Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022 Môn Toán (Đề 5) Có Lời Giải Chi Tiết

ĐỀ 5 BÁM SÁT ĐỀ MINH HỌA

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 MÔN TOÁN Thời gian: 90 phút

Câu 1: Cho hàm số liên tục trên . Nếu thì bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Tập xác định của hàm số là

A. B. C. D.

Câu 3: Cho . Tính

A. . B. . C. . D. .

Câu 4: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên . B. Hàm số có giá trị lớn nhất là khi .

C. Hàm số có giá trị cực tiểu là khi . D. Hàm số nghịch biến trên đoạn .

Câu 5: Số phức có số phức liên hợp là

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 7: Số phức có phần ảo là

A. . B. . C. . D. .

Câu 8: Cho hàm số . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn lần lượt là và . Giá trị của là

A. . B. . C. . D. .

Câu 9: Thể tích của khối cầu có bán kình bằng là

A. B. C. D.

Câu 10: Cho cấp số cộng có . Tính tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.

A. . B. . C. . D. .

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng có phương trình tham số . Đường thẳng không đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Cho Số phức có phần thực là

A. B. C. D.

Câu 13: Cho hàm số tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với trục tung là

A. . B. C. D.

Câu 15: Tính đạo hạm của hàm số

A. . B. .

C. . D. .

Câu 16: Cho và . Tính

A. . B. . C. . D. .

Câu 17: Cho số phức thỏa mãn Tính

A. B. C. D.

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ mặt phẳng đi qua và nhận là một vectơ pháp tuyến có phương trình là

A. B.

C. D.

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ cho Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau?

A. B. C. D.

Câu 20: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A. B. C. D.

Câu 21: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số

A. B.

C. D.

Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 23: Nghiệm của phương trình là

A. B. C. D.

Câu 24: Đồ thị hàm số có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. . B. . C. . D. .

Câu 25: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , . Tính thể tích khối chóp

A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Tính

A. . B. . C. . D. .

Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng Tính khoảng cách giữa và

A. . B. . C. . D. .

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ mặt cầu có phương trình Xác định tọa độ tâm

A. B. C. D.

Câu 29: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng bao nhiêu điểm phân biệt?

A. B. C. D.

Câu 30: Thể tích của khối nón có đường kính đường tròn đáy là đường cao bằng là

A. B. C. D.

Câu 31: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?

A. B. C. D.

Câu 32: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , , , . Gọi góc giữa và là . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 33: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 34: Biết là một nguyên hàm của hàm số . Giá trị của biểu thức bằng:

A. B. C. D.

Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Viết phương trình mặt phẳng qua và cắt các trục tọa độ lần lượt tại , , (không trùng gốc tọa độ) sao cho tam giác nhận làm trực tâm.

A. . B. .

C. . D. .

Câu 36: Cho số phức thỏa mãn và . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường tròn tâm .

B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm .

C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm .

D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có bán kính .

Câu 37: Đội văn nghệ của trường THPT X có học sinh khối , học sinh khối và học sinh khối . Nhà trường cần chọn bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các khối. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm học sinh như thế?

A. . B. . C. . D. .

Câu 38: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của thuộc tập hợp nào sau đây?

A. B. C. D.

Câu 39: Cho Viết phương trình đường thẳng nằm trong đi qua điểm và là nhỏ nhất.

A. B. C. D.

Câu 40: Cho hình chóp có là tam giác vuông tại . Tính

A. B. C. D.

Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên dương để phương trình có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng

A. B. C. D.

Câu 42: Cho . Mặt cầu có bán kính và tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt phẳng . Khối cầu chứa đoạn thẳng (nghĩa là mọi điểm thuộc đoạn thẳng đều thuộc khối cầu ). Tính tổng các giá trị nguyên mà có thể nhận được?

A. B. C. D.

Câu 43: Có bao nhiêu số nguyên để bất phương trình sau có nghiệm

A. B. C. D. Đáp án khác.

Câu 44: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng Tính thể tích của khối nón ban đầu.

A. B. C. D.

Câu 45: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số (với là tham số) trên đoạn bằng 78. Tính tổng các giá trị của tham số ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 46: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm thuộc khoảng của phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương để phương trình có nghiệm

A. B. C. Đáp án khác. D.

Câu 48: Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Số các giá trị nguyên của tham số thuộc khoảng để và cắt nhau tại ba điểm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

Câu 49: Cho hàm số có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn , thỏa mãn .

Biết là các số nguyên dương và là phân số tối giản). Giá trị của bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 50: Trong không gian , cho hai điểm và đường thẳng ; hai điểm thay đổi trên . Biết rằng khi thì tổng diện tích tất cả các mặt của tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng .

A. . B. . C. . D. .

---------- HẾT ----------

ĐÁP ÁN

1.B	2.C	3.B	4.C	5.D	6.B	7.C	8.D	9.D	10.C
11.A	12.B	13.B	14.D	15.B	16.C	17.B	18.C	19.A	20.D
21.B	22.A	23.A	24.D	25.A	26.A	27.A	28.B	29.A	30.A
31.B	32.A	33.C	34.C	35.D	36.B	37.D	38.B	39.C	40.A
41.C	42.A	43.C	44.D	45.D	46.A	47.C	48.B	49.B	50.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Cho hàm số liên tục trên . Nếu thì bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có

Câu 2: Tập xác định của hàm số là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Câu 3: Cho . Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có

Câu 4: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên .

B. Hàm số có giá trị lớn nhất là khi .

C. Hàm số có giá trị cực tiểu là khi .

D. Hàm số nghịch biến trên đoạn .

Lời giải

Chọn C

Từ bảng biến thiên ta có

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng , và nghịch biến trên khoảng

+) Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

+) Hàm số có giá trị cực tiểu là khi . Hàm số có giá trị cực đại là khi .

Câu 5: Số phức có số phức liên hợp là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Số phức liên hợp của là

Câu 6: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Câu 7: Số phức có phần ảo là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Câu 8: Cho hàm số . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn lần lượt là và . Giá trị của là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có (vô nghiệm).

Khi đó , do vậy và .

Vậy .

Câu 9: Thể tích của khối cầu có bán kình bằng là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Thể tích của khối cầu là:

Câu 10: Cho cấp số cộng có . Tính tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng có phương trình tham số . Đường thẳng không đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Thay tọa độ vào phương trình đường thẳng không thỏa.

Câu 12: Cho Số phức có phần thực là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Vậy phần thực của là .

Câu 13: Cho hàm số tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có ; nên đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với trục tung là

A. . B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với trục tung nhận vectơ là vectơ pháp tuyến nên mặt phẳng có phương trình:

Câu 15: Tính đạo hạm của hàm số

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Câu 16: Cho và . Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

Câu 17: Cho số phức thỏa mãn Tính

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

_{Ta có}

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ mặt phẳng đi qua và nhận là một vectơ pháp tuyến có phương trình là

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn C

Phương trình mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến là

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ cho Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

_{Ta có}

Câu 20: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

_{Ta có}

_{Từ đồ thị ta thấy phương trình có 1 nghiệm phân biệt}

Câu 21: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có

Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có Tập nghiệm của bất phương trình là .

Câu 23: Nghiệm của phương trình là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

.

Câu 24: Đồ thị hàm số có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Điều kiện

Vì và không thỏa mãn điều kiện nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Từ điều kiện của hàm số suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận.

Câu 25: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , . Tính thể tích khối chóp

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Diện tích hình vuông là:

Thể tích khối chóp là:

Câu 26: Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có:

Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng Tính khoảng cách giữa và

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi là trung điểm của (1).

Mặt khác (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ mặt cầu có phương trình Xác định tọa độ tâm

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Phương trình

Câu 29: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng bao nhiêu điểm phân biệt?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm .

Do phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm.

Câu 30: Thể tích của khối nón có đường kính đường tròn đáy là đường cao bằng là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Câu 31: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Đồ thị đi qua điểm nên

Câu 32: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , , , . Gọi góc giữa và là . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có:

Suy ra, hình chiếu của lên mặt phẳng là

Tam giác vuông cân tại nên

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ta có:

Tam giác vuông tại có:

Câu 33: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn C

Ta có

Từ đồ thị suy ra

+)

+) Hàm số có hai cực trị trái dấu có hai nghiệm trái dấu , mà .

+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng có hoành độ dương suy ra có nghiệm dương .

Câu 34: Biết là một nguyên hàm của hàm số . Giá trị của biểu thức bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Vì là nguyên hàm của nên ta có

Mà

Vì là nguyên hàm của nên ta có

.

Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Viết phương trình mặt phẳng qua và cắt các trục tọa độ lần lượt tại , , (không trùng gốc tọa độ) sao cho tam giác nhận làm trực tâm.

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Giả sử , và nên mặt phẳng .

Ta có , và , .

Vì là trực tâm nên ta có hệ: .

Ta lại có nên .

Vậy .

Câu 36: Cho số phức thỏa mãn và . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường tròn tâm .

B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm .

C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm .

D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có bán kính .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Khi đó

Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính .

Câu 37: Đội văn nghệ của trường THPT X có học sinh khối , học sinh khối và học sinh khối . Nhà trường cần chọn bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các khối. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm học sinh như thế?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Đặt A: “Chọn bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các khối”.

Suy ra : “Chọn bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 1 khối hoặc 2 khối”.

+) Trường hợp 1: “Chọn bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 1 khối”.

Có cách chọn.

+) Trường hợp 2: “Chọn bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối”.

- Chọn bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 10 và 11

Có cách chọn.

- Chọn bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 11 và 12

Có cách chọn.

- Chọn bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 10 và 12

Có cách chọn.

Suy ra cách.

Vậy cách chọn.

