Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Các Tính Chất Cơ Bản Và Bài Toán ƯCLN BCNN

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ - ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN ƯCLN VÀ BCNN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. ĐỊNH NGHĨA VỀ ƯỚC VÀ BỘI

Ước: Số tự nhiên được gọi là ước của số tự nhiên a khi và chỉ khi a chia hết cho d . Ta nói d là ước của a.

_{Nhận xét:} Tập hợp các ước của a là Ư

Bội: Số tự nhiên m được gọi là bội của khi và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một ước số m.

_{Nhận xét:} Tập hợp các bội của a là

2) Tính chất:

- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

- Các số và là ước của mọi số nguyên.

- Nếu Ư thì a là số nguyên tố.

- Số lượng các ước của một số : Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên là … thì số lượng các ước của bằng …

Thật vậy ước của là số có dạng …trong đó:

có cách chọn (là )

có cách chọn (là )

có cách chọn (là ),…

Do đó, số lượng các ước của bằng

II. Ước chung và bội chung

1) Định nghĩa

Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư và Ư có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là ước số chung của a và b. Kí hiệu: ƯC .

_{Nhận xét:} Nếu ƯC thì a và b nguyên tố cùng nhau.

Ước chung lớn nhất (ƯCLN): Số được gọi là ước số chung lớn nhất của a và b khi d là phần tử lớn nhất trong tập hợp ƯC . Kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN hoặc hoặc gcd .

Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B và B có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là bội số chung của a và b. Kí hiệu BC .

Bội chung nhỏ nhất (BCNN): Số được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b khi m là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC . Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN hoặc hoặc lcm .

2) Tính chất

Một số tính chất của ước chung lớn nhất:

● Nếu thì ta nói các số nguyên tố cùng nhau.

● Nếu thì ta nói các số đôi một nguyên tố cùng nhau.

● ƯC thì

●

●

● và thì

●

● Cho

- Nếu thì

- Nếu thì

Một số tính chất của bội chung nhỏ nhất:

● Nếu thì

_●

_●

_●

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Các tính chất và bài toán cơ bản về ƯCLN và BCNN

I. Phương pháp giải

Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên là … thì số lượng các ước của bằng …

Thật vậy ước của là số có dạng …trong đó:

có cách chọn (là )

có cách chọn (là )

có cách chọn (là ),…

Do đó, số lượng các ước của bằng

II. Bài toán

Bài 1: Tìm số ước của số .

Lời giải:

Ta có :

_{Vậy số ước của số} là

Bài 2: Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước số của nó là số lẻ.

Lời giải:

Giả sử với nguyên tố và

n là số chính phương khi và chỉ khi là các số chẵn khi đó là số lẻ.

Mặt khác là số các số ước của n, do đó bài toán được chứng minh.

Bài 3: Một số tự nhiên n là tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng n không thể có đúng 17 ước số.

Lời giải

Tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp có dạng :

không thể là số chính phương.

Nếu n có đúng 17 ước số thì n là số chính phương (bài toán 1), vô lí. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 3: Cho Chứng minh rằng:

a) c)

b) d)

Lời giải

a) Đặt

c)

Giả sử Gọi p là số ước nguyên tố của d (1 số tự nhiên khác 1 bào giờ cũng tồn tại ít nhất một ước nguyên tố)

Ta có: (vô lý)

Vậy

d)

Bài 3: Biết rằng là bội chung của . Chứng minh rằng:

1. là bội của b) là bội của

Lời giải

a) (do c có một chữ số, có hai chữ số)

-

Đặt

-

Vì đpcm

b) đpcm

Bài 4: Biết rằng

a. nhỏ hơn 10 lần (a, b). Số thứ nhất là 120, tìm số thứ hai

b. (a, b) = 12, [a, b] lớn gấp 6 lần (a, b). Số thứ nhất là 24, tìm số thứ hai

c. Tổng cuả hai số bằng 60, tổng giữa UCLN và BCNN của chúng là 84. Tìm hai số đó

Lời giải

a. Ta có:

b. Số thứ hai là 36

c. Gọi hai số phải tìm là: a và b

đặt ;

Có:

Vì tổng của hai bằng 60 nên

Từ (1)(2)

Hoặc

Dạng 2: Tìm số nguyên để thỏa mãn điều kiện chia hết

I. Phương pháp giải

Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia và phần nguyên dư, sau đó để thỏa mãn chia hết thì số chia phải là ước của phần số nguyên dư, từ đó ta tìm được số nguyên n thỏa mãn điều kiện.

