Top 20 Đề Thi Toán Olympic Lớp 11 Hay Nhất Năm 2023 Có Đáp Án

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT THÁI PHIÊN

Đề tham khảo

KỲ THI OLYMPIC LỚP11

MÔN : TOÁN

Năm học : 2016- 2017

Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT THÁI PHIÊN

KỲ THI OLYMPIC LỚP11

MÔN : TOÁN

Năm học : 2016- 2017

Câu

Nội dung

Điểm

1a

1

Điểm

1b

2

Điểm

b. (*)

Điều kiện: sinx ; khiđó phương trình (*) tương đương

Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là:

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.5đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

Câu 2

4điểm

a.(1,5điểm)Chứng minh bằng phương pháp qui nạp

Tacó : .Công thức đúng với n=1,n=2

Giả sử công thức đúng với n = k , ,tức là : .

Ta chứng minh công thức đúng với n=k+1.

Ta có :

Vậy công thức đúng

b. .(2,5điểm)

Ta có:

Đặt : => ( ) là cấp số nhân với

Vậy

0.5đ

0.25đ

0.75đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

Câu 3

a 1,5điểm

b

1,5điểm

C

1 điểm

a/Do tổng 2 loại sách nào cũng lớn hơn 6 nên khi 6 cuốn thì không thể hết 2 loại sách.

Số cách chọn 6 sách bất kì trong 12 cuốn để cho 6 học sinh là A⁶₁₂=665280 .

Các trường hợp cho hết 1 loại là:

+Hết sách Toán có : =5040 cách

+ Hết sách Văn có: =20160 cách

+ Hết sách Tiếng anh có: =60480 cách

Vạy số cách cần tặng là:665280-(5040+20160+60480) = 57960 ( cách)

b/Số có 5 chữ số có 9.10⁴=90000 số

=90000,Gọi A là biến cố” số lấy ra thỏa YCBT”

_{Số cần tìm có dạng: ;}

_{Trong đó a1 >4 và a1 + a2 + a3+ a4 +a5 là số chẵn.}

_{Trước hết ta tìm số có 4 chứ số: có 5x103 số}

_{1.Nếu a1 + a2 + a3+ a4 là số lẻ thì a5 phải là số lẻ.vậy có 5 cách chọn a5.}

_{2. Nếu a1 + a2 + a3+ a4 là số chẵn thì a5 phải là số chẵn.Vậy cũng có 5 cách chọn a5}

_{=> có 5x103.5=25000 số.=> n(A)= 25000}

_{P(A)= 5/18}

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

+ Số hình chữ nhật là :

+ Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác:

n=15 V n=0 (loại)

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0,25đ

Câu4

2điểm

.

+

Hàm số liên tục tại x=0 <=>m²-m+ = <= > m=0,m=1

0.25đ

0.5đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.5đ

Câu 5

3điểm

Gọi S là giao điểm của d và OO’, khi đó S là tâm vị tự ngoài của hai đường

Tròn

(O) và (O’). Đặt , khi đó ta có.

Gọi I, J là giao điểm của AB với PP’ và OO’. Khi đó ta có

MàPQ // IJ // P’Q’ nên JQ = JQ’

Suy ra AB là trung trực của QQ’.

Mà OO’ là trung trực của AB. Vậy tứ giác AQBQ’ là hình thoi

Do đó Q’B //AQ hay Q’M’ // QM.

Giả sử V(S, k) biến M thành B’ khi đó QM // Q’B’

Mà M thuộc (O) suy ra B’ thuộc (O’) do đó B’ trùng với B.

Vậy V(S, k) biến M thành B.

Tương tự ta có V(S, k) biến M’ thành B.

Suy ra M, B, M’ thẳng hàng.

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

Câu6

4điểm

Hình vẽ

a) +Ta có: ABCD là hình thoi, góc BAD = 120⁰ đều.

+ G là trọng tâm tam giác ABC (1)

+ Lại có: (SG và (3).

