Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6: Điểm Đường Thẳng Tia Có Lời Giải Chi Tiết

HH6. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

CHỦ ĐỀ 1: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, TIA

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

1. Vị trí của điểm và đường thẳng

Điểm thuộc đường thẳng , kí hiệu .

Điểm không thuộc đường thẳng , kí hiệu .

2. Ba điểm , , thẳng hàng khi chúng cùng thuộc một đường thẳng; ba điểm , , không thẳng hàng khi chúng không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào.

3. Trong ba điểm thẳng hàng có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.

4. Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba điểm đó thẳng hàng.

5. Quan hệ ba điểm thẳng hàng còn được mở rộng thành 4, 5, 6... điểm thẳng hàng.

II. ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM

1. Có một đường thẳng và chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt và .

2. Có ba cách đặt tên đường thẳng:

Dùng một chữ cái in thường: đường thẳng , đường thẳng , đường thẳng , đường thẳng ...

Dùng hai chữ cái in thường: đường thẳng , đường thẳng , đường thẳng ...

Dùng hai chữ cái in hoa: đường thẳng , đường thẳng ...

3. Vị trí của hai đường thẳng phân biệt:

Hoặc không có giao điểm nào (gọi là hai đường thẳng song song).

Hoặc chỉ có một giao điểm (gọi là hai đường thẳng cắt nhau).

4. Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng nhau ta chỉ cần chứng tỏ chúng có hai giao điểm,

5. Ba (hay nhiều) đường thẳng cùng đi qua một điểm gọi là ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy. Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta có thể xác định giao điểm của hai đường thẳng nào đó, rồi chứng minh các đường thẳng còn lại đều đi qua giao điểm này.

III. TIA

1. Hình gồm điểm và một phần đường thẳng bị chia ra bởi là một tia gốc .

Khi đọc (hay viết) tên một tia, ta phải đọc (hay viết) tên gốc trước.

2. Hai tia chung gốc và tạo thành đường thẳng gọi là hai tia đối nhau.

Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau.

3. Hai tia trùng nhau và nếu hai tia có giao điểm khác gốc .

4. Quan hệ giữa một điểm nằm giữa hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau:

Xét điểm , , thẳng hàng.

Nếu tia và tia đối nhau thì điểm nằm giữa và .

Ngược lại nếu nằm giữa và thì:

• Hai tia , đối nhau.

• Hai tia , trùng nhau; hai tia , trùng nhau.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Bài toán trồng cây thẳng hàng.

I. Phương pháp giải

Các cây thẳng hàng là các cây cùng nằm trên một đường thẳng.

Giao điểm của hai hay nhiều đường thẳng là vị trí của 1 cây thỏa mãn bài toán.

II. Bài toán

Bài 1: Có 9 cây, hãy trồng thành 8 hàng sao cho mỗi hàng có 3 cây.

Lời giải

Theo hình 1 (mỗi điểm trên hình vẽ là một cây).

Hình 1

Bài 2: Hãy vẽ sơ đồ trồng 10 cây thành 5 hàng, mỗi hàng 4 cây (Giải bằng 4 cách).

Lời giải

Cách 1	Cách 2
Cách 3	Cách 4

Dạng 2: Đếm số đường thẳng tạo thành từ các điểm cho trước

I. Phương pháp giải

Cho biết có điểm, trong đó không có điểm nào thẳng hàng ( và ).

Kẻ từ một điểm bất kỳ với điểm còn lại được đường thẳng.

Làm như vậy với điểm nên có đường thẳng. Nhưng mỗi đường thẳng được tính lần.

Do vậy số đường thẳng vẽ được là đường thẳng.

II. Bài toán

Bài 1: Cho 5 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm đó. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?

Lời giải

Cách 1: Vẽ hình rồi liệt kê các đường thẳng đó (Chỉ dùng khi chỉ có ít điểm).

Cách 2: Bằng cách tính:

Lấy một điểm bất kì (chẳng hạn điểm ), còn lại 4 điểm phân biệt ta nối điểm với 4 điểm còn lại đó được 4 đường thẳng.

Với 5 điểm đã cho ta có: 4 đường × 5 điểm.

Nhưng với cách làm trên, mỗi đường ta đã tính hai lần.

