Dạng Toán Bất Đẳng Thức Ôn Thi HSG Đại Số 8 Có Lời Giải Chi Tiết

DẠNG 6: BẤT ĐẲNG THỨC

A.Bài toán

Bài 1. Cho dương và Chứng minh rằng :

Bài 2: Chứng minh rằng: với

Bài 3 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 4 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 5 :

1. Chứng minh (với mọi

2. Chứng minh:

3. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :

Bài 6 :

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 9 : Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 10: Tìm các giá trị của để biểu thức:

có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 11 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 12 : Chứng minh rằng:

Bài 13 Cho thỏa mãn Chứng minh

Bài 14: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

_{Bài 15 :} Cho các số thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Bài 16 : Cho ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với là độ dài ba cạnh

_{Chứng minh}

_{Bài 18 :} Cho các số thực dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

_{Bài 19 :} Cho là ba số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Bài 20 : Cho thỏa mãn Chứng minh rằng :

Bài 21 : Cho hai số thỏa mãn điều kiện Chứng minh :

Bài 22 : Chứng minh rằng với mọi

Bài 23 : Chứng minh rằng:

Bài 24 : Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi. CMR:

Bài 25 : Cho là các số dương. Chứng minh rằng:

Bài 26 : Chứng minh rằng:

Bài 27 : So sánh hai số sau: và

Bài 28 : Cho số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 29 : Cho là ba cạnh của tam giác.

Chứng minh:

Bài 30 : Chứng minh rằng:

Bài 31 : CMR với là các số dương, ta có:

Bài 32: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 33 : Cho các số thực Chứng minh rằng

Bài 34 : a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng

b) Cho là ba số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Bài 35 : Cho là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

Chứng minh

Bài 36 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

_{Bài 37:} Cho Chứng minh rằng:

_{Bài 38 :} Cho CMR:

Bài 39 : Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh:

_{Bài 40 :} Cho Chứng minh rằng:

Bài 41 : Chứng minh rằng : với mọi

_{Bài 42 :} Cho và

Chứng minh rằng

_{Bài 43 :} Cho các số dương thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng:

Bài 44 : a. Chứng minh (với mọi

_{b. Chứng minh:}

Bài 45: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 46: CMR với là các số dương, ta có:

Bài 47: Cho dương và Chứng minh rằng :

Bài 48: Chứng minh rằng: với

Bài 49: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 50: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 51: Cho biểu thức

1. Phân tích biểu thức thành nhân tử

2. Chứng minh rằng: Nếu là độ dài các cạnh của một tam giác thì

Bài 52: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 53: Cho Chứng minh rằng :

Bài 54: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 55: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 56: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 57: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:

Bài 58: Chứng minh rằng:

Bài 59: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 60: Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 61: Cho Chứng minh rằng :

Bài 62: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 63: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:

Bài 64: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 65: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 66: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 67: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 68: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 69: Cho là các số dương. Chứng minh rằng:

Bài 70: Chứng minh rằng:

Bài 71: Chứng minh rằng: với

Bài 72: Chứng minh rằng:

Bài 73: a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng

b) Cho là ba số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Bài 74: Cho thỏa mãn Chứng minh

Bài 75: Cho Chứng minh rằng

Bài 76: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 77: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 78: Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.

CMR:

Bài 79: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 80: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì

Bài 81: Cho bốn số dương . Chứng minh rằng:

Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:

. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có:

Bài 83: a) Cmr :

b) Cho các số dương và thỏa mãn điều kiện . Cmr :

Bài 84: Chứng minh rằng:

a)

b)

Bài 85: Cmr: a)

b)

Bài 86: Chứng minh rằng:

a) với ;

b) ;

c)

Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau:

Bài 88: Chứng minh BĐT:

Bài 89: a) Chứng minh:

b) Chứng minh:

c) Chứng minh: với .

d) Chứng minh: với

e) Cho và cùng dấu. Chứng minh:

Bài 90: Cho ba số dương

1. Chứng minh rằng: ;

2. Chứng minh rằng:

Bài 91: Cho , chứng minh: .

Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) ; b) khi .

Bài 93: Cho là ba cạnh của một tam giác

a) Chứng minh rằng:

b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.

Bài 94: Cho . Chứng minh rằng: .

