Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Phương Pháp Tìm ƯCLN Và BCNN

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4- ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

CHỦ ĐỀ 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM ƯCLN, BCNN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Kiến thức cần nhớ

1. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

2. Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiếu số là số lớn nhất trong các ước chung của các số đó.

3. Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiếu số lớn hơn , ta thực hiện ba bước sau:

- Phân tích mổi số ra thừa số nguyên tố.

- Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

- Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

4. Để tìm ước chung của nhiều số, ta có thể tìm ƯCLN của các số đó rồi tìm ước của ƯCLN đó.

5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

6. Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác trong các bội chung của các số đó.

7. Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn , ta thực hiện ba bước sau:

- Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

- Chọn ra các thừa sổ nguyên tố chung và riêng.

- Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

8. Để tìm bội chung của nhiều số, ta có thể tìm BCNN của các số đó rồi nhân BCNN đó lần lượt với

2. Các tính chất

_{1. Khi c}ần kí hiệu gọn, ta có thể viết ƯCLN là , viết là

2. Nếu và thì .

3. Nếu và thì . Đặc biệt, nếu và thì

4. Nếu ƯCLN thì với .

5. Nếu thì với .

6. ƯCLN .

7. Người ta chứng minh được rằng:

Cho hai số tự nhiên và trong dó .

+ Nếu a chia hết cho thì ƯCLN .

+ Nếu không chia hết cho thì ƯCLN bằng ƯCLN của và số dư trong phép chia cho .

Từ đó, ta có thuật toán Euclide tìm ƯCLN của hai số mà không cần phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố như sau:

- Chia số lớn cho số nhỏ.

- Nếu phép chia còn dư, lấy số chia đem chia cho số dư.

- Nếu phép chia này còn dư, lại lấy số chia mới chia cho số dư mới.

- Cứ tiếp tục làm như vậy cho đến khi được số dư bằng thì số chia cuối cùng là ƯCLN phải tìm.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Phương pháp phân tích ra các thừa số nguyên tố

I. Phương pháp giải

Muốn tìm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số ta làm như sau

Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố với số mũ tương ứng

Bước 2: Tìm các thừa số chung và riêng

Bước 3: ƯCLN là tích các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất

BCNN là tích của các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất

II. Bài toán

Bài 1: Tìm số tự nhiên lớn nhất sao cho khi chia cho , ta được ba số dư bằng nhau.

Lời giải:

chia cho có cùng số dư nên các hiệu của hai số trong ba số ấy chia hết cho .

Ta có:

, tức là ,

, tức là ,

, tức là .

Để lớn nhất thì là ƯCLN .

Phân tích ra thừa số nguyên tố:

ƯCLN

Vậy

Bài 2: Tìm số tự nhiên nhỏ hơn để các số và có ước chung khác .

Lời giải:

Gọi là một ước chung của và .

Ta có và nên , tức là

Suy ra .

Để và có ước chung khác , ta phải có tức là hay

Ta lại có nên .

Do nên hoặc .

Thử lại , thỏa mãn. Vậy ,

Bài 3: Tổng của năm số tự nhiên bằng . Ước chung lớn nhất của chúng có thể nhận giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi năm số tự nhiên đã cho là , ước chung lớn nhất của chúng là .

Ta có:

nên

do đó

Suy ra là ước của .

Ta lại có nên , suy ra .

Phân tích ra thừa số nguyên tố: .

Ước lớn nhất của không vượt quá là .

Giá trị lớn nhất của là , xảy ra khi chẳng hạn và hoặc các hoán vị của chúng.

Bài 4: Có ba đèn tín hiệu, chúng phát sáng cùng một lúc vào giờ sáng. Đèn thứ nhất cứ phút phát sáng một lần, đèn thứ hai cứ phút phát sáng một lấn, đèn thứ ba cứ phút phát sáng một lần. Thời gian đầu tiên để cả ba đèn cùng phát sáng sau giờ trưa là lúc mấy giờ?

Lời giải:

Gọi thời gian ít nhất để sau đó, cả ba đèn lại cùng phát sáng là (phút).

Ta có là .

Phân tích ra thừa số nguyên tố: nên

Sau phút, cả ba đèn cùng phát sáng. Chúng cùng phát sáng vào lúc giờ phút, giờ phút, giờ phút. . .