Chẳng hạn, khi chọn điểm ta nối với , ta có đường thẳng . Nhưng khi chọn điểm , ta nối với , ta cũng có đường thẳng .

Hai đường thẳng này trùng nhau nên ta chỉ tính là một đường.

Vậy số đường thẳng vẽ được là: (đường thẳng).

Bài 2: Cho điểm ( và ) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Biết rằng có tất cả đường thẳng. Tính .

Lời giải

Ta có nên .

Vậy .

Bài 3: Cho điểm, trong đó có điểm thẳng hàng. Cứ qua điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm , biết vẽ được tất cả đường thẳng.

Lời giải

Giả sử trong điểm, không có điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là:

.

Trong điểm không có điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được là: .

Vì có điểm thẳng hàng nên qua điểm này ta chỉ vẽ được đường thẳng.

Ta có:

Vậy .

Bài 4:

a) Cho bốn điểm , , , trong đó không có ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta kẻ được một đường thẳng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng?

b) Cũng hỏi như trên với 5 điểm?

Lời giải

a) Qua kẻ được 3 đường thẳng , , .

Qua kẻ được 2 đường thẳng , .

Qua kẻ được 1 đường thẳng .

Qua không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới.

Vậy số đường thẳng vẽ được là: (đường thẳng).

b) Nếu cho 5 điểm , , , , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì

Qua kẻ được 4 đường thẳng , , , .

Qua kẻ được 3 đường thẳng , , .

Qua kẻ được 2 đường thẳng , .

Qua kẻ được 1 đường thẳng .

Qua không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới.

Vậy số đường thẳng vẽ được là: (đường thẳng).

Bài 5:

a) Có điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng?

Nếu thay điểm bởi điểm ( và ) thì số đường thẳng là bao nhiêu?

b) Cho điểm trong đó có đúng điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng?

Lời giải

a) Kẻ từ một điểm bất kỳ tới các điểm còn lại vẽ được đường thẳng.

Làm như vậy với điểm nên có (đường thẳng).

Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính lần.

Do vậy số đường thẳng thực sự có là: (đường thẳng).

Lập luận tương tự có điểm thì có: (đường thẳng).

b) Nếu điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được đường thẳng (câu a).

Với điểm, không có điểm nào thẳng hàng vẽ được: (đường thẳng)

Còn nếu điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được đường thẳng.

Do vậy số đường thẳng bị giảm đi là: (đường thẳng)

Số đường thẳng cần tìm là: (đường thẳng)

Bài 6:

a) Cho đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm có được.

b) Cho đường thẳng ( , ) trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cũng đi qua một điểm. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là .

Tính .

Lời giải

a) Mỗi đường thẳng cắt đường thẳng còn lại tạo thành giao điểm.

Có đường thẳng nên có giao điểm, nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có:

(giao điểm)

Nếu thay bởi ( và ) thì số giao điểm có được là: (giao điểm)

b) Theo câu a ta có: .

Vậy .

Bài 7: Cho điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong điểm đó?

Lời giải

Số đường thẳng tạo bởi điểm phân biệt là: (đường thẳng).

Số đường thẳng tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng là: (đường thẳng).

Theo bài ra vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là: (đường thẳng).

Vậy số đường thẳng tạo thành là: (đường thẳng)

Bài 8: Cho điểm trong đó chỉ có điểm thẳng hàng. Tính số đường thẳng đi qua hai trong điểm trên.

Lời giải

Qua điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được:

(đường thẳng)

Do có điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bớt đi là: (đường thẳng)

Vậy qua điểm trong đó chỉ có điểm thẳng hàng ta vẽ được:

(đường thẳng)

Bài 9: Trên tia vẽ các điểm ; ; . Nếu trong mặt phẳng chứa tia vẽ thêm các điểm ; ; ; ...; ; . Trong các điểm ; ; ; ...; ; có đúng 3 điểm thẳng hàng và cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng như thế? Tại sao?

Lời giải

Giả sử trong các điểm ; ; ; ...; ; không có ba điểm nào thẳng hàng.

Từ một điểm bất kỳ trong ta vẽ được đường thẳng qua các điểm còn lại trong .

Làm như thế với điểm ta được (đường thẳng).

Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần nên tất cả có (đường thẳng).

