Dạng Toán Giải Phương Trình Ôn Thi HSG Đại Số 8 Có Lời Giải Chi Tiết

DẠNG 8: PHƯƠNG TRÌNH

A. Bài toán

Bài 1: Giải phương trình:

_a)

b)

c) (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4)

Bài 2: Giải phương trình:

_{Bài 3:} Giải phương trình:

_{Bài 4:} Giải phương trình:

Bài 5:

a) Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số)

b) Giải phương trình:

Bài 6: Giải các phương trình sau:

Bài 7: Giải các phương trình sau:

a) b)

Bài 8: Giải phương trình sau:

Bài 9: Giải các phương trình:

a) b)

Bài 10: Giải các phương trình:

a) b)

Bài 11: 1) Tìm

_a)

b)

2) Tìm biết:

Bài 12: Tìm biết:

a) b)

c) d)

Bài 13: Giải các phương trình sau:

_a)

_b)

c)

Bài 14: Giải phương trình:

Bài 15: Giải phương trình:

_a)

b)

Bài 16: Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe máy và xe đạp ?

Bài 17: Năm 2016, số công nhân ở xí nghiệp I và II tỉ lệ với 4 và 5. Năm 2017, xí nghiệp I tăng thêm 60 công nhân nữa, xí nghiệp II tăng thêm 90 công nhân; do đó số công nhân của 2 xí nghiệp tỉ lệ với 5 và 7. Hỏi năm 2017, mỗi xí nghiệp có bao nhiêu công nhân ?

Bài 18: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số di 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số mới là nghich đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

Bài 19: Giải các phương trình sau:

Bài 20: Giải phương trình

Bài 21: Ký hiệu (phần nguyên của ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá Tìm biết rằng:

Bài 22: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là

Bài 23 : Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Bài 24: Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và .

Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.

Bài 25 : Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Bài 26 : Giải các phương trình:

1. 

2. 

Bài 27: Giải phương trình:

Bài 28: Tìm biết:

Bài 29: Giải phương trình:

Bài 30: Tìm thỏa mãn phương trình sau:

Bài 31: Giải phương trình sau:

Bài 32: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó

Bài 33: Giải các phương trình sau:

a)

b)

Bài 34: Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và .

Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.

Bài 35: Giải các phương trình sau:

Bài 36: Tìm giá trị của để cho phương trình có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình:

Bài 37: Giải các phương trình sau:

a)

b)

Bài 38: Tìm để phương trình sau vô nghiệm

Bài 39: Giải phương trình :

Bài 40: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

3. với nguyên dương.

Bài 41: Giải các phương trình sau:

Bài 42: Giải phương trình:

Bài 43: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất được 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất được 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch một ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày.

Bài 44: Giải phương trình:

Bài 45: Giải phương trình

Bài 46: Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó

Bài 47: Giải phương trình:

Bài 148: Tìm biết:

Bài 49: Giải phương trình:

Bài 50: Tìm biết :

a)

b)

Bài 51: Tìm biết:

Bài 52: Một khối 8 có số học sinh đội tuyển Toán bằng số học sinh đội tuyển Anh và bằng số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển ?

Bài 53: Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc nhưng sau khi đi được 1 giờ người ấy nghỉ hết phút, do đó phải tăng vận tốc thêm để đến B đúng giờ đã định. Tính quãng đường AB ?

Bài 54: Giải các phương trình sau

1. 

2. 

3. 

Bài 55: Một người đi xe gắn máy từ đến dự định mất giờ phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó

Bài 56: Giải phương trình:

Bài 57: Giải phương trình:

Bài 58: Giải phương trình:

Bài 59: Giải các phương trình sau:

Bài 60: Giải các phương trình sau:

_{Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau} rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là

Bài 61: Giải các phương trình sau:

₁₎

2. 

Bài 62: Giải Câu toán bằng cách lập phương trình

Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và . Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.

Bài 63: Giải phương trình

1. b)

Bài 64: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Bài 65: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Bài 66: Giải phương trình:

Bài 67: Tìm biết:

Bài 68: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc

Bài 69: Ký hiệu (phần nguyên của ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá Tìm biết rằng:

Bài 70: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

3. 

Bài 71: Giải phương trình:

Bài 72: Giải phương trình:

Bài 73: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp dừng lại 3 giây… Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc giây. Tính khoảng cách từ A đến B.

Bài 74: Giải phương trình

Bài 75.

1. Lúc 7 giờ sáng một xe buýt đi từ vị trí A đến vị trí B với độ dài là 60 km. Khi đi tới vị trí C cách vị trí thì xe bị hỏng. Xe phải dừng lại và sửa chữa mất phút, sau đó xe tiếp tục đi từ C đến B với vận tốc giảm hơn so với vận tốc đi từ A tới C là Tổng thời gian xe đi từ A đến B hết giờ (tính cả thời gian dừng lại sửa xe). Hỏi xe buýt bị hỏng lúc mấy giờ ?

2. Giải phương trình

_{Bài 76}. Giải phương trình:

_{Bài 77.}

Giải phương trình sau:

_{Bài 78.}

_{Giải các phương trình sau:}

Bài 79: Giải phương trình :

_{Bài 80} Giải phương trình:

Bài 81: Giải các phương trình sau:

1. 

_{Bài 82}. Tìm để phương trình sau có nghiệm dương:

Bài 83. Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – sạch – đẹp. Học sinh khối lớp 8 nhận làm vệ sinh một đoạn đường em chăm. Lớp 8/1 nhận 10 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/2 nhận 20 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/3 nhận 30 mét và 1/10 của phần còn lại … cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa đủ và phần đường của mỗi lớp dài bằng nhau. Hỏi khối 8 có bao nhiêu lớp và đoạn đường mỗi lớp nhận dài bao nhiêu mét ?

Bài 84. Nhân ngày 1/6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi người trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc ấy phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau:

Bạn thứ nhất 1 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Sau khi bạn thứ nhất đã lấy phần mình, bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại.

Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu kẹo.

_{Bài 85}. Giải các phương trình sau:

Bài 86: Giải phương trình:

Bài 87

1. Tìm biết:

2. Tìm biết: và

Bài 88:

1. Giải phương trình:

2. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:

Bài 89: Giải phương trình sau:

Bài 90:

1. Giải phương trình:

2. Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi”

Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu?

Bài 91: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Bài 92: Giải phương trình sau:

Bài 93:

1. Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số)

2. Giải phương trình:

Bài 94: Để tham gia ngày chạy Olympic vì sức khỏe toàn dân, trường A đã nhận được một số chiếc áo và chia đều cho các lớp. Biết rằng theo thứ tự, lớp thứ nhất nhận được 4 áo và số còn lại, rồi đến lớp thứ nhận được 4n áo và số áo còn lại. Cứ như thế các lớp đã nhận hết số áo. Hỏi trường A đã nhận được bao nhiêu chiếc áo?

Bài 95: Giải phương trình sau:

Bài 96:

1. Giải phương trình sau:

2. Xác định giá trị của để phương trình: có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn

Bài 97: Tìm biết:

Bài 98: Giải phương trình:

Bài 99: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Bài 100: Giải phương trình:

Bài 101: Giải phương trình:

Bài 102: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp dừng lại 3 giây… Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc giây. Tính khoảng cách từ A đến B.

Bài 103: Giải phương trình

Bài 104: Giải phương trình:

Bài 105: Giải phương trình:

Bài 106: Tìm sao cho phương trình ẩn : có nghiệm duy nhất thỏa mãn

Bài 107: Giải phương trình

Bài 108: Giải các phương trình sau:

Bài 109: Giải phương trình sau:

Bài 110: Giải phương trình sau:

Bài 111: Cho phương trình . Tìm m nguyên để phương trình có nghiệm dương.

