Tổng Hợp Đề Ôn Thi HSG Toán 6 Chủ Đề Tìm Chữ Số Tận Cùng Kèm Giải

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

CHỦ ĐỀ 6: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Tìm 1 chữ số tận cùng

Tính chất 1:

a) Các số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

b) Các số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

c) Các số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc thì chữ số tận cùng là .

d) Các số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc thì chữ số tận cùng là .

Chú ý: Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của :

- Nếu chữ số tận cùng của là thì cũng có chữ số tận cùng là .

- Nếu chữ số tận cùng của là :

Phân tích: với

Từ tính chất 1c chữ số tận cùng của chính là chữ số tận cùng của .

- Nếu chữ số tận cùng của là : cũng như trường hợp trên

Từ tính chất 1d chữ số tận cùng của chính là chữ số tận cùng của .

Tính chất 2:

Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.

Tính chất 3:

a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc sẽ có chữ số tận cùng là .

b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc sẽ có chữ số tận cùng là .

c) Các số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc sẽ không thay đổi chữ số tận cùng.

Tính chất 4:

Nếu và thì chia hết cho .

Chứng minh:

Do chia hết cho 25 nên khi chia cho 25 có cùng số dư là 1

chia hết cho 5.

Vậy chia hết cho 125.

* Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận cùng của số với .

- Giả sử . Khi đó, với

Suy ra, chữ số cuối cùng của chính là chữ số cuối cùng của số .

- Nếu thì là hai chữ số cuối cùng của .

- Nếu thì là ba chữ số cuối cùng của .

- Nếu thì là chữ số cuối cùng của .

2. Tìm hai chữ số tận cùng

Việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên chính là việc tìm số dư của phép chia cho 100.

Phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên :

Trước hết, ta có nhận xét sau:

Mà: với ,

với .

Suy ra kết quả sau với

nếu ,

nếu ,

nếu ,

nếu .

Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của ta lấy số mũ chia cho .

Một số trường hợp cụ thể về 2 chữ số tận cùng

- Các số có tận cùng bằng nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng

- Các số (hoặc ); có tận cùng bằng .

- Các số có tận cùng bằng .

- Số có tận cùng bằng .

- Các số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì khác 0 thì hai chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. (1)

- Các số có chữ số tận cùng là . (2)

- Các số có chữ số tận cùng là . (3)

- Số có chữ số tận cùng là . (4)

Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a.

CHÚ Ý:

- có 2 chữ số tận cùng là .

- có 2 chữ số tận cùng là .

- có 2 chữ số tận cùng là .

- có 2 chữ số tận cùng là .

3. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên

Việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên chính là việc tìm số dư của phép chia cho 1000.

Giả sử với , khi đó: .

Giả sử: ,

Ta có:

Vậy 3 chữ số tận cùng của cũng chính là 3 chữ số tận cùng của

Dùng quy nạp với mọi , ta có:

,

.

- Nếu thì

- Nếu thì

- Nếu ta có tương ứng:

- Nếu thì .

Ta có: nên (Định lí Euler).

Giả sử 3 chữ số tận cùng của là ta có:

và

Trong các số (các số có 3 chữ số chia cho 125 dư 1) chỉ có duy nhất một số chia hết cho 8 là 376. Vậy

Do đó ta có kết quả sau:

nếu

nếu

nếu

nếu

Vậy để tìm ba chữ số tận cùng của ta tìm chữ số tận cùng của số mũ .

Một số trường hợp cụ thể về 3 chữ số tận cùng

• Các số có tận cùng bằng nâng lên luỹ thừa nào (khác ) cũng tận cùng bằng .

• Các số có tận cùng bằng nâng lên luỹ thừa nào (khác ) cũng tận cùng bằng .

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Tìm 1 chữ số tận cùng

Ví dụ 1.1: Tìm chữ số tận cùng của

Lời giải:

Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 1.

Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 1.

Do đó:

     

    Vậy chữ số tận cùng của là

Ví dụ 1.2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

Phân tích:

- Ta biết rằng các số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

- Để tìm chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa trên ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của hàng đơn vị.

