SKKN Các Bài Toán Về Tam Giác Đồng Dạng

E₁ = D₂ ( so le trong do AB // DF)

D₂ = E₁ ( so le trong do DE // AC)

T ừ (1) và (2)  EBD P FDC (g.g)

Mà S_EBD : S_FDC = 3 : 12 = 1 : 4 = ( )²

Do đó :  FD = 2EB và ED = FC

 AE = DF = 2BE ( vì AE = DF)

AF = ED = EC ( vì AF = ED)

Vậy S_ADE = 2S_BED = 2.3 = 6(cm²)

S_ADF = S_FDC = . 12 = 6(cm²)

 S_AEDF = S_ADE + S_ADF = 6 + 6 = 12(cm²)

&.DẠNG 2: Chứng minh hệ thức, đẳng thức nhờ tam giác đồng dạng:

A. Các ví dụ và định hướng giải:

1. Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD(AB // CD). Gọi O là giao điểm của 2đường chéo AC và BD

1. Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OC.

2. Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K.

C MR: =

* Tìm hiểu bài toán : Cho gì?

Chứng minh gì?

* Xác định dạng toán:

? Để chứng minh hệ thức trên ta cần chứng minh điều gì?

TL: =

? Để có đoạn thẳng trên ta vận dụng kiến thức nào.

TL: Chứng minh tam giác đồng dạng

a) OA. OD = OB.OC

Sơ đồ :

+ ₁ = ₁ (SLT l AB // CD)

+ = ( Đối đỉnh)



OAB P OCD (g.g)



=



OA.OD = OB.OC

b) =

Tỷ số bằng tỷ số nào?

TL : =

? Vậy để chứng minh = ta cần chứng minh điều gì.

TL: =

Sơ đồ :

+ = = 90⁰

+ ₁ = ₁.(SLT; AB // CD) Câu a

 

OAH P OCK(gg) OAB P OCD

 

= =

=

2 . Ví dụ 2: Cho hai tam gíac vuông ABC và ABD có đỉnh góc vuông C và D nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi P là giao điểm của các cạnh AC và BD. Đường thẳng qua P vuông góc với AB tại I.CMR : AB² = AC. AP + BP.PD

Định hướng:

- Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB)

 AB² = ? (AB.(AI + IB) = AB . AI + AB. IB)

- Việc chứng minh bài toán trên đưa về việc chứng minh các hệ thức

AB.AI = AC.AP

AB.IB = BP. PD

- HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức ( P)

Sơ đồ : + = = 90⁰ + = = 90⁰

+ chung + chung

 

ADB P PIB ACB P AIP (gg)

 

= =

 

AB.AI = PB.DB AB . AI = AC . AP

AB . IB + AB . AI = BP . PD + AC . AP



AB (IB + IA) = BP . PD + AC . AP



AB² = BP . PD + AC . AP

3 . Ví dụ 3: Trên cơ sở ví dụ 2 đưa ra bài toán sau:

Cho  nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

CMR: BC² = BH . BD + CH.CE

Định hướng: Trên cơ sở bài tập 2

Học sinh đưa ra hướng giải quyết bài tập này.

 Vẽ hình phụ (kẻ KH  BC; K  BC).

Sử dụng P chứng minh tương tự ví dụ 2

4 . Ví dụ 4: Cho  ABC, I là giao điểm của 3 đường phân giác, đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC và BC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng.

a) AM . BI = AI. IM

b) BN . IA = BI . NI

c) =

* Định hướng:

a) ? Để chứng minh hệ thức AM. BI = AI.IM ta cần chứng minh điều gì ?

b) Để chứng minh đẳng thức trên ta cần chứng minh điều gì ?

( AMI P AIB)

Sơ đồ:

= (gt) = * CM: =

v MIC: = 90⁰ -

AMI P AIB (gg) ABC: + + = 180⁰(t/c tổng...)