Bài 112: Tìm thỏa mãn đẳng thức:

Bài 113: Giải phương trình:

Bài 114:

a) Giải phương trình:

b) Tìm và thỏa mãn:

Bài 115: Giải các phương trình sau:

Bài 116: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

Bài 117: Tìm thỏa mãn phương trình sau:

Bài 118: Giải phương trình:

Bài 119: Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

Bài 120: Giải phương trình a) b)

Bài 121: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc

Bài 122: Giải phương trình sau:

(2x² + x – 2013)² + 4.(x² – 5x – 2012)² = 4.(2x² + x – 2013)(x² – 5x – 2012)

Bài 223: Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số):

Bài 124: Giải phương trình: 2x(8x – 1)²(4x-1) = 9

Bài 125: Giải phương trình sau: |x-2|(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 4

Bài 126:

a) Giải phương trình sau: x² – 3x + 2 + |x – 1| = 0

b) Xác định giá trị của m để phương trình: m³(x - 2) – 8(x + m) =4m² có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 1

Bài 127: Tìm x biết:

Bài 128: Giải phương trình (6x + 8)(6x + 6)(6x + 7)² = 72

Bài 129: Giải phương trình:

Bài 130: Tìm biết :

a)

b) và

c)

Bài 131: Giải và biện luận nghiệm của phương trình theo .

Bài 132: Giải các phương trình:

a)

b) Giải phương trình:

Bài 133: Giải phương trình:

a)

b)

Bài 134: Giải các phương trình sau:

a) ( Phương trình ẩn )

b)

c)

Bài 135: Giải các phương trình sau:

a) ;

b)

c) ;

d)

e) .

Bài 136: Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

Bài 137: Giải phương trình:

Bài 138: Giải phương trình:

Bài 139: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.

Bài 140: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan?

Bài 141: Giải phương trình:

Bài 142: Giải phương trình:

b)

c)

Bài 143: Giải phương trình:

Bài 144: Giải các phương trình sau:

Bài 145: Giải phương trình:

Bài 146: Giải phương trình:

Bài 147: Giải phương trình:

Bài 148: Tìm biết:

Bài 149: Tìm biết:

1. 

2. 

_{Bài 150:} Giải phương trình :

Bài 151: Một vật thể chuyển động từ đến theo cách sau: đi được thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp dừng lại 3 giây… Cứ như vậy đi từ đến kể cả dừng hết tất cả giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc giây. Tính khoảng cách từ đến .

Bài 152: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ đến cách nhau rồi ngay lập tức quay trở về lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là

Bài 153: Một người đi xe gắn máy từ đến dự định mất giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm thì sẽ đến sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách và vận tốc dự định đi của người đó.

Bài 154 Giải phương trình:

Bài 155: Giải các phương trình và bất phương trình sau:

Bài 156: Giải phương trình

Bài 157: Giải các phương trình sau:

Bài 158: Giải phương trình :

Bài 159: Giải phương trình :

Bài 160: Giải phương trình:

Bài 161

1. Giải phương trình:

2. Giải phương trình:

Bài 162: Giải các phương trình sau:

Bài 163: Giải phương trình sau:

_b)

_{Bài 16}4: Giải phương trình sau:

Bài 165: Giải phương trình:

b)

c)

Bài 166: Giải các phương trình sau:

Bài 167: Giải phương trình sau:

Bài 168: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Bài 169: Giải phương trình:

Bài 170: Giải phương trình:

Bài 171: Giải các phương trình sau :

Bài 172: Giải các phương trình sau

Bài 173: Giải phương trình :

Bài 174: Giải các phương trình sau :

Bài 175: Giải phương trình :

Bài 176: Tìm thỏa mãn đẳng thức

Bài 177: Tìm các giá trị x và y thỏa mãn:

Bài 178: Giải các phương trình sau:

a) .

b) .

Bài 179: Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) .

b) .

Bài 180: Giải các phương trình sau:

a) .

b) .

Bài 181: Giải các phương trình sau:

a) ( x² + x + 1)(x² + x + 2) = 12

b)

Bài 182: Giải các phương trình sau:

a,

b, + + =

Bài 183Giải các phương trình sau:

a)

b) (x² - 5x +1)² – 2x² + 10x = 1

Bài 184: Giải các phương trình sau:

a) .

b) .

Bài 185: Giải phương trình:

Bài 186: Giải các phương trình sau:

a.) . b.

Bài 187: Giải phương trình:

Bài 188: Giải các phương trình:

a)

b) Giải phương trình:

Bài 189: Giải phương trình:

a)

b)

Bài 190: Giải các phương trình sau:

a) ( Phương trình ẩn )

b)

c)

Bài 191: Giải các phương trình sau:

a) ;

b)

c) ;

d)

e) .

Bài 192: Giải phương trình:

Bài 193: Giải phương trình sau:

Bài 194: Giải phương trình:

Bài 195: Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

Bài 196: Tìm biết :

a)

c)

Bài 197: Giải và biện luận nghiệm của phương trình theo .

Bài 198: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan?

Bài 199: Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi”. Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu ?

Bài 200: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.

Bài 201: Giải các phương trình sau:

a)

b)

Bài 202: Giải phương trình:

Bài 203:Giải phương trình sau: .

Bài 204: Giải phương trình:

Bài 205: Giải phương trình:

Bài 206: Tìm x :

1. 

2. 

Bài 207: Giải phương trình :

Bài 208: Giải phương trình:

Bài 209: Giải phương trình:

Bài 2100: Giải phương trình sau:

Bài 211: Giải phương trình:

1. 

2. 

Bài 212: Giải phương trình:

B. HƯỚNG DẪN

Bài 1: Giải phương trình:

_a)

b)

c) (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4)

Lời giải

a)

_{Giải phương trình được tập nghiệm}

b)

c)

x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả 2 vế cho ta được:

Đặt

Thay vào phương trình (*) rồi giải phương trình ta được:

Bài 2: Giải phương trình:

Lời giải

Đặt Ta có:

Vậy phương trình có tập nghiệm

_{Bài 3:} Giải phương trình :

Lời giải

_{Bài 4:} Giải phương trình:

Lời giải

_ĐKXĐ:

Bài 5:

a) Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số)

b) Giải phương trình:

Lời giải

a) ĐKXĐ: ta có:

_Với thì có dạng

Nghiệm đúng mọi thỏa mãn điều kiện _, do đó tập nghiệm của phương trình là

Với thì phương trình có nghiệm

Để giá trị này là nghiệm của phương trình thì ta phải có:

và tức là

Vậy nếu thì là nghiệm.

Kết luận: với thì Với thì

b) Ta có:

Đặt ta có:

Với ta có:

(Vô nghiệm vì

Với ta có

Bài 6: Giải các phương trình sau:

Lời giải

Bài 7: Giải các phương trình sau:

a) b)

Lời giải

a)

*) Nếu , phương trình đã cho trở thành

*) Nếu , phương trình đã cho trở thành

Vậy

b) ĐKXĐ:

Vậy

Bài 8: Giải phương trình sau:

Lời giải

Đặt

Phương trình đã cho trở thành:

Khi đó ta có:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 9: Giải các phương trình:

a) b)

Lời giải

a)

Ta có:

(Áp dụng tính chất: )

b) (2)

ĐKXĐ:

Bài 10: Giải các phương trình:

a) b)

Lời giải

a) Đặt

Ta có (pt đề)

Vậy

b) ĐKXĐ:

Vậy

Bài 11:

_{1) Tìm}

_a)

b)

2) Tìm biết:

Lời giải

1a)

Vế trái luôn luôn không âm nên ta luôn có

nên

Do đó

1b)

Điều kiện :

. Vậy

2)

Vậy

Bài 12: Tìm biết:

a) b)

c) d)

Lời giải

_a)

_b)

c)

Vậy

Bài 13: Giải các phương trình sau:

_a)

_b)

c)

Lời giải

_a)

b)

_c) ĐKXĐ:

Bài 14: Giải phương trình:

Lời giải

Ta có điều kiện . Khi đó ta có:

_Vậy

Bài 15: Giải phương trình:

a) b)

Lời giải

a)

b)

Đặt

_{Phương trình trở thành:}

Với

Vậy nghiệm của phương trình là :

Bài 16: Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe máy và xe đạp ?