II. Bài toán

Bài 1: Tìm số tự nhiên để chia hết cho .

Lời giải:

Ta có:

Mà chia hết cho

Do đó chia hết cho 4 chia hết cho là ước của 4.

_{Do đó}

Vậy với thì chia hết cho .

Bài 2: Tìm số tự nhiên để là số tự nhiên.

Lời giải:

Để là số tự nhiên thì chia hết cho .

chia hết cho .

12 chia hết cho .

là Ư .

Vậy với thì là số tự nhiên.

Bài 3: Tìm số tự nhiên để .

Lời giải:

Ta có:

Suy ra:

Do đó Ư

Vậy thì .

Bài 4: Tìm số nguyên để phân số có giá trị là một số nguyên.

Lời giải:

Ta có:

Vì 2 là số nguyên nên để là số nguyên thì là số nguyên

Suy ra Ư

Vậy với thì có giá trị là một số nguyên.

Bài 5: Tìm số tự nhiên để biểu thức sau là số tự nhiên:

Lời giải

_{Ta có:}

Để là số tự nhiên thì là số tự nhiên

Ư

Do nên .

Vậy thì là số tự nhiên.

Bài 6: Tìm k nguyên dương lớn nhất để ta có số là một số nguyên dương.

Lời giải

Ta có: n là một số nguyên dương khi và chỉ khi

Ta có 484 = 22² = 4.121= 44.21

Với , ta có

Với , ta có

Vậy giá trị lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 98.

Dạng 3: Tìm số tự nhiên khi biết điều kiện về tổng, tích, thương các số và dữ kiện về ƯCLN, BNCC.

I. Phương pháp giải

- Biết ƯCLN(a, b) = k thì và với ƯCLN(m, n) = 1 (là điều kiện của số m, n cần tìm), từ đó tìm được a và b

- Biết BCNN(a, b) = k thì ta gọi ƯCLN(a, b) = d thì và với ƯCLN(m, n) = 1

(là điều kiện của số m, n cần tìm), từ đó tìm được a và b.

II. Bài toán

Bài 1: Tìm hai số nguyên dương biết và ƯCLN(a, b) = 16.

Lời giải:

Điều kiện:

Giả sử . Ta có ƯCLN(a, b) = 16

với ; ƯCLN

Biết

Vì ƯCLN nên ta có hai trường hợp của m và n

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Bài 2: Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: và ƯCLN

Lời giải:

Điều kiện: . Giả sử

Ta có:

Đặt với

Từ

Do , lập bảng:

	1	2	3	4
	8	7	6	5
	18	36	loai	72
	144	126		90

Kết luận: Các số cần tìm là:

Bài 3: Tìm hai số nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng bằng 90 và ƯCLN là 15

Lời giải:

Gọi hai số cần tìm là

Ta có:

Đặt

Lại có:

13	7	195	105
11	5	65	75
7	1	85	15

_Vậy:

Bài 4: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 432 và ƯCLN bằng 6.

Lời giải:

Gọi hai số tự nhiên cần tìm là . Điều kiện: .

Ta có:

Đặt với (m, n) = 1 và m ≤ n

Ta được:

m	n	a	b
1	12	6	72
3	4	18	24

_{Vậy .}

Bài 5: Tìm hai số biết và ƯCLN .

Lời giải

Từ suy ra

Từ ƯCLN

Mà: vì =>

Vậy hai số cần tìm là và .

Bài 6: Cho

a) Tìm và .

b) So sánh với Chứng minh nhận xét đó đối với hai số tự nhiên và khác tùy ý.

Lời giải

a)

_{ƯCLN(1980, 2100)}

b) ( đều bằng ). Ta sẽ chứng minh rằng

Cách 1. Trong cách giải này, các thừa số riêng cũng được coi như các thừa số chung, chẳng hạn chứa thừa số không chứa thừa số thì ra coi như chứa thừa số với số mũ bằng . Với cách viết này, trong ví dụ trên ta có:

là tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất . là tích các thừa số chung với số mũ lớn nhất

Bây giờ ta chứng minh trong trường hợp tổng quát:

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, các thừa số nguyên tố ở hai vế của chính là các thừa số nguyên tố có trong và Ta sẽ chứng tỏ rằng hai vế chứa các thừa số nguyên tố như nhau với số mũ tương ứng bằng nhau.

