Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Phương Pháp Dãy Số Để Tìm Số Nguyên Tố

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ ĐỂ TÌM SỐ NGUYÊN TỐ

PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. SỐ NGUYÊN TỐ

-Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

-Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2.

-Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố là vô hạn.

-Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương.

-Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố.

-Để kết luận số tự nhiên a là một số nguyên tố ( ),chỉ cần chứng minh a không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.

-Nếu tích (p là số nguyên tố)

-Đặc biệt nếu (p là số nguyên tố)

-Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng:

-Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng:

-Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị.

PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Tìm số nguyên tố để một hay nhiều biểu thức đồng thời là số nguyên tố.

I. Phương pháp giải

-Dựa vào các dấu hiệu chia hết và các tính chất về số nguyên tố ,hợp số, để giải các bài toán về chứng minh hoặc giải thích.

- Trong số tự nhiên liên tiếp chỉ có một và chỉ một số chia hết cho .

- Nắm chắc các tính chất đặc trưng của số nguyên tố để giải bài toán.

II. Bài toán

Bài 1: Tìm số nguyên tố sao cho các số sau cũng là số nguyên tố.

a,

b,

Lời giải:

a,

- Với là hợp số, nên không thỏa mãn đề bài.

- Với đều là số nguyên tố. Do đó thỏa mãn đề bài.

- Với , là số nguyên tố nên có dạng hoặc

+ Nếu là hợp số không thỏa mãn đề bài.

+ Nếu là hợp số không thỏa mãn đề bài.

Vậy thì là số nguyên tố.

b,

- Với là hợp số, nên không thỏa mãn đề bài.

- Với là hợp số, nên không thỏa mãn đề bài.

- Với đều là số nguyên tố, nên thỏa mãn đề bài.

- Với và là số nguyên tố nên nên có dạng

+ Nếu là hợp số không thỏa mãn đề bài.

+ Nếu là hợp số không thỏa mãn đề bài.

+ Nếu là hợp số không thỏa mãn đề bài.

+ Nếu là hợp số không thỏa mãn đề bài.

Vậy thì là số nguyên tố.

Bài 2: Tìm 3 số lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố.

Lời giải:

Gọi 3 số lẻ liên tiếp là:

Trong 3 số lẻ liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3.

- Nếu mà là số nguyên tố. Mà 1 không là số nguyên tố nên .

- Nếu . Mà là số nguyên tố trái với điều kiện.

- Nếu (vì là số nguyên tố) đều là các số nguyên tố thỏa mãn đề bài.

Vậy 3 số tự nhiên lẻ cần tìm là .

Bài 3: Tìm các số nguyên tố sao cho vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố.

Lời giải:

Giả sử là số nguyên tố cần tìm thì ta có ( đều là các số nguyên tố và )

Để là số nguyên tố thì có một trong hai số là số chẵn và cũng có một trong hai số là số chẵn.

Giả sử thì

Ta có: .

Ta thấy là 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp.

Theo câu 2 .

Thử lại:

Vậy số cần tìm là 5.

Bài 4: Tìm để dãy số chứa nhiều số nguyên tố nhất.

Lời giải:

-Nếu Ta có dãy số có các số nguyên tố là Có 4 số nguyên tố.

-Nếu Ta có dãy số có các số nguyên tố là Có 5 số nguyên tố.

-Nếu Ta có dãy số có các số nguyên tố là Có 4 số nguyên tố.

-Nếu Dãy số đều gồm các số lớn hơn 3 và bao gồm 5 số lẻ liên tiếp và 5 sô chẵn liên tiếp.

Vì các số trong dãy đều lớn hơn 3 nên suy ra 5 số chẵn liên tiếp đều là hợp số và trong 5 số lẻ liên tiếp tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 và số này cũng là hợp số.

Vậy là giá trị cần tìm.

Bài 5: Tìm số nguyên tố sao cho: cũng là số nguyên tố.

Lời giải:

- Với là số nguyên tố nên là hợp số. Do đó không thỏa mãn đề bài.

- Với là số nguyên tố đều là số nguyên tố. Do đó thỏa mãn đề bài.

- Với , là số nguyên tố nên có dạng hoặc

+ Nếu là hợp số không thỏa mãn đề bài.