Lời giải

a) có chữ số tận cùng là

b) có chữ số tận cùng là

c) Theo câu a) và b) Chữ số tận cùng của lũy thừa : là

4. Theo kết quả câu a) và b) Chữ số tận cùng của lũy thừa: là .

Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận cùng của

Phân tích:

Để tìm được chữ số tận cùng của số trên ta phải đưa về số có tận cùng là .

Lời giải

Ta thấy , số tận cùng bằng nâng lên bậc lũy thừa nào cũng có chữ số tận cùng bằng nên ta phân tích .

Vậy số có chữ số tận cùng bằng .

Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

Lời giải

Vậy chữ số tận cùng của là .

Vậy chữ số tận cùng của là .

Vậy chữ số tận cùng của là .

Vậy chữ số tận cùng của là .

Vậy chữ số tận cùng của là: .

Vậy chữ số tận cùng của là .

Ví dụ 1.5: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

Lời giải

1. Ta có:

Vậy chữ số tận cùng của là .

2. Ta có:

Vậy chữ số tận cùng của là .

3. Ta có:

Vậy chữ số tận cùng của là .

Ví dụ 1.6: Tìm chữ số tận cùng của các phép toán sau:

Lời giải

1. Ta có:

• có chữ số tận cùng là .

• có chữ số tận cùng là .

• có chữ số tận cùng là .

• có chữ số tận cùng là .

• có chữ số tận cùng là .

• có chữ số tận cùng là .

Tổng các chữ số này bằng: .

Vậy có chữ số tận cùng là 5.

2. Ta có:

• có chữ số tận cùng là .

• có chữ số tận cùng là .

• có chữ số tận cùng là .

Tổng các chữ số này bằng: .

Vậy có chữ số tận cùng là .

3. Ta có:

• có chữ số tận cùng là .

• có chữ số tận cùng là .

Tổng các chữ số này bằng: .

Vậy có chữ số tận cùng là .

Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận cùng của các tổng sau:

Phân tích:

Trong dạng bài này ta phải tìm được quy luật của tổng, quy luật ở đây chính là số mũ của các số hạng trong S, các số mũ này đều chia dư . Mà ta biết các số khi nâng lên lũy thừa dạng sẽ có tận cùng không đổi.

Lời giải:

Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho thì dư (các lũy thừa đều có dạng , thuộc )

Theo tính chất, suy ra mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:

.

Vậy chữ số tận cùng của tổng S là .

Tổng quát hóa:

Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:

Ví dụ 1.8: Tìm chữ số tận cùng của tổng

Lời giải:

Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho thì dư (các lũy thừa đều có dạng , thuộc ₎

Theo quy tắc thì có chữ số tận cùng là ; có chữ số tận cùng là ; có chữ số tận cùng là ;

Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng:

_{Vậy chữ số tận cùng của tổng T là}

Tương tự hóa:

_{Tìm chữ số tận cùng của}

Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng

Ví dụ 2.1: Tìm hai chữ số tận cùng của các số:

Lời giải:

a) Do là số chẵn, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho .

Ta có

Mặt khác:

Vậy hai chữ số tận cùng của là .

b) Do là số lẻ, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho .

Ta có .

Mặt khác :

Vậy tận cùng bởi hai chữ số .

Ví dụ 2.2: Tìm hai chữ số tận cùng của

Lời giải

Ta thấy: số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01.

Do đó:

Vậy có hai chữ số tận cùng là .

Ví dụ 2.3: Tìm hai số tận cùng của

Lời giải

Chú ý rằng: bình phương của số có tận cùng bằng thì tận cùng bằng , số có tận cùng bằng thì nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng .

Do đó

Vậy hai chữ số tận cùng của là .

Ví dụ 2.4: Tìm hai chữ số tận cùng của:

a) b) c) d)

Hướng dẫn:

a) .

b) .

c) .

d)

.

Ví dụ 2.5: Tìm 2 chữ số tận cùng của

Lời giải

Ta thấy:

Chữ số tận cùng của   cũng là chữ số tận cùng của  mà 

Chữ số tận cùng của   cũng là chữ số tận cùng của  mà  

Suy ra: 

Vậy  có 2 chữ số tận cùng là .

