nghiệm đơn; là nghiệm bội chẵn.

Vậy hàm số có một cực trị là .

20. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Ta có: có 2 nghiệm

Do đó .

Cách 2: Áp dụng định lý Vi ét ta có .

21. Cho khối chóp đứng có đáy là tam giác đều cạnh và (minh hoạ như hình vẽ bên).

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có . Vậy .

22. Trong không gian , cho mặt cầu . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có

Vậy bán kính mặt cầu là .

23. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình là:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 0

Lời giải

Chọn C

Ta có .

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có bốn nghiệm.

24. Cho hàm số có bảng biến thiên sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

A. 3 B. 1 C. 2 D. 4

Lời giải

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

là tiệm cận đứng.

là tiệm cận ngang.

Tổng số tiệm cận là 2

25. Cho và là các số thực dương thỏa mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

26. Hàm số có đạo hàm là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Áp dụng công thức ta được .

27. Trong không gian , cho hai điểm và . Mặt phẳng trung trực của đoạn có phương trình là?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là trung điểm của . Do đó: .

Mặt phẳng trung trực của đoạn đi qua trung điểm và nhận véc tơ làm một véc tơ pháp tuyến có phương trình là: .

28. Cho hai số phức và . Trên mặt phẳng tọa độ điểm biểu diễn số phức có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

.

Vậy điểm biểu diễn số phức có tọa độ là

29. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Từ đồ thị hàm số , ta có bảng xét dấu

Do đó, .

30. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông tại , và (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

.

Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng là đường thẳng .

Suy ra góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là .

Tam giác vuông tại .

Như vậy, tam giác vuông cân tại .

Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .

31. Cho số phức thỏa mãn . Môđun của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi .

Ta có

Vậy .

32. Trong không gian , cho các điểm , , và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Mặt phẳng có một véc-tơ pháp tuyến là .

Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng nên có véc-tơ chỉ phương cùng phương với . Do đó loại đáp án A, B.

Thay tọa độ của điểm vào phương trình ở đáp án C và D thì thấy đáp án C thỏa mãn.

33. Cho hàm số Biết và khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có

Do

.

34. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Đặt

35. Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Hàm số nghịch biến .

Dựa vào bảng biến thiên, ta được .

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng .

36. Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Cách 1:

Ta có , nên .

Do đó diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng .

Cách 2:

Ta có thiết diện và đáy của hình trụ như hình vẽ trên.

Theo đề ta có .

Mà .

Vậy ta tính được diện tích xung quanh của hình trụ .

37. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm?

A. . B. . C. Vô số. D. .

Lời giải

Chọn B

ĐK: .

(1).

Với điều kiện trên (1) trở thành: (*).

Xét hàm trên khoảng .

Ta có

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (*) có nghiệm khi .

Vậy có giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm là .

38. Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có

Xét hàm số trên Ta có

Dựa vào đồ thị ta có

Suy ra Do đó nghịch biến trên

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

39. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến bằng? (minh họa như hình vẽ sau)

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Không mất tính tổng quát, cho .

Gọi là trung điểm của đoạn . Dựng sao cho là hình chữ nhật.

Chọn hệ trục tọa độ:

là gốc tọa độ, tia ứng với tia , tia ứng với tia , tia ứng với tia .

, , , .

Phương trình mặt phẳng là: .

Gọi là giao điểm của và . Ta có là trung điểm của .

Ta có .

Vậy chọn đáp án D.

40. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Số phần tử không gian mẫu là .

Gọi là biến cố: “Chọn được hai số có tổng là một số chẵn”.

Trong số nguyên dương đầu tiên có số lẽ và số chẵn.

Tổng hai số là một số chẵn thì hai số đó hoặc cùng lẽ, hoặc cùng chẵn.

.

.

41. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

ChọnB.

Xét đồ thị của hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ đã cho

Gọi là phần đồ thị phía trên trục hoành, phần đồ thị phía dưới trục hoành. Gọi là phần đồ thị đối xứng của qua trục hoành.

Đồ thị của hàm số chính là phần và .

Xét

Xét , .

Quan sát đồ thị:

+ Xét ( có lần lượt 1, 3, 3 nên có tất cả 7 nghiệm).

+ Xét ( có 3 nghiệm).

Vậy có tất cả 10 nghiệm.

42. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Cách 1:

.

Cách 2:

Ta có:

Đặt

Đặt

Đặt:

43. Cho đường thẳng và parbol ( là tham số thực dương). Gọi , lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên.

Khi thì thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm:

Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại hai điềm dương phân biệt. Do đó phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

có hai nghiệm dương phân biệt .

Khi đó (*) có hai nghiệm dương phân biệt , ,

.

44. Xét các số phức thỏa mãn . Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn các số phức là một đường tròn có bán kính bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có (do không thỏa mãn)

Thay vào ta được:

. Đặt , ta được:

. Đây là đường tròn có Tâm là , bán kính .

45. Trong không gian , cho điểm . Xét đường thẳng thay đổi, song song với trục và cách trục một khoảng bằng . Khi khoảng cách từ đến lớn nhất, đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Cách 1:

Vì thay đổi, song song với trục và cách trục một khoảng bằng nên là đường sinh của mặt trụ tròn xoay có trục là và bán kính bằng .

Dễ thấy: nên .

Mặt khác, điểm nên để khoảng cách từ đến lớn nhất thì điểm và nằm khác phía với trục

do nên đi qua điểm khác phía với điểm .

Vì .

Kiểm tra 4 phương án ta thấy thỏa mãn.

Cách 2:

Gọi là hình chiếu của lên và .

Nhận xét: Họ các đường thẳng tạo thành một khối trụ với trục là và bán kính .

Để khoảng cách từ đến là lớn nhất .

.

Ta có:

.

Khi đó: .