+ Nếu là hợp số không thỏa mãn đề bài.

Vậy là số nguyên tố cần tìm.

Bài 6: Tìm số nguyên tố sao cho cũng là số nguyên tố.

Lời giải:

- Với ta có là hợp số không thỏa mãn đề bài.

- Với ta có đều là số nguyên tố, do đó thỏa mãn đề bài.

- Với , p là số nguyên tố nên p có dạng hoặc

+ Nếu là hợp số không thỏa mãn đề bài.

₊ Nếu là hợp số, do đó không thỏa mãn đề bài.

Vậy là số nguyên tố cần tìm.

Bài 7: Tìm số nguyên tố sao cho: đều là số nguyên tố.

Lời giải:

- Với là số nguyên tố là hợp số không thỏa mãn đề bài.

- Với là số nguyên tố đều là số nguyên tố thỏa mãn đề bài.

- Với , là số nguyên tố nên p có dạng hoặc

+ Nếu là hợp số không thỏa mãn đề bài.

+ Nếu là hợp số, do đó không thỏa mãn đề bài.

Vậy là số nguyên tố cần tìm.

Bài 8: Tìm số nguyên tố sao cho:

a, cũng là số nguyên tố .

b, cũng là số nguyên tố.

Lời giải:

a,

- Với là số nguyên tố thỏa mãn đề bài.

- Với đều là số nguyên tố thỏa mãn đề bài.

- Với , p là số nguyên tố nên p có dạng hoặc

+ Nếu là hợp số không thỏa mãn đề bài.

+ Nếu là hợp số nên không thỏa mãn đề bài.

Vậy và là số nguyên tố cần tìm.

b,

- Với là số nguyên tố là hợp số không thỏa mãn đề bài.

- Với là số nguyên tố đều là số nguyên tố thỏa mãn đề bài.

- Với , là số nguyên tố nên p có dạng hoặc

+ Nếu là hợp số không thỏa mãn đề bài.

+ Nếu là hợp số nên không thỏa mãn đề bài.

Vậy là số nguyên tố cần tìm.

Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên để , , , , , đều là số nguyên tố

Lời giải:

- Với thì là hợp số. Do đó không thỏa mãn đề bài.

- Với thì là hợp số. Do đó không thỏa mãn đề bài.

- Với thì là hợp số. Do đó không thỏa mãn đề bài.

- Với thì là hợp số. Do đó không thỏa mãn đề bài.

- Với thì thì đều là các số nguyên tố. Do đó thỏa mãn đề bài.

- Với thì n có có dạng .

+ Với thì là hợp số. Do đó không thỏa mãn.

+ Với thì là hợp số. Do đó không thỏa mãn.

+ Với thì là hợp số. Do đó không thỏa mãn

Do đó thỏa mãn đề bài.

Bài 10: Tìm tất cả các số nguyên tố , sao cho và cũng là số nguyên tố

Lời giải:

Nếu là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ vì nó là số nguyên tố lớn hơn 2

Suy ra là số chẵn, khi đó ít nhất 1 trong 2 số hoặc bằng 2

Giả sử là số nguyên tố

+ Nếu là hợp số, không thỏa mãn.

+ Nếu và đều là các số nguyên tố, thỏa mãn đề bài.

+ Nếu , là số nguyên tố nên có dạng hoặc

+ Với là hợp số không thỏa mãn.

+ Với là hợp số không thỏa mãn.

Vậy .

Xét tiếp TH làm tương tự ta được .

Vậy hoặc .

Bài 11: Tìm số nguyên tố sao cho là số nguyên tố.

Lời giải:

- Nhận thấy là số nguyên tố, và cũng là số nguyên tố

- Với và là số nguyên tố thì có dạng

Nếu là hợp số, nên không thỏa mãn.

Vậy là số nguyên tố cần tìm.

Bài 12: Ta gọi là hai số tự nhiên liên tiếp, nếu giữa và không có số nguyên tố nào khác. Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp sao cho cũng là số nguyên tố.

Lời giải:

Nếu 3 số nguyên tố đều khác 3 thì đều có dạng suy ra chia cho 3 đều dư 1. Khi đó 3 và 3 nên là hợp số. Vậy , khi đó là số nguyên tố.