Thời gian đầu tiên sau giờ trưa để cả ba đèn cùng phát sáng là lúc giờ phút.

Bài 5: Điền các chữ số thích hợp vào dấu * để số chia hết cho tất cả các số

Lời giải:

Điều kiện để chia hết cho tất cả các số là chia hết cho

Ta thấy chia được , dư nên chia hết cho , chia hết cho .

Đáp số: và .

Bài 6: Tìm các số tự nhiên và biết ƯCLN

Lời giải:

Ta có ƯCLN

ƯCLN nên trong đó

Suy ra

Từ và suy ra hay .

Ta có nên . Các số nguyên tố cùng nhau và có tích bằng nên

Suy ra

Bài 7: Cho Tìm Từ đó kiểm tra công thức

ƯCLN ƯCLN(ƯCLN

Lời giải:

Ta có:

ƯCLN ƯCLN ƯCLN(ƯCLN ƯCLN

Bài 8: Tìm ƯCLN, BCNN của các số sau

a)

b)

Lời giải:

a) Ta có: ; ;

ƯCLN

b) Ta có

; ; ;

ƯCLN

Bài 9: Một trường tổ chức cho khoảng và học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết rằng nếu xếp người hoặc người lên xe ô tô thì vừa đủ.

Lời giải:

Gọi số học sinh của trường là:

Theo bài ta có:

Vì

Ta có:

Vậy Số học sinh là .

Dạng 2: Thuật toán EUCLID để tìm ƯCLN

Trong toán học, giải thuật Euclid (hay thuật toán Euclid) là một giải thuật để tính ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai số nguyên, là số lớn nhất có thể chia được bởi hai số nguyên đó với số dư bằng không. Giải thuật này được đặt tên theo nhà toán học người Hy Lạp cổ đại Euclid, người đã viết nó trong bộ Cơ sở của ông (khoảng năm 300 TCN). Nó là một ví dụ về thuật toán, một chuỗi các bước tính toán theo điều kiện nhất định và là một trong số những thuật toán lâu đời nhất được sử dụng rộng rãi.

Giải thuật Euclid dựa trên nguyên tắc là ước chung lớn nhất của hai số nguyên không thay đổi khi thay số lớn hơn bằng hiệu của nó với số nhỏ hơn. Chẳng hạn, là ƯCLN của và (vì và ) và cũng là ƯCLN của và . Khi lặp lại quá trình trên thì hai số trong cặp số ngày càng nhỏ đến khi chúng bằng nhau, và khi đó chúng là ƯCLN của hai số ban đầu. Bằng cách đảo ngược lại các bước, ƯCLN này có thể được biểu diễn thành tổng của hai số hạng, mỗi số hạng bằng một trong hai số đã cho nhân với một số nguyên dương hoặc âm (đồng nhất thức Bézout), chẳng hạn,

Dạng ban đầu của giải thuật như trên có thể tốn nhiều bước thực hiện phép trừ để tìm ƯCLN nếu một trong hai số lớn hơn rất nhiều so với số còn lại. Một dạng khác của giải thuật rút ngắn lại các bước này, thay vào đó thế số lớn hơn bằng số dư của nó khi chia cho số nhỏ hơn (dừng lại khi số dư bằng không). Dạng thuật toán này chỉ tốn số bước nhiều nhất là năm lần số chữ số của số nhỏ hơn trên hệ thập phân. Gabriel Lamé chứng minh được điều này vào năm 1844, đánh dấu sự ra đời của lý thuyết độ phức tạp tính toán. Nhiều phương pháp khác để tăng hiệu quả của thuật toán cũng đã được phát triển trong thế kỷ 20.

Giải thuật Euclid có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết và thực tế. Nó được dùng để rút gọn phân số về dạng tối giản và thực hiện phép chia trong số học module. Thuật toán cũng là một thành phần then chốt trong giao thức mật mã để bảo mật kết nối Internet và được dùng để phá vỡ hệ thống mật mã này qua phân tích số nguyên. Nó cũng được áp dụng để giải phương trình Diophantine, chẳng hạn như tìm một số thỏa mãn nhiều biểu thức đồng dư theo định lý số dư Trung Quốc, để xây dựng liên phân số hay tìm xấp xỉ gần đúng nhất cho số thực. Cuối cùng, nó là công cụ cơ bản để chứng minh nhiều định lý trong lý thuyết số như định lý bốn số chính phương của Lagrange và tính duy nhất của phân tích số nguyên ra thừa số nguyên tố. Thuật toán Euclid ban đầu chỉ được giới hạn về số tự nhiên và độ dài hình học (số thực), nhưng đến thế kỷ 19 đã được mở rộng cho nhiều dạng số khác như số nguyên Gauss và đa thức một biến, dẫn đến các khái niệm về đại số trừu tượng như miền Euclid.