Ví dụ 2.6: Tìm hai chữ số tận cùng của số

Lời giải

Ta có: suy ra

Ta lại có suy ra

Do đó chữ số tận cùng là nhưng

Suy ra tận cùng là 76 tận cùng là 38 hoặc 88 vì

Vậy tận cùng là

Vậy có hai chữ số tận cùng là .

Ví dụ 2.7: Tìm 2 chữ số tận cùng của

Lời giải

Ta có nên .

Khi đó theo quy tắc (1) chữ số tận cùng của là .

Ví dụ 2.8: Tìm 2 chữ số tận cùng của a) b)

Lời giải

a) Ta có: nên

Chữ số tận cùng của là .

b) Ta có

Chữ số tận cùng của là .

Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng

Ví dụ 3.1: Tìm ba chữ số tận cùng của

Lời giải:

5²⁰⁰⁸ =5^4.502=(5⁴)⁵⁰²

có tận cùng là

Suy ra có tận cùng là

Vậy có 3 chữ số tận cùng là .

Ví dụ 3.2: Tìm ba chữ số tận cùng của .

Lời giải

Ta có:

Vậy ba chữ số tận cùng của là .

Ví dụ 3.3: Tìm ba chữ số tận cùng của 

Phân tích:

Nhận thấy rằng nên ta sẽ áp dụng tính chất 4, khi đó chia hết cho .

Lời giải:

+ Vì nên áp dụng tính chất ta có chia hết cho . (1)

+ Ta lại có chia hết cho (2)

Vì và kết hợp (1),(2) ta có chia hết cho

Khi đó

Vậy ba chữ số tận cùng của là .

Ví dụ 3.4: Tìm ba chữ số tận cùng của

Lời giải

- Tìm 2 chữ số tận cùng của

Ta có

- Khi đó ta có

Vậy 3 chữ số tận cùng là .

Ví dụ 3.5: Tìm ba chữ số tận cùng của

Lời giải

Ta có

Khi đó 1.

Vậy ba chữ số tận cùng của là .

Ví dụ 3.6: Tìm ba chữ số tận cùng của

Lời giải

Vậy bốn chữ số tận cùng của là

Ví dụ 3.7: Tìm ba chữ số tận cùng của số

Lời giải

Ta có có ba chữ số tận cùng là

Suy ra T = 5⁹⁴⁶ = (5³)³¹⁵.5=( )³¹⁵.5= .5=

(Với )

Vậy có ba chữ số tận cùng là .

Ví dụ 3.8: Tìm ba chữ số tận cùng của số:

Lời giải

Ta có:

tận cùng là ; tận cùng là ; tận cùng là

tận cùng là ; tận cùng là ; tận cùng là ;

tận cùng là ; tận cùng là ; tận cùng là

Chu kỳ lặp là 4.

Suy ra:

tận cùng là ; tận cùng là

tận cùng là ; tận cùng là

Mà có dạng , do đó có 4 chữ số tận cùng là .

Ví dụ 3.9: Tìm ba chữ số tận cùng của số:

Lời giải

Do chia hết cho   (1).

Mặt khác: chia hết cho 8   (2).

Vì , từ (1) và (2) suy ra chi hết cho 1000

.

Vậy có ba chữ số tận cùng là .

Ví dụ 3.10: Tìm ba chữ số tận cùng của

Lời giải

Do chi hết cho   (1).

Ta có chia hết cho 8   (2).

Vì , từ (1) và (2) suy ra: chia hết cho 1000

.

Vậy ba chữ số tận cùng của cũng chính là ba chữ số tận cùng của .

Lại vì chia hết cho ba chữ số tận cùng của là 001 mà

ba chữ số tận cùng của 9⁹⁹ là (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 9⁹⁹ là 9, sau đó dựa vào phép nhân để xác định ).

Vậy ba chữ số tận cùng của 3^399...98 là .

Ví dụ 3.11: Tìm ba chữ số tận cùng của

Lời giải

Do

 chia cho dư 1

 chia cho dư 1

 chỉ có thể tận cùng là .

Do chia hết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là .

Ví dụ 3.12: Tìm ba chữ số tận cùng của tổng .