Từ (1), (2), (3)

+Mặt khác: AB // CD vuông.

b) +Gọi I là trung điểm CD. Ta có: ( đường trung tuyến trong tam giác đều)(*)

+ MI là đường trung bình của tam giác SCD (**)

+ .

Từ (*),(**),(***)

c) + Ta có: AB//CD

+ Gọi là trọng tâm tam giác ACD. Khi đó ta có: BG = GG’ = G’D =

Từ đó suy ra: .

+ Gọi H là hình chiếu của G lên SC. Ta có:

Suy ra:

+ SD có hình chiếu lên (ABCD) là GD, SD tạo với đáy góc 60⁰ .

+Trong tam giác SDG ta có:

+ Lại có: GC = . Khi đó trong tam giác SGC tà có:

0,25đ

0.5đ

0.5đ

0.25đ

0.5đ

0.25đ

0.5đ

0.25đ

0.5đ

0.25đ

0.5đ

0.25đ

0.25đ

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

TỔ TOÁN – TIN

*****

ĐỀ ĐỀ NGHỊ THI OLYMPIC LỚP 11

NĂM HỌC : 2017-2018

MÔN : TOÁN

Thời gian làm bài :180 phút (không kể thời gian giao đề)

*************

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

5,0

Cho phương trình: (1)

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình thuộc khoảng .

3,0

(1)

(vì cosx>0, với mọi x thuộc khoảng )

Vì

Do đó k nhận các giá trị 0,1,2,3,4

Vậy tập nghiệm của PT (1) trên là:

.

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

0.25

0.5

0.25

Câu 2

4,0

a) Cho dãy số (u_n) xác định bởi: Với mọi

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n) và tìm limu_n .

2,5

Với mọi n  N* ta có:

Đặt . Khi đó

Vậy là cấp số nhân co công bội và số hạng đầu

Suy ra

Suy ra

Vậy

0,5

0,5

0,5

0.25

0.25

0.5

b) b)Tính tổng

1,5

0,5

0,5

0,25

0,25

Câu 3

4,0

a) Trong khai triển , , tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 46. Tìm hạng tử không chứa x trong khai triển trên.

1,5

Theo đề ta có :

Từ khai triển , Tìm được hạng tử không chứa x là

0,25

0,5

0,25

0.5

b) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,9 có thể lập đượcbao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.

2,5

Gọi số cần tìm là

Vì x chia hết cho 3 nên

x là số chẵn nên

a) Với c=0

có 2 khả năng

. Khi đó có cách chọn

. Khi đó có cách chọn

Suy ra số

b) Với c=2

Khi đó a hoặc b phải là chữ số 1, chữ số còn lại thuộc tập

a=1 , có 4 cách chọn b từ

b=1 , có 3 cách chọn b từ

Suy ra 4+3=7 số

c) Với c=6

, có cách chọn

, ,có 2.2 cách chọn

Suy ra số

Vậy 8+7+6 = 21 số thỏa yêu cầu bài toán

0,25

0,25

0,25

0,5

0,5

0,5

0,25

Câu 4

2,0

Ta có: f(0) = m - 1

Hàm số f(x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi:

0,25

0,5

0,5

0.25

0,25

0,25

Câu 5

3 điểm

3đ

1.0

• Gọi H^/ là xuyên tâm của A trên (O;R), ta có: BH^/ AB BH^/ CD, tương tự CH^/ BD. Vậy H^/ trùng H.

• A cố định nên H cố định.

0.5

0.5

2.0

• Gọi I là tâm hình bình hành ABDC suy ra hai tam giác BCD và CBA cũng đối xứng nhau qua I. Suy ra K đối xứng với H qua I. Hay: .

• H cố định nên từ , suy ra K là ảnh của I qua phép vị tự tâm H, tỉ số bằng 2.

• Số đo góc không đổi nên BC có độ dài không đổi → OI cũng có độ dài không đổi. Suy ra, I thuộc đường tròn tâm O, bán kính OI.

• I thuộc đường tròn (O;OI) nên K thuộc đường tròn ảnh của đường tròn (O;OI) qua phép vị tự tâm H tỉ số bằng 2.