Giải thuật Euclid dùng để tính ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai số tự nhiên và . Ước chung lớn nhất là số lớn nhất chia được bởi cả và mà không để lại số dư và được ký hiệu là ƯCLN hoặc .

Nếu ƯCLN thì và được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau. Tính chất này không khẳng định là số nguyên tố. Chẳng hạn, và đều không phải là số nguyên tố vì chúng đều có thể được phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố: và . Tuy nhiên, và nguyên tố cùng nhau vì chúng không có một thừa số chung nào.

Gọi ƯCLN . Vì và đều là bội của nên chúng có thể được viết thành và , và không tồn tại số nào để các biểu thức trên đúng. Hai số tự nhiên và phải nguyên tố cùng nhau vì có thể phân tích bất kỳ thừa số chung nào từ và để lớn hơn. Do đó, một số bất kỳ được chia bởi và cũng được chia bởi . Ước chung lớn nhất của và là ước chung (dương) duy nhất của chúng có thể chia được bởi một ước chung bất kỳ.

ƯCLN có thể được minh họa như sau: Xét một hình chữ nhật có kích thước là và một ước chung bất kỳ có thể chia được hết cả và . Cả hai cạnh của hình chữ nhật có thể được chia thành các đoạn thẳng bằng nhau có độ dài là để chia hình chữ nhật thành các hình vuông có cạnh bằng . Ước chung lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của để điều này có thể xảy ra. Chẳng hạn, một hình chữ nhật có kích thước có thể được chia thành các hình vuông có cạnh là hoặc , nên là ước chung lớn nhất của và , tức là hình chữ nhật trên có hai hình vuông nằm trên một cạnh ( ) và năm hình vuông nằm trên cạnh còn lại ( ).

Ước chung lớn nhất của hai số và là tích của các thừa số nguyên tố chung của hai số đã cho, trong đó một thừa số có thể được nhân lên nhiều lần, chỉ khi tích của các thừa số đó chia được cả và . Chẳng hạn, ta phân tích được và nên ước chung lớn nhất và bằng (là tích của các thừa số nguyên tố chung). Nếu hai số không có một thừa số nguyên tố chung nào thì ước chung lớn nhất của chúng bằng (một trường hợp của tích rỗng), hay nói cách khác chúng nguyên tố cùng nhau. Một ưu điểm quan trọng của giải thuật Euclid là nó có thể tính được ƯCLN đó mà không cần phân tích ra thừa số nguyên tố. Bài toán phân tích các số nguyên lớn là rất khó và tính bảo mật của nhiều giao thức mật mã phổ biến được dựa trên tính chất này.

ƯCLN của ba số trở lên bằng tích của các thừa số nguyên tố chung của cả ba số đã cho, nhưng nó cũng có thể được tính bằng cách tìm ƯCLN của từng cặp số trong ba số đó.  Chẳng hạn,

_ƯCLN

ư Vì vậy, giải thuật Euclid, vốn dùng để tính ƯCLN của hai số nguyên cũng có thể được áp dụng để tính ƯCLN của một số lượng số nguyên bất kỳ.

Giải thuật Euclid gồm một dãy các bước mà trong đó, đầu ra của mỗi bước là đầu vào của bước kế tiếp. Gọi là số nguyên dùng để đếm số bước của thuật toán, bắt đầu từ số không (khi đó bước đầu tiên tương ứng với , bước tiếp theo là ,...)

Mỗi bước bắt đầu với hai số dư không âm và . Vì thuật toán giúp đảm bảo số dư luôn giảm dần theo từng bước nên nhỏ hơn . Mục tiêu của bước thứ là tìm thương và số dư thỏa mãn và . Nói cách khác, từ số lớn hơn , trừ đi bội của số nhỏ hơn đến khi phần dư nhỏ hơn .

