Tổng Hợp Bài Tập Chuyên Đề Hệ Thức Vi-et Năm 2023 Có Lời Giải

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT

A. Lý thuyết:

+ Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 thì

S = x₁ +x₂ = P = x₁.x₂ =

+ Nếu hai số x₁ , x₂ có tổng x₁ + x₂ = S và tích x₁x₂ = P thì hai số đó là các nghiệm của phương trình X² - SX + P = 0 (Định lý Viét đảo)

B. Nội dung:

Vận dụng Định lý Viét và Viét đảo ta chia làm các dạng bài tập sau:

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a khác 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁= 1, còn nghiệm kia là x₂ =

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a khác 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁= -1, còn nghiệm kia là x₂ = -

Ví dụ 1: Không giải phương trình hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 3x² - 5x + 2 = 0

b) -7x² - x + 6 = 0

Giải:

1. Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0

nên phương trình có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = =

2. Ta có a - b + c = -7 +1 + 6 = 0

nên phương trình có hai nghiệm x₁= -1, x₂ = - =

Trong trường hợp phương trình có nghiệm nguyên đơn giản ta có thể nhẩm nghiệm theo hệ thức Viét, xét ví dụ sau:

Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình sau

a) x² - 7x + 10 = 0 b) x² + 6x +8 = 0

Giải:

a) Nếu phương trình có nghiệm x₁, x₂ thì theo hệ thức Viét ta có:

x₁+ x₂ = 7 và x₁x₂ = 10 ta nhẩm được hai nghiệm là x₁= 2, x₂ = 5

b) Tương tự như câu a) ta có x₁ + x₂ = -6 và x₁x₂ = 8 nên x₁ = -2, x₂ = -4

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ1: Cho phương trình 2x² - px + 5 = 0.

Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm p và tìm nghiệm còn lại

Giải:

Cách 1: Thay x = 2 vào phương trình ta được p = . Theo hệ thức Viét ta có

x₁x₂ = mà x₁= 2 nên x₂ =

Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta cóx₁ x₂ = mà x₁ = 2 nên x₂ = .

Mặt khác x₁+ x₂ =  = 2 +  p =

Ví dụ 2: Cho phương trình x² + mx - 3 = 0.

Biết phương trình có một nghiệm là 3. Tìm m và tìm nghiệm còn lại

Giải:

Tương tự như ví dụ trên ta tìm được m = -2 và nghiệm còn lại là x = -1

Dạng 3: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 nếu có nghiệm thoả mãn:

a) P < 0 thì hai nghiệm đó trái dấu

b) P > 0 và S > 0 thì hai nghiệm đều dương

c) P > 0 và S < 0 thì hai nghiệm đều âm

Ví dụ1 : Không giải phương trình xét dấu các nghiệm của các phương trình sau:

a) x² - 2 x + 4 = 0 b) x² + 5x - 1 = 0

c) x² - 2 x + 1 =0 d) x² + 9x + 6 = 0

Giải:

a) Ta có  '= -1 < 0 nên phương trình vô nghiệm

b) Ta có P < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Ta có ' = 2; S = 2 > 0; P = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

d) Ta có  =57; S = -9 < 0; P = 6 > 0 nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau: 2x² + (2m - 1)x + m - 1 = 0

a) Có hai nghiệm khác dấu

b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm

c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương

d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

Giải:

a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P < 0 hay m - 1 < 0  m < 1

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi

không có giá trị nào của m thoả mãn

d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu

nhau hay phương trình có hai nghiệm đối nhau .

Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi

 1 - 2m = 0  m =

Điều cần chú ý ở đây là khi  < 0 thì không cần xét dấu các nghiệm của phương trình vì phương trình vô nghiệm.