Bài 13: Tìm các số nguyên tố sao cho là số nguyên tố và

Lời giải:

Ta có : Từ 25 đến 45 có 5 số nguyên tố là :

Nên ta có bảng sau :

Mà là số nguyên tố nên hoặc .

Vậy hoặc .

Bài 14: Tìm các số nguyên tố sao cho .

Lời giải:

Vì

Giả sử , vì là số nguyên tố .

Ta có

Vậy

Bài 15: Ta gọi là 2 số nguyên tố liên tiếp nếu giữa và không có số nguyên tố nào khác.Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp sao cho cũng là số nguyên tố.

Lời giải:

+Nếu đều khác 3 mà là các số nguyên tố.

chia 3 dư 1 hoặc dư 2 ( hay dư -1 ).

chia 3 dư 1.

chia hết cho 3.

Vậy tồn tại 1 số bằng 3.

+ TH1: Bộ 3 số tương ứng là: . Khi đó là hợp số. Do đó bộ ba số này không thỏa mãn.

+ TH2: Bộ 3 số tương ứng là: Khi đó là số nguyên tố . Do đó bộ ba số này thỏa mãn đề bài.

Vậy 3 số nguyên tố liên tiếp cần tìm là: .

Bài 16: Tìm 3 số nguyên tố sao cho: .

Lời giải:

Vì r là số lẻ ( là số nguyên tố ).

có 1 số lẻ và 1 số chẵn.

Giả sử là số chẵn chẵn ( vì p là số nguyên tố )

+ Nếu

Mặt khác là số lẻ

( Vì là số nguyên tố ).

( Loại vì là số nguyên tố nên )

+Nếu thì là số nguyên tố ( Thỏa mãn ).

Vậy .

Bài 17: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố liên tiếp sao cho tổng bình phương của ba số này cũng là số nguyên tố.

Lời giải:

_{Gọi bộ ba số nguyên tố liên tiếp đó là}

Nếu đều không chia hết cho 3 thì đều chia 3 dư 1

Mà nên là hợp số ( Trái với GT, loại )

Do đó có ít nhất một trong 3 số chia hết cho 3.

+ Nếu thì

Khi đó là số nguyên tố ( Thỏa mãn )

+ Nếu thì

Khi đó không là số nguyên tố ( Trái với GT, loại )

+Nếu thì (Vô lí vì là số nguyên tố, loại )

Vậy 3 số nguyên tố cần tìm là :

Bài 18: Tìm tất cả các bộ ba số sao cho

Lời giải:

Vì có vai trò như nhau nên giả sử khi đó

vì là số nguyên tố.

Với thì ta có

( vì là số nguyên tố )

+ Nếu thì thỏa mãn với là số nguyên tố bất kì

_{+ Nếu} thì

Vậy các cặp số cần tìm là và các hoán vị của chúng, với là số nguyên tố.

Bài 19: Tìm tất cả các số tự nhiên để :

a, là số nguyên tố.

b, là số nguyên tố.

Lời giải:

a, Ta có : , Vì có thêm 2 ước là và

Để là số nguyên tố thì là số nguyên tố thỏa mãn đề bài.

b, Nếu là số nguyên tố.

Nếu là hợp số.

_{Vậy .}

Bài 20: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là . Tìm biết rằng không là số nguyên tố.

Lời giải:

Gọi số nguyên tố là ( ).

Ta có:

Vì là số nguyên tố nên không chia hết cho

Số nguyên dương không là số nguyên tố nhỏ hơn 30 và không chia hết cho chỉ có số 1.

Vậy .

Bài 21: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư là .Tìm biết rằng là hợp số.

Lời giải:

Gọi số nguyên tố là ( )

_{Ta có:}

Vì là số nguyên tố nên không chia hết cho .

Số nguyên dương là hợp số nhỏ hơn 42 và không chia hết cho chỉ có số 25.

Vậy .

Bài 22: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số này là số chẵn hay số lẻ?

Lời giải:

Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số nguyên tố lẻ. Do đó tổng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.

Bài 23: Tìm tất cả các số nguyên tố để cũng là số nguyên tố.