46. Trong không gian , cho mặt cầu . Có tất cả bao nhiêu điểm ( là các số nguyên) thuộc mặt phẳng sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Do nên suy ra .

Mặt cầu có tâm và bán kính .

Ta thấy mặt cầu cắt mặt phẳng nên từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng và nằm ngoài kẻ tiếp tuyến đến thì các tiếp tuyến đó nằm trên một hình nón đỉnh , các tiếp điểm nằm trên một đường tròn được xác định. Còn nếu thì ta kẻ các tiếp tuyến đó sẽ thuộc một mặt phẳng tiếp diện của tại điểm .

Để có ít nhất hai tiếp tuyến qua thỏa mãn bài toán khi và chỉ khi

TH1. Hoặc .

TH2. Hoặc các tiếp tuyến tạo thành mặt nón và góc ở đỉnh của mặt nón là:

suy ra .

Vậy điều kiện bài toán là .

Ta có .

Do đó, (*)

Do nên ta có điểm thỏa mãn (*) là:

, , ,

, , ,

, , , .

47. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. . B. . C. Vô số. D. .

Lời giải

Chọn A

Cách 1:

Điều kiện: .

* Với thì phương trình trở thành:

. Khi đó .

Do đó ta có (thỏa mãn).

+ Xét , khi đó điều kiện của phương trình là .

Ta có

Vì nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .

Trường hợp này , có giá trị nguyên dương của .

Tóm lại có giá trị nguyên dương của thỏa mãn.

Chọn phương án B.

Cách 2:

Điều kiện:

_Với thì khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Với :

nguyên dương nên phương trình luôn nhận là một nghiệm.

Do nên để phương trình có đúng hai nghiệm thì phải có

Mà nguyên dương nên .

Vậy có 79 giá trị nguyên dương.

48. Cho hàm số , bảng biến thiên của hàm số như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có .

Cho .

* có nên phương trình vô nghiệm.

* có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

* có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

* có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Nhận xét: 7 nghiệm trên khác nhau đôi một nên phương trình có 7 nghiệm phân biệt.

Vậy hàm số có 7 cực trị.

49. Cho khối lăng trụ có chiều cao bằng và đáy là tam giác đều cạnh bằng . Gọi và lần lượt là tâm của các mặt bên , và . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Cách 1:

Thể tích khối lăng trụ là .

.

Ta có và nên .

Lại có và nên .

và nên .

Vậy .

Cách 2:

Ta có: và chiều cao .

Gọi là trung điểm . Ta có: .

Gọi là giao điểm của và , suy ra nên và , hay là đỉnh thứ tư của hình bình hành .

Ta có:

Với .

.

.

.

Vậy .

50. Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Xét phương trình

(1)

Hàm số .

Ta có

nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng , , , , .

Mặt khác ta có và .

Bảng biến thiên hàm số :

Do đó để và cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 4 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt .

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THPT QG NĂM 2019 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Mã Đề: 103 (Đề gồm 07 trang)

Họ và tên: ……………………………………………………….SBD:………………………

1. Trong không gian , cho mặt phẳng . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?

A. . B. . C. . D. .

2. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. . B. . C. . D. .

3. Số cách chọn học sinh từ học sinh là

A. . B. . C. . D. .

4. Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

5. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

6. Thể tích của khối nón có chiều cao và bán kính đáy là

A. . B. . C. . D. .

7. Số phức liên hợp của số phức là

A. . B. . C. . D. .

8. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. . B. . C. . D. .

9. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. . B. . C. . D. .

10. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

11. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

12. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

13. Trong không gian , cho đường thẳng . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của ?

A. . B. . C. . D. .

14. Với là số thực dương tùy ý, bằng

A. . B. . C. . D. .

15. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

16. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

17. Cho hai số phức và . Trên mặt phẳng , điểm biểu diễn số phức có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

18. Hàm số có đạo hàm là

A. . B. . C. . D. .

19. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng

A. . B. . C. . D. .

20. Cho hàm số có đạo hàm , . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

21. Cho ; là hai số thực dương thỏa mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D.

22. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng . , tam giác vuông cân tại và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D.

23. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

24. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

25. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh và (minh họa như hình vẽ bên).

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

26. Trong không gian , cho mặt cầu . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

27. Trong không gian , cho hai điểm và . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng có phương trình là

A. . B. .

C. . D. .

28. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

29. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

30. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Gái trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

31. Trong không gian , cho các điểm và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

32. Cho số phức thỏa . Môđun của bằng

A. . B. . C. . D. .

33. Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

34. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng là:

A. . B. .

C. . D. .

35. Cho hàm số . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

36. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm

A. Vô số. B. . C. . D. .

37. Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

38. Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.

Bất phương trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

A. . B. . C. . D. .

39. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

40. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A. . B. . C. . D. .

41. Cho đường thẳng và parabol ( là tham số thực dương). Gọi và lần lượt là diện tích của 2 hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi thì thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D.

42. Trong không gian , cho điểm . Xét đường thẳng thay đổi, song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ đến nhỏ nhất, đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

43. Cho số phức thỏa mãn . Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn là một đường tròn có bán kính bằng

A. . B. . C. . D. .

44. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

45. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

46. Cho phương trình (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt?

A. . B. . C. Vô số. D. .

47. Trong không gian , cho mặt cầu . Có tất cả bao nhiêu điểm ( là các số nguyên) thuộc mặt phẳng sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

A. 20. B. 8. C. 12. D. 16.

48. Cho hàm số , bảng biến thiên của hàm số như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

49. Cho lăng trụ có chiều cao bằng 6 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm bằng

A. . B. . C. . D. .

50. Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại đúng điểm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

BẢNG ĐÁP ÁN 103

1.C	2.B	3.B	4.D	5.B	6.D	7.B	8.D	9.D	10.C
11.D	12.B	13.A	14.A	15.A	16.C	17.D	18.D	19.A	20.C
21.C	22.A	23.C	24.A	25.D	26.D	27.A	28.C	29.C	30.A
31.C	32.C	33.A	34.D	35.C	36.A	37.A	38.C	39.D	40.C
41.A	42.C	43.D	44.D	45.A	46.A	47.A	48.C	49.A	50.D

HƯỚNG DẪN GIẢI 103

1. Trong không gian , cho mặt phẳng . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có mặt phẳng suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

2. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta dựa vào đồ thị chọn .