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 6

4 điểm

2.0

• Gọi G = AM BD, G là trọng tâm tam giác ABC. Dựng GP//SM, P SA, ta có góc φ giữa SM và mp(BCD) cũng là góc giữa PG và mp(BCD) và SP= .

• Gọi H là hình chiếu của A trên BD, ta có (SAH) mp(BCD). Gọi K, E lần lượt là hình chiếu của A và P trên SH, ta có AK và PE đều vuông góc mp(BCD). Như vậy, góc giữa PG và mp(BCD) là góc .

• Ta có: AH = , AK = , PE = và GP = .

• Trong tam giác vuông tại E, ta có: φ = arcsin

Hay

0,5

0,5

0,5

0,5

• Gọi N₁ là trung điểm CD, F là trung điểm CN₁, ta có MF//DN và

d(DN;SM) = d(DN;(SMF)).

• Gọi F₂ và F₁ lần lượt là giao điểm của AC với DN và MF, ta có:

_DF2 = , mặt khác: DF_{2 AC. Do đó MF AC, Suy ra mp(SMF) mp(SAC).}

• Gọi A₁ và F₃ lần lượt là hình chiếu của A và F₂ trên SF₁, khi đó A₁ và F₃ cũng là hình chiếu của A và F₂ trên _{(SMF) và F2F3 = d(DN;(SMF)) =d(DN; SM).}

• _{Ta có: AA1 =}

_{và F2F3 =}

Vậy _{d(DN; SM) =}

0,5

0,5

0,5

0,5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM NĂM 2018

QUẢNG NAM

THPT NGUYỄN HIỀN

Môn thi: TOÁN – LỚP 11

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 CẤP TỈNH

QUẢNG NAM

Năm học 2017 – 2018

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Môn thi: TOÁN

Câu 1 (3,0 điểm)

a

1,5

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

Vậy

0.25

b

Tính tổng các nghiệm của phương trình: thuộc .

1,5

ĐK:

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

Gọi S à tổng các nghiệm của phương trình (1) (gồm 20 số hạng)

Ta có:

0.25

Câu 2 (4,0 điểm)

a

Chứng minh rằng

1,0

Bước 1: (đúng)

0.25

Bước 2: Giả sữ mệnh đề đúng với , ta có

0.25

Ta cần chứng minh,

Ta có:

2x0.25

đpcm

b

Đặt . Tìm .

3,0

Rút gọn

Ta có:

0.25

0.25

0.25

0.25

Chứng minh là dãy số tẳng

Ta xét:

0.25x2

Giả sử:

0.25

Ta có: (vô lý)

0.25x3

Nên ta có:

0.25

Vậy

0.25

Câu 3 (2,0 điểm)

Cho hàm số

Tìm m để hàm số liên tục tại

0.25

0.25x2

0.25

0.25

0.25

Vậy hàm số liên tục tại

0.25x2

Câu 4 (4,0 điểm)

a

Xếp ngẫu nhiên 14 học sinh của 3 khối gồm 7 học sinh khối 10; 4 học sinh khối 11; 3 học sinh khối 12 thành một hàng ngang. Tính xác suất để các học sinh cùng một khối không đứng cạnh nhau.

2,0

Không gian mẫu là xếp 14 học sinh thành một hàng ngang

0.25

Gọi A: “ Trong 14 học sinh, không có hai học sinh cùng khối đứng cạnh nhau”.

Ta xếp như sau:

Đầu tiên xếp 7 học sinh khối 12 có 7! Cách. Khi đó giữa 7 học sinh khối 12 có tất cả 8 chỗ trống (gồm 6 chỗ trống ở giữa và 2 chỗ trống ở trước và sau).

0.25x2

Ta xét 2 trường hợp sau:

+TH1: Có 1 học sinh khối 10 hoặc khối 11 ở phía ngoài (trước hàng hoặc sau hàng) còn 6 học sinh còn lại xếp vào chỗ trống ở giữa các bạn học sinh khối 12 có 2x7! Cách.