Khi P < 0 thì kết luận ngay phương trình có hai nghiệm trái dấu vì  > 0

Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là  và S

Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 1: Cho phương trình x²+ mx + 1 = 0 ( m là tham số)

Nếu phương trình có nghiệm x₁, x₂ . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m:

a) x₁² + x₂²

b) x₁³ + x₂³

c)

Giải:

Vì phương trình có nghiệm x₁, x₂ nên theo hệ thức Viét ta có:

x₁+ x₂ = -m và x₁.x₂ = 1

a) x₁² + x₂² = (x₁ +x₂)² - 2x₁x₂ = m² - 2

b) x₁³ + x₂³ = (x₁+x₂)³ - 3x₁x₂(x₁+ x₂) = -m³+ 3m

c) (x₁ - x₂)² = (x₁ +x₂)² - 4x₁x₂ = m²- 4 nên =

Ví dụ 2: Cho phương trình

x² - 4x + 1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức

( với x₁ là một nghiệm của phương trình đã cho)

Giải:

Ta phải biến đổi biểu thức dưới căn bậc hai thành dạng (5x₁+a)² để đưa A về dạng A=

Bằng cách xét dấu nghiệm của phương trình đã cho chứng tỏ 5x₁+ a > 0 từ đó tính được giá trị của A. Sau đây là cách biến đổi cụ thể:

Vì x₁ là nghiệm của phương trình đã cho nên : x₁² = 4x₁-1  x₁⁴ = 16x₁² - 8x₁+ 1

Phương trình đã cho có ' > 0 nên theo hệ thức Viét ta có:

 x₁ > 0  5x₁+ 2 > 0  A =2

Ví dụ 3: Cho phương trình x² + x - 1 = 0 và x_1,x₂ là nghiệm của phương trình (x₁ < x₂) .

Tính giá trị của biểu thức

Giải:

Từ giả thiết ta có: x₁² = 1 - x₁ x₁⁴ = x₁² -2x₁ + 1=(1 - x₁) - 2x₁ + 1=- 3x₁ + 2  x₁⁸ = 9x₁² - 12x₁+ 4

 =

Vì P < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu mà x₁< x₂ nên x₁< 0

Vậy B = = 5 - x₁+ x₁ = 5

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức nào đó

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x² + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x₁, x₂ thoả mãn

a) 3x₁ + 2x₂ = 1

b) x₁² -x₂² = 6

c) x₁² + x₂² = 8

Giải:

Để phương trình có nghiệm thì ' 0  m 1

a) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ:

Giải hệ (1), (2) ta được x₁= 5; x₂= -7

Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện)

b) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ:

Giải hệ (1), (2) ta được x₁= ; x₂ =

Thay vào (3) ta được m = - (thoả mãn điều kiện)

c) x₁² + x₂² = (x₁+ x₂)² - 2x₁x₂  4 - 2m = 8  m = -2 (thoả mãn)

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x² - mx + 3 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm thoả mãn 3x₁+ x₂ = 6

Giải:

Để phương trình có nghiệm thì  0 hay m² - 12 0  m 2 hoặc m -2

Kết hợp với hệ thức Viét ta có

giải hệ (1), (2) ta được x₁= ; x₂ =

Thay vào (3) ta được (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ra ta được m = 4 (thoả mãn)

Ví dụ 3: Giả sử x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² + 2mx + 4 = 0.

Xác định m để x₁⁴ + x₂⁴ 32

Giải:

Để phương trình có nghiệm thì ' 0 hay m² - 4 0 

Ta có: x₁⁴ + x₂⁴ = (x₁² + x₂²)² - 2x₁²x₂² =

Theo hệ thức Viét ta có: nên x₁⁴ + x₂⁴ 32  (4m² - 8)² - 32 32



Kết hợp với điều kiện ' 0 ta được m = 2 hoặc m = -2

Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Ví dụ1 : Cho phương trình x² - 2(m + 1) x + m² =0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Giải:

a) Ta có ' = (m + 1)² - m² = 2m + 1 Phương trình đã cho có nghiệm  ' 0  m -

b ) Theo hệ thức Viét ta có

Từ (1) ta có m = thay vào (2) ta được

hay 4x₁x₂ = (x₁ + x₂ - 2)² là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Cách giải chung của dạng này là theo hệ thức Viét ta có hai biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình. Từ một trong hai biểu thức ta rút m theo hai nghiệm, sau đó thế vào biểu thức còn lại ta được biểu thức cần tìm.

Tuy nhiên có thể dùng cách biến đổi tương đương để khử m từ hai phương trình, ta xét tiếp vd sau:

Ví dụ 2: Cho phương trình mx² - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số )

Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

Giải :

Do phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có:

Ta có (2)  6x₁x₂ = 6 + (3). Cộng vế theo vế của (1) và (3) ta được x₁ + x₂ + 6x₁x₂ = 8.

Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x₁ + x₂ + 6x₁x₂ = 8

Dạng 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, chứng minh bất đẳng thức của biểu thức nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình x² - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị nào của m thì biểu thức A = x₁² + x₂² đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.

Giải:

Ta có ' = (m - 1)² -(m - 5) = m² - 3m + 6 > 0 nên phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Theo hệ thức Viét ta có: x₁+ x₂ = 2(m - 1) và x₁x₂ = m - 5

 x₁²+ x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ = 4(m - 1)² - 2(m - 5)

= 4m² - 10m +14 =

Dấu bằng xẩy ra khi m = . Vậy A_min = khi m =

Ví dụ 2: Cho phương trình x² - mx + m - 1= 0 với m là tham số.

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:

Giải:

Ta có = m² -4(m - 1) = (m - 2)² 0 nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m

Theo hệ thức Viét ta có: x₁+ x₂ = m và x­₁x₂ = m - 1

 x₁²+x₂² =(x₁+x₂)² - 2x₁x₂ = m² -2m + 2 . Thay vào ta có

=

Đặt t = ta có tm² - 2m + 2t - 1 = 0 (1)

Nếu t = 0 thì m =

Nếu t 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai đối với m. Ta có :

' = 1 - t(2t - 1) 0  -2t²+ t + 1 0

 (t - 1)(-2t - 1) 0 

t = - khi m = -2 ; t =1 khi m = 1

Vậy C_min­ = khi m = -2; C_max= 1 khi m = 1 Hoặc ta chứng minh C - 1 0 và C + 0

Ví dụ 3: Giả sử x₁, x₂ là nghiệm của phương trình 2008x² - (2008m - 2009)x - 2008 = 0

Chứng minh A=

Giải: Theo hệ thứcViet ta có: x₁ + x₂ = và x₁x₂ = -1

nên A = 6(x₁ - x₂)² = 6( (x₁ + x₂)² + 4) 24

Ví dụ 4: Gọi x₁ , x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - 18x + 1= 0 .

Đặt S_n = x₁ⁿ + x₂ⁿ ( n N) . Chứng minh:

a) S_n+2 = 18 S_n+1 - S_n

b) S_n nguyên dương và S_n không chia hết 17 với mọi n là số tự nhiên.

Giải:

a) Vì x₁ , x₂ là nghiệm phương trình x² - 18x + 1 = 0 nên theo hệ thức Viét ta có:

x₁ + x₂ = 18 và x₁x₂ = 1

Ta có: S_n+2 = x₁ⁿ⁺² + x₂ⁿ⁺² và S_n+1 = x₁ⁿ⁺¹ + x₂ⁿ⁺¹

x₁ⁿ(x₁² - 18x₁ + 1) + x₂ⁿ(x₂² - 18x₂ + 1) = 0

hay x₁ⁿ⁺² + x₂ⁿ⁺² - 18(x₁ⁿ⁺¹ + x₂ⁿ⁺¹) - (x₁ⁿ + x₂ⁿ) = 0  S_n+2 = 18 S_n+1 - S_n­

b) Ta c ó: S₁ = 18 , S₂ = x₁² + x₂² = (x₁+ x₂)² - 2x₁x₂ = 18² - 2 = 322

mà S_n+2 = 18 S_n+1 - S_n­ nên S_n nguyên dương với mọi n là số tự nhiên.

Tương tự câu a) ta có: S_n+3 = 18S_n+2 - S_n+1 = 17S_n+2 + S_n+2 - S_n+1

= 17S_n+2 + (18S_n+1 - S_n) - S_n+1 = 17(S_n+2 + S_n+1) - S_n

mà S₁ = 18, S₂ = 322, S₃ = 5778 không chia hết cho 17 nên S₄ , S₅,…. đều

không chia hết cho 17  S­_n không chia hết cho 17với mọi n là số tự nhiên.