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên .

Do đồ thị hàm số có cực trị nên .

3. Số cách chọn học sinh từ học sinh là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

4. Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

.

5. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

6. Thể tích của khối nón có chiều cao và bán kính đáy là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Thể tích của hình nón có chiều cao và bán kính đáy là .

7. Số phức liên hợp của số phức là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Số phức liên hợp của số phức là số phức .

8. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

9. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại Chọn đáp án D.

10. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Hình chiếu của điểm thuộc trục , nên loại các đáp án A, B, D. Chọn đáp án C.

11. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Công sai:

12. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có: .

13. Trong không gian , cho đường thẳng . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

14. Với là số thực dương tùy ý, bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có

15. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Nhìn BBT ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng và . Đáp án A đúng.

16. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có .

Dựa vào bảng biến thiên: Suy ra phương trình có ba nghiệm thực phân biệt

17. Cho hai số phức và . Trên mặt phẳng , điểm biểu diễn số phức có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có . Vậy điểm biểu diễn số phức có tọa độ

18. Hàm số có đạo hàm là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm số mũ .

Ta có: .

19. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

xác định trên đoạn .

.

Cho

Ta có ; ; ; .

Vậy .

20. Cho hàm số có đạo hàm , . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có .

Bảng biến thiên của hàm số :

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực trị.

21. Cho ; là hai số thực dương thỏa mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn C

Ta có: .

22. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng . , tam giác vuông cân tại và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn A

Vì tam giác vuông cân tại

Ta có

Mà .

23. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

 ; và

Theo đề bài ta lại có:

( lần lượt là thể tích và bán kính của bể nước cần tính)

24. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

.

Vậy có một nghiệm .

25. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh và (minh họa như hình vẽ bên).

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Thể tích khối lăng trụ là: .

26. Trong không gian , cho mặt cầu . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Bán kính mặt cầu là: .

27. Trong không gian , cho hai điểm và . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng có phương trình là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đi qua điểm là trung điểm của đoạn thẳng và nhận làm véc-tơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình là .

28. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Quan sát bảng biến thiên ta có và nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang , . Mặt khác nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng . Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng ba đường tiệm cận.

29. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C

30. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Gái trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

31. Trong không gian , cho các điểm và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có .

Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng . Khi đó có vetơ chỉ phương là .

. Ta có . Nên .

32. Cho số phức thỏa . Môđun của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi với .

Khi đó: .

33. Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có: .

*) .

*) .

Bảng xét dấu:

Hàm số đồng biến trên khoảng nên đồng biến trên khoảng .

34. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng là:

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có: .

35. Cho hàm số . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Suy ra . Vì

Suy ra

36. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm

A. Vô số. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Điều kiện:

Phương trình tương đương với:

Xét ;

Bảng biến thiên

Để phương trình có nghiệm thì , suy ra có 4 giá trị nguyên thỏa mãn

37. Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi thiết diện là với trên đường tròn đáy tâm

là hình chữ nhật có

Gọi là trung điểm của và nên .

Ta có .

Mà .

và .

Vậy .

38. Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.

Bất phương trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có .

Xét hàm số trên .

Ta có nên hàm số nghịch biến trên .

Do đó đúng với mọi khi .

39. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

* Gọi và là trọng tâm tam giác , là trung điểm của ta có

và .

* Gọi là trung điểm của , là hình chiếu của lên ta có

* Xét tam giác vuông tại I ta có:

.

40. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

* Số phần tử của không gian mẫu là .

* Gọi biến cố A=“Chọn được hai số có tổng là một số chẵn”, trong 21 số nguyên dương đầu tiên có 11 số lẻ và 10 số chẵn, để hai số chọn được có tổng là một số chẵn điều kiện là cả hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ Số phần tử của biến cố A là: .

* Xác suất của biến cố A là: .

41. Cho đường thẳng và parabol ( là tham số thực dương). Gọi và lần lượt là diện tích của 2 hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi thì thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình tương giao:

Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ( .

Ta có:

Do

mà là nghiệm của nên

( loại nghiệm )

Thay vào .

42. Trong không gian , cho điểm . Xét đường thẳng thay đổi, song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ đến nhỏ nhất, đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có mô hình minh họa cho bài toán sau:

Cách 1 (cách trắc nghiệm)

Ta có .

Khi đó đường thẳng đi qua điểm cố định và do là vectơ chỉ phương của , suy ra phương trình đường thẳng có dạng: .

Ta thấy điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng .

Cách 2.

Do và là đường sinh của một mặt trụ có trục là

Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc cắt mặt trụ theo giao tuyến là đường tròn tâm bán kính bằng 2.

Gọi vì

Do ; .

Vậy

Khi đó là giao điểm của với đường thẳng khi đi qua điểm cố định và do là vectơ chỉ phương của , suy ra phương trình đường thẳng có dạng: .

Ta thấy điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng .

43. Cho số phức thỏa mãn . Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn là một đường tròn có bán kính bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có .

Lấy mô đun hai vế ta được

Giả sử , với ta có

.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức đường tròn có bán kính .

44. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Xét tích phân .

Đặt và .

Khi thì . Khi thì .

Do đó ,

suy ra .

