Đề Thi HSG Toán 9 Tỉnh Quảng Nam 2020-2021 Có Đáp Án – Toán 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi : Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 10/4/2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

Năm học 2020 - 2021

Câu

Đáp án

Điểm

Câu 1

(4,5 đ)

a) Rút gọn các biểu thức sau: ,

.

2,5

Ta có

0,25

0,5

0,5

Đặt

Suy ra .

0,25

0,25

0,25

0,25

( vì ). Vậy .

0,25

b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

1,5

Điều kiện:

0,25

0,5

0,25

+ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi

0,5

Câu 2

(4,0 đ)

a) Giải phương trình

2,0

Điều kiện:

0,25

(*)

0,25

Do vô nghiệm nên pt(*) tương đương với phương trình

0,25

0,5

• (thỏa mãn)

0,25

(thỏa mãn)

0,25

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm .

0,25

b) Giải hệ phương trình

2,0

(*)

0,25

- Nhận xét không thỏa hệ.

0,25

- Khi : Hệ phương trình (*) tương đương với hệ:

(**)

Đặt , khi đó hệ (**) trở thành:

0,5

+ Giải hệ trên tìm được:

0,25

+ hoặc

+ hoặc

0,5

• Lưu ý:

Thay vào phương trình thứ hai.

Câu 3

(2,5 đ)

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng , điểm M nằm trên cạnh BC.

2,5

a) Khi , hạ OK vuông góc với AM tại K. Tính độ dài đoạn thẳng OK.

1,0

+ Gọi Q là giao điểm của AM và BD, P là trung điểm của MC. Suy ra OP//AM.

+ Trong tam giác OBP có MB = MP và MQ//OP. Suy ra Q là trung điểm của OB.

0,25

+ ,

0,5

0,25

b) Khi điểm M thay đổi trên cạnh BC (M không trùng B và C), điểm N thay đổi trên cạnh CD sao cho , E là giao điểm của AN và BD. Chứng minh tam giác AEM vuông cân và đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

1,5

(Không có hình không chấm điểm)

0,25

+ . Suy ra tứ giác ABME nội tiếp.

0,25

Mà nên . Vậy tam giác AEM vuông cân tại E.

0,25

+ Gọi F là giao điểm của AM và BD. Tương tự suy ra

+ Gọi I là giao điểm của EM và FN, H là giao điểm của AI và MN. Suy ra AH vuông góc với MN.

0,25

+ Xét hai tam giác vuông ABM và AHM có:

AM chung;

+ (vì tứ giác MNEF nội tiếp). Do đó

0,25

Suy ra hai tam giác vuông ABM và AHM bằng nhau.

Suy ra (không đổi).

Do đó MN luôn cách A một khoảng cách bằng 6 cm.

Suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A, bán kính bằng 6 cm.

0,25

Câu 4

(4,5 đ)

Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại . Dựng lần lượt hai tiếp tuyến của hai đường tròn , sao cho hai tiếp điểm nằm cùng phía đối với đường thẳng . Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với cắt tại , từ C vẽ đường thẳng vuông góc với cắt tại .

4,5

a) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh và là tia phân giác của góc .

1,5

(Không có hình vẽ không chấm)

0,25

Xét hai tam giác và có: ;

0,25

+ Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên .

0,25

Suy ra hai tam giác và đồng dạng, do đó:

0,25

Ta có: . Suy ra là tia phân giác của góc .

0,5

b) Đường thẳng AH cắt đường tròn tại E (E khác A). Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

1,5

+ (Cùng phụ với )

0,25

+ (Cùng chắn cung )

0,25

Suy ra . Suy ra hai tam giác đồng dạng

0,25

.

0,25

Suy ra hai tam giác đồng dạng.

0,25

hay . Vậy tứ giác nội tiếp trong đường tròn.

0,25

c) Đường thẳng AK cắt đường tròn tại F (F khác A), L là giao điểm của và Chứng minh song song với và 3 điểm thẳng hàng.

1,5

0,5

Mà nên OE // O’B . Tương tự O’F // OC. Suy ra

0,25

_{Lại có: hai tam giác} EOC và BO’F là hai tam giác cân. Suy ra

Hơn nữa OE // O’B nên BF// EC ( lưu ý O’B //OE)

0,25

0,25

Suy ra là tia phân giác của góc . Suy ra thẳng hàng.

0,25

Câu 5

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức

.

3,0

0,5

Đặt

Khi đó ta có:

0,25

Suy ra

0,25

+ Với (không thỏa)

0,25

+ Với (không thỏa)

0,25

+ Với (không thỏa)

0,25

+ Với . Tìm được

0,5

+ Với . Tìm được

0,5

+ Với (không tồn tại x, y)

0,25

b) Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2,0

Ta có:

0,25

Tương tự :

0,5

Suy ra

0,25

Đặt

0,25

(Chứng minh được BĐT: (với các số dương) : 0,25)

0,5

Suy ra   (Dấu bằng xảy ra khi hay )

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1.

0,25

Nhận xét: Đặt