Lời giải

Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là

Thời gian xe đạp đi là ; Thời gian xe máy đi là :

Quãng đường ô tô đi là

Quãng đường xe đạp đi là

Quãng đường xe máy đi là

Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp nên ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy nên ta có phương trình

Vậy đến 10 giờ 50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe dạp và xe máy

Bài 17: Năm 2016, số công nhân ở xí nghiệp I và II tỉ lệ với 4 và 5. Năm 2017, xí nghiệp I tăng thêm 60 công nhân nữa, xí nghiệp II tăng thêm 90 công nhân; do đó số công nhân của 2 xí nghiệp tỉ lệ với 5 và 7. Hỏi năm 2017, mỗi xí nghiệp có bao nhiêu công nhân ?

Lời giải

Gọi số công nhân xí nghiệp I năm 2016 là (

Số công nhân xí nghiệp II năm 2016 là

Theo bài toán, năm 2017 số công nhân xí nghiệp I và xí nghiệp II tăng 60, 90 người nên ta có phương trình:

Vậy số công nhân năm 2017 của xí nghiệp I và xí nghiệp II lần lượt là 100 và 140 công nhân.

Bài 18: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số di 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số mới là nghich đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

Lời giải

Gọi tử số của phân số cần tìm là thì mẫu số của phân số cần tìm là

Phân số cần tìm là

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số

Theo bài ta có phương trình:

Giải phương trình và tìm được (thỏa mãn)

Vậy phân số cần tìm là

Bài 19: Giải các phương trình sau:

Lời giải

, đặt

Vậy

Bài 20: Giải phương trình

Lời giải

Đặt và

Phương trình (*) trở thành:

+Nếu thì

+Nếu thì

Vậy

Bài 21: Ký hiệu (phần nguyên của ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá Tìm biết rằng:

Lời giải

vả

Do

Bài 22: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là

Lời giải

Gọi là vận tốc ca nô xuôi dòng

Vận tốc ca nô khi nước lặng:

Vận tốc ca nô khi ngược dòng:

Thời gian cả đi và về của ca nô là giờ nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là

Bài 23: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Lời giải

1. 

hoặc

Vậy hoặc

2. 

Vậy

Bài 24: Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và .

Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.

Lời giải

• Gọi thời gian để ô tô cách đều xe đạp và xe máy kể từ lúc xe đạp chạy là (giờ). Điều kiện

Khi đó: Xe đạp đi được :

Xe máy đi được :

Ô tô đi được:

Khi ô tô bắt đầu chạy thì xe đạp đã bị xe máy vượt qua

Hiệu quãng đường đi được của xe máy và ô tô là:

Hiệu quãng đường đi được của ô tô và xe đạp:

Theo đề bài ta có phương trình:

Giải phương trình tìm được giờ 3 giờ 15 phút

Vậy lúc 8 giờ 15 phút thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy.

Bài 25: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Lời giải

1. Đặt . Ta có:

Vậy

2. 

Phương trình trở thành:

Bài 26: Giải các phương trình:

1. 

2. 

Lời giải

1. 

(thêm vào 2 vế)

Vậy

Bài 27: Giải phương trình:

Lời giải

Bài 28: Tìm biết:

Lời giải

ĐKXĐ:

Đặt , ta có hệ thức:

Bài 29: Giải phương trình:

Lời giải

ĐKXĐ:

Phương trình trở thành:

Bài 30: Tìm thỏa mãn phương trình sau:

Lời giải

Do

Nên :

Bài 31: Giải phương trình sau:

Lời giải

Ta có:

Điều kiện xác định của phương trình (1) là :

Ta có:

Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu:

Bài 32: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó

Lời giải

Gọi tử số của phân số cần tìm là thì mẫu số của phân số cần tìm là

Phân số cần tìm là

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì ta được phân số

Theo bài ta có phương trình :

Giải phương trình và tìm được

Từ đó phân số cần tìm là

Bài 33: Giải các phương trình sau:

a)

b)

Lời giải

a)

hoặc

Vậy hoặc

b)

Vậy

Bài 34: Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và .

Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.

Lời giải

Gọi thời gian để ô tô cách đều xe đạp và xe máy kể từ lúc xe đạp chạy là (giờ). Điều kiện

Khi đó: Xe đạp đi được :

Xe máy đi được :

Ô tô đi được:

Khi ô tô bắt đầu chạy thì xe đạp đã bị xe máy vượt qua

Hiệu quãng đường đi được của xe máy và ô tô là:

Hiệu quãng đường đi được của ô tô và xe đạp:

Theo đề bài ta có phương trình:

Giải phương trình tìm được giờ 3 giờ 15 phút

Vậy lúc 8 giờ 15 phút thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy.

Bài 35: Giải các phương trình sau:

Lời giải

1. 

2. 

Bài 36: Tìm giá trị của để cho phương trình có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình:

Lời giải

Để phương trình có nghiệm gấp ba lần nghiệm của phương trình hay

Ta có

Vậy với thì phương trình có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình

Bài 37: Giải các phương trình sau:

a)

b)

Lời giải

1. Ta có:

Vì

Do đó:

Vậy phương trình có nghiệm :

2. Ta có:

Do và với mọi

Nên

Bài 38: Tìm để phương trình sau vô nghiệm

Lời giải

ĐKXĐ: và

+Nếu ta có: (vô nghiệm)

+Nếu ta có

• Xét

(Không xảy ra vì vế trái luôn dương)

Xét

Vậy phương trình vô nghiệm khi hoặc

Bài 39: Giải phương trình :

Lời giải

Bài 40: Giải các phương trình sau:

4. 

5. 

6. với nguyên dương.

Lời giải

Vậy

Đặt

Ta có:

Với ta có phương trình :

Với ta có phương trình:

(vô nghiệm)

Vậy

3. 

Vì nguyên dương nên

và

Phương trình có nghiệm dương duy nhất

Bài 41: Giải các phương trình sau:

Lời giải

a)

Đặt

vô nghiệm vì với mọi

b)

Vì

Bài 42: Giải phương trình:

Lời giải

ĐKXĐ:

Vậy

Bài 43: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất được 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất được 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch một ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày.

Lời giải

Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : (ngày)

Điều kiện nguyên dương và

Vậy số ngày tổ đã thực hiện là : (ngày)

Số sản phẩm làm theo kế hoạch là : (sản phẩm)

Số sản phẩm thực hiện là : (sản phẩm)

Theo đề bài ta có phương trình:

Vậy số ngày dự định sản xuất là : 10 ngày

Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch: (sản phẩm)

Bài 44: Giải phương trình:

Lời giải

2.1

Nếu (thỏa mãn điều kiện

Nếu

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất

2.2

Điều kiện để phương trình có nghiệm:

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm

Bài 45: Giải phương trình

Lời giải

Vậy

Do nên

Vậy

3. 

Ta có: nên

Phương trình được viết dưới dạng:

Bài 46: Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó

Lời giải

Gọi khoảng cách giữa A và B là

Vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là:

Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên là:

Theo đề bài ta có phương trình:

Vậy khoảng cách giữa và là

Vận tốc dự định là

Bài 47: Giải phương trình:

Lời giải

Vì

Vậy phương trình có nghiệm

Bài 48: Tìm biết:

Lời giải

Bài 49: Giải phương trình:

Lời giải

Điều kiện

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Bài 50: Tìm biết :

a)

b)

Lời giải

a) hay

Bài 51: Tìm biết:

Lời giải

Bài 52: Một khối 8 có số học sinh đội tuyển Toán bằng số học sinh đội tuyển Anh và bằng số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển ?

Lời giải

Gọi số học sinh đội tuyển Toán, Anh, Văn thứ tự là

Ta có:

Tính đúng và kết luận

Bài 53: Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc nhưng sau khi đi được 1 giờ người ấy nghỉ hết phút, do đó phải tăng vận tốc thêm để đến B đúng giờ đã định. Tính quãng đường AB ?

Lời giải

Gọi là độ dài quãng đường AB. ĐK:

Thời gian dự kiến đi hết quãng đường AB: (giờ)

Quãng đường đi được sau 1 giờ:

Quãng đường còn lại :

Thời gian đi quãng đường còn lại: (giờ)

Theo bài ta có phương trình:

(thỏa mãn)

Vậy quãng đường AB là

Bài 54: Giải các phương trình sau

1. 