Xét tích phân .

Đặt , ta có

.

45. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Phương trình .

* Phương trình .

* Phương trình .

Đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ sau:

Dựa vào đồ thị trên ta có:

- Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

- Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

- Phương trình có 1 nghiệm.

- Phương trình có 1 nghiệm.

Vậy phương trình có 8 nghiệm phân biệt.

46. Cho phương trình (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt?

A. . B. . C. Vô số. D. .

Lời giải

Chọn A

Điều kiện:

Phương trình .

TH1: Nếu thì (loại) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

TH2: Nếu thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

. Do

Vậy có tất cả giá trị nguyên dương của thoả mãn yêu cầu bài toán.

47. Trong không gian , cho mặt cầu . Có tất cả bao nhiêu điểm ( là các số nguyên) thuộc mặt phẳng sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

A. 20. B. 8. C. 12. D. 16.

Lời giải

Chọn A

Gọi là tiếp điểm, là tâm của đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng và mặt cầu , là bán kính của đường tròn giao tuyến.

Ta có: .

Dễ thấy: .

Do

Với giả thiết bài toán, ta có , ta có

Do đó: .

KL: có 20 điểm thỏa mãn bài toán.

48. Cho hàm số , bảng biến thiên của hàm số như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta có: .

Ta có: , .

Ta có khi và

Mặt khác: nên:

• vô nghiệm.

• có nghiệm phân biệt , .

• có nghiệm phân biệt , .

• có nghiệm phân biệt , .

Vậy phương trình có nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có điểm cực trị.

Cách 2:

Gọi đại diện cho các tham số ta xét phương trình có , .

Vậy với mỗi giá trị thuộc khoảng đã cho phương trình có 6 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình có nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có điểm cực trị.

49. Cho lăng trụ có chiều cao bằng 6 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

’

Thể tích cần tìm là

50. Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại đúng điểm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm: .

Tập xác định:

Với điều kiện trên, phương trình trở thành

.

Xét hàm số với tập xác định . Ta có

.

Bảng biến thiên

Để và cắt nhau tại đúng điểm phân biệt thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Từ bảng biến thiên suy ra tất cả các giá trị cần tìm là .

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC .

ĐỀ THI THPT QG NĂM 2019 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Mã Đề: 104 (Đề gồm 07 trang)

Họ và tên: ……………………………………………………….SBD:………………………

Câu 1. Số cách chọn 2 học sinh từ 8 học sinh là

A. . B. . C. . D. .

Câu 2. Trong không gian , cho mặt phẳng . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. . B. . C. . D. .

Câu 5. Số phức liên hợp của số phức là

A. . B. . C. . D. .

Câu 6. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Câu 7. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 9. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 11. Trong không gian , cho đường thẳng . Vectơ nào dưới đây là một vec tơ chỉ phương của .

A. . B. . C. . D. .

Câu 12. Với là số thực dương tùy ý, bằng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 13. Thể tích khối nón có chiều cao và bán kính đáy là

A. . B. . C. . D. .

Câu 14. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A. . B. . C. . D. .

Câu 15. Biết . Khi đó bằng

A. 6. B. -6. C. . D. .

Câu 16. Cho hai số phức . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức có tọa độ là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 17. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông cân tại và .(minh họa như hình vẽ bên).

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 18. Trong không gian , cho mặt cầu . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 19. Trong không gian , cho hai điểm , . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 20. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Giá trị của bằng

A. 10. B. 8. C. 16. D. 2.

Câu 21. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng

A. . B. C. . D. .

Câu 22. Một cơ sở sản xuất cố hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 23. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Câu 24. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

_A. . B.

C. . D. .

Câu 25. Hàm số có đạo hàm là

A. . B. . C. . D. .

Câu 26. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh và (minh họa như hình vẽ bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 27. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 28. Cho là hai số thực dương thỏa mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 29. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 30. Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Câu 31. Cho số phức thỏa . Môđun của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 32. Cho hàm số . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 33. Trong không gian , cho các điểm , , và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 34. Cho hàm số , có bảng xét dấu như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 35. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 36. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm?

A. . B. . C. Vô số. D. .

Câu 37. Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

A. . B. . C. . D. .

Câu 38. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 39. Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 40. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 41. Cho đường thẳng và parabol ( là tham số thực dương). Gọi và lần lượt là diện tích của 2 hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi thì thuộc khoảng nào sau đây

A. . B. . C. . D.

Câu 42. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình là

A. B. C. D.

Câu 43. Cho số phức thỏa mãn . Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn là một đường tròn có bán kính bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 44. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 45. Trong không gian cho điểm Xét đường thẳng thay đổi, song song với trục và cách trục một khoảng bằng Khi khoảng cách từ đến lớn nhất, đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 46. Cho hình lăng trụ có chiều cao bằng và đáy là tam giác đều cạnh bằng . Gọi và lần lượt là tâm của các mặt bên , và . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 47. Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất các các giải trịcủa để và cắt nhau tại đúng điểm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

Câu 48. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt

A. Vô số. B. . C. . D. .

Câu 49. Trong không gian , cho mặt cầu . Có tất cả bao nhiêu điểm ( là các số nguyên ) thuộc mặt phẳng sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

A. 12. B. 16. C. 20. D. 8

Câu 50. Cho hàm số , bảng biến thiên của hàm số như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

…………………………….HẾT………………………….

BẢNG ĐÁP ÁN 104

1.A	2.B	3.A	4.D	5.B	6.A	7.D	8.B	9.B	10.A
11.D	12.A	13.C	14.C	15.C	16.A	17.B	18.B	19.D	20.D
21.B	22.C	23.C	24.A	25.D	26.A	27.A	28.D	29.A	30.B
31.C	32.C	33.A	34.B	35.D	36.B	37.A	38.A	39.D	40.C
41.B	42.B	43.B	44.C	45.D	46.C	47.D	48.B	49.C	50.C

LỜI GIẢI CHI TIẾT 104

1. Số cách chọn 2 học sinh từ 8 học sinh là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

2. Trong không gian , cho mặt phẳng . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

3. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có: .

4. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là: .

5. Số phức liên hợp của số phức là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Theo định nghĩa số phức liên hợp ta chọn đáp án B

6. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Hình chiếu của điểm trên trục là điểm có tọa độ nên theo đề ta chọn đáp án A.

7. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có .

8. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

9. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Do nhánh cuối đi xuống nên hệ số , loại .

Đồ thị có ba cực trị, loại .

10. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

11. Trong không gian , cho đường thẳng . Vectơ nào dưới đây là một vec tơ chỉ phương của .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

12. Với là số thực dương tùy ý, bằng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

13. Thể tích khối nón có chiều cao và bán kính đáy là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

14. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Quan sát bảng biến thiên ta thấy điểm cực tiểu của hàm số là .

15. Biết . Khi đó bằng

A. 6. B. -6. C. . D. .

Lời giải

Chọn C

.

16. Cho hai số phức . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức có tọa độ là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có . Nên điểm biểu diễn là .

17. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông cân tại và .(minh họa như hình vẽ bên).

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có: .

Mà: .

Vì vuông cân tại nên ta có .

18. Trong không gian , cho mặt cầu . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có: .

có bán kính .

19. Trong không gian , cho hai điểm , . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

là trung điểm của đoạn thẳng và .

Mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng , có VTPT , đi qua điểm là: .

20. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Giá trị của bằng

A. 10. B. 8. C. 16. D. 2.

Lời giải

Chọn D

Theo Vi-ét nên ta có .

Do đó .

21. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng

A. . B. C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Có:

Mặt khác: .

Vậy .

22. Một cơ sở sản xuất cố hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là bán kính bể dự định làm, là chiều cao các bể.

Ta có .

23. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Dựa vào bản biến thiên ta có

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

24. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

_A. . B.

C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có

25. Hàm số có đạo hàm là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

26. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh và (minh họa như hình vẽ bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có: .

27. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Điều kiện .

.

28. Cho là hai số thực dương thỏa mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

.

29. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

. Từ bảng biến thiên ta thấy đạt giá trị tại ba giá trị khác nhau. Suy ra phương trình có 3 nghiệm.

30. Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có: chỉ đổi dấu đúng một lần khi qua nghiệm . Suy ra, hàm số có đúng một điểm cực trị là .

31. Cho số phức thỏa . Môđun của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi với .

Khi đó: .

.

32. Cho hàm số . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có .

Vì .

Khi đó .

33. Trong không gian , cho các điểm , , và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có , .

Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là .

34. Cho hàm số , có bảng xét dấu như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Hàm số đồng biến

.

Vậy chọn đáp án B.

35. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có

, do .

36. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm?

A. . B. . C. Vô số. D. .

Lời giải

Chọn B

ĐK: . Khi đó ta có:

(1).

Xét hàm trên khoảng .

. Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm trên khoảng khi .

phương trình đã cho có nghiệm

Vậy có giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm là .

37. Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn A

Ta có nghiệm đúng với mọi

nghiệm đúng với mọi

Xét hàm số với

với mọi

hàm số nghịch biến trên .

Để nghiệm đúng với mọi thì

38. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có:

Gọi là biến cố: “Chọn được 2 số có tổng là số chẵn”.

TH1: Chọn 2 số lẻ:

TH2: Chọn 2 số chẵn:

Vậy .

39. Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

* Thiết diện thu được là hình chữ nhật , gọi là trung điểm của ta có:

,

* Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là .

40. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

* Gọi và là trọng tâm tam giác , là trung điểm của ta có

và .

* Gọi là trung điểm của , là hình chiếu của lên ta có

* Xét tam giác vuông tại I ta có:

.

* Do trung điểm của nên ta có:

.

Cách 2.

Do là trung điểm

Ta có tứ diện vuông vuông tại nên :

.

41. Cho đường thẳng và parabol ( là tham số thực dương). Gọi và lần lượt là diện tích của 2 hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi thì thuộc khoảng nào sau đây

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn B

Xét phương trình tương giao:

Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ( .

Ta có:

Do

mà là nghiệm của nên

( loại nghiệm )

Thay vào .

42. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Cách 1

Đặt (1)

Ta có

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có

Với phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Với phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Với phương trình có 1 nghiệm.

Phương trình (2) trở thành

Dựa vào đồ thị ta có:

+ Phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn phương trình (2) có 7 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 10 nghiệm phân biệt.

Cách 2.

Xét phương trình

Đặt

Bảng biến thiên:

Phương trình trở thành:

Từ đồ thị ban đầu, ta suy ra đồ thị hàm số như sau:

Suy ra: phương trình có các nghiệm .

Từ bảng biến thiên ban đầu, ta có: đều là các nghiệm phân biệt.

Vậy có 10 nghiệm phân biệt.

43. Cho số phức thỏa mãn . Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn là một đường tròn có bán kính bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Lấy mô đun hai vế ta được

Giả sử , với ta có

.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức đường tròn có bán kính .

44. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Xét tích phân .

Đặt và .

Khi thì . Khi thì .

Do đó ,

suy ra .

Xét tích phân .

Đặt , ta có

.