Bài 95: a) Chứng minh: với

b) Chứng minh: với

Bài 96: Cho ba số x, y, z.

a) Chứng minh ;

b) Khi . Chứng minh .

Bài 97: Cho thỏa mãn Chứng minh

Bài 98: Với . Hãy chứng minh các BĐT:

a) ; b) ;

c) .

Bài 99:

a) Cho . Chứng minh rằng: .

b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh:

c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh:

Bài 100: Cho thỏa mãn Chứng minh

Bài 101: Cho các số thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 102: Cho Chứng minh rằng

Bài 103: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 104: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 105: Cho thỏa mãn Chứng minh

Bài 106: CMR với là các số dương, ta có:

Bài 107: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì

Bài 108: CMR với là các số dương, ta có:

Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng

Bài 110: Chứng minh rằng , trong đó a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1.

Bài 111: Chứng minh với mọi số thực a, b, c.

Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng . Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh:

Bài 116: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:

+ +

Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh:

Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b²c² 0 với mọi a, b, c.

Bài 119: Cho 3 số dương có tổng bằng Chứng minh rằng

Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3.

Chứng minh rằng: .

Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 122: Cho các số thực dương thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:

Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

Bài 124: Cho Chứng minh rằng

Bài 125: Cho là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

Bài 126: Cho là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn

Chứng minh rằng

Bài 127: Chứng minh rằng: , trong đó là các số thực không nhỏ hơn 1

Bài 128: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 129: Chứng minh rằng:

Bài 130: Chứng minh với mọi số dương

Bài 131: Cho là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :

Bài 132: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 133: Cho Chứng minh rằng :

Bài 134: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 135: Cho là các số dương.

Chứng minh:

Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức:

với

Bài 137: Cho . Chứng minh

_{Bài 138}: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 139: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 140: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau:

với mọi

Bài 142: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 143: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 144: a) Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.

CMR:

b)Cho là các số dương. Chứng minh rằng:

B. HƯỚNG DẪN

Bài 1 : Cho dương và Chứng minh rằng :

Lời giải

Đặt

và

Chứng minh:

hay

Bài 2 : Chứng minh rằng: với

Lời giải

Theo bài ra ta có:

Mặt khác :

Từ (1) và (2) suy ra:

Bài 3 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Tương tự:

BĐT chứng minh tương đương với:

do

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 4 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:

Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có:

(luôn đúng)

Dấu xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì

Hay

Mà nên

Vậy (đpcm)

Bài 5

1. Chứng minh (với mọi

2. Chứng minh:

3. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :

Lời giải

1. (với mọi x)

2. Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương được:

(luôn đúng)

Suy ra:

Vậy

Bài 6 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Lời giải

1. Ta có:

Do

Nên

Dấu “=” xảy ra

Vậy

b)

Do . Đẳng thức xảy ra

Vậy

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Lời giải

Ta có :

Vậy

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi

Bài 9 : Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ

Dấu “=” xảy ra

Bài 10 : Tìm các giá trị của để biểu thức:

có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải

Ta thấy nên

Do dó

Bài 11 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

từ đó suy ra

Thay vào ta được

Từ đó suy ra hay

Bài 12 : Chứng minh rằng:

Lời giải

Bài 13 : Cho thỏa mãn Chứng minh

Lời giải

Ta có:

mà nên

Bài 14 :Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có:

Vậy

. Vậy

_{Bài 15 :} Cho các số thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Lời giải

Vì nên suy ra

Do đó :

Lại có:

Vì nên

Do đó từ

Từ (1) và (3) suy ra

Bài 16 : Cho ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ

Dấu bằng xảy ra

Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với là độ dài ba cạnh

_{Chứng minh}

Lời giải

Ta có :

Tương tự:

Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều:

_{Bài 18 :} Cho các số thực dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng xảy ra

Ta có:

Bởi vậy

_{Bài 19 :} Cho là ba số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi và ta có:

Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có:

(luôn đúng)

Dấu xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì

Hay

Mà nên

Vậy (đpcm)

Bài 20 : Cho thỏa mãn Chứng minh rằng :

Lời giải

Bài toán phụ : Chứng minh rằng

_{Chứng minh}

Áp dụng bài toán phụ (1) ta có:

(2)

Mà (vì

Với ta có: (vì

Từ (2) và (3) suy ra :

Bài 21 : Cho hai số thỏa mãn điều kiện Chứng minh :

Lời giải

Ta có:

(vì

(Vì

(2) đúng nên (1) đúng ta có đpcm.