Qua 3 điểm thẳng hàng chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Nếu 3 điểm này không thẳng hàng sẽ vẽ được số đường thẳng là: (đường thẳng).

Vì trong có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là (đường thẳng)

Vậy số đường thẳng cần tìm là: (đường thẳng).

Dạng 3: Tính số giao điểm của các đường thẳng

I. Phương pháp giải

• Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm (1 giao điểm).

• Nếu có đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy.

Ta thấy cứ một đường thẳng trong đường thẳng đã cho cắt đường thẳng còn lại tạo thành giao điểm.

Vì có đường thẳng nên số giao điểm sẽ là : (giao điểm)

Nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần nên số giao điểm thực tế là : (giao điểm).

Vậy có đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy thì số giao điểm là: .

* Chú ý: Nếu biết số giao điểm thì tìm được số đường thẳng.

II. Bài toán

Bài 1: Vẽ bốn đường thẳng đôi một cắt nhau. Số giao điểm (của hai đường thẳng hay nhiều đường thẳng) có thể là bao nhiêu?

Lời giải

Khi vẽ bốn đường thẳng có thể xảy ra các trường hợp sau:

a) Bốn đường thẳng đó đồng quy: có một giao điểm.

b) Có ba đường thẳng đồng quy, còn đường thẳng thứ tư cắt ba đường thẳng đó: có 4 giao điểm.

c) Không có ba đường thẳng nào đồng quy (đôi một cắt nhau): có 6 giao điểm.

Bài 2: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng có thể bằng bao nhiêu?

Lời giải

Bài toán đòi hỏi phải xét đủ các trường hợp:

a) Bốn đường thẳng đồng quy: có giao điểm.

b) Có đúng ba đường thẳng đồng quy:

Có hai đường thẳng song song: giao điểm.

Không có hai đường thẳng nào song song: giao điểm.

b) Không có ba đường thẳng nào đồng quy.

Bốn đường thẳng song song: giao điểm.

Có đúng ba đường thẳng song song: giao điểm.

Có hai cặp đường thẳng song song: giao điểm.

Có đúng một cặp đường thẳng song song: giao điểm.

Không có hai đường thẳng nào song song: giao điểm.

Bài 3: Cho đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng.

Lời giải

Mỗi đường thẳng cắt đường thẳng còn lại nên tạo ra giao điểm.

Có đường thẳng nên có: (giao điểm).

Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là: (giao điểm)..

Vậy số giao điểm là (giao điểm).

Bài 2: Cho đường thẳng trong đó bất kì 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

Lời giải

Mỗi đường thẳng cắt đường thẳng còn lại tạo nên giao điểm. Mà có đường thẳng

nên có: giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần.

Vậy số giao điểm thực tế là: (giao điểm).

Bài 3: Cho đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là . Tính .

Lời giải

Trong đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy, số giao điểm của các đường thẳng đó là .

Mà số giao điểm là , nên : .

Vậy .

Dạng 4. Xác định tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau

I. Phương pháp giải

Để xác định tia, hai tia đối nhau hay trùng nhau, cần lưu ý các điều sau:

• Để nhận biết tia cần để ý tới gốc và phần đường thẳng bị chia ra bởi gốc.

• Hai tia đối nhau hoặc hai tia trùng nhau đều phải có điều kiện chung gốc. Mỗi điểm nằm trên đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau.

• Hai tia trùng nhau là hai tia chung gốc và chung phần đường thẳng bị chia ra bởi gốc.

II. Bài toán

Bài 1: Vẽ hai tia , đối nhau. Lấy điểm thuộc tia , điểm và điểm thuộc tia

sao cho nằm giữa hai điểm và . Vì sao có thể khẳng định được :

a) Hai tia , đối nhau.

b) Hai tia , đối nhau.

Lời giải

a) Điểm thuộc tia ; điểm thuộc tia . Vậy tia trùng với tia ; tia trùng với tia . Do hai tia , đối nhau nên hai tia , đối nhau

b) Điểm nằm giữa hai điểm và nên hai tia và trùng nhau .

Từ và suy ra hai tia , đối nhau.

Bài 2: Vẽ hai đường thẳng và cắt nhau tại .

1) Kể tên các tia đối nhau.