45. Trong không gian cho điểm Xét đường thẳng thay đổi, song song với trục và cách trục một khoảng bằng Khi khoảng cách từ đến lớn nhất, đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Do đường thẳng nên nằm trên mặt trụ có trục là và bán kính trụ là

Gọi là hình chiếu của trên trục , suy ra tọa độ

Do đó

Gọi là điểm thuộc đường thẳng sao cho

Vậy là đường thẳng đi qua và song song với

Phương trình tham số của

Kết luận: đi qua điểm

46. Cho hình lăng trụ có chiều cao bằng và đáy là tam giác đều cạnh bằng . Gọi và lần lượt là tâm của các mặt bên , và . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Cách 1:

Chia đôi khối lăng trụ bằng mặt phẳng Khi đó ta có thì

Lại có

Dễ thấy

Tức là

Cách 2

;

Hạ lần lượt vuông góc ,

khi đó lần lượt là trung điểm các cạnh

Khi đó

Dễ thấy ; nên

Do đáy là tam giác đều nên

Ta có ; nên .

Do đó .

47. Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất các các giải trịcủa để và cắt nhau tại đúng điểm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm : .

Tập xác định: .

Với điều kiện trên, phương trình trở thành :

Xét hàm số với tập xác định , ta có:

Bảng biến thiên:

Để và cắt nhau tại đúng điểm phân biệt thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Từ bảng biến thiên suy ra tất cả các giá trị cần tìm là .

48. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt

A. Vô số. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

(*)

 Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt. Do đó thỏa.

 Nếu thì phương trình (1) luôn có nghiệm , nghiệm này luôn là nghiệm của (*). Do đó, (*) có đúng hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có đúng 1 nghiệm.

 Với thì như vậy phương trình (2) có hai nghiệm nên ta loại trường hợp này

 Với thì , trong khi đó nên ta loại nghiệm , như vậy (2) chỉ còn nghiệm

Xét .

Các giá trị nguyên dương cần tìm thuộc tập .Vậy có tất cả 62 giá trị

49. Trong không gian , cho mặt cầu . Có tất cả bao nhiêu điểm ( là các số nguyên ) thuộc mặt phẳng sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

A. 12. B. 16. C. 20. D. 8

Lời giải

Chọn C

Do . Gọi là tâm mặt cầu.

Từ kẻ được hai tiếp tuyến nên ta có . Gọi hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến là do hai tiếp tuyến vuông góc với nhau nên

Từ đó ta có .

Các cặp số nguyên thỏa mãn là:

Vậy 20 điểm thỏa mãn điều kiện đã cho.

50. Cho hàm số , bảng biến thiên của hàm số như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có .

Dựa vào bảng biến thiên của nhận thấy .

Do đó . Lại có

vô nghiệm vì ;

;

;

.

Vì do thuộc các khoảng khác nhau (như ) nên các nghiệm đều khác nhau và khác . Do đó có 7 nghiệm đơn phân biệt nên đổi dấu 7 lần suy ra hàm số có 7 điểm cực trị.

….………………………HẾT…………………………

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THPT QG NĂM 2019 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Mã Đề: 108 (Đề gồm 07 trang)

Họ và tên: ……………………………………………………….SBD:………………………

1. Trong không gian , cho mặt phẳng . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?

A. . B. . C. . D. .

2. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A . . B. . C. . D. .

3. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. . B. .

C. . D. .

4. Trong không gian , cho đường thẳng Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của ?

A. . B. . C. . D. .

5. Thể tích khối nón có chiều cao và bán kính đáy là

A. . B. . C. . D. .

6. Với là số thực dương tùy ý, bằng

A. . B. . C. . D. .

7. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. . B. . C. . D. .

8. Số phức liên hợp của số phức là

A. . B. . C. . D. .

9. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

10. Biết và , khi đó bằng

A. B. . C. . D. 1.

11. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

12. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

13. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là

A. . B. . C. . D. .

14. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. . B. . C. . D. .

15. Cho hàm số có bảng biến thiên sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

16. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A . .

B. .

C. .

D. .

17. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

18. Trong không gian cho hai điểm . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là

A. . B. . C. . D. .

19. Một cơ sở sản xuất có 2 bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của 2 bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

20. Trong không gian , cho mặt cầu . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

21. Gọi là 2 nghiệm phức của phương trình . Giá trị của bằng:

A. 28. B. 36. C. 8. D. 18.

22. Cho và là hai số thực dương thoả mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

23. C ho khối lăng trụ đứng có đáy là

tam giác đều cạnh bằng và (minh họa như hình

vẽ bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. .

C. . D. .

24. Cho hình chóp có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), , tam giác ABC vuông tại B, , . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

A. . B. . C. . D. .

25. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

26. Cho hai số phức và . Trên mặt phẳng tọa độ , điểm biểu diễn số phức có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

27. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên bằng

A. 4. B. 0. C. 20. D. –16.

28. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.

29. Cho hàm số có đạo hàm , . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.

30. Hàm số có đạo hàm là

A. . B. . C. . D. .

31. Cho số phức thỏa mãn . Môđun của số phức bằng.

A. . B. . C. . D. .

32. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng là

A. . B. .

C. . D. .

33. Cho hàm số . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

34. Trong không gian , cho các điểm và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

35. Cho hàm số , bảng xét dấu như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

36. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm?

A. Vô số. B. 5. C. 7. D. 6.

37. Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.

B ất phương trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

A. . B. .

C. . D. .

38. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng.

A. . B. . C. . D. .

39. C ho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. .

C. . D. .

40. Cho hình trụ có chiều cao bằng .Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng 16. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

41. C ho đường thẳng và parabol ( là tham số thực dương). Gọi và lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình bên. Khi thì thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. .

C. . D. .

42. Xét các số phức thỏa mãn . Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường tròn có bán kính bằng

A. . B. . C. . D. .

43. Trong không gian , cho điểm . Xét đường thẳng thay đổi, song song với trục và cách trục một khoảng bằng . Khi khoảng cách từ đến lớn nhất, đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

44. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

45. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình là:

A. 3. B. 12. C. 6. D. 10.

46. Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

47. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt?