Lời giải

Nhận thấy: lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1

(các lũy thừa đều có dạng , k thuộc ).

Mọi lũy thừa trong S đều có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của cơ số tương ứng:

 Chữ số tận cùng của tổng S là chữ số tận cùng của tổng:

.

Vậy ba chữ số tận cùng sẽ là

Dạng 4: Vận dụng chứng minh chia hết, chia có dư.

* Chú ý:

a. Dấu hiệu chia hết cho :

Một số chia hết cho khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.

b. Dấu hiệu chia hết cho (hoặc ):

Một số chia hết cho (hoặc ) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho (hoặc ).

Chú ý: Một số chia hết cho (hoặc ) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho (hoặc ) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại.

c. Dấu hiệu chia hết cho :

Một số chia hết cho khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng hoặc bằng .

d. Dấu hiệu chia hết cho (hoặc ):

Một số chia hết cho (hoặc ) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho (hoặc ).

e. Dấu hiệu chia hết cho (hoặc ):

Một số chia hết cho (hoặc ) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho (hoặc ).

f. Dấu hiệu chia hết cho :

Một số chia hết cho khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho .

Ví dụ 4.1: Cho . Chứng minh rằng A chia hết cho .

Lời giải:

Để chứng minh , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng.

Ta có:

Suy ra: có chữ số tận cùng là .

Suy ra: có chữ số tận cùng là .

Vậy A có chữ số tận cùng bằng .

Do đó: .

Ví dụ 4.2: Cho , chứng minh rằng không chia hết cho và không chia hết cho .

Lời giải:

Ta có:

là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho . Suy ra là một số lẻ nên không chia hết cho .

là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là hoặc nên không có tận cùng là hoặc . Do đó không chia hết cho .

Ví dụ 4.3: Chứng tỏ rằng chia hết cho .

Lời giải:

Ta có: có chữ số tận cùng là .

Do đó: có chữ số tận cùng là .

Vậy chia hết cho

Ví dụ 4.4:  Chứng minh chia hết cho cả và .

Lời giải:

Để vừa chia hết cho cả và thì số phải có chữ số tận cùng là .

Suy ra: Cần chứng minh số bị trừ và số trừ đều có chữ số tận cùng là .

Chú ý: Số tự nhiên có chữ số tận cùng là thì cũng có chữ số tận cùng là .

Ta có: . Suy ra: có chữ số tận cùng là .

luôn có chữ số tận cùng là .

Suy ra: có chữ số tận cùng là .

Vậy: chia hết cho cả và .

Ví dụ 4.5: Cho 1 số có 4 chữ số: . Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có bốn chữ số khác nhau chia hết cho tất cả bốn số: .

Lời giải:

Số đảm bảo chia hết cho nên số đó là số chẳn.

Số chia hết cho nên số đó phải có chữ số tận cùng là số hoặc .

Số vừa chia hết cho và nên số đó phải có tổng các chữ số chia hết cho .

Suy ra: Chữ số tận cùng của số là .

Do đó ta có số . Chữ số đầu là số

Vậy: số đã cho là .

Ví dụ 4.6: Chứng tỏ rằng hiệu chia hết cho .

Lời giải:

Ta có:

Số có chữ số tận cùng bằng

Suy ra có tận cùng bằng

Số có tận cùng bằng

Do đó: có tận cùng bằng

Phân tích tương tự, có tận cùng bằng

Do đó: có tận cùng bằng

Vậy: chia hết cho .

Ví dụ 4.7: Chứng tỏ rằng: chia hết cho .

Lời giải:

Ta có: tận cùng bằng chữ số nên số cũng tận cùng bằng chữ số .

tận cùng bằng chữ số nên cũng tận cùng bằng chữ số .

tận cùng bằng chữ số nên số cũng tận cùng bằng chữ số .

Suy ra: tận cùng bằng chữ số .

Vây: số chia hết cho .

Ví dụ 4.8: Tìm bốn chữ số tận cùng của khi viết trong hệ thập phân.

Lời giải:

Cách 1:

Ta thấy số tận cùng bằng nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng bằng .

Do đó:

Cách 2: Tìm số dư khi chia cho

Nhận xét: chia hết cho nên chia hết cho .