  + + = 90⁰

= Do đó: = + (1)

 Mặt khác: = + (t/c góc ngoài )

AM. BI = AI . IM hay = + (2) Từ (1) và (2)  = hay =

AMI P AIB ( = ; = )

 =  AM . BI = AI. IM

b) Tương tự ý a.

Chứng minh BNI P BIA (gg)

 =  BN . IA = BI. IN

c) (Câu a) (Câu b)

 

- HS nhận xét = AMI P AIB BNI P BIA

 

Tính AI² ; BI²  = =

 

(Tính AI² ; BI² nhờ P) AI² = AM . AB BI² = BN . AB

=



=

B.Bài tập đề nghị:

1) Cho hình thanh ABCD (AB // CD), gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với 2 đáy cắt BC ở I cắt AD ở J.CMR : a) = +

b) = +

2) Cho ABC, phân giác AD (AB < AC). trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho

= . CMR: a) AD . DI = BD . DC

b) AD² = AB . AC - BD . DC

&.DẠNG3: Chứng minh quan hệ song song:

+ Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của MA và BD; F là giao điểm của MB và AC. Chứng minh rằng EF / / AB

Định hướng giải:

- Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác

- Định nghĩa hai tam giác đồng dạng

- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (định lý Ta lét đảo)

Sơ đồ phân tích:

AB // CD (gt) AB // CD (gt)

 

AB // DM AB // MC

 

MED P  AEB GT MFC P BFA

  

= ; MD = MC =



=



EF // AB (Định lý Ta lét đảo)

+ Ví dụ 2: Cho  ABC có các góc nhọn, kẻ BE, CF là hai đường cao. Kẻ EM, FN là hai đường cao của AEF. Chứng minh MN // BC

Sơ đồ phân tích

AMF P AFC (g.g); AFN P ABE

 

= =



. = .



=



MN // BC (định lý Ta – lét đảo)

+ Ví dụ 3: Cho ABC, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỷ số 1 : 3, các điểm I, K theo thứ tự chia trong các đoạn thẳng ED, FE theo tỉ số 1 : 3. Chứng minh rằng IK // BC. Gọi M là trung điểm của AF

Giải: Gọi N là giao điểm của DM và EF

Xét  ADM và  ABC có :

= = Góc A chung

ADM P ABC (c.gc)

 = mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên DM // BC

 MN // EC mà MF = FC nên EF = FN

Ta có : = . = . = (1)

mà = (gt) (2)

Từ (1) và (2)  = Suy ra IK // DN (định lý Ta – lét đảo)

Vậy IK // BC.

*Bài tập đề nghị: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng đi qua A song song với BC cắt BD. Đường thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC ở G. Chứng minh rằng EG // DC

&.DẠNG4: Chứng minh tam giác đồng dạng:

+ Ví dụ 1: Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm .Trên AB lấy điểm D sao cho

AD = 3,2cm, trên AC ,lấy điểm E sao cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB ở F.

1. CMR :  ABC P AED

2.  FBD P FEC

3. Tính ED ; FB?

Bài toán cho gì?

Dạng toán gì?

Để chứng minh 2  đồng dạng có những phương pháp nào?

Bài này sử dụng trường hợp đồng dạng thứ mấy?

Sơ đồ chứng minh:

a) GT



chung

= = 2



ABC P AED (c.g.c)

ABC P  AED (câu a)

b) 

= ; =



=

chung



FBD P FEC (g.g)

c) Từ câu a, b hướng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED và FB.

+ Ví dụ 2: Cho ABC cân tại A; BC = 2a; M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên AB; AC sao cho = . a) CMR : BDM P CME

b) MDE P DBM

c) BD . CE không đổi

? Để chứng minh BDM P CME ta cần chứng minh điều gì.