A. . B. . C. . D. Vô số.

48. Trong không gian cho mặt cầu . Có tất cả bao nhiêu điểm ( là các số nguyên) thuộc mặt phẳng sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

A. . B. . C. . D. .

49. Cho hàm số , bảng biến thiên của hàm số như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

50. Cho lăng trụ có chiều cao là và đáy là tam giác đều cạnh bằng . Gọi , và lần lượt là tâm của các mặt bên , và . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , , , , , bằng

A. . B. . C. . D. .

----------Hết ----------

BẢNG ĐÁP ÁN MÃ 108

1.B	2.D	3.C	4.A	5.C	6.A	7.B	8.B	9.B	10.C
11.A	12.D	13.A	14.D	15.D	16.B	17.A	18.B	19.B	20.C
21.C	22.D	23.B	24.C	25.B	26.C	27.D	28.D	29.C	30.A
31.C	32.D	33.B	34.D	35.C	36.B	37.D	38.A	39.A	40.C
41.A	42.C	43.B	44.A	45.D	46.A	47.C	48.A	49.A	50.D

ĐÁP ÁN CHI TIẾT 108

1. Trong không gian , cho mặt phẳng . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .

2. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Gọi là công sai của cấp số cộng

Ta có: .

3. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Căn cứ vào đồ thị hàm số và các phương án ta loại các phương án hàm số bậc bốn trùng phương là . Còn lại các phương án hàm số bậc ba.

Từ đồ thị ta có: nên hàm số có đường cong như trong hình vẽ.

4. Trong không gian , cho đường thẳng Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương với là:

Vậy đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

5. Thể tích khối nón có chiều cao và bán kính đáy là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Thể tích khối nón có chiều cao và bán kính đáy là (đvtt).

6. Với là số thực dương tùy ý, bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

7. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Căn cứ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại .

8. Số phức liên hợp của số phức là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Số phức liên hợp của số phức là .

9. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có ( là hằng số).

10. Biết và , khi đó bằng

A. B. . C. . D. 1.

Lời giải

Chọn C

Theo đề bài thì và nên:

.

11. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

12. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên trục . Ta có .

13. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử.

Vậy số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là (cách).

14. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là: (đvtt).

15. Cho hàm số có bảng biến thiên sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng và .

Căn cứ các phương án, ta chọn đáp án .

16. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có ; .

Vậy .

17. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị và đường thẳng .

Vậy phương trình có nghiệm thực phân biệt.

18. Trong không gian cho hai điểm . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là trung điểm của . Ta có .

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đi qua và nhận hay làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:

.

19. Một cơ sở sản xuất có 2 bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của 2 bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi chiều cao của các hình trụ là .

Gọi , lần lượt là thể tích của hình trụ có bán kính đáy .

Gọi là thể tích của hình trụ dự định làm và có bán kính đáy là _.

Ta có:

.

20. Trong không gian , cho mặt cầu . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có .

21. Gọi là 2 nghiệm phức của phương trình . Giá trị của bằng:

A. 28. B. 36. C. 8. D. 18.

Lời giải

Chọn C

Ta có: . Chọn đáp án C.

22. Cho và là hai số thực dương thoả mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có: .

23. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là

tam giác đều cạnh bằng và (minh họa như hình vẽ bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Diện tích tam giác là .

Thế tích khối lăng trụ đã cho bằng .

24. Cho hình chóp có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), , tam giác ABC vuông tại B, , . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có: SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)

A là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC)

AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC)

vuông tại B

.

25. Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: .

Phương trình

(thỏa mãn điều kiện ).

26. Cho hai số phức và . Trên mặt phẳng tọa độ , điểm biểu diễn số phức có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

Vậy điểm biểu diễn số phức có tọa độ là .

27. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên bằng

A. 4. B. 0. C. 20. D. –16.

Lời giải

Chọn D

Ta có: .

Ta có:

Do hàm số liên tục trên nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng –16.

28. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.

Lời giải

Chọn D

Hàm số có tập xác định:

Ta có:

đồ thị hàm số không tồn tại tiệm cận ngang khi

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

; Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

Vậy tổng số tiệm cận đứng và ngang là 2.

29. Cho hàm số có đạo hàm , . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 0. B. 3. C. 1. D. 2

Lời giải

Chọn C

Ta có: ,

Bảng biến thiên

Vậy hàm số có một điểm cực trị.

30. Hàm số có đạo hàm là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức

.

31. Cho số phức thỏa mãn . Môđun của số phức bằng.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi với

Ta có

_.

Do đó . Vậy .

32. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có

Do đó trên khoảng ta có:

.

33. Cho hàm số . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có

.

Ta có .

Vậy .

34. Trong không gian , cho các điểm và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Có .Chọn

Gọi là đường thẳng cần tìm.

Do .

Lại có , suy ra .

Ta thấy điểm thuộc và có 1 vtcp nên có phương trình: .

Đáp án D thỏa mãn.

35. Cho hàm số , bảng xét dấu như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Xét hàm số .

.

Xét bất phương trình: .

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng và khoảng .

Vì nên chọn đáp án C.

36. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm?

A. Vô số. B. 5. C. 7. D. 6.

Lời giải

Chọn B

Gọi là phương trình .

Điều kiện xác định:

.

Với điều kiện thì:

Với thì phương trình trở thành: . Vậy không nhận .

Với thì .

Để phương trình có nghiệm thì

.

Mà nguyên nên .

37. Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.

Bất phương trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi

nghiệm đúng với mọi (1)

Xét hàm số trên khoảng

Có

Bảng biến thiên

Vậy (1) .

38. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ số nguyên dương đầu tiên, ta có số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi là biến cố: “chọn được hai số có tổng là một số chẵn”.

Trường hợp 1: Hai số được chọn là số lẻ có cách.

