Thiết diện là gì? Công thức tính thiết diện của một số hình đặc biêt
Mục lục
Thiết diện là gì?
Thiết diện của một hình học là phần giao của hình đó với một mặt phẳng. Nó được định nghĩa bởi tập hợp các điểm chung của hình với mặt phẳng đó. Thiết diện có thể là một đa giác, một đường thẳng, hoặc một hình tròn tùy thuộc vào hình học ban đầu và mặt phẳng cắt qua nó.
Cách tìm thiết diện cơ bản
Để tìm thiết diện của một hình học với một mặt phẳng, ta có thể làm theo các bước sau:
- Xác định mặt phẳng cắt: Chọn một mặt phẳng bất kỳ để cắt qua hình học. Mặt phẳng này có thể là mặt phẳng nằm bên trong hình học hoặc bên ngoài hình học.
- Tìm giao điểm giữa mặt phẳng cắt và các cạnh của hình học: Vẽ mặt phẳng cắt lên hình học và xác định các điểm giao của nó với các cạnh của hình học. Các điểm giao này có thể là các đầu mút của các cạnh, hoặc nằm trên các cạnh của hình học.
- Nối các điểm giao lại với nhau: Sử dụng các điểm giao đã tìm được ở bước trước để nối chúng với nhau và tạo thành đường giao tuyến của mặt phẳng cắt với hình học.
- Xác định thiết diện: Thiết diện của hình học với mặt phẳng cắt sẽ là hình đa giác được tạo thành bởi các đoạn thẳng giữa các điểm giao. Tùy thuộc vào số lượng điểm giao, thiết diện có thể là một tam giác, một tứ giác hoặc một đa giác có nhiều hơn năm cạnh.
- Tính diện tích thiết diện: Để tính diện tích của thiết diện, ta có thể sử dụng công thức tính diện tích đa giác bất kỳ. Nếu thiết diện là một tam giác, ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác để tính toán.
Công thức tính thiết diện của một số hình đặc biệt
Cách tính thiết diện hình trụ
Ví dụ: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 3𝑎 và thể tích bằng 90𝜋𝑎3. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục 2𝑎 cắt khối chóp tạo thành một thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó
Giải:
Do mặt phẳng song song với trục và cách trục 2𝑎<3𝑎=𝑟 nên ⇒ thiết diện là hình chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷 với 𝐴𝐵=𝐶𝐷 là đường cao của hình trụ
Do đó : 𝐴𝐵=𝐶𝐷=𝑉𝑆=90𝜋𝑎32𝜋.9𝑎2=5𝑎
Kẻ 𝑂𝐻⊥𝐵𝐶. Do tam giác 𝑂𝐵𝐶 cân tại 𝑂 nên ta có :
{𝑂𝐻=2𝑎𝑂𝐵=3𝑎⇒𝐵𝐶=2𝐵𝐻=2𝑂𝐵2−𝑂𝐻2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=25‾√𝑎