Ở bước đầu tiên ( ), số dư và bằng và , hai số cần tìm ƯCLN. Đến bước kế tiếp ( ), hai số dư lần lượt bằng và số dư ở bước đầu tiên,... Do đó, thuật toán có thể được viết thành một dãy các bước:

Nếu nhỏ hơn thì thuật toán đảo ngược vị trí của hai số. Chẳng hạn, nếu thì thương bằng không và số dư bằng . Do đó, luôn nhỏ hơn với mọi .

Vì các số dư luôn giảm dần theo từng bước nhưng không thể là số âm nên số dư sau cùng phải bằng không và thuật toán dừng lại tại đó. Số dư khác không cuối cùng chính là ước chung lớn nhất của và . Số không thể là vô hạn vì chỉ có một số lượng hữu hạn các số nguyên dương nằm giữa số dư ban đầu và .

Tính đúng đắn của giải thuật Euclid có thể được chứng minh qua hai bước lập luận. 

Bước thứ nhất, cần chứng minh số dư khác không cuối cùng chia được cả và . Vì là một ước chung nên nó phải nhỏ hơn hoặc bằng với ước chung lớn nhất .

Bước thứ hai, cần chứng minh rằng bất kỳ ước chung nào của và , trong đó có cần phải chia được ; từ đó, phải nhỏ hơn hoặc bằng . Hai kết luận trên là mâu thuẫn trừ khi .

Để chứng tỏ chia được cả và , cần biết chia được số dư liền trước : vì số dư cuối cùng bằng không. cũng chia được số dư : vì nó chia được cả hai số hạng trong vế phải của phương trình. Chứng minh tương tự, cũng chia được tất cả số dư liền trước nó kể cả và . Không có số dư liền trước , ,... chia bởi và cho số dư bằng không. Vì là ước chung của và nên .

Trong bước thứ hai, một số tự nhiên bất kỳ chia được cả và (là ước chung của và ) cũng chia được số dư . Theo định nghĩa thì và có thể được viết thành bội của : và với và là các số tự nhiên. Ta có nên là một ước của số dư ban đầu . Chứng minh như bước thứ nhất, ta thấy cũng là ước của các số dư liền sau Từ đó, ước chung lớn nhất là ước của hay . Kết hợp hai kết luận thu được, ta có . Vậy là ước chung lớn nhất của tất cả cặp số liền sau:

I. Phương pháp giải

Muốn tìm ƯCLN của và (giả sử

Bước 1: Chia cho có số dư là

Bước 2:

+ Nếu thì ƯCLN . Việc tìm ƯCLN dừng lại.

+ Nếu , ta chia tiếp cho , được số dư

- Nếu thì . Dừng lại việc tìm ƯCLN

- Nếu thì ta thực hiện phép chia cho và lập lại quá trình như trên.

ƯCLN là số dư khác nhỏ nhất trong dãy phép chia nói trên.

II. Bài toán

Bài 1: Hãy tìm ƯCLN bằng thuật toán Ơclide

Lời giải:

Ta có:

(chia hết)

Vậy ƯCLN

Trong thực hành làm như sau:

					1575	343
				343	203	4
			203	140	1
		140	63	1
	63	14	2
14	7	4
0	2

Vậy ƯCLN

Bài 2: Tìm ƯCLN bằng thuật toán Euclide

Lời giải:

Ta có:

ƯCLN .

Bài 3: Chứng minh rằng ƯCLN .

Lời giải:

Cách 1:

Gọi .

Vậy ƯCLN .

Cách 2:

Ta có:

Mà chia cho dư

_{Suy ra} ƯCLN

Bài 4: Chứng minh rằng và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Cách 1:

Gọi .

Mà và lẻ nên lẻ. Suy ra .

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Cách 2:

Ta có: chia cho dư

Suy ra ƯCLN (Vì lẻ , là số chẵn).