2. 

3. 

Lời giải

1. 

c) Ta có: nên

Phương trình được viết lại:

Vậy

Bài 55: Một người đi xe gắn máy từ đến dự định mất giờ phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó

Lời giải

Gọi khoảng cách giữa A và B là

Vận tốc dự định của người đi xe máy là

Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên

Theo đề Câu ta có phương trình :

Vậy khoảng cách giữa A và B là :

Vận tốc dự định:

Bài 56: Giải phương trình:

Lời giải

Ta có: 2.1

Nếu (thỏa mãn điều kiện

_Nếu

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất

2.2 Ta có:

Điều kiện để phương trình có nghiệm:

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm

Bài 57: Giải phương trình:

Lời giải

Bài 58: Giải phương trình:

Lời giải

Ta có:

ĐKXĐ:

Đặt , ta có hệ thức:

Bài 59: Giải các phương trình sau:

Lời giải

, đặt

Vậy

Bài 60: Giải các phương trình sau:

_{Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau} rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là

Lời giải

Gọi là vận tốc ca nô xuôi dòng

Vận tốc ca nô khi nước lặng:

Vận tốc ca nô khi ngược dòng:

Thời gian cả đi và về của ca nô là giờ nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là

Bài 61: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Lời giải

1. 

hoặc

Vậy hoặc

2. 

Vậy

Bài 62: Giải Câu toán bằng cách lập phương trình

Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và .

Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.

Lời giải

• Gọi thời gian để ô tô cách đều xe đạp và xe máy kể từ lúc xe đạp chạy là (giờ). Điều kiện

Khi đó: Xe đạp đi được :

Xe máy đi được :

Ô tô đi được:

Khi ô tô bắt đầu chạy thì xe đạp đã bị xe máy vượt qua

Hiệu quãng đường đi được của xe máy và ô tô là:

Hiệu quãng đường đi được của ô tô và xe đạp:

Theo đề Câu ta có phương trình:

Giải phương trình tìm được giờ 3 giờ 15 phút

Vậy lúc 8 giờ 15 phút thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy.

Bài 63: Giải phương trình

1. b)

Lời giải

(khẳng định sai vì )

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

2. ĐKXĐ:

Vậy

Bài 64: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Lời giải

1. Đặt . Ta có:

Vậy

2. 

Phương trình trở thành:

Bài 65: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Lời giải

1. 

(thêm vào 2 vế)

Vậy

Bài 66: Giải phương trình:

Lời giải

Ta có:

Bài 67: Tìm biết:

Lời giải

ĐKXĐ:

Đặt , ta có hệ thức:

Bài 68: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc

Lời giải

Gọi (ngày) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc

Một ngày người thứ nhất làm được (công việc)

Một ngày người thứ hai làm được (công việc)

Một ngày hai người làm chung được (công việc)

Theo Câu ta có phương trình

Vậy người thứ nhất làm xong trong ngày

Người thứ hai làm xong trong ngày.

Bài 69: Ký hiệu (phần nguyên của ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá Tìm biết rằng:

Lời giải

vả

Do

Bài 70: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

3. 

Lời giải

a)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

b)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất

c)

(1)

ĐKXĐ:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

Bài 71: Giải phương trình:

Lời giải

Ta có:

Đặt

Ta có phương trình:

Xét các trường hợp ta tìm được

Bài 72: Giải phương trình:

Lời giải

Đặt có

Bài 73: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp dừng lại 3 giây… Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc giây. Tính khoảng cách từ A đến B.

Lời giải

Gọi là số lần đi , số lần dừng là

Thời gian đi

Thời gian dừng:

Lập được phương trình

Khoảng cách AB là

Bài 74: Giải phương trình

Lời giải

b)

Đặt

Khi đó

Vậy

Bài 75.

1. Lúc 7 giờ sáng một xe buýt đi từ vị trí A đến vị trí B với độ dài là 60 km. Khi đi tới vị trí C cách vị trí thì xe bị hỏng. Xe phải dừng lại và sửa chữa mất phút, sau đó xe tiếp tục đi từ C đến B với vận tốc giảm hơn so với vận tốc đi từ A tới C là Tổng thời gian xe đi từ A đến B hết giờ (tính cả thời gian dừng lại sửa xe). Hỏi xe buýt bị hỏng lúc mấy giờ ?

2. Giải phương trình

_{Lời giải}

1. Gọi vận tốc của xe buýt khi đi từ đến là thì vận tốc của xe buýt khi đi từ C đến là

Thời gian để xe buýt đi hết quãng đường là thời gian để xe buýt đi hết quãng đường CB là . Thời gian dừng lại sửa xe là 15 phút

Theo bài ta có phương trình:

Giải ra được

Vậy khi đi từ tới xe buýt đi với vận tốc , suy ra thời gian để xe buýt đo đi hết quãng đường AC là : (giờ)

Do đó đúng 8 giờ sáng thì xe buýt bị hỏng.

2. Giải phương trình

_{Bài 76}. Giải phương trình:

_{Lời giải}

Vì

_{Bài 77.}

Giải phương trình sau:

_{Lời giải}

Đặt

Phương trình đã cho trở thành:

Khi đó ta có:

_{Vậy phương trình có nghiệm duy nhất}

_{Bài 78.}

Giải các phương trình sau:

_{Lời giải}

1.

* Với ta có phương trình

(Thỏa *)

*Với ta có phương trình

+ (không thỏa mãn điều kiện

không thỏa mãn điều kiện

Vậy nghiệm của phương trình là

2.

Xét không phải là nghiệm

Xét

Đặt ta có phương trình:

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Bài 79:Giải phương trình :

_{Lời giải}

a) ĐK:

_{Vậy phương trình có một nghiệm}

_{Bài 80:}

Giải phương trình:

_{Lời giải}

Nhân cả 2 vế với ta được:

Bài 81: Giải các phương trình sau:

_a)

2. 

_{Lời giải}

1. (I)

Đặt ta có:

2. (II)

+Nếu ta có

+Nếu ta có: , Phương trình nghiệm đúng với

+Nếu ta có: (thỏa mãn)

+Nếu ta có: (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là hoặc _.

_{Bài 82}. Tìm để phương trình sau có nghiệm dương:

_{Lời giải}

Ta có phương trình tương đương:

Vậy thì phải thỏa mãn 2 điều kiện sau:

*)

và hoặc và

*) (vì

Vậy hoặc và

Bài 83. Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – sạch – đẹp. Học sinh khối lớp 8 nhận làm vệ sinh một đoạn đường em chăm. Lớp 8/1 nhận 10 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/2 nhận 20 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/3 nhận 30 mét và 1/10 của phần còn lại … cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa đủ và phần đường của mỗi lớp dài bằng nhau. Hỏi khối 8 có bao nhiêu lớp và đoạn đường mỗi lớp nhận dài bao nhiêu mét ?

_{Lời giải}

Gọi là chiều dài đoạn đường cả khối 8 là vệ sinh ( )

Lớp 8/1 nhận đoạn đường dài :

Sau khi lớp nhận, đoạn đường còn lại:

Lớp 8/2 nhận đoạn đường dài :

Ta có phương trình :

Giải ra : (thích hợp)

Khối 8 có 9 lớp

Bài 84. Nhân ngày 1/6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi người trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc ấy phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau:

Bạn thứ nhất 1 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Sau khi bạn thứ nhất đã lấy phần mình, bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại.

Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu kẹo.

_{Lời giải}

Gọi số kẹo phân đội được tặng là (cái) ;

Số kẹo bạn thứ nhất nhận: (cái)

Số kẹo còn lại sau khi bạn thứ nhất nhận (cái)

Số kẹo bạn thứ hai nhận : (cái)

Vì số kẹo của mỗi bạn bằng nhau nên ta có phương trình:

Số kẹo mỗi đội viên nhận là:

Số đội viên là : (bạn)

_{Bài 85}. Giải các phương trình sau:

_{Lời giải}

1. 

Do với mọi nên phương trình có tập nghiệm

2. 