Lời giải:

Với ta có không là số nguyên tố.

Với ta có là số nguyên tố.

Với ta có . Vì lẻ và không chia hết cho 3 nên và , do đó là hợp số. Vậy với thì là số nguyên tố.

_{Dạng 2 : Các bài toán chứng minh về số nguyên tố.}

Bài 24: Chứng minh rằng với thì không thể đồng thời là số nguyên tố.

Lời giải:

Xét dãy số: là 3 số tự nhiên liên tiếp.

Vì

Vì dãy số: là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3.

Mà nên một trong hai số chia hết cho 3.

Suy ra thì không thể đồng thời là số nguyên tố.

Bài 25: Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên luôn tìm được số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số.

Lời giải:

Chọn số tự nhiên

Khi đó ta có số tự nhiên liên tiếp là đều là hợp số vì số trên lần lượt chia hết cho ( điều phải chứng minh).

Bài 26: Chứng minh rằng nếu đều là các số gnuyeen tố lớn hơn 3 thì m chia hết cho 6.

Lời giải:

Các số nguyên tố lớn hơn 3 đều là số lẻ.

Nếu là số lẻ thì là số chẵn lớn hơn 3 nên không là số nguyên tố. Suy ra m là số chẵn.

Đặt .

Nếu thì ba số đã cho là:

Nếu chia cho 3 dư 1 thì , không thỏa mãn đề bài.

Nếu chia cho 3 dư 2 thì , không thỏa mãn đề bài.

Vậy không có dạng

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được không có dạng

Do đó

Vậy m chia hết cho 6.

Bài 27:

a) Chứng minh rằng số dư trong phép chia của một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố. Khi chia cho 60 thì kết quả ra sao?

b) Chứng minh rằng nếu tổng của lũy thừa bậc 4 của các số nguyên tố lớn hơn 5 là một số nguyên tố thì

Lời giải:

a) Giả sử là số nguyên tố và với . Nếu là hợp số thì có ước nguyên tố . Nhưng với thì lần lượt chia hết cho 2; 3; 5 (vô lí). Vậy hoặc là số nguyên tố.

Khi chia cho 60 thì kết quả không còn đúng nữa, chẳng hạn mà 49 là hợp số.

b) Số nguyên tố khi chia cho 30 chỉ có thể dư là

Với thì (mod 30).

Với thì (mod 30).

Suy ra (mod 30).

Giả sử là các số nguyên tố lớn hơn 5.

Khi đó (mod 30) là số nguyên tố nên .

Bài 28: Hai số có thể cùng là số nguyên tố hay không ? Vì sao ?

Lời giải:

Vì là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3.Mà và 3 là số nguyên tố nên không chia hết cho 3.

Mà nên

Từ , suy ra 1 trong 2 số phải chia hết cho 3.

Hai số không thể cùng là số nguyên tố.

Bài 29: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3,trong đó số sau lớn hơn số trước là đơn vị.Chứng minh rằng

Lời giải:

Các số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng hoặc

Có 3 số mà chỉ có 2 dạng nên tồn tại hai số thuộc cùng một dạng, hiệu của chúng ( là hoặc ) chia hết cho 3. Mặt khác chia hết cho 2 vì là hiệu của hai số lẻ.Vậy chia hết cho 6.

Bài 30: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp.Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6.

Lời giải:

Gọi là số nguyên tố lơn hơn 3 và lẻ nên

Mà là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng .

Dạng không xảy ra vì nếu thì là hợp số (Loại)

Từ , ĐPCM

Bài 31: Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố.

Lời giải:

_{Giả sử} là số nguyên tố và có dạng

_Nếu là hợp số thì có ước nguyên tố sao cho

Nhưng với thì p lần lượt chia hết cho ( Vô lý )

Vậy hoặc là số nguyên tố.

Bài 32: Cho dãy số nguyên dương được xác định như sau:

là ước nguyên tố của với . Chứng minh rằng .

Lời giải:

Ta có , giả sử với nào đó mà có số 5 là ước nguyên tố lớn nhất của số thì không thể chia hết cho 2, cho 3. Vậy chỉ có thể xảy ra với .