Gọi là thừa số nguyên tố tùy ý trong các thừa số nguyên tố như vậy. Giả sử số mũ của trong là số mũ của trong là trong đó và có thể bằng Không mất tính tổng quát, giả sử rằng Khi đó vế phải của chứa với số mũ . Còn ở vế trái, [a, b] chứa với số mũ x, (a, b) chứ p với số mũ nên vế trái cũng chứa với số mũ

Cách 2. Gọi thì , trong đó

Đặt , ta cần chứng minh rằng .

Để chứng minh điều này, cần chứng tỏ tồn tại các số tự nhiên x, y sao cho , và (x, y) = 1.

Thật vậy từ (1) và (2) suy ra ,

Do đó, ta chọn thế thì vì

_Vậy tức là

Bài 7: Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng , BCNN của chúng bằng 900.

Lời giải

Gọi các số phải tìm là và _. Điều kiện: . Giả sử .

Ta có nên. , , Do đó . Mặt khác

Từ và suy ra Ta có các trường hợp :

	1	2	3	4
	90	45	18	10

Suy ra:

	10	20	50	90
	900	450	180	100

Bài 5: Tìm hai số tự nhiên sao cho tổng của ƯCLN và BCNN là 15.

Lời giải

Điều kiện: . Giả sử .

Gọi d = ƯCLN( a; b) , và d < 15

Nên BCNN(a; b) =

Theo bài ra ta có: , Mà d < 15, Nên

TH1 : hoặc

TH2 :

TH3 :

Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;14), (2 ; 7), (3 ; 12), ( 5 ; 10) và đảo ngược lại.

Bài 8: Tìm hai số nguyên dương biết và ƯCLN .

Lời giải

Điều kiện: . Giả sử . Ta có ƯCLN .

Biết

Vì ƯCLN nên ta có hai trường hợp

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Vậy hai số cần tìm là .

Bài 9: Tìm hai số nguyên dương biết và ƯCLN .

Lời giải

Điều kiện:

ƯCLN

Biết với ƯCLN (m, n) = 1.

và và

Bài 10: Tìm biết và .

Lời giải

Gọi ƯCLN với ;

Không mất tính tổng quát, giả sử nên

Biết

Biết

là ước chung của 42 và 72

Lần lượt thay các giá trị của d và (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường hợp thì và

(thỏa mãn các điều kiện của m và n)

Vậy và .

Bài 11: Tìm hai số nguyên dương biết , .

Lời giải

Điều kiện:

Đặt ƯCLN với ƯCLN

Biết

Từ đây bài toán đã biết và

hoặc .

Bài 12: Tìm biết và .

Lời giải

Đặt ƯCLN .

Vì , mặt khác

Mà , nên

Từ đây bài toán đã biết và

.

Bài 13: Tìm hai số tự nhiên biết và

Lời giải

Điều kiện: .

Gọi ƯCLN ƯCLN

Biết

Biết

là ước chung của 7 và 140

Thay lần lượt các giá trị d vào (1) và (2) để tính m, n ta được kết quả duy nhất thì và (thỏa mãn )

Vậy và .

Bài 14: Tìm hai số tự nhiên biết và ƯCLN

Lời giải

Điều kiện: . Giả sử .

Biết ƯCLN ƯCLN

Mà nên

Mà ƯCLN nên có các trường hợp của số m, n như sau

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Trường hợp 3:

Vậy hai số cần tìm là .

Bài 15: Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 504 và ƯCLN của chúng bằng 42

Lời giải

Gọi các số phải tìm là và _. Điều kiện: . Giả sử .

Biết ƯCLN ƯCLN

Mà

Vì ƯCLN nên có các trường hợp của số m, n như sau

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Vậy hai số cần tìm là .

Bài 16: Cho , tìm số nguyên tố có 2 chữ số sao cho ƯC

Lời giải

Vì số ƯC

cũng là ước của hiệu

Mà là số nguyên tố có hai chữ số nên .

Vậy số nguyên tố cần tìm là .