Bài 86

Giải phương trình:

_{Lời giải}

Điều kiện

Với không phải là nghiệm của phương trình :

Với phương trình trở thành:

. Đặt phương trình trở thành:

Điều kiện :

Phương trình trở thành:

Với thì

Với thì

_{Vậy tập nghiệm phương trình là}

Bài 87

1. Tìm biết:

2. Tìm biết: và

_{Lời giải}

a)

Do đó: và

Vậy

Bài 88:

1. Giải phương trình:

2. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:

Lời giải

1. Phân tích được

Vì

2. Ta có:

Vì nên

(2) viết thành:

Vậy

Bài 89: Giải phương trình sau:

Lời giải

1. ĐKXĐ:

Thay vào phương trình và kết luận nghiệm của phương trình

Với ta có:

Vậy

Bài 90:

1. Giải phương trình:

2. Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi”

Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu ?

Lời giải

1. Điều kiện xác định đặt

giải ra

vô nghiệm vì

Vậy

2. Gọi là tuổi của mẹ bạn Bắc khi tổng số tuổi của cha và mẹ là ( nguyên dương)

Ta có:

Gọi là số tuổi thêm từ khi mẹ Bắc 31 tuổi đến nay ( nguyên dương)

Tổng số tuổi hiện nay của hai người là

Tổng số tuổi của hai người con hiện nay là

Ta có phương trình:

Tuổi của mẹ Bắc hiện nay là tuổi

Tuổi của cha Bắc hiện nay là tuổi

Bài 91: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Lời giải

1. 

Đặt

Vậy

b)

ĐKXĐ:

Vậy

Bài 92: Giải phương trình sau:

Lời giải

Đặt

Phương trình đã cho trở thành:

Khi đó ta có:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 93:

1. Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số)

2. Giải phương trình:

Lời giải

1. ĐKXĐ: ta có:

Với thì có dạng Nghiệm đúng mọi thỏa mãn điều kiện

do đó tập nghiệm của phương trình là

Với thì phương trình có nghiệm

Để giá trị này là nghiệm của phương trình thì ta phải có:

và tức là Vậy nếu thì là nghiệm.

Kết luận : với thì Với thì

2. Ta có:

Đặt ta có:

Với ta có:

(Vô nghiệm vì

Với ta có

Bài 94: Để tham gia ngày chạy Olympic vì sức khỏe toàn dân, trường A đã nhận được một số chiếc áo và chia đều cho các lớp. Biết rằng theo thứ tự, lớp thứ nhất nhận được 4 áo và số còn lại, rồi đến lớp thứ nhận được 4n áo và số áo còn lại. Cứ như thế các lớp đã nhận hết số áo. Hỏi trường A đã nhận được bao nhiêu chiếc áo ?

Lời giải

Gọi số lớp của trường A được nhận áo là

Vì lớp thứ nhận áo cuối cùng và số áo được phát hết nên số áo lớp thứ nhận được là .

Lớp thứ nhận số áo là

Vì số áo các lớp nhận được như nhau nên ta có phương trình:

Suy ra số áo mỗi lớp nhận được: (áo)

Suy ra số áo trường A nhận được: (áo)

Bài 95: Giải phương trình sau:

Lời giải

+Nếu phương trình đã cho trở thành :

+)Nếu phương trình đã cho trở thành:

vô nghiệm

Phương trình có một nghiệm

Bài 96:

1. Giải phương trình sau:

2. Xác định giá trị của để phương trình: có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn

Lời giải

a)

+ Nếu

+Nếu

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

b)Ta có:

Để nghiệm này không lớn hơn 1 thì

Vậy thì phương trình có nghiệm duy nhất và nghiệm đó không lớn hơn 1

Bài 97: Tìm biết:

Lời giải

Bài 98: Giải phương trình:

Lời giải

Đặt . Ta có:

Bài 99: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Lời giải

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất

(1)

ĐKXĐ:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

Bài 100: Giải phương trình:

Lời giải

Ta có:

Đặt

Ta có phương trình:

Xét các trường hợp ta tìm được

Bài 101: Giải phương trình:

Lời giải

Đặt có

Bài 102: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp dừng lại 3 giây… Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc giây. Tính khoảng cách từ A đến B.

Lời giải

Gọi là số lần đi , số lần dừng là

Thời gian đi:

Thời gian dừng:

Lập được phương trình:

Khoảng cách AB là

Bài 103: Giải phương trình

Lời giải

b)

Đặt

Khi đó

+)

+)

Vậy

Bài 104: Giải phương trình:

Lời giải

Ta có:

Đặt

Ta có phương trình:

Xét các trường hợp ta tìm được

Bài 105: Giải phương trình:

Lời giải

Ta có:

Bài 106: Tìm sao cho phương trình ẩn : có nghiệm duy nhất thỏa mãn

Lời giải

Nếu phương trình đã cho trở thành 1=0 (vô lý) nên phương trình vô nghiệm, loại

Nếu phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Kết hợp điều kiện ta có thì có nghiệm duy nhất thỏa mãn

Bài 107: Giải phương trình

Lời giải

ĐKXĐ:

Vậy tập nghiệm phương trình

Bài 108: Giải các phương trình sau:

Lời giải

b)

Đặt thì

Ta có phương trình:

hoặc

Vậy

Bài 109: Giải phương trình sau:

Lời giải

ĐKXĐ: x 0; x 2

x = 0 (loại) hoặc x = - 1(nhận)

Vậy phương trình có nghiệm x = - 1

Bài 110: Giải phương trình sau:

Lời giải

+Nếu phương trình đã cho trở thành :

+)Nếu phương trình đã cho trở thành:

vô nghiệm

Phương trình có một nghiệm

Bài 111: Cho phương trình . Tìm m nguyên để phương trình có nghiệm dương.

Lời giải

ĐKXĐ:

(*)

Nếu m = 1 thì phương trình (*) có dạng 0 = -12 vô nghiệm.

Nếu phương trình (*) trở thành

Khi đó phương trình đã cho có nghiệm dương

Mà m nguyên.

Vậy thì thỏa mãn đầu bài

Bài 112: Tìm thỏa mãn đẳng thức:

Lời giải

Do và với mọi

Nên

Suy ra

Bài 113: Giải phương trình:

Lời giải

ĐKXĐ:

Phương trình trở thành:

Bài 114:

a) Giải phương trình:

b) Tìm và thỏa mãn:

Lời giải

a)

b)

Bài 115: Giải các phương trình sau:

Lời giải

b) Ta có:

ĐKXĐ:

Phương trình trở thành:

Từ đó tìm được

Bài 116: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

Lời giải

Gọi tử số của phân số cần tìm là thì mẫu số cua phân số cần tìm là . Phân số cần tìm là

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị ta được phân số:

Theo bài ta có phương trình: (thỏa mãn)

Từ đó ta tìm được phân số

Bài 117: Tìm thỏa mãn phương trình sau:

Lời giải

Do:

Nên :

Vậy

Bài 118: Giải phương trình:

Lời giải

TXĐ:

Phương trình trở thành:

Bài 119: Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

Lời giải

4. 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

5. 

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất

6. (1)

ĐKXĐ:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

Bài 120: Giải phương trình a) b)

Lời giải

(khẳng định sai vì )

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

2. ĐKXĐ:

Vậy

Bài 121: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc

Lời giảiGọi (ngày) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc

Một ngày người thứ nhất làm được (công việc)

Một ngày người thứ hai làm được (công việc)

Một ngày hai người làm chung được (công việc)

Theo bài ta có phương trình

Vậy người thứ nhất làm xong trong ngày

Người thứ hai làm xong trong ngày.

Bài 122: Giải phương trình sau:

(2x² + x – 2013)² + 4.(x² – 5x – 2012)² = 4.(2x² + x – 2013)(x² – 5x – 2012)

Lời giải

Đặt

Phương trình đã cho trở thành:

a² + 4b² = 4ab  (a - 2b)² = 0  a - 2b = 0  a = 2b

Khi đó ta có:

2x² + x – 2013 = 2.(x² – 5x – 2012)  2x² + x – 2013 = 2x² – 10x – 4024

 11x = -2011



Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Bài 123: Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số):

Lời giải

ĐKXĐ : ta có:

Với m = 3 thì (1) có dạng 0x = 0. Nghiệm dúng với mọi x thỏa mãn điều kiện , do đó tập nghiệm của phương trình là .