Suy ra .

Mà không chia hết cho 4 do là các số lẻ (vô lí).

Vậy không có ước nguyên tố của 5, tức là .

Bài 33: Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được 1997 số liên tiếp nhau mà không có số nguyên tố nào hay không ?

Lời giải:

Chọn dãy số:

……............. ………….

Như vậy: Dãy số gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên tố.

Bài 34: Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được số liên tiếp nhau mà không có số nguyên tố nào hay không ?

Lời giải:

Chọn dãy số:

nên là hợp số

nên là hợp số

nên là hợp số

……............. ………….

nên là hợp số

Như vậy: Dãy số gồm có số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên tố.

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1: Cho và là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng là hợp số.

( Trích đề HSG lớp 6 Trực Ninh năm học 2017-2018)

Lời giải:

Do là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng với .

+ Nếu thì .

Suy ra là hợp số (vô lí).

+ Nếu thì .

Do nên . Do đó là hợp số.

Bài 2: Biết là nguyên tố có bốn chữ số thỏa mãn cũng là số nguyên tố và . Hãy tìm .

( Trích đề HSG lớp 6 Sông Lô năm học 2018-2019)

Lời giải:

Vì là các số nguyên tố nên lẻ và khác 5.

_{Ta lại có}

_{Nếu ( Không thỏa mãn)}

_{Nếu nên ( Không thỏa mãn).}

_{Nếu ( Loại)}

_{Nếu ( thỏa mãn)}

_{Suy ra .}

_{Vậy .}

Bài 3: Cho các số là các số nguyên tố. Chứng minh trong 3 số có ít nhất 2 số bằng nhau.

( Trích đề HSG lớp 6 TP Bắc Ninh năm học 2018-2019)

Lời giải:

Trong 3 số có ít nhất 2 số cùng tính chẵn lẻ.

Giả sử hai số cùng tính chẵn lẻ là và .

Suy ra là số nguyên tố chẵn nên .

Suy ra . Khi đó và nên .

Vậy trong ba số có ít nhất 2 số bằng nhau.

Bài 4: Giả sử và là các số nguyên tố. Chứng tỏ cũng là số nguyên tố.

( Trích đề HSG lớp 6 Gia Bình năm học 2018-2019)

Lời giải:

+) Với thì không là số ngàyên tố.

+) Với thì và đều là số nguyên tố.

+) Với

nên là hợp số.

Vậy chỉ có thì và đều là số nguyên tố.

Bài 5: Cho là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh chia hết cho 100.

( Trích đề HSG lớp 9 huyện Lục Nam năm học 2018-2019)

Lời giải:

Ta có .

Do là sốnguyên tố lớn hơn 5 nên là một số lẻ.

và là các số chẵn.

chia hết cho 4.

chia hết cho 4.

Vì là số nguyên tố lớn hơn 5 là một số không chia hết cho 5.

Lập luận ta được chia hết cho 5.

Lập luận ta được chia hết cho 5.

Suy ra chia hết cho 5.

Mà nên ( đpcm).

Bài 6: Chứng minh rằng hai số và là 2 số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

( Trích đề HSG lớp 6 Như Thanh năm học 2018-2019)

Lời giải:

Đặt

. Vì vậy

Do đó hoặc

+) Nếu thì ( Vô lý)

.

Vậy _{và là hai nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.}

Bài 7: Cho là số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh rằng .

( Trích đề HSG lớp 9 huyện Kim Thành năm học 2018-2019)

Lời giải:

Ta có .

Vì là số nguyên tố lớn hơn 3 nên lẻ. Do đó và là hai số chẵn liên tiếp. Từ đó suy ra .

Xét ba số tự nhiên liên tiếp . Ta có .

Mà là số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3. Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra .

Từ và kết hợp với và ta suy ra (đpcm).

Bài 8: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố sao cho

Lời giải:

Từ ta được .

Do đó ta suy ra được là số nguyên tố lẻ.

Từ đó ta đặt với .

Khi đó ta được .

Do đó là số chẵn nên là số chẵn. Mà là số nguyên tố nên .

Thay vào ta suy ra được .