Như vậy diện tích thiết diện :
𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵.𝐵𝐶=5𝑎.25‾√𝑎=105‾√𝑎2 đơn vị diện tích
Cách tính thiết diện của hình hộp
Ví dụ:
Cho hình hộp 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′. Trên ba cạnh 𝐴𝐵,𝐷𝐷′,𝐵𝐵′ lần lượt lấy ba điêm 𝑀,𝑁,𝑃 thỏa mãn 𝐴𝑀𝐴𝐵=𝐷′𝑁𝐷′𝐷=𝐵′𝑃𝐵′𝐵
Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (𝑀𝑁𝑃)
Giải:
Trên 𝐴𝐷 lấy điểm 𝐸 sao cho : 𝐴𝑀𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐷
⇒𝑀𝐸||𝐵𝐷
Vì 𝐵′𝑃𝐵′𝐵=𝐷′𝑁𝐷′𝐷⇒𝑃𝑁||𝐵′𝐷′⇒𝑃𝑁||𝐵𝐷
⇒𝑀𝐸||𝑃𝑁⇒𝐸∈(𝑀𝑁𝑃)(1)
Trên 𝐵′𝐶′ lấy điểm 𝐹 sao cho : 𝐵′𝐹𝐵′𝐶=𝐵′𝑃𝐵′𝐵
⇒𝑃𝐹||𝐵𝐶′
Vì 𝐴𝐸𝐴𝐷=𝐷′𝑁𝐷′𝐷⇒𝐸𝑁||𝐴𝐷′⇒𝐸𝑁||𝐵𝐶′
⇒𝑃𝐹||𝐸𝑁⇒𝐹∈(𝑀𝑁𝑃)(2)
Trên 𝐶′𝐷′ lấy điểm 𝐾 sao cho : 𝐶′𝐾𝐶′𝐷′=𝐶′𝐹𝐶′𝐵′
⇒𝐾𝐹||𝐵′𝐷′
Vì 𝑃𝑁||𝐵′𝐷′⇒𝑃𝑁||𝐾𝐹⇒𝐾∈(𝑀𝑁𝑃)(3)
Từ (1)(2)(3)⇒ thiết diện là lục giác 𝑀𝑃𝐹𝐾𝑁𝐸
Cách tính thiết diện của hình lập phương
Ví dụ: Cho hình lập phương 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có độ dài cạnh bằng 𝑎 . Gọi 𝑀,𝑁,𝑃 lần lươt là trung điểm 𝐴𝐷,𝐶𝐷,𝐵𝐵′. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mặt phẳng (𝑀𝑁𝑃)
Giải:
Xét mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷). Kéo dài 𝑀𝑁 cắt đường thẳng 𝐴𝐵,𝐵𝐶 lần lượt tại 𝐾,𝐻
Gọi {𝐹=𝑃𝐾∩𝐴𝐴′𝐸=𝑃𝐻∩𝐶𝐶′
Như vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác 𝑀𝑁𝐸𝑃𝐹
Ta có :
{𝑀𝑁||𝐴𝐶𝐴𝑀||𝐶𝐻⇒𝐴𝑀𝐻𝐶 là hình bình hành
⇒𝐶𝐻=𝐴𝑀=𝑎2
Tương tự ta được : ⇒𝐴𝐾=𝐶𝐻=𝑎2
⇒𝐵𝐾=𝐵𝐻=3𝑎2
Theo định lý Pitago ⇒𝑃𝐻=𝑃𝐾=𝐵𝑃2+𝐵𝐾2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=𝑎10√2
Do 𝐴𝐹||𝐵𝑃 nên 𝑃𝐹𝑃𝐾=𝐵𝐴𝐵𝐾⇒𝑃𝐹=𝐵𝐴.𝑃𝐾𝐵𝐾=𝑎.𝑎10√23𝑎2=𝑎10√3
Tương tự ta cũng có 𝑃𝐸=𝑎10√3
Mặt khác 𝐴𝐹𝐵𝑃=𝐾𝐴𝐾𝐵=𝐻𝐶𝐻𝐵=𝐶𝐸𝐵𝑃⇒𝐴𝐹=𝐶𝐸⇒𝐴𝐶𝐸𝐹 là hình bình hành
⇒𝐸𝐹=𝐴𝐶=𝑎2‾√
Như vậy tam giác 𝑃𝐸𝐹 cân tại 𝑃 và có :
{𝑃𝐸=𝑃𝐹=𝑎10√3𝐸𝐹=𝐴𝐶=𝑎2‾√
Vậy 𝑆𝑃𝐸𝐹=𝐸𝐹.2𝑃𝐹2−(𝐸𝐹2)2√2=𝑎2‾√.10𝑎29−𝑎22‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=𝑎211√3(1)
Do Δ𝐴𝑀𝐹=Δ𝐶𝑁𝐸 (c.g.c) nên
⇒𝑀𝐹=𝐸𝑁
Mặt khác ⇒𝑀𝑁||𝐸𝐹 ( do cùng song song với 𝐴𝐶 )
⇒𝑀𝑁𝐸𝐹 là hình thang cân có {𝑀𝑁=𝑎2𝐸𝐹=𝑎2‾√
Kẻ 𝑀𝐼⊥𝐸𝐹, ta có :
𝐹𝐼=𝐸𝐹−𝑀𝑁2=22√−14𝑎
𝐴𝐹𝐵𝑃=𝐾𝐴𝐾𝐵⇒𝐴𝐹=𝐾𝐴.𝐵𝑃𝐾𝐵=𝑎3
⇒𝐹𝑀=𝐴𝐹2+𝐴𝑀2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=𝑎13√6
Như vậy ⇒𝑀𝐼=𝐹𝑀2−𝐹𝐼2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=𝑎362√−29√12
⇒𝑆𝑀𝑁𝐸𝐹=(𝑀𝑁+𝐸𝐹).𝑀𝐼2=(22√+1)362√−29√24𝑎2(2)
Từ (1)(2)⇒𝑆𝑀𝑁𝐸𝑃𝐹=𝑆𝑃𝐸𝐹+𝑆𝑀𝑁𝐸𝐹=811√+(22√+1)362√−29√24𝑎2 đon vị diện tích