Ta có:

Do chia hết cho còn chia hết cho (theo nhận xét trên)

Nên: chia hết cho

Tính

Vậy bốn chữ số tận cùng của là .

_Ví dụ 4.9: Chứng minh rằng chia hết cho

Lời giải:

Ta chứng minh có tận cùng là sau đó vận dụng dấu hiệu chia hết cho

Thật vậy, có cùng chữ số tận cùng với , mà suy ra có tận cùng là , có cùng chữ số tận cùng với , vì nên có tận cùng là . Do đó , có chữ số tận cùng lần lượt là , suy ra tận cùng là (đpcm)

Dạng 5: Vận dụng chữ số tận cùng vào bài toán chính phương.

* Chú ý:  

- Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là:

- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn

- Số chính phương thì chia hết cho hoặc chia cho dư

- Số chính phương thì chia hết cho hoặc chia cho dư

- Số chính phương chia hết cho thì sẽ chia hết cho

- Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho

- Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho

- Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho

- Số chính phương tận cùng là hoặc hoặc thì chữ số hàng chục là số chẵn

- Số chính phương tận cùng là thì chữ số hàng chục là

- Số chính phương tận cùng là thì chữ số hàng chục là số lẻ.

- Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu:

+ A có chữ số tận cùng là .

+ A có chữ số tận cùng là mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

+ A có chữ số hàng đơn vị khác mà chữ số hàng chục là lẻ.

+ A có chữ số hàng đơn vị là mà chữ số hàng chục khác .

+ A có hai chữ số tận cùng là lẻ.

Ví dụ 5.1: Các số sau có phải là số chính phương không? Vì sao?

a) ; b)

Lời giải:

a) Ta có: có chữ số tận cùng là

Suy ra: có chữ số tận cùng là .

Do đó: không là số chính phương.

b) Ta có: có chữ số tận cùng là .

Suy ra: có chữ số tận cùng là .

Do đó: không là số chính phương.

Ví dụ 5.2: Cho . Chứng minh rằng không là số chính phương.

Lời giải:

Ta có:

Suy ra:

Suy ra:

Ta có: có chữ số tận cùng là .

Suy ra: có chữ số tận cùng là .

Do đó: có chữ số tận cùng là .

Vậy không phải là số chính phương.

Ví dụ 5.3:  Cho và không chia hết cho . Chứng minh rằng không thể là số chính phương.

Lời giải:

Do không chia hết cho 4 nên .

Ta có . Ta viết .

Vậy hai chữ số tận cùng của cũng chính là hai chữ số tận cùng của nên chỉ có thể là . Theo tính chất trên thì rõ ràng không thể là số chính phương khi không chia hết cho .

Ví dụ 5.4: Cho . Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương.

Lời giải:

Tổng có số hạng , nhóm các số hạng từ trái sang phải, mỗi nhóm hạng, còn thừa ba số hạng cuối là . Trong mỗi nhóm, chữ số tận cùng của tổng là .

Vậy chữ số tận cùng của tổng S là chữ số tận cùng của tổng .

Ta có:

Tổng S có chữ số tận cùng

Số chính phương không có tận cùng bằng . Suy ra S không phải là số chính phương.

Ví dụ 5.5: Cho tổng

a) Tính S

b) Chứng tỏ S là một số chính phương.

Lời giải:

a) Ta có:

b) có chữ số tận cùng là nên S là số chính phương.

Ví dụ 5.6: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết vởi các chữ số .

Lời giải:

Gọi là số chính phương cần tìm.

Số chính phương không tận cùng bằng và nên phải tận cùng bằng .

Số tận cùng bằng thì chia hết cho , không chia hết cho nên không là số chính phương.

Vậy phải tận cùng bằng

Suy ra số chính phương cần tìm là:

BÀI TẬP

Bài 1: Chứng tỏ rằng chia hết cho .

Lời giải:

Cách 1: chia hết cho và chia hết cho .

Do đó: chia hết cho .

Cách 2: có chữ số tận cùng là 0. Do đó: có chữ số tận cùng là .

Vậy: chia hết cho .

