Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 môn Toán Chuyên Lê Khiết Lần 1

Lời giải

Chọn D.

Họ nguyên hàm của hàm số là .

Câu 15. Môđun của số phức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Có .

Câu 16. Cho là hai số thực dương và khác thỏa mãn . Giá trị của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có: .

Câu 17. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có: .

.

Nên là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 18. Cho hàm số có đồ thị như hình dưới. Mệnh đề nào đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Đồ thị hàm số nhận làm trục đối xứng nên hàm số là hàm số chẵn. suy ra .

Dựa vào đồ thị ta thấy: .

Hàm số có 3 cực trị nên .

Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm có hoành độ dương nên .

Vậy .

Câu 19. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới

Số nghiệm của phương trình trên đoạn là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

_{Ta xét phương trình}

Vậy phương trình có hai nghiệm trên đoạn

Câu 20. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ta có hàm số

Đặt

Có

Xét BBT:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là

Câu 21. Cho hình nón đỉnh đáy là đường tròn , đường cao . Người ta cắt hình nón bằng mặt phẳng vuông góc với trục để đường hình nón nhỏ có đỉnh và đáy là đường tròn .Biết rằng tỉ số thể tích . Độ dài đường cao của hình nón là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có và đồng dạng nên ta có

Câu 22. Cho hàm số liên tục trên , thoả mãn với mọi và . Tích phân bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Xét .

Đặt .

Đổi cận .

Ta có .

Suy ra .

Câu 23. Cho cấp số cộng với . Giá trị của là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có .

Câu 24. Cho số phức có và . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn , tâm và bán kính của đường tròn đó là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

.

Ta có (1)

Đặt với . Khi đó ta được:

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường tròn có tâm và bán kính .

Câu 25. Cho , . Khi đó tính theo là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có: .

Câu 26. Trong không gian , cho mặt phẳng và đường thẳng . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Đường thẳng nằm trên tạo với các góc bằng nhau, có vectơ chỉ phương . Giá trị biểu thức bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là , mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến là .

Tọa độ giao điểm của và là: .

Vectơ chỉ phương của đường thẳng là .

nằm trên tạo với các góc bằng nhau nên ta có

.

Vậy .

Câu 27. Cho hình hộp đứng có đáy là hình vuông cạnh , góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là . Thể tích khối hộp bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là góc nên .

Độ dài đường cao là: .

Thể tích khối hộp là: .

Câu 28. Trong không gian , phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên vectơ chỉ phương của đường thẳng là hay .

Phương trình tham số của đường thẳng là , .

Chọn ta được điểm .

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua là .

Câu 29. Cho hình trụ có bán kính bằng . Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng ta được một thiết diện hình vuông. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Xét tam giác vuông tại có

.

Suy ra: .

Do mặt phẳng cắt hình trụ ta được thiết diện hình vuông nên bốn cạnh bằng nhau.

Suy ra chiều cao của hình trụ là .

Thể tích của khối trụ đã cho là .

Câu 30. Một nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

.

Vậy một nguyên hàm của hàm số là .

Câu 31. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , đáy là hình thang vuông tại và với , . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Có , đáy là hình thang vuông tại và nên

. Trong dựng đường cao .

Ta có ; ; ; . Do đó vuông tại .

Có . Trong dựng đường cao

Từ đó góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc giữa và bằng

.

Có ;

Tam giác vuông có

Câu 32. Đồ thị của hàm số có điểm cực tiểu là Khi đó bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

.

Xét . Vì đạo hàm của hàm số có hệ số bằng nên là điểm cực tiểu của hàm số ( loại)

Xét . Vì đạo hàm của hàm số có hệ số bằng nên là điểm cực tiểu của hàm số ( thỏa mãn).

Đồ thị của hàm số có điểm cực tiểu là nên ta được:

.

Câu 33. Cho hàm số xác định, có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị, ta có:

trên khoảng . Suy ra đồng biến trên khoảng .

trên các khoảng và . Suy ra nghịch biến trên các khoảng và .

Câu 34. Cho tập hợp . Số tập con gồm hai phần tử của tập hợp là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Số tập con gồm 2 phần tử của tập hợp gồm 5 phần tử là .

Câu 35. Cho hàm số xác định và liên tục trên . Đồ thị của hàm số như hình bên dưới.

Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

.

Xét .

Tương tự, xét .

Xét . Vậy ta có .