Bài 22 : Chứng minh rằng với mọi

Lời giải

Đặt Khi đó ta có:

Bài 23 : Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Ta cộng vế theo vế ta được:

Bài 24 : Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.

CMR:

Lời giải

Ta có:

Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

Bài 25 : Cho là các số dương. Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Xét

đpcm

Dấu xảy ra khi

Bài 26 : Chứng minh rằng:

Lời giải

Vậy

Bài 27 : So sánh hai số sau: và

Lời giải

Vì nên

Bài 28 : Cho số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Ta có:

Đặt

Dấu xảy ra khi suy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 6 khi

Bài 29 : Cho là ba cạnh của tam giác.

Chứng minh:

Lời giải

Vì là 3 cạnh của tam giác nên

Đặt

Ta có:

Mà nên suy ra điều phải chứng minh.

Bài 30 : Chứng minh rằng:

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức . Dấu bằng xảy ra khi

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:

Dấu xảy ra khi

Bài 31 : CMR với là các số dương, ta có:

Lời giải

Mà (BĐT Cô si)

Do đó: . Vậy

Bài 32 : Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vì

BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu xảy ra khi

Bài 33 : Cho các số thực Chứng minh rằng

Lời giải

Ta có:

Nên

Ta lại có:

Tương tự:

Suy ra:

Do vậy,

Dấu xảy ra khi và chỉ khi

Bài 34 :

1. Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng

2. Cho là ba số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Lời giải

a) Với và ta có:

luôn đúng

b) Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có:

Hay

Mà nên

Do đó:

Bài 35. Cho là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

Chứng minh

Lời giải

Ta có:

Đặt : Suy ra và ta có:

(Vì )

Vậy . Dấu xảy ra

Chứng minh :

Thật vậy, do vai trò của như nhau nên không mất tính tổng quát , ta có thể giả sử :

Xét hiệu :

Vì giá trị của các biểu thức trong ngoặc đều không âm

Vậy

Từ (1) và (2) suy ra đpcm . Dấu xảy ra khi

Bài 36. Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:

Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có:

(luôn đúng)

Dấu xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì

Hay

Mà nên

Vậy (đpcm)

_{Bài 37}. Cho Chứng minh rằng:

Lời giải

Do và với mọi b nên:

Tương tự ta có:

Mà nên

Cũng từ

Mà nên

Suy ra

Từ suy ra

_{Đẳng thức xảy ra}

_{Bài 38.} Cho CMR:

Lời giải

Ta có:

Cộng lại ta có điều phải chứng minh

Bài 39. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh:

Lời giải

Áp dụng hệ quả bất đẳng thức Bu-nhi-a Cốp-xki, ta có:

= = ≥

Ta chứng minh ≥ 3(ab + bc + ca)

a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca

a² + b² + c² - ab - bc – ca ≥ 0

[(a – b)² + (b – c)² + (c – a)²] ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy

Dấu “=” xảy ra .

_{Bài 40}. Cho Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Tương tự cũng có:

Cộng ta được:

Bài 41. Chứng minh rằng : với mọi

Lời giải

Ta có:

Vì với mọi

Do đó : với mọi (bài toán được chứng minh).

_{Bài 42}. Cho và

Chứng minh rằng

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

Mặt khác:

_{Bài 43}. Cho các số dương thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Lại có :

Nên ta có:

Dấu bằng xảy ra khi

Bài 44: a. Chứng minh (với mọi

b. Chứng minh:

Lời giải

3. (với mọi x)

4. Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương được:

(luôn đúng)

Suy ra:

Bài 45: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

1. Ta có:

Vì

_{Suy ra BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng, dấu} xảy ra

Bài 46: CMR với là các số dương, ta có:

Lời giải

Ta có:

Mà (BĐT Cô si). Do đó: . Vậy

Bài 47: Cho dương và Chứng minh rằng :

Lời giải

1. C/m:

+)Từ giả thiết suy ra :

Biến đổi được kết quả:

Tam giác đó là đều (đpcm)

2. Đặt

và

Chứng minh:

hay

Bài 48: Chứng minh rằng: với

Lời giải

Ta có:

Mặt khác :

Từ (1) và (2) suy ra:

Bài 49: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

1. Đặt

Tương tự:

BĐT chứng minh tương đương với:

do

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 50: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:

Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có:

(luôn đúng)

Dấu xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì

Hay

Mà nên

Vậy (đpcm)

Bài 51: Cho biểu thức

1. Phân tích biểu thức thành nhân tử

2. Chứng minh rằng: Nếu là độ dài các cạnh của một tam giác thì

3. Lời giải

1. Ta có:

2. Ta có: (BĐT tam giác)

(BĐT tam giác)

(BĐT tam giác)

(BĐT tam giác)

Vậy

Bài 52: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Dấu “=” xảy ra

Bài 53: Cho Chứng minh rằng :

Lời giải

Học sinh chứng minh với mọi

Dấu xảy ra

Bài 54: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.

Bài 55: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Từ đó suy ra

Thay vào biểu thức A ta được:

Bài 56: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: ta có:

. Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có: (**)

Dấu xảy ra

Áp dụng BĐT (**) ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:

Hay

Mà nên

Vậy

Bài 57: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:

Lời giải

Do nên

Bài 58: Chứng minh rằng:

Lời giải

Xét hiệu:

(Dấu xảy ra

Vậy (dấu xảy ra

Bài 59: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:

Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có:

(luôn đúng)

Dấu xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì

Hay

Mà nên

Vậy (đpcm)

Bài 60: Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Áp dụng BĐT và với dương , dấu bằng xảy ra

Ta có:

Bởi vậy

Bài 61: Cho Chứng minh rằng :

Lời giải

Học sinh chứng minh với mọi

Dấu xảy ra

Bài 62: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.

Bài 63: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:

Lời giải

Do nên

Bài 64: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Từ đó suy ra

Thay vào biểu thức A ta được:

Bài 65: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: ta có:

. Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có: (**)

Dấu xảy ra

Áp dụng BĐT (**) ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:

Hay

Mà nên

Vậy

Bài 66: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

• Nhận xét : có

Tương tự:

Do đó:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

Vậy . Dấu “=” xảy ra

Bài 67: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vì

BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi

Bài 68: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ

Dấu “=” xảy ra

Bài 69: Cho là các số dương. Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Xét

đpcm

Dấu xảy ra khi

Bài 70: Chứng minh rằng:

Lời giải

Bài 71: Chứng minh rằng: với

Lời giải

Theo bài ra ta có:

Mặt khác :

Từ (1) và (2) suy ra:

Bài 72: Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có :

Ta cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được :

Bài 73: a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng

b) Cho là ba số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Lời giải

a) Với và ta có:

luôn đúng

b) Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có:

Hay

Mà nên

Do đó:

Bài 74: Cho thỏa mãn Chứng minh

Lời giải

1. Có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Áp dụng có:

Suy ra:

Với dương , chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi

Ta được:

. Dấu đẳng thức xảy ra

Bài 75: Cho Chứng minh rằng

Lời giải

Giả sử

Vậy

Bài 76: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt Ta có:

Từ đó suy ra :

Thay vào ta được:

Từ đó suy ra . Dấu “= “ xảy ra

Bài 77: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Từ đó suy ra

Thay vào ta được:

Từ đó suy ra hay

Bài 78: Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.

CMR:

Lời giải

Ta có:

Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

Bài 79: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.

Bài 80 : Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì

Lời giải

Do là 3 cạnh của một tam giác nên

Bài 81: Cho bốn số dương . Chứng minh rằng:

Lời giải:

Cho bốn số dương . Chứng minh rằng:

Vì ta có: ;

;

Lấy (1), (2), (3) và (4) cộng vế theo vế, thu gọn ta được điều phải chứng minh.

( Chú ý : Dạng tương tự : Cho bốn số dương .

Chứng minh rằng: có giá trị không nguyên )

Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:

. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có:

Lời giải:

a) Ta có:

( đúng )

Dấu “=” .

b) Ta có:

(đúng)

Dấu “=” .