2) Trên tia lấy điểm , trên tia lấy điểm . Kể tên các tia trùng nhau.

Lời giải

Hình 1

1) Các tia đối nhau là :

+ Tia là tia đối của tia ;

+ Tia là tia đối của tia .

2) Các tia trùng nhau là :

+ Tia trùng tia ;

+ Tia trùng tia .

Bài 3:

Cho điểm và nằm trên đường thẳng . Tìm vị trí điểm A để điểm nằm giữa hai điểm và .

Lời giải

Hình 2

Muốn có điểm nằm giữa hai điểm và , thì ba điểm , , phải thẳng hàng. Mà

+  và nằm trên đường thẳng , vậy phải nằm trên đường thẳng .

+ nằm giữa và , nên phải thuộc tia đối của tia . Vậy phải nằm trên tia .

Từ đó suy ra cách tìm điểm là điểm bất kì trên tia .

Bài 4: Cho điểm thuộc đường thẳng . Lấy điểm thuộc tia , điểm thuộc tia .

a) Tìm các tia đối của tia .

b) Tìm các tia trùng với tia .

c) Trên hình vẽ có bao nhiêu tia? (Hai tia trùng nhau chỉ kể là một tia)

Lời giải

a) Các tia đối của tia là tia và (Hai tia này chỉ là một).

b) Tia trùng với tia là tia .

c) Trên hình vẽ có tất cả có 6 tia, đó là: Tia , tia , tia , tia , tia , tia .

Bài 5: Trên tia lấy điểm khác điểm . Có bao nhiêu tia trùng với tia trong hình vẽ?

Lời giải

Với mỗi điểm khác điểm trên tia ta được một tia gốc trùng với tia .

Do đó, trên tia có điểm khác điểm thì có tia gốc trùng với tia .

Bài 6: Cho bốn đường thẳng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Trên hình có bao nhiêu tia?

Lời giải

Cứ hai đường thẳng bất kì (trong bốn đường thẳng đã cho) cắt nhau sẽ tạo ra bốn tia.

Số cách chọn ra hai đường thẳng trong bốn đường thẳng là: (cách)

Do đó trên hình vẽ có số tia là: (tia)

Bài 7: Cho ba đường thẳng , , cắt nhau đôi một tạo thành ba giao điểm , , trong đó là giao điểm của và ; là giao điểm của và ; là giao điểm của và .

a) Trên hình vẽ có bao nhiêu tia? Kể tên các tia đó.

b) Có bao nhiêu cặp tia đối nhau? Kể tên các tia đó.

c) Kể tên các tia trùng nhau.

Lời giải

a) Tại mỗi giao điểm , , có tia nên trên hình vẽ có tia.

+ Các tia gốc : , , , .

+ Các tia gốc : , , , .

+ Các tia gốc : , , , .

b) Có cặp tia đối nhau:

và ; và ; và ; và ; và ; và .

c) Các tia trùng nhau

+ Các tia trùng nhau gốc : và ; và .

+ Các tia trùng nhau gốc : và ; và .

+ Các tia trùng nhau gốc : và ; và .

Dạng 5. Xác định điểm nằm giữa hai điểm

I.Phương pháp giải

Để xác định điểm nằm giữa hai điểm khác, ta sử dụng lưu ý nếu hai tia và là hai tia đối nhau thì điểm nằm giữa hai điểm và .

II.Bài toán

Bài 1: Cho điểm nằm giữa hai điểm và ; điểm nằm giữa hai điểm và ; điểm nằm giữa hai điểm và .

a) Nêu tên các tia trùng nhau gốc .

b) Chứng tỏ rằng điểm nằm giữa hai điểm và .

Lời giải

a) Điểm nằm giữa hai điểm và nên hai tia và trùng nhau

Điểm nằm giữa hai điểm và nên hai tia và trùng nhau

b) Điểm nằm giữa hai điểm và nên hai tia và đối nhau

Từ , , suy ra hai tia , đối nhau do đó điểm nằm giữa hai điểm và .

Bài 2: Trên đường thẳng lấy một điểm . Lấy điểm trên tia , điểm trên tia ( và khác điểm ).

a) Trong ba điểm , , điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

b) Lấy điểm nằm giữa và . Giải thích vì sao điểm nằm giữa hai điểm và .