Dạng 8: Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào bài tập

Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết

a) b)

Giải:

a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ



Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X² - 3X + 2 = 0

Giải phương trình ta được x₁ = 1; x₂ = 2 . Vậy (x ; y)

b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ

Suy ra x + (-y) = 2 và x(-y) = -15 hay x và -y là nghiệm của phương trình

X² - 2X - 15 = 0 giải ra ta được x₁ = 3; x₂ = -5

Vậy (x ; y)

Thực chất dạng này được ứng dụng vào giải hệ đối xứng hai ẩn.

Ta xét tiếp ví dụ sau

Ví dụ 2: Giải hệ

a) b)

Giải:

a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ

S = 2 , P = 0 hoặc S = -3; P = 5

Suy ra x, y là nghiệm phương trình X² - 2X = 0 hoặc X² + 3X + 5 =0

Vậy (x ; y)

b) Đặt x² + x = S; y² - 2y = P ta đưa về hệ đối xứng hai ẩn sau:

suy ra S, P là nghiệm phương trình X² - X - 2 = 0

Giải ra ta được x₁= -1; x₂ = 2

Từ đó ta có hoặc Vậy (x ; y)

Hệ thức Viét đảo còn được ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng vào các bài toán chứng minh khác . Ta xét các ví dụ sau

Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau:

a > 0, a² = bc, a + b + c = abc. Chứng minh rằng: a , b > 0, c > 0 và b² + c² 2a²

Giải:

Từ a + b + c = abc  b + c = a(bc - 1) = a( a² - 1) mà bc = a² nên b, c là nghiệm của phương trình: X² - (a³ - a)X + a² = 0

Ta có  =(a³ - a)² - 4a² 0  (a² - 1)² 4  a² 3  a ( vì a > 0)

Khi đó b+ c = a( a² - 1) > 0 và bc = a² > 0 nên b > 0, c > 0.

Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số khác nhau từng đôi một và c 0. Chứng minh rằng nếu hai phương trình x² + ax + bc = 0 (1) và x² + bx + ca = 0 (2) có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương trình đó thoả mãn phương trình x² + cx + ab = 0

Giải:

Giả sử (1) có nghiệm x₀ , x₁ và (2) có nghiệm x₀ , x₂ ( x₁ x₂). Ta có:

( a - b)(x₀ - c) = 0  x₀ = c ( vì a b)

Áp dụng định lý Viét vào phương trình (1) và phương trình (2) ta có:

và 

Do đó x₁, x₂ là nghiệm của pt: x² + cx + ab = 0 ( pt này luôn có nghiệm vì = c² - 4ab = (a + b)² - 4ab = (a - b)² > 0)

C. Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Không giải phương trình hãy xét dấu các nghiệm của phương trình sau:

a) x² - 3x + 4 = 0 b) 2x² - x + 4 = 0

Bài tập 2: Tìm m để phương trình x⁴ - mx² + m -1 = 0 có:

a) Bốn nghiệm phân biệt

b) Ba nghiệm phân biệt

c) Hai nghiệm phân biệt

Bài tập 3: Cho phương trình x² + 4x + 1 = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là x₁² + x₂² và x₁² - x₂².

Bài tập 4: Cho phương trình x² - mx + 6 = 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1­, x₂ thoả mãn

a) x₁ - x₂ = 1 b) x₁² + x₂² = 37

Bài tập 5: Cho phương trình x² - 2(m + 1)x - m = 0

a) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.

e) Tìm m để nhỏ nhất.

Bài tập 6: Giải hệ

a) b) c)

Bài tập 7: Cho phương trình x² - 3x + 1 = 0. Tính giá trị biểu thức

A = (x₁ là một nghiệm của phương trình )

Bài tập 8:

Cho pt: x² - 3x - 1 = 0 với . Tính giá trị biểu thức B =

Bài tập 9:

Tìm p, q để phương trình x² + px + q = 0 có các nghiệm x₁, x₂ thoả mãn:

Bài tập 10:

Xác định a để PT x² + ax + 1 = 0 có nghiệm x₁, x₂ thoả mãn:

Bài tập 11:

Giả sử PT ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm dương x₁, x₂. Chứng minh rằng phương trình cx² + bx + a = 0 có hai nghiệm dương x₃, x₄ và x₁+ x₂ + x₃ + x₄ 4