Bài 83: a) Cmr :

b) Cho các số dương và thỏa mãn điều kiện . Cmr :

Lời giải:

a) Xét hiệu : =...

Đặt . Khi đó, .

Vậy, .

Dấu « = » ( giải tiếp tìm )

b) Ta có:

( Vì các số dương và thỏa mãn điều kiện )

Vây, . Dấu « = »

Bài 84: Chứng minh rằng:

a)

b)

Lời giải:

a)

Áp dụng BĐT . Dấu “=” .

Ta có:

Tương tự, và

Lấy (1), (2) và (3) cộng vế theo vế ta được đpcm.

Dấu “=” .

b) Đặt

+ Nếu thì , do đó , còn nên

+ Nếu thì , do đó , còn nên

Vậy, với mọi .

Bài 85: Cmr: a)

b)

Lời giải:

a)

( Đúng )

Dấu “=”

b)

Dấu “=” hoặc

Bài 86: Chứng minh rằng:

a) với ;

b) ;

_c)

Lời giải:

Chứng minh rằng:

a) với

với ( Đúng )

b) Xét

Đặt . Khi đó, ta có:

Vậy, (đpcm)

c)

( Đúng )

Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau:

Lời giải:

Ta có:

( Đúng )

Dấu “ =” .

Vậy, với . Dấu “ =” .

Bài 88: Chứng minh BĐT:

Lời giải:

Chứng minh BĐT:

Ta có:

( đúng )

Vậy, . Dấu “=” .

Bài 89: a) Chứng minh:

b) Chứng minh:

c) Chứng minh: với .

d) Chứng minh: với

e) Cho và cùng dấu. Chứng minh:

Lời giải:

a) Chứng minh:

Ta có:

( Đúng )

Vậy, . Dấu “=” .

b) Chứng minh:

* Cách 1: Dùng biến đổi tương đương.

Ta có:

( Đúng )

Vậy, . Dấu “=” .

* Cách 2: Dùng BĐT phụ: . Dấu “=” .

Ta có:

Vậy, . Dấu “=” .

c) Chứng minh: với .

Với ta có:

Do đó,

Vậy, với

d) Chứng minh: với

Với ta có:

Ta có:

Vậy, với .

e) Cho và cùng dấu. Chứng minh:

Ta có:

( Vì c/m được với a, b cùng dấu)

Dấu “=”

Vậy, với và cùng dấu. Dấu “=”

Bài 90: Cho ba số dương

a) Chứng minh rằng: ;

b) Chứng minh rằng:

Lời giải:

Cho ba số dương

a) Chứng minh rằng: ( HS tự giải )

b) Chứng minh rằng:

* Cách 1: Ta có:

( Đúng) ( theo câu a)

Dấu “ =” .

KL: . Dấu “ =” .

* Cách 2: Đặt với .

Suy ra

Do đó,

Dấu “=” .

Bài 91: Cho , chứng minh: .

Lời giải:

Cho , chứng minh: .

Ta có:

Vì và nên .

Dấu “=”

Vậy, với . Dấu “=” .

Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau :

a) ; b) khi .

Lời giải:

a)

Áp dụng BĐT . Dấu “=”

Ta có:

Dấu “=”

b) khi .

Ta có :

Dấu “=”

Bài 93: Cho là ba cạnh của một tam giác

a) Chứng minh rằng:

b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.

Lời giải:

Cho là ba cạnh của một tam giác

a) Chứng minh rằng:

+Ta có:

( Đúng )

Dấu “=” tam giác đó là tam giác đều.

+ Theo BĐT tam giác ta có:

Vậy, với là ba cạnh của một tam giác.

b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.

Xét hiệu

Suy ra

Vậy, thì tam giác đó là tam giác đều.

Bài 94: Cho . Chứng minh rằng: .

Lời giải:

Cho . Chứng minh rằng: .

Xét hiệu:

( vì nên )

Do đó

Giả sử và , do đó (đpcm)

Tương tự, và , do đó (đpcm)

Dấu

Bài 95: a) Chứng minh: với

b) Chứng minh: với

Lời giải:

a) Chứng minh: với

Ta có: với .

Do đó, .

Vậy, với

b) Chứng minh: với

Ta có:

Do đó,

Vậy, với .