Với thì phương trình (1) có nghiệm

Để giá trị này là nghiệm của phương trình thì ta phải có:

tức là .

Vậy nếu thì là nghiệm

Kết luận :

+ Với m = -3 thì

+ Với thì

Bài 124: Giải phương trình: 2x(8x – 1)²(4x-1) = 9

Lời giải

Ta có: 2x(8x -1)²(4x – 1) = 9  (64x² – 16x + 1)(8x² – 2x) = 9

(64x² – 16x + 1)(64x² – 16x) = 72 (*)

Đặt : 64x² – 16x = t ta có :

(*) t(t + 1) – 72 = 0

- Với t = -9 ta có: 64x² – 16x = -9  64x² – 16x + 9 = 0  (8x – 1)² + 8 = 0

Vô nghiệm v ì (8x – 1)² + 8 > 0

-Với t = 8 ta có 64x² – 16x = 8  64x² -16x – 8 = 0

Bài 125: Giải phương trình sau: |x-2|(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 4

Lời giải

+ Nếu phương trình đã cho trở thành :

(x -2)(x-1)(x+1)(x+2) = 4

 (x² -1)(x²-4) = 4

 x⁴ – 5x² = 0 x²(x² – 5) = 0

+) Nếu x < 2 phương trình đã cho trở thành:

(2 – x)(x – 1)(x + 1)(x + 2) = 4  (x – 2)(x – 1)(x + 1)(x + 2) = -4

(x² – 1)(x² – 4) = -4

 x⁴ – 5x² + 8 = 0

 (Vô nghiệm)

Bài 126: Phương trình có một nghiệm

a) Giải phương trình sau: x² – 3x + 2 + |x – 1| = 0

b) Xác định giá trị của m để phương trình: m³(x - 2) – 8(x + m) =4m² có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 1

Lời giải

a) x² – 3x + 2 + |x - 1| = 0 (1)

+ Nếu : (1)  (x – 1)² = 0  x = 1 (thỏa mãn)

+ Nếu x< 1: (1)  x² – 4x + 3 = 0  x² – x - 3(x - 1) = 0  (x - 1)(x - 3) = 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =1.

b)Ta có: m³(x – 2) – 8(x + m) = 4m²

 (m³ – 8)x = 2m(m² + 2m + 4)

 (m – 2)(m² + 2m + 4)x = 2m(m² + 2m + 4)

 ( Do m² + 2m + 4 > 0)

Để nghiệm này không lớn hơn 1 thì

Vậy thì phương trình có nghiệm duy nhất và nghiệm đó không lớn hơn 1.

Bài 127: Tìm x biết:

Lời giải

Ta có:

Vậy phương trình có nghiệm x = -1001.

Bài 128: Giải phương trình (6x + 8)(6x + 6)(6x + 7)² = 72

Lời giải

(6x + 8)(6x + 6)(6x + 7)² = 72

Đặt 6x + 7 = t. Ta có:

(t + 1)(t – 1)t² = 72  (t² – 1)t² = 72  t⁴ – t² – 72 = 0

Vậy phương trình có nghiệm

Bài 129: Giải phương trình:

Lời giải:

Giải phương trình:

Ta có:

.

Bài 130: Tìm biết :

a)

b) và

c)

Lời giải:

Tìm biết :

a)

và

b) và

Ta có:

và

Từ (1) và (2) suy ra .

Thay vào (1) suy ra .

Vậy, và .

c) ( ĐK: )

và

và

Vậy, hoặc hoặc hoặc

Bài 131: Giải và biện luận nghiệm của phương trình theo .

Lời giải:

Giải và biện luận nghiệm của phương trình theo .

Ta có: (*)

+ Nếu thì pt (*) trở thành

+ Nếu thì pt (*) trở thành

+ Nếu thì pt (*) có một nghiệm duy nhất

KL: + Nếu thì pt (*) có vô số nghiệm.

+ Nếu thì pt (*) vô nghiệm.

+ Nếu thì pt (*) có một nghiệm duy nhất

Bài 132: Giải các phương trình:

a)

b) Giải phương trình:

Lời giải:

a)

Vậy,

b) Giải phương trình:

Điều kiện . Dễ thấy hệ vô nghiệm nên

Đặt . Chia 2 vế phương trình đã cho cho ta được: .

*) Với y = 5, ta có:

*) Với ,ta có:

Các nghiệm trên đều thỏa điều kiện. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: .

Bài 133: Giải phương trình:

a)

b)

Lời giải:

a)

( Vì )

b) Ta có:

( Vì )

Bài 134: Giải các phương trình sau:

a) ( Phương trình ẩn )

b)

c)

Lời giải:

Giải các phương trình sau:

a) ( Phương trình ẩn ) ( ĐK: )

( Vì )

+ Nếu , phương trình có vô số nghiệm .

+ Nếu , phương trình vô nghiệm .

+ Nếu , phương trình có nghiệm duy nhất .

b)

ĐKXĐ:

Ta có:

( Thỏa ĐKXĐ )

Vậy,

c)

( ĐKXĐ: )

Đặt khi đó , ta có pt viết theo ẩn là:

+ Với , ta có:

+ Với , ta có:

Vậy,

Bài 135: Giải các phương trình sau:

a) ;

b)

c) ;

d)

e) .

Lời giải:

Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

(?)

d)

* Nhớ công thức:

( HS suy nghĩ c/m)

Ta có:

e) ĐKXĐ:

(thỏa ĐKXĐ)

Bài 136: Giải các phương trình sau:

a)

b)

_c)

Lời giải:

a)

HD: Chú ý: x + 2 là giá trị trung bình cộng của x + 1 và x + 3, ta đặt x + 2 = y.

Khi đó phương trình trở thành

+ Với thì x = 1

+ Với thì x = -5

Vậy

b)

Đặt , phương trình đã cho trở thành:

Rút gọn ta được:

Đặt , ta có:

Giải phương trình trên ( nhận ) và ( loại )

Với thì

Khi đó, hoặc

Vậy

* Chú ý: Khi giải pt bậc bốn dạng , ta thường đặt

c)

Ta thấy không là nghiệm của pt đã cho. Chia hai vế của pt cho , ta được :

Đặt thì , ta được .

Giải pt trên hoặc

+Với , ta có : nên ( vô nghiệm )

+Với , ta có : nên

Vậy,

Bài 137: Giải phương trình:

Lời giải:

1. Giải phương trình:

Ta có:

(*)

Xét :

Khi đó, với (gt)

( theo câu a)

Suy ra .

Theo (*) suy ra

Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là .

Bài 138: Giải phương trình:

Lời giải:

ĐKXĐ: , ta có:

+ Xét phương trình: ( thỏa ĐKXĐ)

+ Xét phương trình: .

_Vậy,

Bài 139: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.

Lời giải:

Gọi và lần lượt là số đấu thủ ở đội trường A và trường B, với .

Theo đề bài, ta có:

Nhận xét : Do

Lập bảng :

	-4	-2	-1	1	2	4
	-1	-2	-4	4	2	1
	-2	0	1	3	4	6
	1	0	-2	6	4	3

KL : hoặc hoặc

Bài 140: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan?

Lời giải

+ Gäi sè « t« lóc ®Çu lµ ( x nguyªn vµ x  2)

Sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ: 22x + 1.

+ Theo gi¶ thiÕt: NÕu sè xe lµ th× sè häc sinh ph©n phèi ®Òu cho tÊt c¶ c¸c xe, mçi xe chë sè häc sinh lµ y (y lµ sè nguyªn vµ 0 < y  30).

+ Do ®ã ta cã ph­¬ng tr×nh:

+ V× x vµ y ®Òu lµ sè nguyªn d­ư¬ng, nªn ph¶i lµ ­íc sè cña 23.

Mµ 23 nguyªn tè, nªn: hoÆc

• NÕu th× (tr¸i gi¶ thiÕt)

• NÕu th× < 30 (tháa ®iÒu kiÖn bµi to¸n).