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 5: Biết số gồm chữ số và gồm chữ số . Hãy tìm ƯCLN

Lời giải:

Ta có

Vì

Ta có:

Bài 6: Số gồm chữ số , Y gồm chữ số . Tìm ƯCLN

Lời giải:

Có:

Từ ƯCLN

Bài 7: Tìm số tự nhiên , biết rằng khi chia và cho thì số dư lần lượt là và

Lời giải:

Theo đầu bài ta có:

ƯCLN

Vì chia cho dư

Vậy

Bài 8: Người ta đếm số trứng trog một rổ. Nếu đếm theo từng chục cũng như theo tá hoặc theo từng quả thì lần nào cũng dư quả. Tính số trứng trong rổ, biết rằng số trứng đó lớn hơn và nhỏ hơn quả.

Lời giải:

Gọi số trứng trong rổ là ( )

Ta có:

Theo

Vạy số trứng trong rổ là quả

Bài 9: Một trường học có số lượng học sinh không quá . Khi xếp hàng thì đều dư . Nhưng khi xếp hàng thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường?

Lời giải:

Gọi số học sinh của trường là: ( )

Theo bài ra ta có:

Lại có:

Mà

Vậy số học sinh của trường là (học sinh).

Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số đó cho thì số dư lần lượt là

Lời giải:

Gọi số tự nhiên cần tìm là: ( )

Theo bài ta có:

Ta tìm số sao cho:

Nhận thấy:

Vì nhỏ nhất

Vậy số tự nhiên cần tìm là .

Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho dư , chia cho dư , chia cho dư

Lời giải:

Gọi số cần tìm là , ta có:

Mà nhỏ nhất nhỏ nhất

Do ƯCLN

Vậy số tự nhiên cần tìm là: .

Bài 12: Cho là các số tự nhiên khác sao cho là số tự nhiên. Gọi là ƯCLN của . Chứng minh rằng:

Lời giải:

, đặt

Bài 13: Một số tự nhiên chia cho dư , chia cho dư . Nếu đem số đó chia cho thì dư bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi số đó là

Vì chia cho dư , chia cho dư

mà ƯCLN nên

Vậy chia cho dư .

Bài 14: Tìm số tự nhiên biết rằng khi chia cho ta được số dư là và khi chia cho có số dư là .

Lời giải:

Theo đề khi chia cho ta được số dư là nên ta có với và hay (1) và khi chia cho có số dư là với (2).

Từ (1) và (2) suy ra là số tự nhiên cần tìm.

Bài 15: Một số chia cho dư , chia cho dư , chia cho dư . Hỏi số đó chia cho dư bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi số đã cho là . Theo bài ra ta có:

Mặt khác:

Như vậy đồng thời chia hết cho và .

Nhưng ƯCLN

Do nên là số dư của phép chia số cho .

Bài 16: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho thì dư và chia nó cho thì dư .

Lời giải:

Gọi số cần tìm là ( )

Vì a chia cho thì dư và chia nó cho thì dư nên:

Vì

Vì là số có 3 chữ số lớn nhất nên , khi đó

Vậy số cần tìm là .

Bài 17: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng số đó chia cho đều dư .

Lời giải:

Gọi số cần tìm là . điều kiện

Vì chia cho đều dư

Mà nhỏ nhất nên nhỏ nhất

Mà ƯCLN

Vậy số cần tìm là .

Bài 18: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia cho thì dư , chia cho thì dư .

Lời giải:

Ta có chia cho thì dư , chia cho thì dư

và và

và là bội chung của và

Vì là số tự nhiên nỏ nhất nên

Bài 19: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho , cho , cho , cho đều dư là , còn chia cho thì dư .

Lời giải:

Gọi số tự nhiên cần tìm là

Ta có khi chia cho , cho , cho , cho đều dư là

Nên nhận các giá trị

Mặt khác là số nhỏ nhất chia cho thì dư tức là là số nhỏ nhất chia hết cho

(vì thì không chia hết cho ).

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1: Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng và ƯCLN bằng .

Lời giải:

Gọi 2 số cần tìm là và , giả sử

Vì ƯCLN

Ta có

Lập bảng:

Vậy hai số cần tìm là và ; và ; và .

Bài 2: Tìm số tự nhiên biết chia hết cho .

Lời giải:

Ta có

Vì nên để thì

phải là ước của

Mà nên

Vậy thì chia hết cho .

Bài 3: Tìm số tự nhiên biết là số tự nhiên.

Lời giải:

Để là số tự nhiên thì chia hết cho

chia hết cho chia hết cho

Mà nên phải là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng và đồng thời là ước của

Vậy thì là số tự nhiên.