0.25x2

+TH2: Có một cặp học sinh (gồm 1 học sinh khối 10 và 1 học sinh khối 11) xếp vào một chỗ trống, 5 học sinh còn lại xếp vào 5 vị trí còn lại có cách.

0.25

0.25

Vậy

0.25

b

Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 5 và đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:

+ Tổng các chữ số của nó là số lẻ.

+ Tổng của sáu chữ số đầu của nó (không kể chữ số hàng đơn vị) là một số lẻ.

+ Tổng của năm chữ số đầu (không kể hai chữ số hàng đơn vị và hàng chục) là một số lẻ.

2,0

Số tự nhiên cần tìm có dạng

Do số tự nhiên chia hết cho 5 nên hoặc

0.25

Vì là số lẻ và là số lẻ và là số lẻ, ta có là số chẵn nên có 1 cách chọn và là số chẵn nên có 5 cách chọn và là số lẻ.

0.25x2

Xét là số lẻ

+ Nếu là số lẻ thì là số chẵn có 5 cách

+ Nếu là số chẵn thì là số lẻ có 5 cách

0.25

số cách chọn là

0.25x3

Vậy có số

0.25

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho tứ giác lồi ABCD không phải là hình bình hành, dựng về phía ngoài tứ giác đó bốn hình vuông lần lượt có các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi O₁, O₂, O₃, O₄ lần lượt là tâm của các hình vuông trên theo thứ tự đó. Chứng minh rằng, trung điểm các đường chéo của tứ giác ABCD và O₁O₂O₃O₄ là bốn đỉnh của một hình vuông.

Ta cần chứng minh tứ giác ILKJ là hình vuông

Xét

0.25

0.25

0.25

là đường trung bình của

0.25

0.25

Chứng minh tương tự ta có

0.25

Như vậy,

0.25x2

0.25

Mà KJ, KL lần lượt là hai đường trung tuyến của hai tam giác

0.25

Chứng minh tương tự, ta có:

0.25

Vậy tứ giác IJLK là hình vuông

0.25

Câu 6 (4,0 điểm)

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, , , .

a) Gọi là góc giữa (SBC) và (SAC). Tính .

b) Tính khoảng cách giữa AB và SC

(hình vẽ phục vụ câu a – điểm)

a

Gọi là góc giữa (SBC) và (SAC). Tính .

2,0

Từ B hạ trong (ABC)

0.25

Từ B hạ trong (SBC)

0.25

và

0.25

Mà

Nên góc giữa (SBC) và (SAC) là

0.25

Ta có:

0.25

đồng dạng

0.25

0.25

0.25

b

Tính khoảng cách giữa AB và SC

2,0

Từ C kẻ ; Từ A kẻ

0.25

Lúc đó,

0.25

Mà trên (SAI)

0.25

Do

Nên

0.25

Xét vuông tại A có (do AICB là hình chữ nhật)

0.25

0.25x2

Vậy

0.25

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

Giải phương trình

3,0

Pt

0,5

1,

1,5

Câu 2

a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC vuông tại A, BC = a, AB = c, AC = b thì với mọi số tự nhiên thì .

2,0

Với n = 2 thì nên đẳng thức đúng

Giả sử , khi đó ta thấy

Vậy bđt đúng với n = k + 1, suy ra đccm

0,5

1,5

b) Tìm số hạng tổng quát của biết (1)

2,0

Thay n = 1, 2, 3, 4 vào (1)ta được

Đoán

Chứng minh quy nạp và kết luận

0,5

0,5

1,0

Câu 3

1) Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển thành đa thức của biết

.

2,0

Theo đề

Số hạng cần tìm

1,0

1,0

2) Xếp 24 thí sinh ngồi vào một phòng thi gồm 12 bàn, mỗi bàn đủ 2 thí sinh. Tính xác suất để hai thí sinh A và B ngồi cùng một bàn.