Lời giải

a) Vì điểm thuộc đường thẳng nên và là hai tia đối nhau. Điểm , nên hai tia và đối nhau, do đó điểm nằm giữa và .

b) Điểm nằm giữa hai điểm và nên hai tia và trùng nhau.

Mặt khác, hai tia và đối nhau.

Nên từ và suy ra hai tia và đối nhau.

Do đó điểm nằm giữa hai điểm , .

Bài 3: Cho tia và hai điểm , sao cho và đều là tia đối của tia .

a) Nêu nhận xét vị trí hai tia và .

b) Nhận xét vị trí ba điểm , , .

c) Có thể khẳng định điểm nằm giữa và không?

Lời giải

Trường hợp 1

Trường hợp 2

a) Vì tia và tia đều là tia đối của tia nên hai tia và trùng nhau.

b) Vì theo câu tia và tia trùng nhau nên ba điểm , , thẳng hàng.

c) Không thể khẳng định điểm nằm giữa hai điểm và .

Bài 4: Cho ba điểm , , sao cho điểm nằm giữa hai điểm và .

a) Vẽ điểm thuộc tia sao cho điểm nằm giữa hai điểm và .

b) Vẽ điểm thuộc tia sao cho điểm nằm giữa và .

c) Giải thích vì sao trong cả hai câu a và b điểm nằm giữa hai điểm và .

Lời giải

a)

b)

c) Điểm thuộc tia và không trùng nên tia và trùng nhau

Điểm nằm giữa và nên và là hai tia đối nhau

Từ và suy ra các tia và đối nhau nên điểm nằm giữa hai điểm và .

Bài 5: Cho bốn điểm , , , sao cho nằm giữa và , điểm nằm giữa hai điểm và . Vì sao điểm nằm giữa hai điểm và .

Lời giải

Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên và là hai tia đối nhau

Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên và là hai tia trùng nhau

Từ và ta có và là hai tia đối nhau do đó điểm nằm giữa và .

Dạng 6. Xác định vị trí của một điểm di động trên tia.

I.Phương pháp giải

Dựa vào vị trí tương đối giữa tia với tia, tia với đường thẳng, đoạn thẳng.

II.Bài toán

Bài 1:

Trên đường thẳng lấy điểm . Trên tia lấy điểm khác , trên tia lấy điểm khác . Gọi là điểm di động trên . Xác định vị trí của để:

a) Hai tia và trùng nhau.

b) Hai tia và đối nhau.

Lời giải

a) Để hai tia và trùng nhau thì điểm thuộc tia

b) Để điểm hai tia và đối nhau thì điểm nằm giữa và , không trùng với điểm và điểm

Bài 2: Cho hai điểm cố định , và đường thẳng . Đường thẳng đi qua điểm , điểm không thuộc . là điểm bất kì trên , vẽ tia đi qua điểm . Xác định vị trí điểm để:

a) Tia cắt tia mà không cắt tia .

b) Tia cắt tia mà không cắt tia .

c) Tia vừa tia vừa cắt tia . .

Lời giải

a) Tia cắt tia mà không cắt tia thì điểm thuộc tia và điểm không trùng điểm .

b) Tia cắt tia mà không cắt tia thì điểm thuộc tia và điểm không trùng điểm .

c) Tia vừa cắt tia vừa cắt tia thì điểm trùng với điểm .

HẾT

Một số vấn đề cần trao đổi:

• Hình thức

Cần căn chỉnh đoạn văn bản dạng căn đều 2 bên, giãn cách dòng trước và dòng sau bằng nhau (trong paragraph)

Trong văn bản Toán, không dùng gạch đầu dòng –

Cần thống nhất cách viết chữ Lời giải (theo file mẫu là in đậm, nghiêng, gạch chân).

Hình vẽ dùng dạng điểm nhỏ, chữ viết in nghiêng để thống nhất với đề bài.

Nên thống nhất trong cách trình bày văn bản: Không dùng tab khi trình bày lời giải hay viết đề bài

• Nội dung

Nên có thêm bài tập trong các đề thi HSG

Một số bài tập còn cơ bản, chưa phù hợp với bồi dưỡng HSG

(19/8) PHẢN BIỆN LẦN 2

Một số lỗi từ lần phản biện trước chưa sửa hết (chi tiết xem ở comment)