Bài 4: Tìm số tự nhiên biết

Lời giải:

Ta có

Vì nên để thì

Mà nên phải là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng và đồng thời là ước của

Vậy thì

Bài 5: Tìm số tự nhiên biết có giá trị là một số nguyên

Lời giải:

Ta có là một số nguyên khi

Ta có do đó khi

là ước của

Vậy thì có giá trị là một số nguyên.

Bài 6: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng bằng , ƯCLN của chúng bằng và các số đó trong khoảng từ đến .

Lời giải:

Gọi hai số tự nhiên cần tìm là và giả sử

Đặt ƯCLN với

Mà ƯCLN nên là ước của hay

Xét ta có với ƯCLN nên ta có các trường hợp của m, n như sau:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Trường hợp 3:

Xét ta có (không thỏa mãn)

_{Bài 7:} Cho Tìm ƯCLN của và

Lời giải:

Gọi

-Nếu

Vậy nếu có dạng thì

Bài 8: Tìm ƯCLN với

Lời giải:

Giả sử , là ước nguyên tố của

(vô lý)

Bài 9: Tìm ƯCLN của và

Lời giải:

Gọi ƯCLN

Khi đó ta có:

Do mà không chia hết cho , nên (loại)

Do đó

- Để thì phải chẵn

- Để thì phải chia hết cho

- Để thì là số lẻ

Vậy thì ƯCLN

thì ƯCLN

thì ƯCLN .

Bài 10: Biết . Tìm

Lời giải:

Gọi ƯCLN

hoặc

và hoặc hoặc

mà ƯCLN nên hoặc

Vậy ƯCLN hoặc .

Bài 11: Học sinh khối 6 khi xếp hàng; nếu xếp hàng , hàng , hàng đều dư học sinh. Nhưng khi xếp hàng thì vừa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến học sinh. Tính số học sinh khối 6?

Lời giải:

Gọi số học sinh khối 6 là

Vì khi xếp hàng , hàng , hàng đều dư học sinh

Ta có:

mà

Vậy số học sinh khối 6 là học sinh.

Bài 12: Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: ; ; ; ; . Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng xoài còn lại gấp ba lần số lượng cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài?

Lời giải:

Tổng số xoài và cam lúc đầu:

Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho , mà chia cho dư nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho dư .

Trong các số chỉ có chia cho dư .

Vậy giỏ cam bán đi là giỏ .

Số xoài và cam còn lại:

Số cam còn lại:

Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng ; .

Các giỏ xoài là giỏ đựng .

Bài 13: Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được còn lại mỗi bạn thu được . Lớp 6B có 1 bạn thu được còn lại mỗi bạn thu được . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng đến .

Lời giải:

Gọi số giấy mỗi lớp thu được là và

Do đó và

Số học sinh lớp 6A là: (học sinh)

Số học sinh lớp 6B là: (học sinh)

Bài 14: Số học sinh khối 6 của một tr­ường ch­ưa đến bạn, biết khi xếp hàng đều dư­ nh­ưng nếu xếp hàng thì không dư­. Tính số học sinh khối 6 của tr­ường đó.

Lời giải:

Gọi số học sinh là

Vì số học sinh khi xếp hàng đều dư­

Mà

Ta có bảng sau:

Vì số học sinh chưa đến bạn và khi xếp hàng thì không dư nên và

Trong các giá trị trên, chỉ có thỏa mãn bài toán

Vậy số học sinh cần tìm là học sinh.

Bài 15: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng có người, hoặc người, hoặc người đều thừa người. Nếu xếp mỗi hàng người thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài hàng). Hỏi đơn vị có bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến ?

Lời giải:

Gọi số người của đơn vị bộ đội là

Ta có dư

dư

dư

Ta có

Mà nên chỉ xét khi đó

Vì số bộ đội khi xếp mỗi hàng người thì vừa đủ tức là: do đó có thỏa mãn bài toán

Vậy đơn vị bộ đội có người.

Bài 16: Cho là hai số tự nhiên. Gọi là tập hợp các ước chung của và . là tập hợp các ước số chung của và . Chứng minh rằng

Lời giải:

Gọi

Khi đó ta có:

Tương tự ta có:

Từ và ta có:

Mà

Suy ra .

HẾT