Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 Môn Toán Chuyên Sở GD Quảng Nam – Đề Số 2 – Có Đáp Án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2018-2019

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

Môn thi : TOÁN (chuyên)

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi :

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2018-2019

HDC CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

(2,0)

a) Cho biểu thức ,

với và .

Rút gọn biểu thức và tìm giá trị lớn nhất của khi .

1,0

0,25

0,25

Khi ,

0,25

Do đó . Dấu “ = “ xảy ra . Vậy giá trị lớn nhất của A là khi

0,25

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức

1,0

- Với , ta có .

- Với , ta có:

0,25

0,25

Khi

0,25

Khi

Vậy

0,25

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 2

(2,0)

a) Giải phương trình

1,0

Đặt .

Ta có

0,25

0,25

-Với , ta có

0,25

-Với , ta có

Vậy pt có 6 nghiệm

0,25

b) Giải hệ phương trình

1,0

 .

0,25

Đặt . Ta có

0,25

Giải tìm được hoặc

0,25

Tìm được nghiệm của hệ là

0,25

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 3

(1,0)

Cho hai hàm số và . Tìm để hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt là ba đỉnh của tam giác đều.

1,0

Phương trình hoành độ giao điểm

0,25

Gọi ba giao điểm là và H là giao điểm của AB và trục tung, suy ra

0,25

Tam giác OAB đều

0,25

Giải và tìm được , loại . Vậy

0,25

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 4

(2,0)

a) So sánh MN với AM + NC.

1,0

Hình vẽ phục vụ câu a)

0,25

Trên cạnh BI lấy điểm H sao cho BH = BA = a.

và

0,25

Suy ra

0,25

Suy ra M; H; N thẳng hàng, do đó

MN = MH + HN = AM + NC.

0,25

Ghi chú: không có hình không chấm.

b) Tính diện tích tam giác BMN theo a.

1,0

Đặt ;

0,25

Theo định lí Pitago

0,25

Giải và tìm được

0,25

Diện tích tam giác BMN bằng .

0,25

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 5

(2,0)

a) Chứng minh OM vuông góc với EF.

1,0

Hình vẽ phục vụ câu a (không tính điểm hình vẽ câu b, không có hình không chấm)

0,25

Tứ giác ABEF có nên nội tiếp đường tròn

0,25

Từ M kẻ tia tiếp tuyến Mx với đường tròn tâm O (như hình vẽ), ta có . Suy ra

0,25

Theo tính chất của tiếp tuyến đường tròn, ta có

0,25

b) Chứng minh rằng khi M di động trên cung lớn AB thì đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định.

1,0

Kẻ đường kính MN của đường tròn tâm O. Tứ giác AHBN có AH song song với NB (cùng vuông góc với MB), có BH song song với NA (cùng vuông góc với MA) nên là hình bình hành. Suy ra HN cắt AB tại trung điểm I của mỗi đoạn. Do đó

0,25

Gọi K là điểm đối xứng của O qua I, suy ra OK = 2OI và điểm K cố định

0,25

Tứ giác MHKO có MH, OK song song và bằng nhau ( cùng gấp đôi OI) nên là hình bình hành. Suy ra

0,25

Xét đường tròn tâm H bán kính HM, theo tính chất đường kính vuông góc với dây cung, suy ra E là trung điểm của MD và F là trung điểm của MC. Do đó .

Vậy khi M đi động trên cung lớn AB thì đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD luôn đi qua điểm cố định K.

0,25

Câu 6

(1,0)

Cho ba số thực dương . Chứng minh rằng;

1,0

Với ba số thực dương ta có . (1)

0,25

0,25

0,25

Với ba số thực dương ta có (2) luôn đúng. Vậy (1) luôn đúng. (đpcm)

0,25