2,0

Gọi B là biến cố theo đề, ta có

0,75

0,75

0,5

Câu 4

Tìm giới hạn

2,0

Ta có

Đáp số

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 5

Hình vẽ

Giả sử ABM có hướng dương. Khi đó C là ảnh của M qua phép quay .

Mặt khác M thuộc nửa đường tròn (C) tâm O, đường kính AB nên tập hợp C là nửa đường tròn (C’) tâm O’, là ảnh của (C) qua .

Do thuộc (C’) nên AC lớn nhất khi AC đi qua O’. Khi đó M là giao điểm của AO’ với (C)

1,0

1,0

1,0

Câu 6

4,0

Giả sử cắt lần lượt tại A’, B’, C’, D’

.

Đặt

Vậy song song và cách đều hai đáy

1,0

1,0

1,0

1,0

Họ và tên thí sinh………………………..

Số báo danh……………………………...

Chữ kí giám thị…………………………..

……………………………………………

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỄN

TỔ TOÁN – TIN

*****

ĐÁP ÁN ĐỀ ĐỀ NGHỊ THI OLYMPIC LỚP 11

NĂM HỌC : 2016-2017

MÔN : TOÁN

Thời gian làm bài :150 phút (không kể thời gian giao đề)

*************

CÂU

NỘI DUNG ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Câu 1

Giải phương trình sau đây trên tập số thực:

a/ 2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx)

b/ (cosx – 2sin4x).sin4x + (1 + sinx – 2cos4x).cos4x = 0

3,0 đ

a)

(1,5đ)

Đưa về phương trình: (1 + sinx)(2sinx + cosx – 1) = 0

0,5

* Giải sinx + 1 = 0 cho x =

0,5

* Giải phương trình: 2sinx + cosx – 1 = 0 cho nghiệm

x = hoặc x =

0,5

2)

(1,5đ)

Đưa về phương trình: sin5x + cos4x = 2

0,5

0,5

Cho nghiệm x =

0,5

Câu 2

Cho dãy số (u_n­­­) có u₁ = 2017; .

a/ Chứng minh dãy số (u_n­­­) giảm và bị chặn dưới.

b/ Tính lim(u_n­­­)

4,0 đ

a)

(2,5đ)

Ta có u_n­­ >0 suy ra dãy số (u_n­­­) bị chặn dưới.

0,5

Xét u_n+1-u_n =

0,5

Chứng minh n.u_n > 2015n+1 bằng quy nạp

Kiểm tra n = 1; giả sử đúng với n = k

0,5

Chứng minh với n = k+1. Thật vậy (k+1).u_k+1 = (2015k+1)(1+ )>2015k+2016(dpcm)

0,5

Suy ra u_n+1-u_n < 0 . Suy ra u_n giảm

0,5

b)

(1,5đ)

Lập luận hội tụ

0,5

Gọi L là giới hạn suy ra L = (L+1)

0,5

Ruy ra L = 2015

0,5

Câu 3

a/ Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước đồng thời hai số 5 và 7 không nằm cạnh nhau?

b/ Cho đa giác đều T có 2017 đỉnh, chọn ngẫu nhiên một tứ giác có các đỉnh là các đỉnh của T. Tính xác suất để tứ giác đó Chứa đúng 2 cạnh của đa giác T.

4đ

a

(2,0đ)

Gọi abcde là số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước

0,5

Lập luận vắng số 0 và cho kq

0,5

Gọi a₁a₂a₃a₄a₅là số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước và 5,7 gần nhau kq :

0,5

Vậy có -

0,5

b

(2,0đ)

0,5

Gọi A là biến cố......

TH1 : Tứ giác chọn ra chứa 2 cạnh liền kề : 2017.2012 cách

0,5

TH2 : Tứ giác chọn ra chứa 2 cạnh không kề : (2017.2012)/2

0,5

P(A) =

0,5

Câu 4

a/

b/ Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . Chứng minh phương trình: ax² + bx + c = 0 luôn có nghiệm trong khoảng (0; 1)

2,0

a/(1đ)

b

1đ

Tách ra

0,25

Nhân liên hợp tính

0,25

Đặt t = và tính