? Từ gt  nghĩ đến 2 có thể P theo trường hợp nào (g.g)

? Gt đã cho yếu tố nào về góc. ( = )

? Cần chứng minh thêm yếu tố nào ( = )

1. Hướng dẫn sơ đồ

gt góc ngoài DBM

 

= ; = + ; = +

ABC cân

 

= ; =



BDM P CME (gg)

Câu a gt

 

b) = ; CM = BM



=



= (gt) ;



DME P DBM (c.g.c)

c) Từ câu a : BDM P CME (gg)

  BD . CE = Cm . BM

Mà CM = BM = = a

 BD . CE = (không đổi)

Lưu ý: Gắn tích BD . CB bằng độ dài không đổi

Bài đã cho BC = 2a không đổi

Nên phải hướng cho học sinh tính tích BD. CE theo a

+ Ví dụ 3: Cho ABC có các trung điểm của BC, CA, AB

theo thứ tự là D, E, F. Trên cạnh BC lấy điểm M và N sao cho

BM = MN = NC. Gọi P là giao điểm của AM và BE; Q là giao

điểm của CF và AN.

CMR: a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng.

b) ABC P DQP

* Hướng dẫn

a) Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh 3 điểm thẳng hàng có nhiều phương pháp. Bài này chọn phương pháp nào?

- Lưu ý cho học sinh bài cho các trung điểm  nghĩ tới đường trung bình .

 Từ đó nghĩ đến chọn phương pháp: CM cho 2 đường thẳng PD và FP cùng // AC

PD là đường trung bình BEC  PD // AC

FP là đường trng bình ABE  FP // AC

Tương tự cho 3 điểm D, Q, E

2. PD = . EC = . =

= 4

= 4

 

;



ABC P DQP (c.g.c)

* Bài tập đề nghị: 1) Cho ABC, AD là phân giác ; AB < AC. Trên tia đối của DA lấy điểm I sao cho . Chứng minh rằng.

1. ADB P ACI; ADB P CDI

2. AD² = AB. AC - BD . DC

2) Cho ABC; H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm 3 đường trung trực của . Gọi E, D theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.

Chứng minh :

1.  OED P  HCB

2.  GOD P  GBH

3. Ba điểm O, G, H thẳng hàng và GH = 2OG

3) Cho ABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm. Gọi M là trung điểm BC. Qua M kẻ đường vuông góc với BC cắt AC, AB lần lượt ở D, E.

1. CMR : ABC P MDC

2. Tính các cạnh MDC

3. Tính độ dài BE, EC

4) Cho ABC; O là trung điểm cạnh BC. Góc = 60⁰; cạnh ox cắt AB ở M; oy cắt AC ở N.

1. Chứng minh: OBM P NCO

2. Chứng minh : OBM P NOM

3. Chứng minh : MO và NO là phân giác của và

4. Chứng minh : BM. CN = OB²

&.DẠNG5:Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau:

_Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB// CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F.

C hứng minh rằng : OE = OF

H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau (OE = OF) ta sẽ đưa về chứng minh điều gì?

TL : = (1)

H: OE; DC là cạnh của những tam giác nào? (AEO; ADC, các tam giác này đã đồng dạng chưa? Vì dao?

H: Đặt câu hỏi tương tự cho OF , DC.

H: lập tỷ số bằng =

TL: = ; =

H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì?

TL: =

H: Đây là tỷ số có được từ cặp tam giác đồng dạng nào?

TL:  AOB;  COD

H: Hãy chứng minh điều đó.

Ví dụ 2: Trên một cạnh của góc xoy (  180⁰), đặt các đoạn thẳng OA = 5cm, OB = 16cm. Trên cạnh thứ nhất của góc đó, đặt các đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm.

a) Chứng minh hai tam giác OCB và OAD đồng dạng.

b ) Gäi giao ®iÓm c¸c c¹nh AD vµ BC lµ I, CMR: Hai tam gi¸c IAB vµ ICD cã c¸c gãc b»ng nhau tõng ®«i mét.

Giải:a)Ta có:

 =  OBC P  ODA

Góc O chung

b) Xét IAB và ICD ta dễ nhìn thấy không bằng nhau.

Do đó để chứng minh chúng có các góc bằng nhau

từng đôi một ta đi chứng minh đồng dạng.