Câu 36. Cho khối chóp có đáy là hình thoi cạnh , , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên tạo với đáy một góc . Thể tích khối chóp bằng

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn B.

Gọi lần lượt là trung điểm của . Khi đó, tứ giác là hình chữ nhật.

Ta có: .

Xét tam giác có tam giác đều .

Do đó,

Lại có, .

Vậy

Câu 37. Trong không gian , cho đường thẳng và điểm . Mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Hạ . Khi đó: nên

Giả sử do :

Câu 38. Có bao nhiêu số nguyên dương sao cho tồn tại số thực thoả phương trình sau

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện:

Đặt do nguyên dương, khi đó phương trình trở thành:

Hàm số: với

Nên hàm đơn điệu mà

Với thì vế trái nhỏ hơn và vế phải lớn hơn . Không tồn tại thỏa mãn.

Với ,

Xét hàm số

Bảng biến thiên:

Để tồn tại thỏa mãn thì:

Do nguyên dương, nên tồn tại giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 39. Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Xác suất để số được chọn là số chẵn bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

+ Có số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ .

-Có số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau được lập từ .

+ Xác suất để số được chọn là một số chẵn là .

Câu 40. Cho hàm số

Biết với là phân số tối giản. Giá trị của a.b bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

+ Đặt

+ Đặt

.

Câu 41. Cho hai số phức thỏa mãn và . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức ; .

Ta có :

.

Gọi đối xứng với qua đường thẳng .

.

Dấu xảy ra .

Câu 42. Gọi là hai trong các số phức thỏa mãn và Môđun của số phức là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Đặt .

Ta có : và .

Mặt khác : .

Do .

Vậy .

Câu 43. Cho hàm số xác định và liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Điều kiện xác định: .

Phương trình đã cho tương đương .

Đặt Khảo sát hàm , ta có bảng biến thiên như sau:

Phương trình thành . Phương trình ban đầu đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình có nghiệm . Dựa vào đồ thị đã cho, suy ra yêu cầu bài toán tương đương với . Vậy có 5 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Câu 44. Cho hàm số và có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn và . Giá trị bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:

Lấy nguyên hàm hai vế của :

Với .

Suy ra .

Thay vào , .

Câu 45. Cho hình lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng . Gọi là trung điểm của (tham khảo hình vẽ).

Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi là trung điểm

Mà nên .

Có .

Dựng . Suy ra .

Ta có: .

vuông tại nên

Vậy .

Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng . Một mặt phẳng thay đổi, vuông góc với cắt , , , , lần lượt tại , . Một hình trụ có một đáy nội tiếp tứ giác và một đáy nằm trên hình vuông . Khi thể tích khối trụ lớn nhất thì độ dài bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Giả sử một đáy của hình trụ tiếp xúc với các cạnh và lần lượt tại và

là đường kính của đáy, là chiều cao của hình trụ

Gọi , lần lượt là hình chiếu của và lên

, là trung điểm của , .

Ta có

Đặt

Và

Câu 47. Trong không gian , cho đường thẳng và mặt cầu . Lấy điểm với thuộc đường thẳng sao cho từ kẻ được ba tiếp tuyến , , đến mặt cầu ( là tiếp điểm) thỏa mãn góc , , . Tổng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Mặt cầu có tâm , bán kính .

Gọi .

Tam giác đều .

Tam giác vuông cân tại .

Tam giác cân tại .

Ta có: vuông tại .

Gọi là trung điểm của , suy ra, là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Vì nên thẳng hàng .

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông tại ta nhận được

.

.

Câu 48. Cho hai đường thẳng và mặt phẳng . Gọi lần lượt là hình chiếu của lên mặt phẳng . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Giá trị của tổng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có mặt phẳng chứa và vuông góc với :

.

Phương trình mặt phẳng là: .

Ta có mặt phẳng chứa và vuông góc với :

.

Phương trình mặt phẳng là: .

Ta có toạ độ là nghiệm hệ phương trình .

Câu 49. Cho các số dương thoả mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có

.

Xét hàm số với .

Có nên hàm số đồng biến trên khoảng .

Từ .

Lại có

Từ và áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm ta có

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Câu 50. Cho là hàm đa thức bậc 6 sao cho đồ thị hàm số như hình vẽ và , .

Số điểm cực tiểu của hàm số là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Xét hàm số

Ta có

Do , nên phương trình có 4 nghiệm đơn phân biệt nên hàm số có 4 điểm cực tiểu.