Bài 17: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 300 và ƯCLN bằng 5.

Lời giải

Gọi các số phải tìm là và . Điều kiện: . Giả sử .

Biết ƯCLN ƯCLN

Mà nên

Mà ƯCLN nên có các trường hợp của số m, n như sau

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Vậy hai số cần tìm là .

Bài 18: Tìm hai số tự nhiên và , biết: ƯCLN .

Lời giải

Điều kiện: .

Vì ƯCLN và

ƯCLN

Mà nên Khi đó có các trường hợp của số m, n như sau

Trường hợp 1: (thỏa mãn)

Trường hợp 2: (thỏa mãn)

Vậy hai số cần tìm là .

Bài 19: Tìm hai số tự nhiên và , biết: ƯCLN .

Lời giải

Điều kiện: .

Vì ƯCLN nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:

và

Vì nên theo trên ta suy ra

Vì

Trong các trường hợp thỏa mãn điều kiện (2) và (3) thì chỉ có trường hợp là thỏa mãn điều kiện (4)

Vậy ta được các số phải tìm là .

Bài 20: Tìm hai số tự nhiên và , biết: ƯCLN

Lời giải

Điều kiện: .

Vì ƯCLN nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:

và

Vì

Vì

Trong các trường hợp thỏa mãn điều kiện (2) và (3) thì chỉ có trường hợp hoặc là thỏa mãn điều kiện (4)

Vậy hoặc ta được các số phải tìm là: .

Bài 21: Tìm hai số tự nhiên và , biết: ƯCLN .

Lời giải

Điều kiện: . Giả sử

Biết ƯCLN ƯCLN

Mà

Vì ƯCLN nên ta có các trường hợp của số m, n như sau

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Trường hợp 3:

Vậy hai số cần tìm là .

Bài 22: Tìm hai số tự nhiên và , biết:

Lời giải

Điều kiện: . Giả sử

Biết ƯCLN ƯCLN

Mà

Vì ƯCLN nên ta có các trường hợp của số như sau

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Trường hợp 3:

Vậy hai số cần tìm là .

Bài 23: Tìm hai số tự nhiên biết tổng ƯCLN và BCNN của chúng bằng 23

Lời giải

Gọi hai số tự nhiên cần tìm là và giả sử

Đặt ƯCLN với ƯCLN

Mà ƯCLN nên là ước của 23 hay

Xét ta có với nên ta có các trường hợp của như sau:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Xét ta có (không thỏa mãn)

Vậy hai số cần tìm là

Bài 24: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó trong khoảng từ 300 đến 400.

Lời giải

Gọi các số phải tìm là và . Điều kiện: .

Ta có ƯCLN với và nguyên tố cùng nhau

Ta có

Theo bài ra ta có Chọn hai số có hiệu bằng 3 trong khoảng từ 11 đến 15 là 11 và 14; 12 và 15

Chi có 11 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau

Vậy hai số cần tìm là 308 và 392.

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên khác 0: và , sao cho: và .

(Thi học sinh giỏi TP. Hồ Chí Minh năm 1992 – 1993)

Lời giải

Gọi và

vì

là ước số của là ước số của

là ước số của 2 hoặc .

Nếu hoặc

Nếu vô nghiệm.

Tóm lại

Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:

1. đều khác và ước số chung lớn nhất của là .

2. Số có đúng ước số nguyên dương.

(Trích đề học sinh giỏi toán Đăk Lăk năm học 2017-2018)

Lời giải

Ta có: chia hết cho các số:

Hay có ước dương Nên để chỉ có đúng ước dương thì là số nguyên tố. Do

Nếu cùng lẻ thì chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý). Do đó không mất tính tổng quát, giả sử chẵn lẻ .

Ta cũng có nếu không chia hết cho 3 thì và chia hết cho 3 là hợp số (vô lý) .

Vậy .

Bài 3: Cho hai số tự nhiên và thoả mãn là số nguyên.

Chứng minh ước chung lớn nhất của và không lớn hơn .

(Trích đề học sinh giỏi Hải Dương năm học 2004-2005)

Lời giải

Gọi là ƯCLN suy ra cùng chia hết cho .

Do là số nguyên nên cũng chia hết cho .

Suy ra chia hết cho .

