Đề Thi Toán Olympic Lớp 11 Sở GD&ĐT Quảng Nam (Đề 1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC QUẢNG NAM NĂM 2019

Môn thi: TOÁN – Lớp 11

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 21/3/2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC QUẢNG NAM NĂM 2019

Môn thi: TOÁN – Lớp 11

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Môn thi: TOÁN

(Đáp án – Thang điểm gồm 07 trang)

Câu 1 (3,0 điểm)

a

1,5

0.25

0.25

0.25

(0.25) (0.5)

0.75

b

1,5

0.25

0.25

0.25

0.25

( ).

Vậy phương trình có nghiệm là:

0.5

Câu 2 (4,0 điểm)

a

Chứng minh mệnh đề sau bằng phương pháp quy nạp : “ Tổng các góc trong của đa giác lồi có n cạnh bằng . ”.

2,0

- Xét : Mệnh đề trở thành “ tổng các góc trong của một tam giác bằng 180⁰ ” là mệnh đề đúng.

0.25

- Giả sử mệnh đề trên đúng với một số tự nhiên tùy ý ( ) tức là:

“ Tổng các góc trong của đa giác lồi có k cạnh bằng . ”

0.25

- Ta đi chứng minh mệnh đề trên đúng với , tức là đi chứng minh

“ Tổng các góc trong của đa giác lồi có k +1 cạnh bằng . ”

0.25

+ Xét đa giác lồi có k + 1 cạnh A₁A₂….A_k+1.

Nối A₁ và A_k ; khi đó tổng các góc trong của đa giác lồi có k + 1 cạnh A₁A₂….A_k+1 bằng tổng các góc trong của tam giác A₁A_kA_k+1 cộng với tổng các góc trong của đa giác lồi k cạnh A₁A₂….A_k.

0.5

Do đó tổng các góc là: 180⁰ + (k – 2).180⁰ = (k – 1).180⁰

0.5

Suy ra mệnh đề đúng với .

Vậy mệnh đề đã cho đúng với mọi số thự nhiên thỏa .

0.25

b

Cho dãy số biết: với Tìm số hạng tổng quát của dãy số

2,0

0.5

(*)

0.5

Đặt , khi đó (*) trở thành: .

Suy ra là cấp số nhân có công bội q=3. Do đó .

0.25

0.25

Mà . Suy ra .

0.25

0.25

Câu 3 (6,0 điểm)

a

Cho số nguyên dương thỏa mãn: theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tìm số hạng không chứa trong khai triển của với

2,0

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

(điều kiện )

0.25

0.25

0.25

. Vậy .

0.25

Ta có .

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên là: (với ).

0.25

0.25

Số hạng không chứa x khi hay k = 6.

0.25

Vậy số hạng không chứa x trong khai trên trên là:

0.25

b

Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên từ X ra một số. Tính xác suất để chọn được số không có hai chữ số chẵn đứng liền kề.

2,0

- Số phần tử của không gian mẫu là

Gọi A là biến cố: “ chọn được số không có hai chữ số chẵn đứng liền kề ”.

0.25

- Xét số chọn từ X có dạng , vị trí các chữ số tương ứng các ô ngang dưới đây:

Khi đó A xảy ra các trường hợp sau:

* Trường hợp 1: Số có 5 chữ số lẻ. Trường hợp này có số

0.25

* Trường hợp 2: Số có đúng 1 chữ số chẵn.

+ Khả năng 1: a là chữ số chẵn. Khả năng này có số.

+ Khả năng 2: a là chữ số lẻ. Khả năng này có số.

0.25

* Trường hợp 3: Số có đúng 2 chữ số chẵn.

+ Khả năng 1: a là chữ số chẵn, khi đó b là số lẻ.

Khả năng này có số.

+ Khả năng 2: a là chữ số lẻ, khi đó có 3 cách chọn ra 2 ô cho hai số chẵn không kề nhau (ô2-ô4, ô2-ô5, ô3-ô5). Khả năng này có số.

0.25

0.25

* Trường hợp 4: Số có đúng 3 chữ số chẵn.

c

c

c

Trường hợp này có: 4.4.3.5.4 = 960 số

0.25

0.25

Vậy xác suất của biến cố A là

0.25

c

Cho hàm số

Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại .

2,0

0,25

0,25

0,25

+ Tính được:

0,5

+ Tính được:

0,25

Suy ra

Để liên tục tại thì

0,25

Suy ra: là giá trị cần tìm.

0,25

Câu 4 (3,0 điểm)

a

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng . Biết phép vị tự tâm A(0;1), tỉ số biến đường thẳng thành đường thẳng . Viết phương trình ảnh của đường tròn qua phép vị tự tâm A, tỉ số k.

1,5

+ Chọn , phép vị tự biến thành

0.25

+ thuộc nên . Suy ra .

0.25

+ Đường tròn có tâm , bán kính .

+ Gọi đường tròn có tâm , bán kính là ảnh của đường tròn qua phép vị tự .

0.25

+

0.25

+ .

0.25

Phương trình đường tròn là

0.25

b

Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B cố định, điểm M di động trên nửa mặt phẳng bờ AB sao cho tam giác ABM vuông tại M. Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm M vẽ tia Bx vuông góc với BM. Trên tia Bx lấy điểm C sao cho BM = BC. Qua điểm C dựng đường thẳng d vuông góc với AB cắt tia BM ở N. Hãy xác định phép quay biến AM thành BN. Khi M di động thì điểm N di động trên đường nào?

1,5

HV

0.25

Ta có ( góc có cạnh tương ứng vuông góc), nên

. Suy ra AM = BN

0.25

Ta thấy M di động trên nửa đường tròn đường kính AB, tâm O (trung điểm AB)

Trung trực AB cắt nửa đường tròn trên tại K (điểm chính giữa cung AB)

- Xét hai tam giác AMK và BNK có: AM = BN, KA = KB,

Suy ra nên KM = KN

+ Hơn nữa nên tam giác KMN vuông cân tại K.

0.25

0.25

Xét phép quay tâm K góc quay 90⁰.

Ta có

(Trường hợp M trùng K thỏa yêu cầu)

0.25

M di động trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB, nên N di động trên ảnh của nửa đường tròn (O) qua phép quay là nửa đường tròn (O’) đường kính BB’ qua K (xem hình vẽ).

0.25

Câu 6 (4,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy, ,

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo .

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD, M là trung điểm của SC, góc giữa hai đường thẳng AG và BM. Tính .

(Hình vẽ phục vụ câu a - 0,5 điểm)

a

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo .

1,5

+ Qua B, dựng đường thẳng d song song với AC, hạ AH vuông góc với d tại H.

Suy ra

0,5

+ Lập luận suy ra được

0,25

,

+

0,5

Suy ra

0,25

b

Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD, M là trung điểm của SC, góc giữa hai đường thẳng AG và BM. Tính .

2,0

0,25

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25

Suy ra .

0,25

b

Cách khác:

Gọi E là điểm trên đường chéo BD sao cho , suy ra GE // BM

0.25

Do đó

0.25

Ta có ( trung tuyến = nửa cạnh huyền)

0.25

Nên (1)

0.25

(2) ( với F trung điểm BC )

0.25

Tam giác AMD cân ở M nên

0.25

Trongtam giác AMG có (3)

0.25

Từ (1); (2) và (3) Trong tam giác AGE có

0.25