Bài 96: Cho ba số x, y, z.

a) Chứng minh ;

b) Khi . Chứng minh .

Lời giải:

Hay . Cho ba số x, y, z.

a) Chứng minh

Ta có

.

Các bước biến đổi tương đương mà bất dẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức đầu đúng.

b) Khi . Chứng minh .

Ta có

Kết hợp và ta có :

Bài 97: Cho thỏa mãn Chứng minh

Lời giải:

Có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Áp dụng có:

Suy ra:

Với dương , chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi

Ta được:

. Dấu đẳng thức xảy ra

Bài 98: Với . Hãy chứng minh các BĐT:

a) ; b) ;

c) .

Lời giải

Với . Hãy chứng minh các BĐT:

a)

Với nên

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương và ta được

Dấu “=”

Vậy, với . Dấu “=” .

b)

Áp dụng kết quả câu a, ta có:

Dấu “=” .

Vậy, . Dấu “=” .

c) .

Ta có

Áp dụng kết quả câu a, ta có:

Dấu “=” .

Vậy, . Dấu “=” .

Bài 99:

a) Cho . Chứng minh rằng: .

b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh:

c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh:

Lời giải

a) Cho . Chứng minh rằng: .

Ta có mà

Do đó .

Vậy, nếu thì .

b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh:

Đặt

Đặt , ta có:

Vậy, . Dấu “=” .

c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh: .

Đặt thì và

C/m BĐT phụ: với .

Thật vậy, ta có

Suy ra

( cả hai vế đều không âm)

Do đó, với . Dấu “=”

Áp dụng BĐT trên, ta có

Vậy, . Dấu “=” tam giác đã cho đều.

Bài 100:

Cho thỏa mãn Chứng minh

Lời giải

Có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Áp dụng có:

Suy ra:

Với dương , chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi

Ta được:

. Dấu đẳng thức xảy ra

Bài 101:

Cho các số thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Vì nên suy ra

Do đó :

Lại có:

Vì nên

Do đó từ

Từ (1) và (3) suy ra

Bài 102:

Cho Chứng minh rằng

Lời giải

Giả sử

Vậy

Bài 103:

Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt Ta có:

Từ đó suy ra :

Thay vào ta được:

Từ đó suy ra . Dấu “= “ xảy ra

Bài 104:

Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

• Nhận xét : có

Tương tự:

Do đó:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

_Vậy . Dấu “=” xảy ra

Bài 105: Cho thỏa mãn Chứng minh

Lời giải

Ta có:

mà nên

Bài 106: CMR với là các số dương, ta có:

Lời giải

Mà (BĐT Cô si)

Do đó: . Vậy

Bài 107: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì

Lời giải

Do là 3 cạnh của một tam giác nên

Bài 108: CMR với là các số dương, ta có:

Lời giải

Ta có:

Mà (BĐT Cô si)

Do đó: . Vậy

Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng

Lời giải

Đặt

Từ đó suy ra

Thay vào ta được

Từ đó suy ra hay

Bài 110: Chứng minh rằng , trong đó a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1.

Lời giải

_{(đúng với mọi )}

Bài 111: Chứng minh với mọi số thực a, b, c.

Lời giải

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:

;

Do đó, suy ra:

Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: .

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải

Áp dụng bđt côsi ta có:

. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

Lời giải

Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng .

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải

(*)

Vì

Mà = (Theo BĐT Cauchy) nên BĐT (*) đúng do đó bđt được CM.

Đẳng thức xảy ra khi .

Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh:

Lời giải

Ta có: ( x, y >0)

Áp dụng kết quả này ta được:

Tương tự ta có:

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, thu gọn ta được:

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là đều.

Bài 116: Cho a, b, c là các số dương . Chứng minh bất đẳng thức:

+ +

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , không âm ta có :

+ 2 = 2 . = a

Suy ra a -

Tương tự b -

c -

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

+ + ( a + b + c ) - =

Vậy + + (đpcm)

Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh:

Lời giải

Với x > 0; y > 0. Ta có x + y 0

Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức ta có:

(1)

Mặt khác : x > 0 ; y > 0 nên x² + 2xy + y² > x² + y²

(2)

Từ (1) và (2) ta có: (đpcm).

Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b²c² 0 với mọi a, b, c.