Bài 4: Cho ba số nguyên dương đôi một khác nhau và đồng thời thỏa mãn các điều kiện:

1. là ước của ,

2. b là ước của ,

3. c là ước của ,

a) Hãy chỉ ra bộ ba số thỏa mãn các điều kiện trên.

b) Chứng minh rằng không thể đồng thời là các số nguyên tố.

(Trích đề vào 10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội năm 2007-2008)

Lời giải

a) Dễ thấy bộ số thỏa mãn đề bài

b) Đặt .

Từ giả thiết suy ra S chia hết cho .

Vì đôi một khác nhau, do đó đồng thời là các số nguyên tố thì hay

Không mất tính tổng quát, giả sử .

Nếu thì đều lẻ lẻ nên không chia hết cho .

Do đó nên . Từ suy ra

Vậy không thể đồng thời là các số nguyên tố.

Bài 5: Tìm biết:

a)

b)

_c)

_{Lời giải}

a) Gọi và . Ta có:

Theo đề bài, ta có: hay . Như vậy là ước của 55, mặt khác .

Ta có lần lượt

11	5		1	4	11	44
5	11		1 2	10 5	5 10	50 25
1	55		1 2	54 27	1 2	54 27

b) Giải tương tự câu a) ta được: . Từ đó:

1	5	6	6	1	6	1
			3	2	3	2
5	1	2	2	1	10	5

c) Có 6 cặp số (1, 36), (4, 9), (5, 40), (7, 42), (14, 21), (35, 70).

_{Bài 6:} Tìm

Lời giải

Đặt và . Áp dụng tính chất , ta có

Dễ thấy , suy ra do

Lại áp dụng tính chất thế thì

Gọi . Do nên

Xét hai trường hợp:

- Nếu chẵn thì , suy ra

_{- Nếu} lẻ thì , suy ra

Bài 7: Tìm biết để các số và có ước chung lớn hơn 1.

Lời giải

Gọi là một ước chung của và

Ta có và nên

Để và có ước chung lớn hơn 1, ta phải có

Hay mà ƯCLN nên

Do đó .

Vì nên .

Với , khi đó và (thỏa mãn)

Với , khi đó và (thỏa mãn)

Vậy .

Bài 8: Tìm hai số nguyên dương biết và ƯCLN

Lời giải

Gọi ƯCLN

Mà : (1)

Ta lại có: ƯCLN

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Mà: hoặc

TH1: (loại)

TH2:

Vậy và

Bài 9: Cho Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Do đó (vì lẻ)

Vậy

Bài 10: Cho Tìm

Lời giải

Đặt Khi đó tồn tại các số tự nhiên sao cho

Đặt lẻ.

Ta có:

(vì )

(vì )

Do đó

Mặt khác:

Mà

Từ đó suy ra

Vậy

Bài 11: Cho là các số nguyên lớn hơn . Chứng minh rằng:

Lời giải

Giả sử và suy ra:

Vậy và

Ngược lại, nếu và thì

Vậy

Bài 12: Chứng minh rằng nếu là các số lẻ thì

Lời giải

Giả sử thì lẻ.

Ta có và

Tương tự: và

Vậy là ước của

Ngược lại, giả sử là ước của thì là ước của

Tương tự và

_Vậy:

Bài 13: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:

i) đều khác và ước số chung lớn nhất của là .

ii) Số có đúng ước số nguyên dương.

Lời giải

Ta có: chia hết cho các số : có ước dương. Nên để chỉ có đúng ước dương thì là số nguyên tố. Do

Nếu cùng lẻ thì chia hết cho nên là hợp số (vô lý). Do đó không mất tính tổng quát, giả sử chẵn lẻ thì suy ra

Ta cũng có nếu không chia hết cho thì và chia hết cho là hợp số (vô lý), suy ra

Vậy

Bài 14: Tổng các số tự nhiên bằng Hỏi ước số chung lớn nhất của chúng có thể nhận giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu ?

Lời giải

Giả sử ,khi đó , suy ra là ước của

Vì nên Vậy chỉ có thể nhận các giá trị

Giá trị lớn nhất bằng khi (vì )

Bài 15: Cho Tìm

Lời giải

Giả sử khi đó và suy ra

hoặc

• Nếu thì từ

• Nếu thì hoặc

Vậy bằng hoặc bằng

 HẾT 