Câu 38: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của thuộc tập hợp nào sau đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Gọi là điểm biểu diễn số phức

Suy ra, có tâm

Gọi . Ta thấy

Mặt khác, là đường kính của đường tròn .

Ta có:

Ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của bằng

Dấu xảy ra khi

Câu 39: Cho Viết phương trình đường thẳng nằm trong đi qua điểm và là nhỏ nhất.

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn C

Hạ . Nên: .

Do vuông tại nên: .

Do là hình chiếu vuông góc của trên nên:

Do nên:

Từ đó: , chọn cùng phương .

Vậy phương trình đường thẳng:

Câu 40: Cho hình chóp có là tam giác vuông tại . Tính

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Dựng hình hộp chữ nhật và chọn đỉnh như hình vẽ.

Ta có:

Vậy:

Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên dương để phương trình có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Ta có

Đặt . Khi đó ta có

.

Xét hàm số là hàm đồng biến nên suy ra

.

Xét hàm số trên khoảng có bbt:

Để thỏa mãn ycbt thì .

Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên dương của thỏa ycbt.

Câu 42: Cho . Mặt cầu có bán kính và tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt phẳng . Khối cầu chứa đoạn thẳng (nghĩa là mọi điểm thuộc đoạn thẳng đều thuộc khối cầu ). Tính tổng các giá trị nguyên mà có thể nhận được?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Vì mặt cầu có bán kính và tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt phẳng nên tọa độ tâm và .

Để khối cầu chứa đoạn thẳng thì ta cần có:

.

Vì nên . Tức là , suy ra tổng các giá trị nguyên mà có thể nhận được bằng .

Câu 43: Có bao nhiêu số nguyên để bất phương trình sau có nghiệm

A. B. C. D. Đáp án khác.

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: .

Ta có .

Đặt . Bất phương trình trở thành

Xét hàm số .

Ta có .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra bất phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi .

Do và nên có giá trị thỏa mãn.

Câu 44: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng Tính thể tích của khối nón ban đầu.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Giả sử hình nón đỉnh tâm , thiết diện qua đỉnh ở giả thiết là tam giác vuông cân .

Gọi là trung điểm của , suy ra góc giữa và mặt đáy là .

Ta có và .

Tam giác vuông tại .

Tam giác vuông tại .

Thể tích khối nón .

Câu 45: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số (với là tham số) trên đoạn bằng 78. Tính tổng các giá trị của tham số ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Do giá trị lớn nhất của hàm số ( là tham số) trên đoạn là nên

và dấu bằng phải xảy ra tại ít nhất một điểm

Và dấu bằng phải xảy ra nên . Vậy tổng tất cả giá trị là 8

Câu 46: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm thuộc khoảng của phương trình là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Phương trình đã cho tương đương:

.

TH1: .

Phương trình số có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn.

Phương trình số có 5 nghiệm phân biệt thỏa mãn.

TH2: .

Phương trình số có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn (lưu ý không lấy nghiệm tại ).

Vậy kết hợp cả hai trường hợp, phương trình đã cho có tổng cộng 13 nghiệm

Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương để phương trình có nghiệm

A. B. C. Đáp án khác. D.

Lời giải

Chọn C

Do là số nguyên dương và nên .

Xét hàm số với có .

Suy ra hàm số đồng biến trên .Ta có

Xét hàm số .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi . Mà và nên .

Vậy có 122 giá trị nguyên dương của tham số thoả mãn phương trình có nghiệm

Câu 48: Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Số các giá trị nguyên của tham số thuộc khoảng để và cắt nhau tại ba điểm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Xét phương trình . Điều kiện .

PT trên .

Xét hàm số với .

Ta có

Do , suy ra

BBT:

Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .

Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số .

Câu 49: Cho hàm số có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn , thỏa mãn .

Biết là các số nguyên dương và là phân số tối giản). Giá trị của bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Biến đổi phương trình:

Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình trên, ta được:

Theo giả thuyết,

Phương trình trở thành

Tiếp tục biến đổi phương trình trên, ta được như sau:

Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình trên, ta được:

Theo giả thuyết,

Vậy ta có được Kết luận

Câu 50: Trong không gian , cho hai điểm và đường thẳng ; hai điểm thay đổi trên . Biết rằng khi thì tổng diện tích tất cả các mặt của tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Vì không đổi nên tổng diện tích toàn phần của tứ diện nhỏ nhất khi tổng diện tích hai tam giác nhỏ nhất.

Cách 1: Gọi , từ suy ra .

TH1: . Do vậy

Suy ra .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (thỏa mãn). Vậy .

TH2: trường hợp này đổi vai trò của cho nhau trong TH1 nên loại.

Cách 2: Tổng diện tích toàn phần của hai tam giác nhỏ nhất khi nhỏ nhất.

là mặt phẳng đi qua và song song với :

Vì không đổi nên nhỏ nhất khi dấu bằng xảy ra khi , khi đó là trung điểm của . là đoạn vuông góc chung của .

Phương trình và .

Từ đó suy ra do vậy nếu và thì

---------- HẾT ----------