Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 10 Sở GD&ĐT Tỉnh Vĩnh Phúc (Đề 3)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh THPT không chuyên)

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

(Đáp án có 05 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh THPT không chuyên)

Câu

Nội dung trình bày

Điểm

1

(2,0 điểm)

Hàm số xác định khi và chỉ khi

1,0

0,5

. Vậy tập xác định của hàm số là

0,5

2

(1,0 điểm)

Với mọi ta có:

0,25

(Do ).

Do đó đồng biến trên .

0,25

Tập xác định của hàm số là . Với mọi , ta có ,

0,25

suy ra là hàm số lẻ.

0,25

3

(1,0 điểm)

Điều kiện xác định: .

Bất phương trình đã cho tương đương với:

0,25

Đặt ta có:

Thay vào phương trình trên ta được:

0,25

+)

vô nghiệm do

0,25

+)

thỏa mãn điều kiện.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .

0,25

4

(1,0 điểm)

Ta có

0,25

Với thay vào (2) ta được

+) .

+) .

0,25

Với thay vào (2) ta được

+) .

+) .

0,25

Vậy, hệ (I) có nghiệm là: .

0,25

5

(1,0 điểm)

Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi

0,25

TH1. Nếu thì vô lí.

0,25

TH2. Nếu thì

0,25

.

Vậy tập hợp các giá trị của là .

0,25

6

(1,0 điểm) Bài này học sinh không nhất thiết phải vẽ hình.

Kết quả cơ bản: cho tam giác ABC trọng tâm G. Khi đó với mọi điểm O ta có .

Do M, N, P lần lượt là trọng tâm các tam giác OBC, OCA, OAB nên:

0,5

Cộng từng vế 3 hệ thức trên ta được:

thẳng hàng.

0,5

7

(1,0 điểm)

Theo định lí hàm số sin và côsin ta có:

0,25

Tương tự ta có .

0,25

0,25

(do ),

kết hợp với .Vậy tam giác ABC đều.

0,25

8

(1,0 điểm)

Nhận xét. Các tứ giác BHCM, AHCN là các hình bình hành suy ra nếu gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA thì E, F cũng tương ứng là trung điểm của HM, HN. Do đó .

Đường thẳng BC đi qua điểm P(4;2), nên:

.

AH vuông góc với BC suy ra AH có vtpt , kết hợp với AH đi qua điểm suy ra: .

0,25

.

Do F là trung điểm AC nên:

.

Do E là trung điểm của BC nên:

Vậy .

0,5

0,25

9

(1,0 điểm)

Thay thì bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

0,25

Ta có

0,5

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

0,25