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

a) ; b)

Lời giải:

a) Số có tận cùng là , nâng lên luỹ thừa lẻ nên có chữ số tận cùng là .

b) Số có tận cùng là , nâng lên luỹ thừa chẵn nên có tận cùng là .

Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ; ; ;

Lời giải:

Ta có: có số tận cùng là

có số tận cùng là

có số tận cùng là ( )

có số tận cùng là

Bài 4: Tìm chữ số cuối cùng của số .

Lời giải:

Ta có: có chữ số cuối cùng là .

Mà:

Do đó: chữ số cuối cùng của số là .

Bài 5: Tích các số lẻ liên tiếp có tận cùng là . Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số?

Lời giải:

Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cũng có một thừa số có chữ số tận cùng là . Dó đó tích phải tận cùng là nên trái đề bài. Vậy số thừa số của tích nhỏ nhất phải lớn hơn .

Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp thì hoặc tích có tận cùng bằng , hoặc tận cùng bằng nên trái đề bài.

Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng là hoặc hoặc nên trái đề bài.

Vậy tích đó chỉ có thừa số.

Bài 6: Tích tận cùng bằng bao nhiêu chữ số .

Lời giải:

Ta có:

Do đó:

Vậy A có tận cùng bằng chữ số .

Bài 7: Tìm số tự nhiên có chữ số biết rằng số gồm năm chữ số đó viết theo thứ tự ngược lại bằng bốn lần số phải tìm.

Lời giải:

Gọi số phải tìm là

Theo đầu bài ta có: (*)

Vì bằng một số có năm chữ số nên , a lại chẵ nên .

Tích là một số tận cùng bằng , do đó hoặc .

Vì e là chữ số đầu của số tận cùng bằng b nên b phải là số lẻ, do đó .

Xét tích . Đó là một số cộng với được một số tận cùng bằng nên tận cùng bằng .

Vậy hoặc .

Bằng cách thử trực tiếp, ta được , do đó .

Vậy số phải tìm là .

Bài 8: Hãy thay vào a, b, c, d các chữ số thích hợp, biết rằng:

a) ; b) ; c)

Lời giải:

a) Tích là một số có ba chữ số, nên là một số tận cùng bằng hoặc (tức là hoặc ) nhưng nên , suy ra .

Vậy: . Ta có phép tính .

b) Ta viết lại phép tính như sau:

ba

+ abc

dcca

Ta có: (vì ) nên . Tổng là một số có bốn chữ số chỉ trong trường hợp . Khi đó ; là một số tận cùng bằng , hơn nữa phải khác vì nếu không ta phải có , trái với đầu bài. Do đó: và .

Ta có phép tính:

c) Ta viết lại phép tinh bằng:

aa

+ cca

acc

Nếu thì suy ra , điều này vô lý vì rõ ràng a phải khác .

Do đó: và .

Từ đó nhưng , nghĩa là nên .

Ta có phép tính: .

Bài 9: Nếu và thì chia hết cho .

Lời giải:

Do chia hết cho nên ; ; ; khi chia cho có cùng số dư là .

Suy ra: chia hết cho .

Vậy chia hết cho .

Bài 10: Chứng minh rằng: Trong số nguyên bất kì thế nào cũng có hai số có cùng chữ số tận cùng.

Lời giải:

Một số nguyên chỉ có thể tận cùng bằng trong chữ số

Lấp số nguyên, theo nguyên tắc Dirichlet phải có hai số có cùng chữ số tận cùng.

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1: Tìm một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số . Biết rằng khi chuyển chữ số đó lên đầu còn các chữ số khác giữ nguyên thì ta được số mới gấp lần số cũ. (Đề thi HSG Gia Lai năm 2018 - 2019)

Lời giải:

Gọi số cần tìm là , ta có:

Đặt

_{Ta có:}

Vậy số cần tìm là .

Bài 2: Cho . Chứng tỏ rằng . Tìm chữ số tận cùng của A. (Đề HSG Trực Ninh năm 2017 - 2018)

Lời giải:

Ta có (tổng A có số hạng, )

Vậy chữ số tận cùng của A là .

Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của số (Đề HSG Lý Nhân năm 2018 - 2019).

Lời giải:

Chữ số tận cùng của là .