Trường hợp 2: Hai số được chọn là số chẵn có cách.

Suy ra số phần tử của biến cố là .

Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn: .

39. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi là trung điểm của .

Gọi .

Ta có .

Lại có .

Vậy

Kẻ , kẻ tại .

Xét tam giác , ta có

,

.

40. Cho hình trụ có chiều cao bằng .Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng 16. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi lần lượt là tâm hai đáy của hình trụ.

Hình trụ có chiều cao là .

Mặt phẳng song song với trục của hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật

Ta có: .

Trong tam giác , từ kẻ , lại có: suy ra:

Vì tam giác cân tại nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến hay là trung điểm của đoạn thẳng

.

.

Diện tích xung quanh hình trụ là: .

41. Cho đường thẳng và parabol ( là tham số thực dương). Gọi và lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình bên. Khi thì thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là

Ta có cắt tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương nên phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt .

Gọi là một nguyên hàm của hàm số .

T a có .

Ta có .

Do là nghiệm của phương trình (*) nên ta có hệ phương trình

Đối chiếu điều kiện của nên ta có .

42. Xét các số phức thỏa mãn . Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường tròn có bán kính bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có

Khi đó đặt ta được

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn có bán kính .

43. Trong không gian , cho điểm . Xét đường thẳng thay đổi, song song với trục và cách trục một khoảng bằng . Khi khoảng cách từ đến lớn nhất, đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Cách 1:

Ta có thuộc mặt trụ có bán kính và có trục là .

Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng .

Gọi điểm là giao của mặt trụ và sao cho lớn nhất, suy ra .

Ta có: . Suy ra .

Khi đó đường thẳng đi qua và song song với .

Phương trình đường thẳng là:

Vậy đi qua .

Cách 2:

Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng .

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên .

Gọi . Ta có tập hợp các điểm là đường tròn có tâm , bán kính và nằm trên .

Tọa độ các điểm thuộc đường tròn là nghiệm của hệ phương trình

.

Phương trình đường thẳng .

Gọi .

Ta có: , với . Suy ra .

Khi đó đường thẳng đi qua và song song với .

Phương trình đường thẳng là: .

Vậy .

44. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Biết và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Đặt . Đổi cận: ; .

Khi đó:

Đặt: .

Ta có:

.

45. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình là:

A. 3. B. 12. C. 6. D. 10.

Lời giải

Chọn D

Ta có .

Xét hàm số ; có

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có

Phương trình: có 3 nghiệm.

Phương trình: có 3 nghiệm.

Phương trình: có 1 nghiệm.

Phương trình: có 1 nghiệm.

Phương trình: có 1 nghiệm.

Phương trình: có 1 nghiệm.

Vậy tổng có 10 nghiệm. Chọn D.

46. Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Điều kiện: .

Ta có .

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị và .

Ta có:

.

, (vì ).

BBT

Từ bảng biến thiên, để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì .

47. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt?

A. . B. . C. . D. Vô số.

Lời giải

Chọn C

Xét phương trình .

Điều kiện: .

Ta có

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Do nguyên dương .

Vậy có tất cả giá trị nguyên dương thỏa mãn đề bài.

48. Trong không gian cho mặt cầu . Có tất cả bao nhiêu điểm ( là các số nguyên) thuộc mặt phẳng sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Mặt cầu có tâm , bán kính .

Dễ thấy cắt mặt phẳng nên từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng và nằm ngoài kẻ tiếp tuyến tới thì các tiếp tuyến đó nằm trên một mặt nón đỉnh , các tiếp điểm nằm trên một đường tròn được xác định. Còn nếu thuộc thì ta kẻ các tiếp tuyến đó sẽ thuộc một mặt phẳng tiếp diện của tại điểm .

Để có ít nhất hai tiếp tuyến qua thỏa mãn bài toán khi và chỉ khi

+ Hoặc thuộc .

+ Hoặc các tiếp tuyến tạo thành mặt nón và góc ở đỉnh của mặt nón là suy ra .

Vậy điều kiện bài toán là .

Vì . Ta có (*).

Do có tọa độ nguyên nên ta có điểm thỏa mãn (*) là

, , , ,

, , , ,

, , , .

Vậy có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

49. Cho hàm số , bảng biến thiên của hàm số như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số trên .

Ta có .

Dựa vào bảng biến thiên của hàm ta được

, trong đó .

Do nên .

Khi đó phương trình vô nghiệm. Các phương trình mỗi phương trình đều có 2 nghiệm phân biệt và khác nhau, cùng khác . Suy ra phương trình có 7 nghiệm đơn.

Vậy hàm số có 7 điểm cực trị.

50. Cho lăng trụ có chiều cao là và đáy là tam giác đều cạnh bằng . Gọi , và lần lượt là tâm của các mặt bên , và . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , , , , , bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Cách 1:

Ta có , gọi .

Ta có .

.

.

Tương tự .

Vậy .

Cách 2:

Đặc biết hóa cho lăng trụ đứng.

Gọi , , lần lượt là trung điểm của , , .

Ta có: .

.

Tương tự: .

Vậy .

----------Hết ----------

Đề

Câu 37. Cho hàm số hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình

là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

A. B. C. D.

Hướng dẫn

Ta biến đổi với Từ giả suy ra nên Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng như sau

Vậy bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi Chọn đáp án A.

Câu 38. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A. B. C. D.

Hướng dẫn

Ta biến đổi với Từ giả suy ra nên

Câu 40. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (xem hình vẽ). Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

A. B. C. D.

Hướng dẫn

Cách 1. Gọi là trung điểm của và là tâm của hình vuông Ta có

với Vì đôi một vuông góc nên

Vậy Chọn đáp án C.

Cách 2. Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Khi đó Mặt phẳng có phương trình

Vậy Chọn đáp án C.