Đề Thi HSG Môn Toán 8 kèm đáp án chi tiết

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU

NĂM HỌC 2019-2020

Môn: Toán-Lớp 8

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có 02 trang

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

PHÒNG GD&ĐT

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 8

ĐỀ THI CHỌN HSNK

NĂM HỌC 2019-2020

Hướng dẫn chấm có 06 trang

Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

`10

Đáp án

B

D

B

A

D

C

A

B

C

A

Nội dung trình bày

Điểm

Bài 1 (2,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức với .

b) Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn .

c) Cho các số nguyên thỏa mãn và biểu thức . Chứng minh rằng

2,5

a) Với ta có

0,25

0,25

0,25

0,25

b) Ta có

(do nên )

0,25

Vì nên

Mặt khác lẻ do đó

0,25

Thử lại thu được

Vậy

Lưu ý: Không trừ điểm nếu quên kết luận.

0,25

c) Ta có

Do đó

0,25

0,25

Vì tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 nên

Do đó do đpcm.

0,25

Bài 2 (2,0 điểm).

a) Giải bất phương trình

b) Giải phương trình

2,0

a) ĐKXĐ:

0,25

Khi đó

0,25

0,25

Kết hợp ĐKXĐ bất phương trình có nghiệm là

0,25

b) Ta có

0,25

0,25

0,25

Vậy tập nghiệm của phương trình là

0,25

Bài 3 (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn, không cân có các đường cao cắt nhau tại .

a) Chứng minh rằng .

b) Gọi thứ tự là trung điểm của và . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của .

c) Gọi là giao ba đường trung trực của tam giác . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các cạnh theo thứ tự đó. Tính giá trị của biểu thức

a)

Ta có (vì là các đường cao của )

0,25

Xét và có

chung

(chứng minh trên)

0,25

Do đó ∽ (g-g)

0,25

Suy ra đpcm.

0,25

b) Gọi là trung điểm của . Ta cần chứng minh thẳng hàng.

0,25

Dễ dàng chỉ ra được các tam giác vuông,

0,25

Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có

0,25

Suy ra là trung trực của , do đó qua đpcm.

0,25

c) Gọi là điểm đối xứng với qua .

Theo tính chất đối xứng và giao điểm của 3 đường trung trực

lần lượt vuông tại .

0,25

Suy ra

là hình bình hành.

Do đó thẳng hàng.

Từ đó suy ra là đường trung bình của

Chứng minh tương tự

0,25

Do đó

Bài 4 (0,5 điểm) Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Với là độ dài ba cạnh tam giác ta có

Áp dụng BĐT trên khi ta có

0,25

Mặt khác

Chứng minh tương tự ta có

Do đó

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Vậy khi

0,25