Lời giải

A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b²c²

= 4 (a + b) (a + c) a (a + b + c) + b²c²

= 4(a² + ab + ac + bc)(a² + ab + ac) + b²c²

Đặt a² + ab + ac = m, ta có:

A = 4(m + bc)m + b²c² = 4m² + 4mbc + b²c² =( 2m + bc)²

= (2 a² + 2 ab + 2ac + bc)² 0 với mọi a,b,c (đpcm)

Bài 119: Cho 3 số dương có tổng bằng Chứng minh rằng

Lời giải

Từ

Dấu xảy ra

Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3.

Chứng minh rằng: .

Lời giải

Do a, b > 0 và 1 + b² ≥ 2b với mọi b nên .

Tương tự ta có : ;

mà a + b + c = 3 nên (1)

Cũng từ a + b + c = 3  (a + b + c)² = 9

 a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 9

mà a² + b² ≥ 2ab; b² + c² ≥ 2bc; c² + a² ≥ 2ac nên a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca suy ra 3(ab + bc + ca)  9  ab + bc + ca  3 (2).

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi ta có:

Dấu _“=”xảy ra

Thật vậy, với và ta có:

( luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:

Dấu “=” xảy ra

Ta có:

Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì abc = 1)

Hay

Mà nên :

Vậy

Bài 122: Cho các số thực dương thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Áp dụng BĐT :

và với a,b,c dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ta có:

Bởi vậy

(đpcm)

Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

Lời giải

Ta có: (1)

(vì )

(vì x, y dương nên x + y dương) (2)

Từ (1) và (2), ta có:

(đpcm)

Bài 124: Cho . Chứng minh rằng

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với ta có

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz

Ta có:

Suy ra :

Tương tự:

Cộng vế với vế các BĐT trên ta có:

Bài 125: Cho là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

Lời giải

Ký hiệu vế trái là vế phải là xét hiệu

Do bình đẳng nên giả sử khi đó ,

Mà nên đpcm

Bài 126: Cho là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn

Chứng minh rằng

Lời giải

Từ giả thiết ta có:

Cộng hai vế với sau đó thu gọn ta được:

Mà nên

Dấu bằng xảy ra khi trong ba số có một số bằng một số bằng một số bằng 1.

Bài 127: Chứng minh rằng: , trong đó là các số thực không nhỏ hơn 1

Lời giải

(đúng với mọi

Bài 128: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

từ đó suy ra

Thay vào ta được:

Từ đó suy ra hay

Bài 129: Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Bài 130: Chứng minh với mọi số dương

Lời giải

Với mọi số dương ta có:

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Bài 131: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :

Lời giải

Đặt

Từ đó suy ra

Thay vào ta được:

Từ đó suy ra hay

Bài 132: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Nhận xét có:

Tương tự có:

Do đó

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

Vậy

Đẳng thức xảy ra khi

Bài 133: Cho Chứng minh rằng :

Lời giải

Học sinh chứng minh với mọi

Dấu xảy ra

Bài 134: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.

Bài 135: Cho là các số dương.

Chứng minh:

Lời giải

Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta được:

Cũng theo BĐT Cô si :

và

Nhân tương ứng hai vế các BĐT (1) và (2) được:

Hay

Từ và suy ra

Dấu xảy ra khi và chỉ khi

Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức:

với

Lời giải

Gọi vế trái là ta có:

Vậy

Bài 137: Cho . Chứng minh

Lời giải

Từ thay vào đẳng thức cần chứng minh ta có:

BĐT này luôn đúng . Vậy

Dấu xảy ra

Bài 138: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Từ đó suy ra

Thay vào ta được:

Từ đó suy ra hay

Bài 139: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ

_{Dấu “=” xảy ra}

Bài 140: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng:

_{Lời giải}

Vì ĐT (2) luôn đúng nên BĐT (1) đúng.

Dấu xảy ra

Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau:

với mọi

Lời giải

Có với mọi

Bài 142: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:

Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có:

(luôn đúng)

Dấu xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì

Hay

Mà nên

Vậy (đpcm)

Bài 143: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vì

BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi

Bài 144: a) Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.

CMR:

2. Cho là các số dương. Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

b)Ta có:

Xét

đpcm

Dấu xảy ra khi