+ VËy sè « t« lµ: 24 vµ tæng sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ: häc sinh.

Bài 141: Giải phương trình:

Lời giải

Ta có:

TXĐ:

Phương trình trở thành:

Bài 142: Giải phương trình:

b)

c)

Lời giải

3. 

Ta có: nên

Phương trình được viết dưới dạng:

Vậy

Bài 143: Giải phương trình:

Lời giải

Vì

Bài 144: Giải các phương trình sau:

Lời giải

3. 

4. 

Bài 145: Giải phương trình:

Lời giải

Bài 146: Giải phương trình:

Lời giải

Vì

Bài 147: Giải phương trình:

Lời giải

Đặt có

Bài 148: Tìm biết:

Lời giải

ĐKXĐ:

Đặt , ta có hệ thức:

Bài 149: Tìm biết:

1. 

2. 

Lời giải

1. Ta có:

Bài 150: Giải phương trình :

Lời giải

(1)

Do

Với thì

Khi đó từ phương trình (1)

và

Vậy tập nghiệm của phương trình là :

Bài 151: Một vật thể chuyển động từ đến theo cách sau: đi được thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp dừng lại 3 giây… Cứ như vậy đi từ đến kể cả dừng hết tất cả giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc giây. Tính khoảng cách từ đến .

Lời giải Gọi là số lần đi , số lần dừng là

Thời gian đi

Thời gian dừng:

Lập được phương trình

Khoảng cách AB là

Bài 152: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ đến cách nhau rồi ngay lập tức quay trở về lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là

Lời giải

Gọi là vận tốc ca nô xuôi dòng

Vận tốc ca nô khi nước lặng:

Vận tốc ca nô khi ngược dòng:

Thời gian cả đi và về của ca nô là giờ nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là

Bài 153: Một người đi xe gắn máy từ đến dự định mất giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm thì sẽ đến sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách và vận tốc dự định đi của người đó.

Lời giải

Gọi khoảng cách giữa và là

Vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là:

Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên là:

Theo đề bài ta có phương trình:

Vậy khoảng cách giữa và là

Vận tốc dự định là:

Bài 154: Giải phương trình:

Lời giải

Đặt có

Bài 155: Giải các phương trình và bất phương trình sau:

1. 

Lời giải

Điều kiện , Khi đó:

Vì nên

Bài 156: Giải pt

Lời giải

Trước hết chứng minh được rằng:

Nếu có 3 số thỏa mãn thì

Ta có:

Áp dụng đẳng thức (2c) và vì nên phương trình đã cho tương đương với :

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

Bài 157: Giải các phương trình sau:

Lời giải

1)*Với ta có phương trình:

*Với ta có phương trình:

Vậy nghiệm của phương trình là

2) Xét không phải là nghiệm

Xét

Đặt ta có phương trình:

ĐKXĐ:

Bài 158: Giải phương trình :

Lời giải

ĐK:

Đặt , phương trình đã cho trở thành:

Xét ta có:

Xét ta có:

_Vậy

Bài 159: Giải phương trình :

Lời giải

Bài 160: Giải phương trình:

Lời giải

ĐKXĐ:

Phương trình trở thành:

Bài 161:

1. Giải phương trình:

2. Giải phương trình:

Lời giải

a) (ĐKXĐ:

Vậy

b)

Ta có:

Bài 162: Giải các phương trình sau:

Lời giải

1. 

2. Đặt

Phương trình đã cho trở thành:

Bài 163: Giải phương trình sau:

b)

Lời giải

1. Đặt:

Phương trình đã cho trở thành:

Khi đó, ta có:

2. Lập bảng xét dấu các nhị thức : và

Xét

Phương trình (không thỏa (1))

Xét

Phương trình (Thỏa mãn với mọi

Xét

Phương trình (thỏa mãn (3))

Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm

_{Bài 164}: Giải phương trình sau:

Lời giải

: Đặt

Phương trình đã cho trở thành:

Khi đó ta có:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 165: Giải phương trình:

b)

c)

Lời giải

6. 

Ta có: nên

Phương trình được viết dưới dạng:

Vậy

Bài 166: Giải các phương trình sau:

Lời giải

5. 

6. 

Bài 167: Giải phương trình sau:

Lời giải

Đặt

Phương trình đã cho trở thành:

Khi đó ta có:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 168: Giải các phương trình sau:

1. 

2. 

Lời giải

2. 

Đặt

Vậy

b)

ĐKXĐ:

Vậy

Bài 169: Giải phương trình:

Lời giải

1)

Nếu (thỏa mãn điều kiện

Nếu

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất

2)

Điều kiện để phương trình có nghiệm:

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm .

Bài 170: Giải phương trình:

Lời giải

Bài 171: Giải các phương trình sau :

Lời giải

b)

_Đặt thì

_{Ta có phương trình}

_{Vậy tập nghiệm của phương trình là}

Bài 172: Giải các phương trình sau

Lời giải

1. đặt

vô nghiệm vì với mọi x

Vậy

b)

Vì

Bài 173: Giải phương trình :

Lời giải

Điều kiện xác định

Vậy

Bài 174: Giải các phương trình sau :

Lời giải

Ta có:

ĐKXĐ:

Phương trình trở thành:

Bài 175: Giải phương trình :

Lời giải

Ta có :

Vậy

Bài 176: Tìm thỏa mãn đẳng thức

Lời giải

Do và với mọi

Nên

_{Suy ra}

Bài 177: Tìm các giá trị x và y thỏa mãn:

Lời giải

và

Bài 178: Giải các phương trình sau:

a) .

b) .

Lời giải

PT

(x – 2014)( ) = 0

x = 2014

Bài 179: Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) .

b) .

Lời giải

a) Nếu hay thì .

Nếu hay thì .

* TH1: Với , PT đã cho trở thành (t/m).

* TH2: Với , PT đã cho trở thành (loại).

Vậy PT đã cho có nghiệm .

b) Vì với mọi x nên BPT đã cho tương đương với

. Vậy nghiệm của BPT ban đầu là .

Bài 180: Giải các phương trình sau:

a) .

b) .

Lời giải

a)

Pt

CM Pt vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S =

b)

(5x -200) = 0 x = 40.

Vậy tập nghiệm của Pt đã cho là S =

Bài 181: Giải các phương trình sau:

a) ( x² + x + 1)(x² + x + 2) = 12

b)

Lời giải

a) Đặt x² + x + 1 = y

pt đã cho trở thành y( y + 1) - 12 = 0

y² + y - 12 = 0

(y - 3)(y + 4) = 0

y = 3 hoặc y = - 4

+ Với y = 3 ta được x₁ = 1; x₂ = - 2

+ Với y = - 4, vô nghiệm

KL: Vâỵ PT đã cho có nghiệm x₁ = 1; x₂ = - 2

b)

(x - 105) = 0

x = 105

KL: Vâỵ PT đã cho có nghiệm x= 105.

Bài 182: Giải các phương trình sau:

a,

b, + + =

Lời giải

a) x²-2=(2x+3)(x+5)+23

x²-25=(2x+3)(x+5)(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5)

(x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 (x+5) [x-5 –(2x+3)] = 0

(x+5)(-x-8)=0

 x-5=0 hoặc x+8 =0

 x=-5 hoặc x=-8

b) Phương trình được biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: )

=

( ) + ( ) + ( ) =

= (x + 4)(x +7) = 54

(x + 13)(x – 2) = 0 x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy nghiệm của phương trình là: S =

Bài 183: Giải các phương trình sau:

a)

b) (x² - 5x +1)² – 2x² + 10x = 1

Lời giải

a)

ĐK: 9 – 3x 0 x 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

b) (x² – 5x +1)² – 2x² + 10x =1 (x² – 5x +1)² – 2(x² -5x + 1) + 1 = 0

(x² – 5x +1 – 1)² = 0 (x² – 5x)² = 0 x² – 5x = 0 x(x – 5) = 0

Vậy phương trình có nghiệm x₁ = 0; x₂ = 5.

Bài 184: Giải các phương trình sau:

a) .

b) .