Chữ số tận cùng của là .

Chữ số tận cùng của là .

Chữ số tận cùng của P là chữ số tận cùng của tổng là .

Bài 4: Cho (Đề HSG Bắc Ninh năm 2016 - 2017)

a) Chứng tỏ rằng .

b) Tìm chữ số tận cùng của M.

Lời giải:

a) Ta có:

b) Dễ thấy

Do đó: M có chữ số tận cùng bằng .

Bài 5: Cho . Không làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận cùng của A. (Đề HSG Bắc Ninh năm 2016 - 2017)

Lời giải:

Ta có:

Vì có chữ số tận cùng là 2 nên có chữ số tận cùng là .

Bài 6: Cho . Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5. (Đề HSG Hoằng Hoá năm 2018 - 2019 )

Lời giải:

Vì đều là bội của nên và cũng là bội của .

Suy ra:

Khi đó:

Vậy A có tận cùng là nên chia hết cho nên .

Bài 7: Cho . Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. (Đề HSG Buôn Mê Thuột năm 2018 - 2019)

Lời giải:

Ta có các số đều có chữ số tận cùng là .

Do đó: có chữ số tận cùng là .

Vậy A không phải là số chính phương.

Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: (Đề HSG Tân Uyên 2018 - 2019)

a) b)

Lời giải:

a) Xét , ta có:

Suy ra chữ số tận cùng bằng

Vậy số có chữ số tận cùng là

b) Xét ta có:

Suy ra chữ số tận cùng bằng

Vậy số có chữ số tận cùng là

Bài 9: (Đề HSG Yên Lạc 2018 - 2019)

a) Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

b) Chứng tỏ rằng: chia hết cho

Lời giải:

a) Do có chữ số tận cùng là , khi đó nâng lên lũy bậc lẻ có chữ số tận cùng là

Vậy có chữ số tận cùng là

Ta có có chữ số tận cùng là nên khi nâng lên lũy thừa có tận cùng là chữ số .

Vậy có chữ số tận cùng là

b) Vì có tổng các chữ số chia hết cho nên tổng chia hết cho

Lại có có chữ số tận cùng là nên chia hết cho

Vậy chia hết cho .

Bài 10: Cho . Tìm chữ số tận cùng của A. (Đề HSG 2017 - 2018)

Lời giải:

Ta có:

Do đó:

Suy ra:

Ta có: có chữ số tận cùng là

Suy ra có chữ số tận cùng là

Vậy chữ số tận cùng của A là .

Bài 11: Chứng minh rằng: chia hết cho cả và . (Đề HSG Cao Lộc 2020 - 2021)

Lời giải:

a) Ta có: (2002 số 0) (2001 số 0) có tận cùng nên chia hết cho và tổng các chữ số của nó là: nên chia hết cho

Vậy chia hết cho và .

Bài 12: Cho . Tìm chữ số tận cùng của . (Đề HSG Lục Ngạn 2020 - 2021)

Lời giải:

Ta có:

Do đó:

Suy ra:

Ta có: có chữ số tận cùng là .

Suy ra: có chữ số tận cùng là .

Vậy chữ số tận cùng của B là .

Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của dãy phép tính sau: . (Đề HSG Cao Lộc năm 2020 2021)

Lời giải:

Ta gọi là vế A. Ta sẽ nhân chữ số tận cùng của các thừa số ở vế A lại với nhau ta được: nên vế A có chữ số tận cùng là .

Gọi là vế B. Ta sẽ nhân chữ số tận cùng của các thừa số ở vế B lại với nhau ta được: nên vế B có chữ số tận cùng là .

Vậy chữ số tận cùng của là .

Bài 14: Tìm một chữ số tận cùng của: . (Đề HSG Kon Tum năm 2020 - 2021)

Lời giải:

Ta có:

Ta có: có chữ số tận cùng là .

có chữ số tận cùng là .

Vậy A có chữ số tận cùng là

Bài 15: Tìm hai chữ số tận cùng của . (Đề HSG năm 2016 - 2017)

Lời giải:

Ta có:

Mà có hai chữ số tận cùng là

Suy ra: có hai chữ số tận cùng là

Vậy có hai chữ số tận cùng là _.