Vậy cặp sô nguyên tố thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 9: Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác nhau có dạng sao cho hiệu của số đó với số viết theo thứ tự ngược lại cuả số đó là số chính phương.

( Trích đề HSG lớp 6 huyện Thái Thụy năm học 2018-2019)

Lời giải:

Theo đề bài ra ta có: là số chính phương.

Khi đó là số chính phương.

Suy ra là số chính phương.

Vì nên .

Ta xét các trường hợp sau:

+ TH1: và là số nguyên tố nên .

+ TH2: và là số nguyên tố nên .

+ TH3: và là số nguyên tố nên không có số nào thỏa mãn.

Vậy

Bài 10: Tìm các số nguyên tố và số nguyên thỏa mãn .

( Trích đề HSG lớp 6 huyện Kiến Xương năm học 2016-2017)

Lời giải:

Ta có .

Vì là số nguyên tố và là số nguyên nên từ phương trình trên ta suy ra .

Ta xét các trường hợp sau:

+ Nếu , khi đó từ phương trình trên ta được . Do là số nguyên tố nên:

• Khi thì ta được .

• Khi thì là số lẻ nên là số nguyên tố chẵn. Do đó nên không phải là số nguyên tố.

+ Nếu , khi đó từ phương trình trên ta được . Do đó là số nguyên tố chẵn và là số nguyên tố lẻ. Từ đó ta được .

+ Nếu khi đó từ phương trình trên ta được =3. Trường hợp này không xảy ra do và là số nguyên tố nên .

+ Nếu , khi đó phương trình trên ta được . Trường hợp này không xảy ra do và là số nguyên tố nên .

Vậy các bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là .

Bài 11: Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố thì là hợp số.

( Trích đề HSG lớp 6 huyện Thanh Hà năm học 2015-2016)

Lời giải:

Xét 3 số tự nhiên liên tiếp là , , .

Trong ba số tự nhiên liên tiếp trên có duy nhất một số chia hết cho 3.

Do nên , mà theo giả thiết thì là số nguyên tố, do đó không chia hết cho 2.

Lại có không chia hết cho 3. Do đó suy ra chia hết cho 3.

Mà do nên . Từ đó ta được là hợp số.

Bài 12: Tìm các số nguyên tố thỏa mãn các điều kiện sau.

; ;

( Trích đề HSG lớp 6 huyện Nam Sách năm học 2012-2013)

Lời giải:

Từ ta có do đó .

Mặt khác từ điều kiện ta được , do đó hay .

Vì nên hoặc .

Xét hai trường hợp sau:

+ Với và , khi đó ta được hoặc .

• Nếu thì , suy ra ( loại).

• Nếu thì , suy ra ( nhận).

Với và không tồn tại vì .

Vậy ba số nguyên tố cần tìm là .

Bài 13: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện:

( Trích đề HSG lớp 6 huyện Gia Lộc năm học 2017-2018)

Lời giải:

Từ giả thiết suy ra . Để không giảm tính tổng quát giả sử .

Suy ra , do đó .

Với suy ra .

Do đó .

+ Với , khi đó từ suy ra .

+ Với từ suy ra do .

Với từ giả thiết suy ra (do ).

Thay vào ta được .

Vậy các bộ ba số nguyên tố khác nhau thỏa mãn là:

và các hoán vị của nó.

Bài 14: Tìm tất cả các bộ ba nguyên tố sao cho .

( Trích đề HSG lớp 9 Ninh Bình năm học 2018-2019).

Lời giải:

Không mất tính tổng quát giả sử .

Với thì .

.

.

Do là ước của nên .

Nếu ( loại).

Nếu ( thỏa mãn).

.

.

.

Nếu lẻ lẻ mà không chia hết cho 4 ( vô lí).

Vậy bộ ba số nguyên tố cần tìm là và các hoán vị.

Bài 15: Tìm hai số nguyên tố sao cho .

( Trích đề HSG lớp 9 Phú Yên năm học 2018-2019).

Lời giải:

Ta có chia cho dư hoặc .

Xét chia cho dư , vì là số nguyên tố nên , suy ra (vô lí).

Ta có chia cho dư suy ra chia hết cho mà nên ( thỏa mãn).

Vậy .

 HẾT 