Vì OBC P ODA nên = (1)

Mặt khác ta có (đối đỉnh)

 BAI P DCI (g.g)



Ví dụ 3: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 16cm và BD = 8cm

C hứng minh :

Giải :Xét BAD và DBC có AB // CD do đó :

(so le trong )

 ( cùng bằng )

 BAD P DBC (c.g.c)



Ví dụ 4: Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kỳ trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL ( E thuộc BC, F thuộc AB) các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N . Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau.

Định hướng giải:

Từ giả thiết cho song song ta suy ra

các tỷ lệ thức và tam giác đồng dạng

Ta có :

= (1)

= (cùng )

 = (2) ( ta có trung tuyến )

Từ (1) và (2) suy ra : =  FM = FE

Tương tự ta cũng có EN = EF và do đó suy ra MN = EF

Vậy FM = MN = NE

* Bài tập đề nghị :Cho hình thang ABCD (AB // CD) đường thẳng song song với đáy Ab cắt các cạnh bên và các đường chéo AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q. CMR: MN = PQ

&.DẠNG 6: Toán ứng dụng thực tế:

+ Ví dụ 1: Để đo khoảng cách giữa 2 điểm A và M, trong đó M không tới được, người ta tiến hành đo và tính khoảng cách (như hình vẽ) AB  BM; BH  AM. Biết AH = 15m; AB = 35m.

G iải : Xét  AMB và  ABH có ;

= = 90⁰ (gt) ; chung

 AMB P ABH (gg)

 =  AM = = 81,7(m)

Vậy khoảng cách giữa 2 điểm A và M gần bằng 81,7 m

+ Ví dụ 2: Một ngọn đèn đặt trên cao ở vị trí A, hình chiếu vuông góc của nó trên mặt đất là H. Người ta đặt một chiếc cọc dài 1,6m, thẳng đứng ở 2 vị trí B và C thẳng hàng với H (hình vẽ) Khi đó bóng cọc dài 0,4m và 0,6m . Biết BC = 1,4m. Hãy tính độ cao AH.

Giải

G ọi BD, CE là bóng của cọc và B’ ; C’ là tương ứng của đỉnh cao. Đặt BB’ = CC’ = a ; BD = b ; CE = c ; BC = d ; AH = x. Gọi I là giao điểm của AH và B’C’.

 

 (x – a) (b + d + c) = x.d

 x = = a(1+ )

Thay số ta được AH = 1,6 (1 + ) = 3,84(m)

Vậy độ cao AH bằng 3,84 mét

*Bài tập đề nghị:

Một giếng nước có đường kính DE = 0,8m (hình vẽ).

Để xác định độ sâu BD của giếng, người ta đặtmột chiếc gậy ở vị trí AC, A chạm miệng giếng,

AC nhìn thẳng tới vị trí E ở góc của đáy giếng. Biết AB = 0,9m; BC = 0,2m. Tính độ sâu BD của giếng.

III/KẾT LUẬN: Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng trong giải toán. Đây là một khái niệm khó đối với học sinh , do đó giáo viên cần hướng dẫn, phân tích tỉ mỉ để học sinh tìm ra các bước chứng minh . Khi ứng dụng để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau thì các phương pháp thường dùng ở đây là :

* Đưa 2 đoạn thẳng cần quy bằng nhau về là tử của 2 tỷ số có cùng mẫu.

* Chứng minh các đoạn thẳng cùng bằng một độ dài nào đó.

* Đưa 2 góc cần chứng minh bằng nhau về là 2 góc tương ứng của 2 tam giác đồng dạng.

* Chứng minh 2 tỷ số bằng nhau sau đó chứng minh tử bằng nhau suy ra 2 đoạn thẳng ở mẫu bằng nhau

*Nói chung tuỳ bài toán cụ thể cần sử dụng kiến thức tam giác đồng dạng để giải, ta phải biết cách chọn cặp tam giác đồng dạng phù hợp để chứng minh. Có thể vẽ thêm để xuất hiện cặp tam giác đồng dạng. Chúc các em thành công trong học tập.

Quy Nhơn ,

NGUYỄN - KIM - CHÁNH