Bài Tập Toán Hình Bình Hành Lớp 8 Có Lời Giải

7. HÌNH BÌNH HÀNH

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song.

T ứ giác là hình bình hành

Tính chất: Trong hình bình hành:

- Các cạnh đối bằng nhau.

- Các góc đối bằng nhau.

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Dấu hiệu nhận biết:

- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

III. BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC, trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. Đường vuông góc với BC tại M và đường vuông góc với AC tại N cắt nhau ở O.

a) Trên tia đối của tia OC, lấy điểm K sao cho . Chứng minh rằng AHBK là hình bình hành.

b) Chứng minh .

Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho CB = CE. Chứng minh AECD là hình bình hành.

Bài 3: Cho hình bình hành . Gọi và theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ và từ đến .

a) Chứng minh rằng là hình bình hành.

b) Gọi M là giao điểm của và , gọi là giao điểm của và AD. Chứng minh rằng

c) Gọi là trung điểm của Chứng minh rằng thẳng hàng.

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có , phân giác góc đi qua trung điểm của cạnh AB. Gọi E là trung điểm của CD. Chứng minh:

a) b) đều, cân c)

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm E, F lần lượt lấy trên BC, AD sao cho , và EF lần lượt cắt AB, CD tại G, H. Chứng minh rằng:

a) b) Tứ giác là hình bình hành.

Bài 6: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK cắt nhau tại E. Đường thẳng qua B vuông góc với AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Tứ giác là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng M là trung điểm của DE. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì thì DE đi qua A?

_{c) Chứng minh rằ}ng _.

Bài 7: Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G. Vẽ các đường trung trực HE, HF của các cạnh AC, BC. Đường thẳng qua A song song với BG cắt đường thẳng qua B song song với AK tại I. Chứng minh rằng:

a) b) c)

Bài 8*: Cho tam giác cân ở . Lấy điểm trên cạnh , điểm trên sao cho . Gọi là trung điểm của , gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng là hình bình hành.

Tự luyện.

Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD.

a) Tứ giác EFGH là hình gì?

b) Tính chu vi của tứ giác EFGH biết .

Bài 10: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Vẽ các điểm H và K sao cho E là trung điểm của CH, D là trung điểm của BK. Chứng minh rằng A là trung điểm của HK.

Bài 11: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E trên cạnh CD sao cho . Gọi K là giao điểm của AE và BD. Chứng minh rằng .

KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ

Bài 1: a) Tam giác có nên OM là đường trung bình của .

S uy ra . Ta lại có (cùng vuông góc với BC).

Suy ra .

Chứng minh tương tự ta có: .

Tứ giác AHBK có nên là hình bình hành.

b) AHBK là hình bình hành nên .

Ta lại có nên .

Bài 2: Dễ thấy tam giác BCE cân tại C suy ra

T a lại có

Mà Nên

Suy ra (2 góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra AECD là hình bình hành

Bài 3: a ) Cách 1

Xét và : (cạnh đối hình bình hành); (so le trong, ). Vậy (trường hợp cạnh huyền và góc nhọn), suy ra Ta lại có (cùng vuông góc với ). Tứ giác có nên là hình bình hành.

Cách 2. Chứng minh rằng tứ giác có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b) Tứ giác là hình bình hành (câu a) nên , tức là Ta lại có Tứ giác là hình bình hành (theo định nghĩa) nên

c) Hình bình hành có là trung điểm của nên là trung điểm của (tính chất đường chéo hình bình hành)

Hình bình hành có là trung điểm của nên là trung điểm của Vậy thẳng hàng.

B ài 4:

a) Gọi M là trung điểm của cạnh AB, ta có (1) (so le trong).

Mặt khác, DM là phân giác góc D nên (2)

(1), (2) , do đó tam giác ADM cân tại A.

Vậy

b) Trong hình bình hành ABCD, và . Tam giác ADE cân và có một góc bằng 60⁰, nên tam giác ADE đều.

Theo trên, tâm giác ADE đều nên , suy ra tam giác AEC cân tại E.

c) Vì ADE đều và ACE cân tại E nên (góc ngoài của AEC)

Mặt khác , suy ra . Vậy

Bài 5:

a) Trong , B trên cạnh AG, E trên cạnh FG. Ta có và suy ra BE là đường trung bình trong . Do đó E là trung điểm của GF (1).

Chứng minh tương tự, DF là đường trung bình trong , nên F là trung điểm của HE (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

b ) Ta có và , suy ra . Mặt khác , do vậy tứ giác là hình bình hành.

_{Bài 6:} a) Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra BDCE là hình bình hành.

b) Vì là hình bình hành và M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của DE.

DE đi qua A khi và chỉ khi A, E, M thẳng hàng. Vì E là giao điểm hai đường cao BH và CK nên AE là đường cao trong tam giác ABC. Vậy AE qua M khi và chỉ khi đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A trùng nhau, hay tam giác cân tại A.

c) Trong tứ giác ABDC: , mà nên .

Vậy _.

Bài 7: a) Ta có và nên tứ giác AIBG là hình bình hành, suy ra ; .

b) , mà , do đó

L ại có F là trung điểm của BC nên HF đi qua trung điểm của IC.

Chứng minh tương tự, HE cũng đi qua trung điểm của IC.

Từ đó ta được H là trung điểm của IC.

Trong , HE là đường trung bình, do đó

. Vậy

c) Theo chứng minh trên, HF là đường trung bình trong CBI.

S uy ra (Vì là hình bình hành). Vậy

Bài 8*:

Kẻ , ta có: , mà nên

cân => . Chứng minh tiếp để suy ra ,

Từ đó suy ra là hình bình hành.