Lời giải

a) PT

(1)

Vì với mọi giá trị của x.

Nên (1)

Vậy phương trình có tập nghiệm .

b)

Đặt 64x² -16x = t ta có (*) t(t+1) – 72 = 0 t =- 9  hoặc t = 8.

Với t = -9 ta có 64x² -16x = -9 64x² -16x + 9 = 0 (8x -1)² +8 = 0

(vô nghiệm vì (8x -1)² +8 > 0)

Với t = 8 ta có 64x² -16x = 8 64x² - 16x – 8 = 0 (8x -1)² -9 = 0

Vậy tập nghiệm phương trình là

Bài 185: Giải phương trình:

Lời giải

Vì

Bài 186: Giải các phương trình sau:

a.) . b.

Lời giải

a) ĐK:

Vậy phương trình có một nghiệm x = 0

b) PT

Bài 187: Giải phương trình:

Lời giải

Ta có:

.

Vậy nghiệm của phương trình là

Bài 188: Giải các phương trình:

a)

b) Giải phương trình:

Lời giải

a)

Vậy tập nghiệm của phương trình là

b) Giải phương trình:

Điều kiện . Dễ thấy hệ vô nghiệm nên

Đặt . Chia 2 vế phương trình đã cho cho ta được: .

*) Với y = 5, ta có:

*) Với ,ta có:

Các nghiệm trên đều thỏa điều kiện. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: .

Bài 189: Giải phương trình:

a)

b)

Lời giải

a)

( Vì )

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =

b) Ta có:

( Vì )

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =

Bài 190: Giải các phương trình sau:

a) ( Phương trình ẩn )

b)

c)

Lời giải

a) ( Phương trình ẩn ) ( ĐK: )

( Vì )

+ Nếu , phương trình có vô số nghiệm .

+ Nếu , phương trình vô nghiệm .

+ Nếu , phương trình có nghiệm duy nhất .

b)

ĐKXĐ:

Ta có:

( Thỏa ĐKXĐ )

Vậy,

c) ( ĐKXĐ: )

Đặt khi đó , ta có pt viết theo ẩn là:

+ Với , ta có:

+ Với , ta có:

Vậy,

Bài 191: Giải các phương trình sau:

a) ;

b)

c) ;

d)

e) .

Lời giải

a)

b)

c)

(?)

d)

* Nhớ công thức: ( HS suy nghĩ c/m)

Ta có:

e)ĐKXĐ:

( thỏa ĐKXĐ )

Bài 192: Giải phương trình:

Lời giải

ĐKXĐ: , ta có:

+ Xét phương trình: ( thỏa ĐKXĐ)

+ Xét phương trình: .

Vậy,

Bài 193: Giải phương trình sau:

Lời giải

ĐKXĐ:

Thay vào phương trình và kết luận nghiệm của phương trình

Với ta có:

_Vậy

Bài 194: Giải phương trình:

Lời giải

Điều kiện xác định đặt

giải ra

vô nghiệm vì

Vậy

Bài 195: Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

Lời giải

a)

HD: Chú ý: x + 2 là giá trị trung bình cộng của x + 1 và x + 3, ta đặt x + 2 = y.

Khi đó phương trình trở thành

+ Với thì x = 1

+ Với thì x = -5

Vậy

b)

Đặt , phương trình đã cho trở thành:

Rút gọn ta được:

Đặt , ta có:

Giải phương trình trên ( nhận ) và ( loại )

Với thì

Khi đó, hoặc

Vậy

* Chú ý: Khi giải pt bậc bốn dạng , ta thường đặt

c)

Ta thấy không là nghiệm của pt đã cho. Chia hai vế của pt cho , ta được :

Đặt thì , ta được .

Giải pt trên hoặc

+Với , ta có : nên ( vô nghiệm )

+Với , ta có : nên

Vậy,

Bài 196: Tìm biết :

a)

b)

Lời giải

a)

và

KL :.............

b) ( ĐK: )

và

và

Vậy, hoặc hoặc hoặc .

Bài 197: Giải và biện luận nghiệm của phương trình theo .

Lời giải

Ta có: (*)

+ Nếu thì pt (*) trở thành

+ Nếu thì pt (*) trở thành

+ Nếu thì pt (*) có một nghiệm duy nhất

KL: + Nếu thì pt (*) có vô số nghiệm.

+ Nếu thì pt (*) vô nghiệm.

+ Nếu thì pt (*) có một nghiệm duy nhất

Bài 198: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan?

Lời giải

+ Gọi số ô tô lúc đầu là ( x nguyên và x  2)

Số học sinh đi tham quan là: 22x + 1.

+ Theo giả thiết: Nếu số xe là thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y  30).

+ Do đó ta có ph­ơng trình:

+ Vì x và y đều là số nguyên d­ương, nên phải là ­ước số của 23.

Mà 23 nguyên tố, nên: hoặc

• Nếu thì (trái giả thiết)

• Nếu thì < 32 (thỏa điều kiện bài toán).

+ Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi tham quan là: học sinh.

Bài 199: Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi”. Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu ?

Lời giải

Gọi là tuổi của mẹ bạn Bắc khi tổng số tuổi của cha và mẹ là ( nguyên dương)

Ta có:

Gọi là số tuổi thêm từ khi mẹ Bắc 31 tuổi đến nay ( nguyên dương)

Tổng số tuổi hiện nay của hai người là

Tổng số tuổi của hai người con hiện nay là

Ta có phương trình:

Tuổi của mẹ Bắc hiện nay là tuổi

Tuổi của cha Bắc hiện nay là tuổi

Bài 200: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.

Lời giải

Gọi và lần lượt là số đấu thủ ở đội trường A và trường B, với .

Theo đề bài, ta có:

Nhận xét : Do

Lập bảng :

	-4	-2	-1	1	2	4
	-1	-2	-4	4	2	1
	-2	0	1	3	4	6
	1	0	-2	6	4	3

KL : hoặc hoặc

Bài 201: Giải các phương trình sau:

a)

b)

Lời giải

Giải các phương trình sau:

a)

Ta có với mọi .

Do đó,

Vậy,

b)

ĐKXĐ:

Ta có

+ Với , ta có pt

+ Với , ta có pt

Vậy, .

c) Ta có: (*)

Các giá trị đặc biệt :

Lập bảng xét dấu bỏ giá trị tuyệt đối :

	0 1
	-	-
VT			4

+ Xét , pt đã cho trở thành ( nhận )

+ Xét , pt đã cho trở thành ( nhận )

+ Xét , pt đã cho trở thành ( nhận )

+ Xét , pt đã cho trở thành ( nhận )

KL : Pt đã cho có các nghiệm là : .

Bài 202: Giải phương trình:

Lời giải

Ta có:

+ Với không là nghiệm của phương trình

+Với phương trình đã cho được viết lại:

Đặt , phương trình viết lại theo ẩn là

+ Với thì ( vô nghiệm )

+ Với thì

Vậy,

Bài 203: Giải phương trình sau: .

Lời giải

Ta có:

Vì nên theo câu a) ta có:

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là :

Bài 204: Giải phương trình:

Lời giải

Đặt Ta có:

Vậy phương trình có tập nghiệm

Bài 205: Giải phương trình:

Lời giải

Phân tích được

Vì

Bài 206: Tìm x :

1. 

2. 

Lời giải

a) hay

Bài 207: Giải phương trình :

Lời giải

(1)

Do

Với thì

Khi đó từ phương trình (1)

và

Vậy tập nghiệm của phương trình là :

Bài 208: Giải phương trình:

Lời giải

Bài 209: Giải phương trình:

Lời giải

Ta có:

TXĐ:

Phương trình trở thành:

Bài 210: Giải phương trình sau:

Lời giải

Ta có:

Ta có:

Điều kiện xác định của phương trình (1) là :

Ta có:

Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu:

Bài 211: Giải phương trình:

2.2

Đặt

Phương trình trở thành:

Với

Vậy nghiệm của phương trình là :

Bài 212: Giải phương trình:

Lời giải

2.1

Nếu (thỏa mãn điều kiện

Nếu

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất

2.2

Điều kiện để phương trình có nghiệm:

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm