Hình Học Tổng Hợp Ôn Thi HSG Toán 8 Có Lời Giải Chi Tiết

DẠNG 12: HÌNH HỌC TỔNG HỢP

A.Bài toán

Bài 1: Cho hình vuông có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh M là giao điểm của và

1. Chứng minh: Tứ giác là hình vuông

2. Chứng minh và cân

3. Tính diện tích theo

Bài 2:Cho hình vuông trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho . Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N

1. Chứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật

2. Biết diện tích tam giác gấp bốn lần diện tích tam giác Chứng minh rằng

3. Chứng minh rằng :

Bài 3:Cho tam giác nhọn. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều lại dựng hình bình hành Chứng minh rằng là tam giác đều

Bài 4: Cho tam giác có

1. Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC

2. Gọi CD là đường phân giác của Chứng minh cân

3. Chứng minh:

Bài 5:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các điểm M,N thứ tự là trung điểm của BC và AC.Các đường trung trực của BC và AC cắt nhau tại O.Qua A kẻ đường thẳng song song với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt nhau tại H.

1. Nối MN , AHB đồng dạng với tam giác nào?

2. Gọi G là trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ?

3. Chứng minh ba điểm H , O , G thẳng hàng ?

Bài 6:Cho hình vuông có cạnh bằng Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của và BC.

1. Tính diện tích tứ giác

2. Phân giác góc cắt BC tại Chứng minh

Bài 7:Cho tam giác có ba góc nhọn, là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng:

1. 

2. 

3. 

Bài 8:Cho tam giác Từ điểm M thuộc cạnh kẻ các đường thẳng song song với các cạnh và cắt tại E và tại F. Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình bình hành có diện tích lớn nhất

Bài 9:Cho tam giác Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia sao cho Gọi O là giao điểm của và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng

Bài 10: Cho tam giác vuông cân tại A. Trên cạnh lấy điểm bất kỳ, sao cho khác và Trên cạnh lấy điểm sao cho

1. Gọi là trung điểm của cạnh Chứng minh vuông cân

2. Đường thẳng qua và song song với cắt tia BM tại N. Chứng minh :

3. Gọi là giao điểm của và Chứng minh rằng tích không phụ thuộc vào vị trí điểm trên cạnh AC.

Bài 11:Cho tam giác nhọn có các đường cao cắt nhau tại H

1. Tính tổng

2. Chứng minh :

3. Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác

4. Trên các đoạn lấy các điểm tùy ý sao cho Chứng minh đường trung trực của đoạn luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 12: Cho O là trung điểm của đoạn Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng vẽ tia cùng vuông góc với AB. Trên tia lấy điểm C (khác A), qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tia By tại D.

1. Chứng minh

2. Kẻ vuông góc CD tại M. Chứng minh

3. Từ M kẻ vuông góc AB tại I. Chứng minh đi qua trung điểm MH.

Bài 13: Cho tam giác có ba góc nhọn. Các đường cao cắt nhau tại H.

1. Chứng minh rằng:

2. Chứng minh rằng:

3. Chứng minh rằng: H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF

4. Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng , Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy tại một điểm

Bài 14: Cho tam giác cân tại có Đường phân giác của tam giác có độ dài bằng cạnh bên của tam giác Chứng minh rằng: .

Bài 15: Cho hình thang (đáy lớn Gọi O là giao điểm của và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở và E. Chứng minh:

1. 

2. Gọi và theo thứ tự là diện tích của tam giác và . Chứng minh

Bài 16: Cho tam giác (cân tại A) vẽ đường cao AH, đường cao BK

1. Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng ? Giải thích tại sao ?

2. Cho Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

3. Gọi I là giao điểm của và BK, hãy tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác là tam giác đều ?

Bài 17: Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF.

1. Chứng minh CE = CF;

2. Chứng minh B, D, M thẳng hàng;

3. Chứng minh EAC đồng dạng với MBC;

4. Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD.

Bài 18: Hình vuông có E và F thuộc tia đối và DC sao cho Từ kẻ đường song song với AF và từ F kẻ đường song song với AE. Hai đường này giao tại I. Tứ giác là hình gì ?

Bài 19:

19.1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh:

a) Tứ giác EGFK là hình thoi.

b) AF² = FK.FC

c) Chu vi tam giác EKC không đổi khi E thay đổi trên BC.

19.2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b và đường phân giác của góc A là AD = d. Chứng minh rằng: .

Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác AHB và AHC. MN cắt AB, AH, AC lần lượt tại I, E, K

1. Chứng minh : BM vuông góc với AN

2. Chứng minh :

3. Biết diện tích của tam giác là S. Tính diện tích lớn nhất của tam giác theo

Bài 21: Cho tam giác ABC cân tại A, có Trên AB lấy điểm D sao cho Tính số đo

Bài 22: Cho tam giác ABC cân tại A, có không đổi. Gọi I là trung điểm của Lấy và sao cho . Vẽ

1. Chứng minh rằng tích không đổi.

2. Chứng minh rằng là tia phân giác của góc , QI là tia phân giác của

3. Gọi chu vi tam giác là chứng minh rằng . Tính theo khi

Bài 23:

1. Cho tam giác , gọi M, N lần lượt là trung diểm của Gọi O, G, H lần lượt là giao điểm ba đường trung trực, ba đường cao, ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Tính tỉ số

2. Cho hình thang có hai đáy Hãy dựng điểm M trên đường thẳng CD sao cho đường thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài 24: Cho hình thoi ABCD có góc Hai đường chéo cắt nhau tại O, E thuộc tia BC sao cho bằng ba phần tư , AE cắt CD tại F. Trên đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho song song với FH

1. Chứng minh rằng :

2. Tính số đo góc

Bài 25: Cho tam giác , ba điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho Chứng minh rằng hai tam giác và có cùng

Bài 26: Tứ giác có và Chứng minh AC là tia phân giác của góc A.

Bài 27: Một tam giác có đường cao và đường trung tuyến chia góc ở đỉnh thành ba phần bằng nhau. Tính các góc của tam giác đó.

Bài 28: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của Gọi P là giao điểm của với DM

1. Chứng minh : tam giác là tam giác vuông.

2. Tính diện tích của tam giác

3. Chứng minh tam giác là tam giác cân.

Bài 29: Cho tam giác đường trung tuyến Qua điểm D thuộc cạnh vẽ đường thẳng song song với cắt đường thẳng và lần lượt tại và F.

1. Chứng minh

2. Đường thẳng qua song song với cắt tại N. Chứng minh N là trung điểm của

Ký hiệu là diện tích của hình Chứng minh

Bài 30: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm hệ thức liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ .

Bài 31: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác. Từ các đỉnh A, B, C và trọng tâm G ta kẻ các đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’.

Bài 32: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó.

1. Chứng minh: ;

2. Chứng minh: ;

Bài 33: Cho tam giác ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC. Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D và E.

Bài 34: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ .

a) Chứng minh DE = CF;

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.

c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất?

Bài 35: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ . Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm

của CD, N là trung điểm của BH.

a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành;

b) Tính góc BMK.

Bài 36: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm E và F.Chứng minh rằng .Với vị trí nào của hai điểm E và F thì đạt giá trị lớn nhất?

Bài 37: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ là AB, đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC ở F.

a) Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân;

b) Tính độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm.

Bài 38: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E.

a) Chứng minh DE // BC.

b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE.

Bài 39: Cho tam giác vuông cân ABC, .Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ , BD cắt CA ở E. Chứng minh rằng:

a) EB.ED = EA.EC;

b)

c)

Bài 40: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F.Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh rằng:

a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi;

b) ;

c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi.

Bài 41: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác của các góc ACE và DBE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng:

Bài 42: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Cmr:

a) ; b)

c)

Bài 43: Cho hình thang ABCD (AB // CD). AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ một đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự ở E và F. Tính độ dài EF, biết rằng DE = 10.

Bài 44: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K. Đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng DE =BK.

Bài 45: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của CD,CB. Gọi O là giao điểm của AE và DF ; OA = 4OE; . Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.

Bài 46: Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt các đường thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K. Cmr: .

Bài 47: Qua M thuộc cạnh BC của tam giác ABC vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia. Chúng cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở H, K. Cmr:

a)Tổng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC.

b)Xét trường hợp tương tự khi M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng BC.

Bài 48: Cho tam giác ABC đều cạnh a, M là một điểm bất kỳ ở trong tam giác ABC.

Chứng minh rằng:

Bài 49: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN = BM. Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F. Cmr:

1. Tứ giác ANFM là hình vuông;

2. Điểm F nằm trên tia phân giác của và ;

3. Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm của AF )

Bài 50: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = 2DC. Cmr: BM vuông góc với AD.

Bài 51: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA.

Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

1. Chứng minh rằng : AE = AB ;

2. Gọi M là trung điểm của BE. Tính .

Bài 52: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

1. Chứng minh: ;

2. Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân.

Bài 53: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, trên cạnh BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng: AM = AN.

Bài 54: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD và ACF lần lượt vuông cân tại B và C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF.

Cmr: a) AH =AK ; b)

Bài 55: Cho tam giác ABC, một đường thẳng cắt các cạnh BC, AC theo thứ tự ở D và E. và cắt cạnh BA ở F. Vẽ hình bình hành BDEH. Đường thẳng qua F và song song với BC cắt AH ở I. Cmr: FI = DC

Bài 56: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM. Qua điểm I thuộc AD vẽ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC. Gọi N là giao điểm của HK và AM. Cmr : NI vuông góc với BC.

Bài 57: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Cmr: HM vuông góc với PQ.

Bài 58: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC. Cmr: MN là tia phân giác của góc KNE .

Bài 59: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC tại M và cắt cạnh đáy AB tại K. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD tại I và cắt cạnh AB tại F. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC tại P.

Cmr: a) . b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng. c)

Bài 60: Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD ở E và cắt các đường thẳng BC, DC theo thứ tự ở K, G. CMR:

a) ;

b)

c) Khi đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi.

Bài 61: Cho tam giác ABC đều, các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AC, AB sao cho

AD = BE. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Vẽ MH // CD, MK //BE (H AB; K AC). Cmr: Khi M chuyển động trên cạnh BC thì tổng MH + MK có giá trị không đổi.

Bài 62: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD cắt đường cao AH tại I

1. Chứng minh: tam giác ADI cân.

2. Chứng minh:

3. Từ D kẻ DK vuông góc BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? Chứng minh điều ấy.

Bài 63: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo cùng một tỉ số. Cmr: AE = DF; AE DF.

Bài 64: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S, . Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm của AB,CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Tính diện tích tứ giác EMFN theo S.

Bài 65: Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BC. Điểm N trên cạnh CD sao cho CN =2 ND. Gọi giao điểm của AM, AN với BD là P, Q. Cmr:

Bài 66: Cho góc xOy và điểm M cố định thuộc miền trong của góc. Một đường thẳng quay quanh M cắt tia Ox, Oy theo thứ tự ở A,B. Gọi theo thứ tự là diện tích của tam giác MOA, MOB.

Cmr: không đổi.

Bài 67: Cho tam giác ABC. Các điểm D,E,F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỉ số 1:2. Các điểm I, K theo thứ tự chia trong các cạnh ED, FE theo tỉ số 1:2. Chứng minh: IK //BC.

Bài 68: Cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC.

1. Chứng minh IK// AB.

2. Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E, F. Cmr: EI =IK = KF.

Bài 69: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm K sao cho

AH = HK. Vẽ .

1. Gọi M là trung điểm của BE. Tính .

2. Gọi G là giao điểm của AM vói BC. Chứng minh: .

Bài 70: Cho tam giác ABC, , đường cao AH, đường trung tuyến BM cắt AH tại I. Giả sử BH = AC. Chứng minh: CI là tia phân giac của .

Bài 71: a) Cho tam giác ABC có Tính độ dài đường phân giác AD.

b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn . Tính .

Bài 72: Cho tam giác ABC có , các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài BC.

Bài 73: Cho hình vuông ABCD. Trên tia BC lấy điểm M nằm ngoài đoạn BC và trên tia CD lấy điểm N nằm ngoài đoạn CD sao cho BM = DN. Đường vuông góc với MA tại M và đường vuông góc với NA tại N cắt nhau ở F. Chứng minh:

1. AMFN là hình vuông;

2. CF vuông góc với CA.

Bài 74: Cho hình vuông ABCD có giao điểm các đường chéo là O. Kẻ đường thẳng d bất kỳ qua O. Chứng minh rằng: Tổng các bình phương các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng d là một số không đổi.

Bài 75: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm O ở trong tam giác vẽ .

Tìm vị trí của điểm O để tổng đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 76: Cho hình thang vuông ABCD có , . Đường trung trực của BC cắt đường thẳng AD ở N. Gọi M là trung điểm của BC. Tính MN.

Bài 77: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng AD vuông góc với BC tại D. Đường phân giác BE cắt AD tại F. Chứng minh:

Bài 78: Cho tam giác ABC. Kẻ phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC ở I và D ( lần lượt theo thứ tự A, I, C, D ). Từ I và D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở M và N.

1. Tính AB và MN, biết MI = 12cm, BC = 20cm.

b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI tại E và cắt BD tại F. Chứng minh: và

Bài 79: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vuông góc với cạnh BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA, trên tia Cy lấy điểm E sao cho CE = CA. Gọi G là giao điểm của BE và CD, K và L lần lượt là giao điểm của AD, AE với cạnh BC.

a) Chứng minh rằng CA = CK ; BA = BL.

b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên BC. Chứng minh IHJ là tam giác vuông cân.

Bài 80: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng BD = 2cm, DC = 4cm. Đường trung trực của AD cắt đường thẳng BC tại K. Tính độ dài KD.

Bài 81: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, AD là đường phân giác. Biết AC = 9cm, AB = 6cm, diện tích tam giác ABC là 24cm². Tính diện tích tam giác ADM.

Bài 82: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.

a)Chứng minh khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE + DF có giá trị không đổi.

b)Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF ở K. Chứng minh rằng K là trung điểm của EF

Bài 83: Cho các tam giác ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự ở M, N. Cmr:

a) Tam giác AIM đồng dạng với tam giác ABI.

b) .

Bài 84: Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho .

a) Cmr: BD.CE không đổi.

b) Cmr: DM là tia phân giác của góc BDE

c) Tính chu vi tam giác AED nếu ABC là tam giác đều.

Bài 85: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M nằm giữa A và D. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của MB và MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao điểm của DK và AC. Cmr: EF //IK.

Bài 86: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G, H thứ tự thuộc cạnh BC, CD sao cho . Gọi M là trung điểm của AB. Cmr:

a) Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB;

b) MG //AH

Bài 87: Cho tam giác ABC và hình bình hành AEDF có . Tính diện tích của hình bình hành, biết rằng .

Bài 88: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, DC. Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD. Tính

Bài 89: Cho hình thang ABCD . Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của DA với CB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

1. Chứng minh: .

2. Chứng minh: Bốn điểm thẳng hàng.

3. Giả sử và diện tích hình thang ABCD bằng S. Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo S.

Bài 90: Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm E. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BE tại F, nó cắt DC tại G. Gọi H, I, J, M, K lần lượt là giao điểm của GF với BC, EF với HD, EA với HC, AB với HD, AE với DH.

90.1.a) Chứng minh: . Từ đó suy ra và

b) Tìm GTLN của

90.2.a) Chứng minh: và

b) Chứng minh:

c) Chứng minh:

d) Chứng minh: đồng dạng với ; đồng dạng với

Từ đó có nhận xét gì về và .

90.3.a) Chứng minh:

b) Chứng minh:

c) Chứng minh:

90.4. Chứng minh: Khi E thay đổi trên tia đối của tia CD thì là không đổi.

90.5. Qua bài này, các em hãy khai thác thêm nhiều tính chất mới thú vị.

Bài 91: Cho cân tại với là góc nhọn; là đường phân giác ; qua kẻ đường vuông góc với , đường này cắt đường thẳng tại . Chứng minh: .

Bài 92: Cho tứ giác . Đường thẳng qua song song với , cắt tại và đường thẳng qua song song với cắt tại . Chứng minh // .

Bài 93: Cho hình thang ABCD, đáy AD và BC, có , E là giao điểm của hai đường chéo, F là hình chiếu của E lên AB.

1. Chứng minh ∆ ∆ .

2. Gọi K là giao điểm của AC và DF. Chứng minh KE.FC = CE.FK.

Bài 94: Cho hình bình hành có góc nhọn. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các tam giác đều và Tính số đo

Bài 95: Cho tam giác nhọn có các đường cao và H là trực tâm

1. Chứng minh

2. Chứng minh rằng:

3. Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt lần lượt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của

Bài 96: Cho hình vuông và đường thẳng cùng có tính chất chia hình vuông này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng Chứng minh rằng có ít nhất đường thẳng trong 2018 đường thẳng trên đồng quy.

_{Bài 97:} Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE= AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N

4. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật

5. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH . Chứng minh rằng

AC = 2EF

6. Chứng minh rằng :

Bài 98: Cho hình chữ nhật ABCD , AB = 2AD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm P sao cho AM = CP. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi Q là trung điểm của CH đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC tại N.

1. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

2. Khi M là trung điểm của AD. Chứng minh BQ vuông góc với NP.

3. Đường thẳng AP cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng :

Bài 99: Cho đoạn thẳng AB dài a(cm) . Lấy điểm C bất kỳ thuộc đoạn thẳng AB (C khác A và B). Vẽ tia Cx vuông góc với AB. Trên tia Cx lấy hai điểm D và E sao cho CD = CA và CE = CB.

1. Chứng minh AE vuông góc với BD

2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB để đa giác CMEDN có diện tích lớn nhất

3. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến AB không phụ thuộc vào vị trí điểm C

Bài 100: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD = 2AB = 2AD và

1. Tính diện tích hình thang ABCD theo a

2. Gọi I là trung điểm của BC , H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Chứng minh

Bài 101: Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c.Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A,B,C lần lượt là Chứng minh rằng:

Bài 102: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, M là trung điểm của BC. quay quanh đỉnh M cố định sao cho hai tia Mx; My cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) và tích BD.CE không phụ thuộc vào vị trí của

b) DM là phân giác của

c) BD.ME + CE.MD > a.DE

d) Chu vi không đổi khi quay quanh M

Bài 103: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC> AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD=HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1. Chứng minh AE = AB

2. Gọi M là trung điểm của BE . Tính góc AHM.

Bài 104: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

1. Chứng minh : EA.EB = ED.EC

2. Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi

3. Kẻ ( Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, CH. Chứng minh CQ .

Bài 105: Cho tam giác ABC có và chu vi bằng 18cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết các độ dài đều là số nguyên dương và BC có độ dài là một số chẵn.

Bài 106: Cho tam giác ABC có AC = 3AB và số đo của góc A bằng 60⁰. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho . Trên đường thẳng vuông góc với AD tại D lấy điểm E sao cho DE = DC (E và A cùng phía với BC). Chứng minh rằng AE//BC.

Bài 107: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AC và các đường thẳng AD, BM và CE đồng qui tại K . Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là 10 và 20. Tính diện tích tam giác ABC

Bài 108: Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC (Q khác B, C). Trên AQ lấy điểm P (P khác A, Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB, AC tại M, N.

a) Chứng minh rằng:

b) Xác định vị trí điểm Q để .

Bài 109: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Gọi G là giao điểm của đường thẳng đi qua E vuông góc với AD với đường thẳng đi qua F vuông góc với BC. So sánh GA và GB

Bài 110: a) Cho tam giác ABC cân tại A , có BH là đường cao, BD là phân giác của góc . Chứng minh rằng: .

b) Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong của góc A . Gọi là khoảng cách từ D đến AB ( hoặc AC). Tương tự, gọi BE là phân giác trong của góc B và là khoảng cách từ E đến BA ( hoặc BC), gọi CF là phân giác trong của góc C và là khoảng cách từ F đến CA ( hoặc CB). Gọi tương ứng là 3 chiều cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác đã cho. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức

Bài 111: Cho hình bình hành ABCD có . Dựng các tam giác vuông cân tại A là BAM và DAN (B và N cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN.

Bài 112: Cho hình bình hành ABCD có . Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm I của cạnh AB.

1. Chứng minh: .

2. Kẻ . Chứng minh: .

3. Chứng minh: .

Bài 113: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, kẻ các đường cao BD và CE. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh AC, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại điểm F.

1. Chứng minh: . b) Chứng minh: .

Bài 114: Cho hình thang vuông ABCD và , H là hình chiếu của D trên AC và M là trung điểm của đoạn HC. Chứng minh: .

Bài 115: Cho hình bình hành có góc nhọn. Vẽ ra phía ngoiaf hình bình hành các tam giác đều và Tính số đo

Bài 116: Cho hình vuông có cạnh bằng biết hai đường chéo cắt nhau tại O.Lấy điểm thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh sao cho (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của và , K là giao điểm của và

1. Chứng minh và tính diện tích tứ giác theo

2. Chứng minh

Chứng minh

_{Bài 117:} Cho tam giác trọng tâm Qua G vẽ đường thẳng cắt các cạnh theo thứ tự ở và E. Tính giá trị biểu thức

Bài 118: Cho hình chữ nhật có Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD

1. Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác

2. Tính độ dài đoạn thẳng

3. Tính diện tích tam giác

_{Bài 119:} Cho tam giác đều Gọi lần lượt là các điểm trên các cạnh AB và BC sao cho Gọi G là trọng tâm và I là trung điểm của Tính các góc của tam giác

Bài 120: Cho hình vuông gọi thứ tự là trung điểm của

1. Chứng minh rằng:

2. Gọi là giao điểm của và Chứng minh rằng:

Bài 121: Cho tam giác Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông

1. Chứng minh rằng

2. Gọi thứ tự là tâm của các hình vuông Gọi I là trung điểm của Tam giác là tam giác gì ? Vì sao ?

Bài 122: Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đường chéo đến hai cạnh kể (hai cạnh kề và đường chéo cùng đi qua một đỉnh của hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy.

Bài 123: Gọi M là diểm nằm trong Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của trên Gọi H, K lần lượt là trung điểm của

1. Chứng minh

2. Tính số đo theo m

Bài 124: Cho tam giác vuông cân tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho

1. Chứng minh rằng:

2. Trên BC lấy điểm sao cho Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có chứa điểm A, vẽ tia sao cho Tia cắt tia CA tại D. Tính số đo

Bài 125: Cho hình thang ABCD hai đường chéo và cắt nhau tại O. Một đường thẳng qua O song song với đáy cắt hai cạnh bên lần lượt tại và F. Chứng minh rằng

Bài 126: Cho hình bình hành Các điểm theo thứ tự thuộc các cạnh sao cho Gọi K là giao điểm của và Chứng minh rằng là tia phân giác của

Bài 127: Cho tam giác đều gọi M là trung điểm của BC. Một góc quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh luôn cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh

1. 

2. DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc và

3. Chu vi tam giác không đổi.

Bài 128: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia cùng vuông góc với AB. Trên tia lấy điểm (C khác A). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt tại D. Từ hạ đường vuông góc xuống CD (M thuộc CD)

1. Chứng minh

2. Chứng minh tam giác vuông

3. Gọi N là giao điểm của và Chứng minh

Bài 129: Cho O là trung điểm của đoạn thẳng có độ dài bằng Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng vẽ hai tia cùng vuông góc với AB. Trên tia lấy điểm D bất kỳ, qua O vẽ hai dường thẳng vuông góc với tại O cắt By tại C

1. Chứng minh

2. Chứng minh và CO lần lượt là tia phân giác của và

3. Vẽ Gọi I là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AH và DO, F là giao điểm của BH và CO. Chứng minh ba điểm thẳng hàng

4. Xác định vị trí của điểm D trên tia để tích có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 130: Cho tam giác vuông tại A đường cao Trên tia HC lấy điểm D sao cho Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

1. Chứng minh rằng: Tính độ dài đoạn BE theo

2. Gọi M là trung điểm của đoạn Chứng minh rằng hai tam giác đồng dạng. Tính số đo của

3. Tia cắt tại G. Chứng minh :

Bài 131: Cho hình chữ nhật Vẽ vuông góc với Gọi M là trung điểm của là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: .

Bài 132:

Một trường học được xây dựng trên khu đất hình chữ nhật ABCD có Ở phía chiều rộng AB tiếp giáp đường chính, người ra sử dụng hai lô đất hình vuông để xây dựng phòng làm việc và nhà để xe. Diện tích còn lại để xây phòng học và các công trình khác (như hình vẽ). Tính diện tích lớn nhất còn lại để xây phòng học và các cong trình khác.

Bài 133: Cho hình chữ nhật có Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi lần lượt là trung điểm của

1. Tính diện tích tứ giác

2. Chứng minh

Bài 134: Cho hình vuông Trên tia đối của tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho

1. Chứng minh vuông cân

2. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh thẳng hàng

135. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho Xác định vị trí điểm D, E sao cho

1. DE có độ dài nhỏ nhất

2. Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

135. Cho O là trung điểm của đoạn Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia cùng vuông góc với Trên tia lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tia By tại D

1. Chứng minh

2. Kẻ tại M. Chứng minh

3. Từ kẻ MH vuông góc với AB tại H. Chứng minh đi qua trung điểm MH

4. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác nhỏ nhất

135. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của Gọi P là giao điểm của AN với DM

1. Chứng minh là tam giác vuông

2. Tính diện tích của tam giác

3. Chứng minh tam giác là tam giác cân.

135. Cho hình thang cân có là giao điểm của hai đường chéo. Gọi theo thứ tụ là trung điểm của Tam giác là tam giác gì ? Vì sao?

136. Cho hình bình hành có thứ tự là trung điểm của

1. Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy

2. Gọi giao điểm của với và theo thứ tự là và Chứng minh rằng là hình bình hành

135. Cho đoạn thẳng Gọi M là một điểm nằm giữa và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của

1. Tính khoảng cách từ đến

2. Khi điểm di chuyển trên đoạn thẳng thì điểm di chuyển trên đường nào ?

135. Cho hình thang ( ). Gọi N và M theo thứ tự là trung điểm của các đường chéo Chứng minh rằng:

1. 

2. 

135. Cho hình thang ( và ; Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, Đường thẳng qua A và song song với BC cắt BD tại E, cắt CD tại A’ ; đường thẳng qua B và song song với AD cắt AC tại F, cắt CD tại . Gọi diện tích các tam giác lần lượt là . Chứng minh:

1. 

2. và

3. 

135. Cho hình bình hành Với Từ đỉnh A, kẻ một đường thẳng bất kỳ cắt đường chéo tại E, cắt cạnh BC tại và cắt tia DC tại G.

1. Chứng minh :

2. Chứng minh rằng khi đường thẳng quay quanh A thay đổi thì tích không đổi

135. Cho hình thang ( có Qua và kẻ các đường thẳng song song với BC và AD lần lượt cắt CD ở K và I. Gọi E là giao điểm của và BD, F là giao điểm của và AC. Chứng minh rằng:

1. 

2. 

135. Cho tam giác vuông tại là điểm di động trên cạnh BC. Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lên

1. Xác định vị trí của điểm để tứ giác là hình vuông

2. Xác định vị trí của điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất

135. Trong tam giác các điểm tương ứng nằm trên các cạnh sao cho

1. Chứng minh rằng:

2. Cho Tính độ dài đoạn

135. Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

136. Cho tam giác đường cao AH, vẽ phân giác của góc và phân giác của . Kẻ AD vuông góc với , AE vuông góc với

Chứng minh rằng tứ giác là hình vuông.

135. Cho hình bình hành có đường chéo lớn hơn đường chéo Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD

1. Tứ giác là hình gì ? Vì sao ?

2. Chứng minh rằng :

3. Chứng minh rằng:

Bài 150: Cho tam giác vuông tại A, phân giác BD. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của

1. Chứng minh là hình thang cân

2. Biết Tính độ dài của

Bài 151: Cho hình bình hành Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD tại M, cắt đường chéo AC tại N và cắt đường thẳng AD tại K. Chứng minh:

Bài 152: Cho tam giác phân giác Trên nửa mặt phẳng không chứa bờ vẽ tia sao cho cắt AD tại E; I là trung điểm DE. Chứng minh rằng:

1. 

2. 

3. 

4. Trung trực của đi qua E

Bài 153: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE. Gọi P là giao điểm của AC và KE

a) Chứng minh vuông cân

b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh H, I, E thẳng hàng

c) Tứ giác HEKQ là hình gì? Chứng minh

Bài 154: Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm, ; và chiều cao của hình thang bằng 18m

Bài 155: Cho tam giác vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi và F lần lượt là giao điểm của và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng

1. song song với

2. 

Bài 156: Cho tam giác vuông cân là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho cắt tại E. Chứng minh :

1. Tam giác đồng dạng với tam giác

2. 

Bài 157: Cho tam giác vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia cắt tia tại H, cắt tia tại O. Chứng minh rằng:

b) có số đo không đổi

c) Tổng không đổi

Bài 158: Cho tam giác có ba góc nhọn, các đường caao cắt nhau tại H

1. Chứng minh

2. Chứng minh

3. Nối với E, cho biết Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a

Bài 159: Cho hình bình hành Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C lên AB và AD. Chứng minh

1. 

2. 

Bài 160: Cho hình vuông là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ chứa C dựng hình vuông Qua dựng đường thẳng song song với AB, d cắt ở E, cắt DC ở F.

1. Chứng minh rằng

2. Chứng minh rằng thẳng hàng

3. là hình gì ?

4. Chứng minh: và chu vi tam giác không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC.

Bài 161: Cho hình chữ nhật Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của qua P.

1. Tứ giác là hình gì ?

2. Gọi và lần lượt là hình chiếu của điểm M lân AB, AD. Chứng minh và ba điểm thẳng hàng

3. Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật không phụ thuộc vào vị trí điểm

4. Giả sử và Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.

Bài 162: Cho hình thang vuông tại và Biết và .Gọi E là trung điểm của

1. Tứ giác là hình gì ? Tại sao ?

2. Tính diện tích hình thang theo

3. Gọi là trung điểm của là chân đường vuông góc kẻ từ xuống Tính góc

Bài 163: Cho tam giác Gọi là một điểm di chuyển trên cạnh Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh cắt cạnh tại M. Qua , kẻ đường thẳng song song với cạnh cắt cạnh tại N

1. Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng

2. Kẻ vuông góc với lần lượt tại Chứng minh rằng

3. Tìm vị trí của điểm để song song với

Bài 164: Cho tam giác các góc và nhọn. Hai đường cao và cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

1. 

2. 

3. 

Bài 165: Cho hình vuông có hai đường chéo và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M và trên cạnh lấy sao cho Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của với BE.

a) Chứng minh vuông cân

b) Chứng minh song song với

c) Chứng minh vuông góc với

d)Qua vẽ đường song song với cắt tại H. Chứng minh:

Bài 166: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD; I và J thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng và Tính số đo của góc

b) Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, trên đoạn BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng

Bài 167: Cho hình bình hành hình chiếu vuông góc của C lên lần lượt là và Chứng minh:

1) và đồng dạng với

2)

Bài 168: Cho hình vuông có hai đường chéo cắt nhâu tại O. Một đường thẳng kẻ qua cắt cạnh tại và cắt đường thẳng tại N. Gọi K là giao của và Chứng minh vuông góc với BN.

Bài 169: Cho tam giác nhọn . Các đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) Tam giác đồng dạng với tam giác

b)

c)

d) Gọi lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống , . Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường thẳng.

Bài 170: Cho tam giác Trên tia đối của các tia lấy theo thứ tự các điểm sao cho Gọi là giao điểm của và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh

Bài 171: Cho tam giác nhọn, BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng:

b) Chứng minh rằng:

c) Gọi M là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB tại I, cắt AC tại K. Chứng minh tam giác IMK là tam giác cân

Bài 172: Cho tam giác có Các phân giác và CF

a) Chứng minh rằng

b)Tính

Bài 173: Cho tam giác vuông cân . Trên cạnh lấy điểm sao cho , trên nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm vẽ đường thẳng vuông góc với trên lấy điểm sao cho . Đường thẳng cắt tại đường thẳng cắt đường thẳng tại

a) Chứng minh

b) Gọi là trung điểm của Chứng minh

Bài 174: Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đường chéo đến hai cạnh kể (hai cạnh kề và đường chéo cùng đi qua một đỉnh của hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy.

Bài 175: Gọi M là diểm nằm trong Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của trên Gọi H, K lần lượt là trung điểm của

a) Chứng minh

b) Tính số đo theo m

Bài 176: Cho tam giác vuông tại A . Vẽ đường cao Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.

a) Chứng minh : Tam giác đồng dạng với tam giác

b) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác

c) Tia cắt BC tại I. Chứng minh .

Bài 177: Cho tam giác vuông tại A đường cao Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa vẽ hình vuông Gọi P là giao điểm của và

a) Chứng minh vuông cân

b) Gọi là đỉnh thứ tư của hình bình hành gọi là giao điểm của và Chứng minh thẳng hàng.

c) Tứ giác là hình gì ?

Bài 178: Tính diện tích hình thang , biết chiều cao của hình thang bằng

Bài 179: Cho hình vuông trên tia đối của tia lấy điểm M bất kỳ , vẽ hình vuông (P nằm giữa và C), cắt BM tại H, MP cắt BD tại K.

a) Chứng minh: vuông góc với

b) Tính

c) Chứng minh:

Bài 180: Cho hình vuông có cạnh bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh M là giao điểm của và

a) Chứng minh vuông góc với

b) Chứng minh

c) Tính diện tích theo

Bài 181: Cho tam giác có Đường phân giác và cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác

1. Tính độ dài đoạn thẳng BD theo

2. Chứng minh

3. Tính tỉ số diện tích của tứ giác và

Bài 182: Cho hình bình hành có đường phân giác các góc và cắt nhau tại M. Chứng minh thẳng hàng

Bài 183: Cho tam giác đều. Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh lần lượt tại và E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của và Gọi O là trọng tâm của tam giác

1. Chứng minh

2. Chứng minh vuông góc với

Bài 184: Cho hình chữ nhật có Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi lần lượt là trung điểm của

3. Tính diện tích tứ giác

4. Chứng minh

Bài 185: Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minh vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, I, C thẳng hàng

Bài 186: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí điểm D, E sao cho

a) DE có độ dài nhỏ nhất

b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất

Bài 187: Cho vuông tại A, có Kẻ đường cao AH và trung tuyến AM

a) Chứng minh

b) Tính BC; AH; BH; CH

c) Tính diện tích

Bài 188: Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ đường cao AH . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.

a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC.

b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK.

Bài 189: Cho tam giác ABC có . Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho . Đường phân giác của góc cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng: CF // AE.

Bài 190: Từ đỉnh A của ABC ta hạ các đường vuông góc AM, AN với phân giác trong và ngoài tương ứng của góc B. Hạ các đường vuông góc AP, AQ với phân giác trong và ngoài tương ứng của góc C.

a. Chứng minh rằng 4 điểm MNPQ thẳng hàng

b. Cho QN = 10 cm tính chu vi tam giác ABC

c. Cho điểm O chuyển động trên BC tìm vị trí của O sao cho tích khoảng cách từ O đến AB và AC đạt giá trị lớn nhất.

Bài 191: Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC (M khác B và C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K.

1. Chứng minh KM vuông góc với DB.

2. Chứng minh rằng: KC.KD = KH.KB.

3. Ký hiệu lần lượt là diện tích các tam giác ABM và DCM.

a) Chứng minh tổng không đổi.

b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a.

Bài 192: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.

a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.

b) Chứng minh đồng dạng với

c) Biết diện tích gấp bốn lần diện tích .Chứng minh rằng: AC = 2EF.

d) Chứng minh rằng: .

Bài 193: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.

a) Chứng minh rằng OM = ON.

b) Chứng minh rằng .

c) Biết S_AOB= 2015² (đơn vị diện tích); S_COD= 2016² (đơn vị diện tích). Tính S_ABCD.

_{Bài 194}: _{Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HA. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E.}

1.Chứng minh CD.CB = CA.CE

2. Tính số đo góc BEC.

3. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Tia AM cắt BC tại G.

Chứng minh:

Bài 195: Cho tam giác vuông tại ( ), kẻ đường cao và đường trung tuyến ( ). Gọi lần lượt là hình chiếu của trên .

1. Chứng minh rằng:

a) .

b)

c) vuông góc với .

2. Giả sử diện tích tam giác bằng 2 lần diện tích tứ giác Chứng minh tam giác vuông cân.

Bài 196: Cho hình chữ nhật Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm P sao cho Kẻ vuông góc với AC tại H. Gọi Q là trung điểm của đường thẳng kẻ qua P song song với cắt AC tại N.

4. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

5. Khi M là trung điểm của Chứng minh vuông góc với

6. Đường thẳng cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng

Bài 197: Cho tam giác vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia tại D, cắt tia BA tại E.

4. Chứng minh :

5. Chứng minh rằng khi điểm di chuyển trên cạnh thì tổng có giá trị không đổi

6. Kẻ Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng Chứng minh

Bài 198: Cho tam giác vuông ở A có AM là phân giác . Đường thẳng qua M và vuông góc với BC cắt đường thẳng tại N. Chứng minh rằng

Bài 199:Cho hình vuông có cạnh bằng Trên cạnh lấy điểm Đường thẳng vuông góc với tại M cắt tại N.

1. Cho Tính diện tích tam giác

2. Xác định vị trí của trên cạnh để có độ dài lớn nhất.

Bài 200: Cho hình vuông có AC cắt BD tại O. là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC . Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho

1. Chứng minh : vuông cân

2. Chứng minh:

3. Từ C kẻ . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.

Bài 201: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) . Các đường cao cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng vuông góc với HM, cắt lần lượt tại I và K

1. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EFC

2. Qua kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng cắt AH, AB theo thứ tự tại và D. Chứng minh

3. Chứng minh

Bài 202: Cho tam giác nhọn, các đường cao là trực tâm.

1. Tính tổng

2. Gọi là phân giác của tam giác thứ tự là phân giác của góc và góc Chứng minh rằng:

3. Chứng minh rằng:

Bài 203: 1) Cho hình vuông , gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, dựng hình vuông Qua dựng đường thẳng song song với AB, d cắt AH tại E.Đường thẳng AH cắt DC tại F.

1. Chứng minh rằng

2. Tứ giác là hình gì

3. Chứng minh chu vi tam giác không đổi khi thay đổi trên BC

2) Cho tam giác có Các điểm E và F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho và Tính

Bài 204: Cho tam giác vuông tại A có là tia phân giác của . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên và là giao điểm của và là giao điểm của CM và

1. Chứng minh tứ giác là hình vuông và

2. Gọi là giao điểm của và Chứng minh đồng dạng với và H là trực tâm

3. Gọi giao điểm của và là K, giao điểm của và BC là O, giao điểm của và AD là Chứng minh :

B. HƯỚNG DẪN

Bài 1: Cho hình vuông có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh M là giao điểm của và

1. Chứng minh: Tứ giác là hình vuông

2. Chứng minh và cân

3. Tính diện tích theo

Lời giải

1. Chứng minh là hình thoi

Chứng minh có 1 góc vuông nên là hình vuông

2. mà vuông tại C nên:

vuông tại M hay

Gọi N là giao điểm của và Chứng minh tương tự:

mà G là trung điểm của DC nên là trung điểm

Trong có vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

cân tại A

3. 

Do đó :

Mà .

Vậy

Trong theo định lý Pytago ta có:

Do đó:

Bài 2:Cho hình vuông trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho . Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N

1. Chứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật

2. Biết diện tích tam giác gấp bốn lần diện tích tam giác Chứng minh rằng

3. Chứng minh rằng :

Lời giải

1. Ta có: (cùng phụ với

(ABCD là hình vuông)

mà nên

Lại có: (vì

Suy ra tứ giác là hình bình hành . Mặt khác

Vậy tứ giác là hình chữ nhật

2. Ta có

hay

Lại có: (cùng phụ với

mà

là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD

Do đó: hay

3. Do Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có:

Lại có: Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có:

hay

Bài 3:Cho tam giác nhọn. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều lại dựng hình bình hành Chứng minh rằng là tam giác đều

Lời giải

Ta có: là hình bình hành nên

Xét và có:

Ta có: mà

Từ (1) và (2) suy ra . Vậy đều

Bài 4:Cho tam giác có

1. Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC

2. Gọi CD là đường phân giác của Chứng minh cân

Chứng minh:

Lời giải

1. Dùng định lý Pytago đảo chứng minh được: vuông tại C

Ta có:

2. Dễ dàng tính được:

là tia phân giác của nên suy ra

Do đó:

Vậy cân tại B

3. Xét các vuông:

Ta có:

Từ đó suy ra

Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các điểm M,N thứ tự là trung điểm của BC và AC.Các đường trung trực của BC và AC cắt nhau tại O.Qua A kẻ đường thẳng song song với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt nhau tại H.

4. Nối MN , AHB đồng dạng với tam giác nào?

5. Gọi G là trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ?

6. Chứng minh ba điểm H , O , G thẳng hàng ?

Lời giải

ý a : 2 ®iÓm
Chøng minh ®­îc 1 cÆp gãc b»ng nhau	1.0
Nªu ®­îc cÆp gãc b»ng nhau cßn l¹i	0,5
ChØ ra ®­îc hai tam gi¸c ®ång d¹ng	0,5
ý b : 2 ®iÓm
Tõ hai tam gi¸c ®ång d¹ng ë ý a suy ra ®óng tØ sè cÆp c¹nh AH / OM	0,5
TÝnh ®óng tØ sè cÆp c¹nh AG / GM	0,5
ChØ ra ®­îc cÆp gãc b»ng nhau	0,5
KÕt luËn ®óng 2 tam gi¸c ®ång d¹ng	0,5
ý c : 2 ®iÓm
- Tõ hai tam gi¸c ®ång d¹ng ë c©u b suy ra gãc AGH = gãc MGO (1)		0,5
- MÆt kh¸c gãc MGO + Gãc AGO = 1800(2)		0,5
- Tõ (1) vµ (2) suy ra gãc AGH + gãc AGO = 1800		0,5
- Do đó H, G, O thẳng hàng		0,5

Bài 6:Cho hình vuông có cạnh bằng Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của và BC.

3. Tính diện tích tứ giác

4. Phân giác góc cắt BC tại Chứng minh

Lời giải

1. 

Ta có: vuông tại B có

vuông tại C có

2. Trên tia đối của tia lấy điểm K sao cho

Dễ dàng chứng minh được

Và

Ta có:

Mặt khác (so le trong)

Vậy cân tại K

Từ (1) và (2) suy ra

Bài 7:

Cho tam giác có ba góc nhọn, là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng:

4. 

5. 

6. 

B.Lời giải

Bài 1: .

Lời giải

1. Chứng minh vì (cùng phụ góc A)

2. Từ và (đối đỉnh)

3. Vì H là giao điểm của hai đường cao và nên H là trực tâm của tam giác

là đường cao thứ ba. Gọi F là giao điểm của với

Ta có:

Cộng theo vế

Bài 8:

Cho tam giác Từ điểm M thuộc cạnh kẻ các đường thẳng song song với các cạnh và cắt tại E và tại F. Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình bình hành có diện tích lớn nhất

Lời giải

Ta có tứ giác là hình bình hành . Kẻ cắt MF tại I

Gọi là diện tích hình bình hành và là diện tích tam giác

và

Ta có:

Đặt

Vì nên ta có:

Thay vào (1) ta có:

Vì là hai số không âm nên ta có:

Dấu xảy ra khi tức là khi là trung điểm cạnh AC thì diện tích hình bình hành đạt giá trị lớn nhất là không đổi

Bài 9:

Cho tam giác Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia sao cho Gọi O là giao điểm của và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng

Lời giải

Vẽ hình bình hành ta có:

Để chứng minh ta cần chứng minh

Thật vậy, xét tam giác có cân tại C

Vì góc là góc ngoài của tam giác

mà (ta vẽ) nên BO là tia phân giác của Hoàn toàn tương tự ta có là tia phân giác của . Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy tại O

là tia phân giác của

Mà là hai góc đối của hình bình hành BMCA với tia phân giác của góc A theo giả thiết tia phân giác của góc A còn song song với OK

thẳng hàng

Ta lại có: mà (2 góc đồng vị)

cân tại C

Kết hợp

Bài 10: Cho tam giác vuông cân tại A. Trên cạnh lấy điểm bất kỳ, sao cho khác và Trên cạnh lấy điểm sao cho

1. Gọi là trung điểm của cạnh Chứng minh vuông cân

2. Đường thẳng qua và song song với cắt tia BM tại N. Chứng minh :

3. Gọi là giao điểm của và Chứng minh rằng tích không phụ thuộc vào vị trí điểm trên cạnh AC.

Lời giải

a. Vì tam giác ABC vuông cân tại A và O là trung điểm của cạnh BC nên AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Suy ra và

Xét và có:

Vì AO là đường trung tuyến của tam giác cân nên AO cũng là đường cao

Từ (1) và (2) suy ra :

Vì nên vuông cân tại O

b. Vì nên theo định lý Ta – let ta có:

Vì tam giác cân tại A nên mà nên

Do đó, ở (3) ta thay BE bởi , thay EA bởi MC ta được:

(Theo định lý Ta let đảo)

Mà

c. Từ (cặp góc đồng vị)

Mà (vì vuông cân tại O) suy ra

Hay Kết hợp với (đối đỉnh) (1)

kết hợp (hai góc đối đỉnh)

Từ (1) và (2) suy ra suy ra

Xét tam giác AHC và tam giác CAN sẽ đồng dạng theo trường hợp góc góc

không đổi

Bài 11: Lời giải

1. Trước hết chứng minh

Tương tự ta có:

Nên

2. Trước hết chứng minh

Và

3. Chứng minh

Và

Mà nên là phân giác của góc

Tương tự : DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE

Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác

Nên cách đều ba cạnh của tam giác (đpcm)

4. Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đoạn và , ta có

Mặt khác ta cũng có cân tại O nên

Từ và ta có: là phân giác của góc

Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của nên O là điểm cố định

Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là _.

Bài 12: Cho O là trung điểm của đoạn Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng vẽ tia cùng vuông góc với AB. Trên tia lấy điểm C (khác A), qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tia By tại D.

1. Chứng minh

2. Kẻ vuông góc CD tại M. Chứng minh

3. Từ M kẻ vuông góc AB tại I. Chứng minh đi qua trung điểm MH.

Lời giải

1. Chứng minh

2. Theo câu a ta có

Mà

Chứng minh

Chứng minh

3. Ta có: là trung trực của

Mặt khác : vuông tại M

(Vì cùng vuông góc với hay

Chứng minh được C là trung điểm của AI

Do MH theo hệ quả Ta let ta có:

Mà đi qua trung điểm của MH (đpcm)

Bài 13: Cho tam giác có ba góc nhọn. Các đường cao cắt nhau tại H.

5. Chứng minh rằng:

6. Chứng minh rằng:

7. Chứng minh rằng: H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF

8. Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng , Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy tại một điểm

Lời giải

1. Chỉ ra được

2. Ta có:

Tương tự

Do đó:

3. Chứng minh được

Tương tự: Do đó:

Mà nên

là phân giác ngoài của góc EFD

Do đó H là giao các đường phân giác của tam giác DEF

4. Do vuông tại E, M là trung điểm BC nên (trung tuyến ứng với cạnh huyền), Tương tự:

Do đó: cân tại M, mà Q là trung điểm nên

là đường trung trực của hay là đường trung trực của tam giác

Hoàn toàn tương tự, chứng minh được và cũng là đường trung trực của tam giác nên ba đường thẳng đồng quy tại một điểm.

Bài 14: Cho tam giác cân tại có Đường phân giác của tam giác có độ dài bằng cạnh bên của tam giác Chứng minh rằng:

.

Lời giải

Vẽ BH là đường cao của tam giác

Tam giác cân tại B có BH là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

Tam giác có BD là đường phân giác, ta có:

Tam giác vuông tại H, theo định lý Pytago ta có:

Tam giác vuông tại H, theo định lý Pytago, ta có:

Từ (1) và (2) ta có:

Vậy bài toán được chứng minh

Bài 15: Cho hình thang (đáy lớn Gọi O là giao điểm của và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở và E. Chứng minh:

3. 

4. Gọi và theo thứ tự là diện tích của tam giác và . Chứng minh

Lời giải

1. Do và

Mặt khác ta lại có: nên

2. và là hình bình hành

Vì nên

3. Ta có:

Bài 16: Cho tam giác (cân tại A) vẽ đường cao AH, đường cao BK

1. Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng ? Giải thích tại sao ?

2. Cho Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

3. Gọi I là giao điểm của và BK, hãy tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác là tam giác đều ?

Lời giải

1. Các cặp tam giác vuông đồng dạng là :

(Vì có

(vì có

(vì cùng đồng dạng với

2. Từ

(H là chân đường cao, trung tuyến)

Ta lại có: (Định lý Pytago)

3. Chỉ ra được cân tại I

cân tại I trở thành tam giác đều khi

Mà

Vậy để là tam giác đều thì phải cân tại A và

Bài 17: Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF.

1. Chứng minh CE = CF;

2. Chứng minh B, D, M thẳng hàng;

3. Chứng minh EAC đồng dạng với MBC;

4. Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD.

Lời giải

a) Chứng minh được

CDE = CBF (g.c.g)

 CE = CF.

b) Chỉ ra  M thuộc đường trung trực BD của đoạn AC. Vậy B, D, M thẳng hàng

c) Chỉ ra ACE = BCM  EAC ~ MBC (g.g).

Chỉ ra CAE = CBM

d) Đặt BN = x  AN = a – x.

*)Tính S_AEFC = S_ACE + S_ECF =

- Tính AE: Lý luận để có

- Tính CE²: Lý luận để có CE² = CD² + DE² = a² + (a + AE)²



Do đó S_AEFC =

*) Tính S_ABCD = a².

Lý luận với S_AEFC = 3S_ABCD để có

6x² – ax – a² = 0  (2x – a)(3x + a) = 0  (vì a, x > 0).

KL: N là trung điểm của AB thì S_AEFC = 3S_ABCD.

Bài 18: Hình vuông có E và F thuộc tia đối và DC sao cho Từ kẻ đường song song với AF và từ F kẻ đường song song với AE. Hai đường này giao tại I. Tứ giác là hình gì ?

Lời giải

Ta có song song với FI (gt); AF song song với EI (gt)

là hình bình hành (các cặp cạnh đối song song ) (1)

Chứng minh

Mà

Từ (1) và (2) suy ra là hình chữ nhật

Ta lại có : (vì hai tam giác bằng nhau theo cmt) nên AFIE là hình vuông.

Bài 19:

19.1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh:

a) Tứ giác EGFK là hình thoi.

b) AF² = FK.FC

c) Chu vi tam giác EKC không đổi khi E thay đổi trên BC.

19.2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b và đường phân giác của góc A là AD = d. Chứng minh rằng: .

Lời giải

19.1a) Xét và có: = (=90⁰) AB = AD (ABCD là hình vuông)

= (cùng phụ ) Do đó = (g-c-g) AE = AF

vuông cân tại A. Mà AI là trung tuyến của ... AI cũng là đường cao của AI EF hay GK EF

Xét và có:

= (đối đỉnh)

IE = IF (gt)

= (so le trong)

Do đó = (g-c-g)

IG = IK

Tứ giác EGFK có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (IE=IF(gt); IG=IK(cmt) đồng thời vuông góc với nhau (GK EF) nên là hình thoi.

b) Xét và có: = (=45⁰)

: góc chung

Do đó (g-g)

AF² = KF.CF.

c) Đặt a là độ dài cạnh hình vuông ABCD a không đổi

= (theo a) BE = DF

Ta có: EGFK là hình thoi (theo a) nên KE = KF = KD + DF = KD + BE

Chu vi là: C_EKC = KC + EK + EC = KC + KD + BE + CE = CD + BE = 2a không đổi.

19.2:

Kẻ

D ễ thấy AEDF là hình chữ nhật

Mà AD là tia phân giác

Nên AEDF là hình vuông

Biến đổi qua Pi-ta-go ta được:

DE = DF =

Vì AB // DF (cùng vuông góc với AC)

(tính chất đồng dạng)

(1)

Tương tự chứng minh (2)

Cộng hai vế tương ứng của (1) và (2) ta được:

(đpcm)

Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác AHB và AHC. MN cắt AB, AH, AC lần lượt tại I, E, K

4. Chứng minh : BM vuông góc với AN

5. Chứng minh :

6. Biết diện tích của tam giác là S. Tính diện tích lớn nhất của tam giác theo

Lời giải

1. Gọi F là giao điểm của BM và AN

(cùng phụ với

(vì

vuông tại F

2. Gọi P là giao điểm của BM và CN là phân giác nên AP là phân giác

Chứng minh tương tự câu a ta có:

P là trực tâm là đường cao

vuông cân tại A

Áp dụng tính chất đường phân giác vào và ta có:

3. Gọi D là trung điểm BC;

Vì

Vậy diện tích lớn nhất của là

Bài 21: Cho tam giác ABC cân tại A, có Trên AB lấy điểm D sao cho Tính số đo

Lời giải

Ở miền trong tam giác ABC ta dựng tam giác đều khi đó:

và suy ra

Bài 22: Cho tam giác ABC cân tại A, có không đổi. Gọi I là trung điểm của Lấy và sao cho . Vẽ

1. Chứng minh rằng tích không đổi.

2. Chứng minh rằng là tia phân giác của góc , QI là tia phân giác của

3. Gọi chu vi tam giác là chứng minh rằng . Tính theo khi

Lời giải

1. Theo tính chất góc ngoài tam giác thì

Mặt khác ,

Suy ra

không đổi

2. Từ

Do đó là tia phân giác của

Chứng minh tương tự , cũng có là tia phân giác

3. Kẻ Vì là các tia phân giác và cân tại A nên suy ra

Có

Nếu thì và

Suy ra (đơn vị dài)

Bài 23:

1. Cho tam giác , gọi M, N lần lượt là trung diểm của Gọi O, G, H lần lượt là giao điểm ba đường trung trực, ba đường cao, ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Tính tỉ số

2. Cho hình thang có hai đáy Hãy dựng điểm M trên đường thẳng CD sao cho đường thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích bằng nhau.

Lời giải

Ta có: (vì cùng vuông góc với BC)

(vì cùng vuông góc với AC)

(đường trung bình của tam giác)

Xét và

Có: (góc có cạnh tương ứng song song)

(góc có cạnh tương ứng song song)

Xét và có:

(so le trong) (1)

(tính chất trọng tâm ) (2)

Từ

Mặt khác : thẳng hàng (5)

Từ (4),(5) thẳng hàng và

Gọi h là đường cao của hình thang ABCD

Giả sử đã dựng được điểm M thuộc CD sao cho đường thẳng AM cắt hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Gọi N là giao điểm của AM và BC

Đặt

Ta có:

Kẻ đường cao NH của tam giác ANB và đặt ta có:

Thay vào (1) :

Áp dụng định lý Talet suy ra cách dựng:

Chia đoạn BC làm 4 phần bằng nhau, lấy điểm N trên BC sao cho

Đường thẳng AN cắt đường thẳng CD tại điểm M cần dựng

Bài 24: Cho hình thoi ABCD có góc Hai đường chéo cắt nhau tại O, E thuộc tia BC sao cho bằng ba phần tư , AE cắt CD tại F. Trên đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho song song với FH

1. Chứng minh rằng :

2. Tính số đo góc

Lời giải

1. Chứng minh

Theo định lý Ta let tính được:

2. Theo định lý Pytago tính được:

_{Ta có} Nên

3. Tính số đo góc

Bài 25: Cho tam giác , ba điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho Chứng minh rằng hai tam giác và có cùng

Lời giải

Qua N kẻ , theo định lý Talet ta có:

Gọi là trung điểm của và MN. Suy ra là đường trung bình của tam giác , vậy

Gọi G là giao điểm của và PK , theo Ta let ta có:

_{Suy ra} là trọng tâm của tam giác và G là trọng tâm của tam giác

Bài 26: Tứ giác có và Chứng minh AC là tia phân giác của góc A.

Lời giải

Trên tia đối của tia DA lấy điểm sao cho

Ta có: và

Xét và có:

Xét có nên là tam giác cân

Từ (1) và (2) suy ra là tia phân giác của góc

Bài 27: Một tam giác có đường cao và đường trung tuyến chia góc ở đỉnh thành ba phần bằng nhau. Tính các góc của tam giác đó.

Lời giải

Kẻ Khi đó (cạnh huyền – góc nhọn)

Xét có AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên nó cân tại A

cũng là đường trung tuyến

Từ (1) và (2) là nửa tam giác đều

Do đó:

Vì nên

Suy ra

Vậy vuông tại

Bài 28: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của Gọi P là giao điểm của với DM

1. Chứng minh : tam giác là tam giác vuông.

2. Tính diện tích của tam giác

3. Chứng minh tam giác là tam giác cân.

Lời giải

1. Chứng minh

Mà vuông tại A)

Do đó: Hay vuông tại A

2. Tính được:

3. Gọi là trung điểm của AD. Nối với I; CI cắt DM tại H

Chứng minh tứ giác là hình bình hành

mà nên

Hay là đường cao trong tam giác

Vận dụng định lý về đường trung bình trong chứng minh được H là trung điểm của là trung tuyến trong

Từ và suy ra cân tại C.

Bài 29: Cho tam giác đường trung tuyến Qua điểm D thuộc cạnh vẽ đường thẳng song song với cắt đường thẳng và lần lượt tại và F.

1. Chứng minh

2. Đường thẳng qua song song với cắt tại N. Chứng minh N là trung điểm của

3. Ký hiệu là diện tích của hình Chứng minh

Lời giải

1. Lập luận được: (1)

(2)

Từ (1) và (2)

2. là hình bình hành

Ta có:

c)

Do đó

Do với

Bài 30: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm hệ thức liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ .

Lời giải

H D: C/m:

Bài 31: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác. Từ các đỉnh A, B, C và trọng tâm G ta kẻ các đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’.

Lời giải

HD: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và GC.

Kẻ và .

Chỉ ra: ; ;

Từ (1), (2) và (3) biến đổi suy ra đpcm.

Bài 32: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó.

a) Chứng minh: ;

b) Chứng minh: ;

Lời giải

a) Chứng minh:

Ta có:

Suy ra

b)C/ m BĐT phụ :

Dấu «= »

* Chú ý: Dấu «= » đều.

Bài 33: Cho tam giác ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC. Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D và E.

Lời giải

HD: Để làm xuất hiện một tỉ số bằng ta vẽ qua D đường thẳng DG // AC. Theo hệ quả của đl Talet, ta có:

Mà BD = EC (gt)

Do đó,

Mặt khác,

Từ (1) và (2) suy ra ( không đổi) (đpcm)

Bài 34: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ .

a) Chứng minh DE = CF;

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.

c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất?

Lời giải

a) Chứng minh DE = CF;

HD: C/m được . Suy ra

Khi đó, . Suy ra .

Ta lại có:

Suy ra tại J.

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.

Tương tự, c/m được

Ta có ( BD là trục đối xứng của hình vuông ) và ( AEMF là hcn )

Do đó, . Suy ra .

Suy ra

Ta lại có : ( vuông tại J )

Vì thế

Gọi H là giao điểm của CM và EF thì

Xét có ED, FB, CM là ba đường cao nên chúng đồng quy.

c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất?

C/m BĐT phụ: . Dấu “ =”

Áp dụng BĐT trên, ta có: ( không đổi )

Dấu “ =” là trung điểm của BD.

Suy ra GTLN ( ) M là trung điểm của BD.

Bài 35: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ . Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm

của CD, N là trung điểm của BH.

a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành;

b) Tính góc BMK.

L ời giải

a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành;

HD: Ta c/m: và

b) Tính góc BMK.

+ C/m N là trực tâm của tam giác BMC (?)

+ Suy ra mà

KL: hay

Bài 36: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm E và F. Chứng minh rằng .Với vị trí nào của hai điểm E và F thì đạt giá trị lớn nhất?

Lời giải

Chứng minh rằng .

Với vị trí nào của hai điểm E và F thì đạt giá trị lớn nhất?

HD: ( Vẽ điểm phụ )

Gọi I là điểm đối xứng của E qua D.

C/m được: . Suy ra

Ta lại có:

Suy ra

Ta lại có :

Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được :

Do đó, (đpcm)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi EF trùng với AC hoặc AB.

Khi đó,

Bài 37: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ là AB, đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC ở F.

a) Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân;

b) Tính độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm.

Lời giải

a) Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân;

Vì AE // BC (gt) nên theo đl Ta-let ta có:

Vì BF // AD (gt) nên theo đl Ta-let ta có:

Từ (1) và (2) suy ra hay

Theo đl Ta – let đảo suy ra EF // DC. Do đó, DEFC là hình thang (3)

Ta c/m được

Suy ra mà nên

Từ (3) và (4) suy ra EFCD là hình thang cân.

b) Tính độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm.

Vì AB // CD và EF // CD nên AB // EF. Theo đl Ta-let ta có: mà (cmt)

Suy ra .

Vì AB // CD nên theo đl Ta-let ta có

Từ (5) và (6) suy ra

Suy ra

Bài 38: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E.

a) Chứng minh DE // BC.

b ) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE.

Lời giải

a) Chứng minh DE // BC.

Theo t/c tia phân giác của tam giác, ta có: và

Mà

Từ (1), (2) và (3) suy ra . Theo đl Ta-let đảo suy ra

b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE.

Vì (cmt) nên và . Do đó, và

Từ (3), (4) và (5) suy ra ID = IE (đpcm)

Bài 39: Cho tam giác vuông cân ABC, .Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ , BD cắt CA ở E. Chứng minh rằng:

a) EB.ED = EA.EC;

b)

c )

Lời giải

a) EB.ED = EA.EC;

C/m: đồng dạng (g.g)

Suy ra (đpcm)

b)

Chỉ ra M là trực tâm của tam giác EBC nên tại H.

C/m: đồng dạng (g.g) nên

Tương tự, C/m: đồng dạng (g.g) nên

Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được:

c)

Theo câu a, ta có:

Từ đó c/m được đồng dạng (c.g.c)

Suy ra ( Vì tam giác ABC vuông cân tại A).

Bài 40: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F.Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh rằng:

a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi;

b) ;

c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi.

Lời giải

a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi;

C/m:

Suy ra .

Xét tam giác cân tại A có AI là đường trung tuyến nên cũng là đường cao.

Do đó, tại I (1)

Ta lại c/m được . Do đó, mà GE // FK (gt)

Suy ra EKFG là hình bình hành (2)

Từ (1) và (2) suy ra EKFG là hình thoi.

b)

Ta có: và chung. Do đó, đồng dạng (g.g)

Suy ra .

c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi.

Vì EKFG là hình thoi nên

Chu vi của tam giác EKC là :

= ( không đổi )

KL : ....

Bài 41: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác của các góc ACE và DBE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng:

Lời giải

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AB và CK, của CD và BK.

Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác, ta lần lượt có :

Từ (1) và (2) suy ra

( Vì theo gt )

Do đó, . Vậy,

Bài 42: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Cmr:

a) ; b)

c)

Lời giải

:

a) .

Áp dụng đl Ta-let vào tam giác KND, KNC với AB // CD, ta có:

Suy ra

b)

Áp dụng đl Ta-let vào tam giác ONC, OND với AB // CD, ta có:

Suy ra

c)

Nhân từng vế (1) với (2) ta được:

Suy ra hay . Từ đó suy ra .

Bài 43: Cho hình thang ABCD (AB // CD). AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ một đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự ở E và F. Tính độ dài EF, biết rằng DE = 10.

Lời giải

HD: Kẻ AK // BC, cắt EF tại I.

Lần lượt tính được EI = 30, EF = 58.

Bài 44: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K. Đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng DE =BK.

Lời giải

Chứng minh rằng DE =BK.

Kẻ MG // IE, ta có: và ( vì )

Từ (1) và (2) suy ra mà suy ra (đpcm)

Bài 45: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của CD,CB. Gọi O là giao điểm của AE và DF ; OA = 4OE; . Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.

Lời giải

Kẻ EI // DA, lấy K là trung điểm của CF.

Đặt OD = 2a, OF = 3a. Tính được OI = 0,5a,

IF = 2,5a, EK = 2,5a. Từ đó c/m được EIKF là hình

bình hành nên FK // IE // AD. Suy ra BC // AD.

Ta lại c/m BC = AD ( = 4EI )

Suy ra ABCD là hình bình hành (đpcm)

Bài 46: Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt các đường thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K. Cmr: .

Lời giải

Gọi N, M lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Vẽ AE, BF // DC. Ta có : (đpcm)

Bài 47: Qua M thuộc cạnh BC của tam giác ABC vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia. Chúng cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở H, K. Cmr:

a)Tổng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC.

b)Xét trường hợp tương tự khi M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng BC.

Lời giải

a) Ta có :

không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC.

b) + Nếu M thuộc tia đối của tia CB thì

+ Nếu M thuộc tia đối của tia BC thì

( Chú ý : Vẽ hình theo từng trường hợp rồi giải )

Bài 48: Cho tam giác ABC đều cạnh a, M là một điểm bất kỳ ở trong tam giác ABC.

Chứng minh rằng:

Lời giải

K ẻ

Ta có : (1)

Ta lại có :

(2)

Từ (1) và (2) suy ra (đpcm)

Bài 49: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN = BM. Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F. Cmr:

a) Tứ giác ANFM là hình vuông;

b) Điểm F nằm trên tia phân giác của và ;

c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm của AF )

Lời giải

a)Tứ giác ANFM là hình vuông

Xét và có AD = AB (gt),

, BM = DN (gt)

Suy ra = (c.g.c)

Khi đó, và .

Ta có: .

Tứ giác ANFM có MF // AN, AM // NF và

nên tứ giác ANFM là hình chữ nhật.

Mặt khác, AN = AM

Suy ra ANFM là hình vuông.

b) Điểm F nằm trên tia phân giác của và

Kẻ và .

Suy ra tứ giác CHFK là hình chữ nhật, do đó

Suy ra ( cặp góc có các cạnh tương ứng vuông góc)

Xét và có : (cmt), NF = MF ( ?)

Do đó, = (ch-gn)

Suy ra FH = FK

Vậy, CF là tia phân giác của , nghĩa là F thuộc tia phân giác của

Do tứ giác ABCD là hình vuông nên CA là phân giác của .

Suy ra ( hai tia phân giác của hai góc kề bù ).

c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm của AF )

Hình vuông ANFM có hai đường chéo AF và MN cắt nhau tại O nên O là trung điểm của AF cũng là trung điểm của MN.

Xét có

Do đó O nằm trên đường trung trực của AC, suy ra O thuộc BD là đường trung trực của AC, nghĩa là ba điểm O, B, D thẳng hàng.

Ta có: ( t/c đường chéo của hình vuông )

(cmt )

Khi đó, OB // CF

Vậy tứ giác BOFC là hình thang.

Bài 50: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = 2DC. Cmr: BM vuông góc với AD.

Lời giải

Kẻ CK // AD ( hình vẽ). Ta có : .

Ta lại có : (gt)

Suy ra . Từ đó c/m được

nên

Suy ra . Vậy, .

Bài 51: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA.

Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

a) Chứng minh rằng : AE = AB ;

b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính .

Lời giải

a) Chứng minh rằng : AE = AB 

Kẻ , suy ra tứ giác HDEF là hình chữ nhật

mà (gt) .

Xét và có , (cmt)

( cùng phụ với )

Do đó, = (g.c.g)

Suy ra

b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính .

Do tam giác ABE vuông cân tại A nên .

Lại có tam giác BDE vuông tại D, có DM là đường trung tuyến nên

Suy ra .

Xét và có cạnh chung, (cmt), (gt).

Do đó, = (c.c.c)

Suy ra .

Bài 52: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

a) Chứng minh: ;

b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân.

Lời giải

a) Chứng minh: :

C/m được đồng dạng (g.g)

S uy ra .

C/m được đồng dạng (g.g)

Suy ra .

C/m được đồng dạng (g.g)

Suy ra .

Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao, ta có:

Từ các điều kiện trên, ta có:

(đpcm)

b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân.

Gọi M là trung điểm của BC suy ra .

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( vì ) nên mà (gt)

Do đó, .

Ta lại c/m được đồng dạng (g.g)

Từ (1) và (2) suy ra vuông cân tại A.

Vậy, nếu thì tam giác ABC vuông cân tại A.

Bài 53: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, trên cạnh BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng: AM = AN.

Lời giải

Gọi BD và CI là hai đường cao của tam giác ABC

+ C/m: đồng dạng ,

suy ra:

+ C/m: đồng dạng ,

suy ra:

Mặt khác, đồng dạng (g.g)

Suy ra hay

Từ (1), (2) và (3) suy ra (đpcm)

Bài 54: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD và ACF lần lượt vuông cân tại B và C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF.

Cmr: a) AH =AK ; b)

Lời giải

a) Cmr: AH =AK

Ta có: BD // CA mà nên

Cũng từ CE // AB và CE = AB, tương tự như trên, ta tính được

Từ (1) và (2) suy ra

b)

Ta có: và ( Vì )

Bài 55: Cho tam giác ABC, một đường thẳng cắt các cạnh BC, AC theo thứ tự ở D và E. và cắt cạnh BA ở F. Vẽ hình bình hành BDEH. Đường thẳng qua F và song song với BC cắt AH ở I. Cmr: FI = DC

Lời giải

G ọi K là giao điểm của AC và FI, M là giao điểm của AB và EH.

Ta có: ; ;

Từ (1), (2) và (3) suy ra nên (đpcm)

Bài 56: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM. Qua điểm I thuộc AD vẽ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC. Gọi N là giao điểm của HK và AM. Cmr : NI vuông góc với BC.

Lời giải

Q ua N kẻ EF // BC, c/m được NE = NF (?)(1)

Kẻ EG // HK, c/m được KG = KF (?) (2)

C/m AH = AK, AE = AG ( Vì (ch-gn),

cân có EG//HG

nên cũng cân) do đó EH = GK (3)

Từ (2) và (3) suy ra EH = KF, (c.g.c) (4)

Từ (1) và (4) suy ra cân tại I, có IN là đường trung tuyến

nên

Do đó,

Bài 57: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Cmr: HM vuông góc với PQ.

Lời giải

Qua C kẻ đường thẳng song song với PQ, cắt AB ở N, cắt AH ở K.

Do HP = HQ nên KN = KC (?). Từ đó, KM là đường trung bình của

Suy ra KM // NB và .

Khi đó, M là trực tâm của nên

Suy ra

B ài 58: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC. Cmr: MN là tia phân giác của góc KNE .

Lời giải

Gọi I là giao điểm của MN và AC, H là giao điểm của

KN và DC.

C/m MI = NI (?) rồi suy ra EC = CH (?)

Lí luận chỉ ra cân tại N ( ?) rồi suy ra NC là tia

phân giác của mà , và kề bù

Suy ra NM là tia phân giác của

Bài 59: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC tại M và cắt cạnh đáy AB tại K. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD tại I và cắt cạnh AB tại F. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC tại P.

Cmr: a) . b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng. c)

Lời giải

a) .

T a có: ;

Tứ giác ADCF là hình bình hành nên AF = DC

Tứ giác BCDK là hình bình hành nên FB = AK

Từ các điều kiện ở trên ta có:

b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng.

Ta có: ( Vì AK = FB ) ;

hay

Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơ-clit suy ra ba điểm M, I, P thẳng hàng.

c)

C/m đồng dạng ( ?)

Từ (3) và (4) suy ra (đpcm)

Bài 60: Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD ở E và cắt các đường thẳng BC, DC theo thứ tự ở K, G. CMR:

a) ;

b)

c) Khi đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi.

Lời giải

a)

C /m ( ?)

b) Ta có:

Ta có: nên

Vậy, (đpcm)

c) Khi đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi.

Ta có: và

Từ (1) và (2) ta được (không đổi)

Vậy, ...

Bài 61: Cho tam giác ABC đều, các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AC, AB sao cho

A D = BE. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Vẽ MH // CD, MK //BE (H AB; K AC). Cmr: Khi M chuyển động trên cạnh BC thì tổng MH + MK có giá trị không đổi.

Lời giải

Ta có :

C/m ( ?)

Khi đó, ( không đổi) ( ?)

Bài 62: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD cắt đường cao AH tại I

a) Chứng minh: tam giác ADI cân.

b) Chứng minh:

c) Từ D kẻ DK vuông góc BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? Chứng minh điều ấy.

Lời giải

a ) Chứng minh: tam giác ADI cân….

Ta có: ( hai góc đối đỉnh )

( tam giác HBI vuông tại H )

Suy ra

Mặt khác, ( tam giác ABD vuông tại A )

( BD là phân giác )

Suy ra , do đó tam giác AID cân tại A.

b) Chứng minh:

Xét và có ( cùng phụ với )

Do đó, đồng dạng (1)

Mặt khác, có BD là đường phân giác nên (2)

Từ (1) và (2) suy ra

c) Từ D kẻ DK vuông góc BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? Chứng minh điều ấy.

Vì BD là tia phân giác của nên DA = DK (?)

Mà IA = DA ( câu a) nên IA = DK.

Tứ giác ADKI có IA = DK và IA // DK ( cùng vuông góc với BC )

Suy ra ADKI là hình bình hành

Ta lại có: IA = DA ( câu a)

Suy ra ADKI là hình thoi.

Bài 63: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo cùng một tỉ số. Cmr: AE = DF; AE DF.

L ời giải

+ Cmr: AE = DF

Vẽ . Ta có : , mà nên .

Từ giả thiết mà nên .

Suy ra được nên .

Ta c/m được (c.g.c) .

+ Cmr: AE DF

(HS tự giải )

Bài 64: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S, . Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm của AB,CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Tính diện tích tứ giác EMFN theo S.

Lời giải

Đặt ( ĐK: )

Do nên (1)

T ừ đó, (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Tương tự, .

Suy ra

Bài 65: Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BC. Điểm N trên cạnh CD sao cho CN =2 ND. Gọi giao điểm của AM, AN với BD là P, Q. Cmr:

Lời giải

Cmr:

T rước hết ta có:

Do đó, ta cần tính:

Ta có:

Và

Do đó, .

Bài 66: Cho góc xOy và điểm M cố định thuộc miền trong của góc. Một đường thẳng quay quanh M cắt tia Ox, Oy theo thứ tự ở A,B. Gọi theo thứ tự là diện tích của tam giác MOA, MOB.

C mr: không đổi.

Lời giải

Vẽ , ta có :

( không đổi )

( Vì M cố định nên K cố định, do đó không đổi )

Bài 67: Cho tam giác ABC. Các điểm D,E,F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỉ số 1:2. Các điểm I, K theo thứ tự chia trong các cạnh ED, FE theo tỉ số 1:2. Chứng minh: IK //BC.

Lời giải

Chứng minh: IK //BC.

Gọi M là trung điểm của AF, N là giao điểm của DM và EF

T a có: nên DM // BC ( đl Ta-let đảo ) (1)

MN // EC mà MF = FC nên EF = FN

Ta có : mà

Do đó, suy ra IK // DN ( đl Ta-let đảo ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra IK // BC (đpcm ).

Bài 68: Cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC.

a) Chứng minh IK// AB.

b ) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E, F. Cmr: EI =IK = KF.

Lời giải

a) Chứng minh IK// AB.

Ta có: ( đl Ta-let đảo )

b) Cmr: EI =IK = KF.

Ta có : mà DM = MC nên EI = IK.

C/m tương tự, IK = KF.

Vậy, EI =IK = KF ( đpcm)

Bài 69: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm K sao cho

AH = HK. Vẽ .

a) Gọi M là trung điểm của BE. Tính .

b) Gọi G là giao điểm của AM vói BC. Chứng minh: .

Lời giải

a) Tính .

T a có:

C/m được

b) Chứng minh:

Kẻ EI // BC , C/m được IHKE là hình chữ nhật.

Tam giác ABE vuông cân tại A có BM = ME nên AG là tia phân giác của

Do đó,

Vì KE // AH nên

Hay ( Vì AH = HK, AB = AE )

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Bài 70: Cho tam giác ABC, , đường cao AH, đường trung tuyến BM cắt AH tại I. Giả sử BH = AC. Chứng minh: CI là tia phân giac của .

Lời giải

Chứng minh: CI là tia phân giác của .

Kẻ tại K.

V ì IH // MK nên ( Vì BH = AC )

C/m được đồng dạng (g.g )

Do đó,

Từ (1) và (2) suy ra

Hay CI là tia phân giac của .

Bài 71: a) Cho tam giác ABC có Tính độ dài đường phân giác AD.

b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn . Tính .

Lời giải

a ) Tính độ dài đường phân giác AD.

Kẻ DE // AB, c/m đều

Đặt

Ta có :

Giải ra . Vậy,

b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn . Tính .

Kẻ DE //AB. Đặt . Ta có :

Theo đề bài, ta có : (2)

Từ (1) và (2) suy ra . Khi đó, đều suy ra .

Bài 72: Cho tam giác ABC có , các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài BC.

Lời giải

Gọi G là giao điểm của BD và CE. Đặt GD = x, GE = y thì GB = 2x, GC = 2y.

Áp dụng định lý Pytago cho các tam giác vuông BGE, CGD ta có :

Và

S uy ra

Áp dụng định lý Pytago cho các tam giác vuông BGC, ta có :

Từ (1) và (2) suy ra (cm)

Bài 73: Cho hình vuông ABCD. Trên tia BC lấy điểm M nằm ngoài đoạn BC và trên tia CD lấy điểm N nằm ngoài đoạn CD sao cho BM = DN. Đường vuông góc với MA tại M và đường vuông góc với NA tại N cắt nhau ở F. Chứng minh:

a) AMFN là hình vuông;

b) CF vuông góc với CA.

Lời giải

a) AMFN là hình vuông;

Theo đl Pi-ta-go, trong tam giác vuông CMN ta có :

M à (gt)

Do đó,

Theo đl Pi-ta-go đảo, suy ra tam giác AMN vuông tại A.

Tứ giác AMFN có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Ta c/m: (c.g.c) suy ra .

Khi đó, AMFN là hình vuông.

b) CF vuông góc với CA.

Kẻ kéo dài.

C/m : ( ch-gn)

Do đó, F nằm trên tia phân giác của

Khi đó, CF và CA là hai tia phân giác của hai góc kề bù.

Vậy, ( đpcm ).

Bài 74: Cho hình vuông ABCD có giao điểm các đường chéo là O. Kẻ đường thẳng d bất kỳ qua O. Chứng minh rằng: Tổng các bình phương các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng d là một số không đổi.

Lời giải

Gọi chân các đường vuông góc kẻ từ các đỉnh

A, B, C, D của hình vuông đến đường thẳng d qua O

lần lượt là M, N, P, Q. Vì do đối xứng ta có :

C/m : , suy ra .

Do đó,

Từ (1) và (2) suy ra ( không đổi )

Bài 75: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm O ở trong tam giác vẽ .

Tìm vị trí của điểm O để tổng đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

a ) Chứng minh BĐT:

Ta có:

( đúng )

Vậy, . Dấu “=” .

b) Tìm vị trí của điểm O để tổng đạt giá trị nhỏ nhất.

Kẻ tại H, tại I.

Ta có:

Mặt khác,

Suy ra ( không đổi )

Dấu “=” O là trung điểm của AH.

Suy ra O là trung điểm của AH.

* Chú ý: BĐT .Dấu “=”

Bài 76: Cho hình thang vuông ABCD có , . Đường trung trực của BC cắt đường thẳng AD ở N. Gọi M là trung điểm của BC. Tính MN.

Lời giải

Kẻ .

C/m: MH là đường trung bình của tứ giác .

D o đó, .

Ta có: ,

.

C/m: đồng dạng (g.g)

Do đó,

B ài 77: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng AD vuông góc với BC tại D. Đường phân giác BE cắt AD tại F. Chứng minh:

Lời giải

Ta có: BF là đường phân giác của , do đó

BE là đường phân giác của , do đó

C/m: đồng dạng (g.g), do đó

Từ (1), (2) và (3) suy ra (đpcm)

Bài 78: Cho tam giác ABC. Kẻ phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC ở I và D ( lần lượt theo thứ tự A, I, C, D ). Từ I và D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở M và N.

a) Tính AB và MN, biết MI = 12cm, BC = 20cm.

b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI tại E và cắt BD tại F. Chứng minh: và

Lời giải

a) Tính AB và MN, biết MI = 12cm, BC = 20cm.

+C/m: cân tại M

Vì MI // BC nên theo hệ quả của định lý Ta-lét ta có:

BD là phân giác ngoài của , ta có:

Mặt khác, BC // MN nên theo đl Ta-lét ta có:

b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI tại E và cắt BD tại F.

Chứng minh: và

Vì CE // BA (gt) nên

Ta lại tính được (1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra (đpcm)

Bài 79: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vuông góc với cạnh BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA, trên tia Cy lấy điểm E sao cho CE = CA. Gọi G là giao điểm của BE và CD, K và L lần lượt là giao điểm của AD, AE với cạnh BC.

a) Chứng minh rằng CA = CK ; BA = BL.

b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên BC. Chứng minh IHJ là tam giác vuông cân.

L ời giải

a) Chứng minh rằng CA = CK ; BA = BL.

BAD cân nên .

Mặt khác  ;

Suy ra ACK cân tại C hay CA = CK.

Tương tự, BA=BL.

b) Chứng minh IHJ là tam giác vuông cân.

Từ giả thiết ta có IJ//BC, BD//GH//CE. Áp dụng Thales:

IG = GH (1).

Tương tự, GJ = GH (2).

Hơn nữa, do IJ//BC và HG  BC suy ra HG  IJ (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ta IHJ là tam giác vuông cân tại H.

Bài 80: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng BD = 2cm, DC = 4cm. Đường trung trực của AD cắt đường thẳng BC tại K. Tính độ dài KD.

Lời giải

C ách 1: Vẽ đường phân giác ngoài tại A, cắt đường BC

tại E. Ta có:

Suy ra

Khi đó,

Cách 2:

Ta có : ( Vì cân tại K ).

Mặt khác ( T/c góc ngoài )

Mà ( Vì AD là phân giác )

Do đó,

Từ đó c/m được đồng dạng với (g.g )

Suy ra mà nên

Do đó, . Từ đó tính

B ài 81: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, AD là đường phân giác. Biết AC = 9cm, AB = 6cm, diện tích tam giác ABC là 24cm². Tính diện tích tam giác ADM.

Lời giải

Theo t/c đường phân giác trong tam giác ta có:

Suy ra

Ta có:

Do đó,

Suy ra

Từ đó suy ra

Vậy,

Bài 82: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.

a)Chứng minh khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE + DF có giá trị không đổi.

b )Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF ở K. Chứng minh rằng K là trung điểm của EF

Lời giải

1. Ta có:

Suy ra ( không đổi )

2. C/m

Vậy, K là trung điểm của EF.

Bài 83: Cho các tam giác ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự ở M, N. Cmr:

a) Tam giác AIM đồng dạng với tam giác ABI.

b) .

Lời giải

1. T a có :

Mà

Suy ra

Do đó, đồng dạng

b) Từ câu a, suy ra (1)

Tương tự,

Từ (1) và (2) suy ra (đpcm )

Bài 84: Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho .

a) Cmr: BD.CE không đổi.

b ) Cmr: DM là tia phân giác của góc BDE

c) Tính chu vi tam giác AED nếu ABC là tam giác đều.

Lời giải

a) Cmr: BD.CE không đổi.

Ta có: và

Mà nên

Do đó, đồng dạng (g.g)

Suy ra ( không đổi ).

b) Cmr: DM là tia phân giác của góc BDE

Từ đồng dạng ( câu a ) ta suy ra ( Vì )

Do đó, đồng dạng (c.g.c)

Suy ra

Vậy, DM là tia phân giác của góc BDE.

c) Tính chu vi tam giác AED nếu ABC là tam giác đều.

Từ câu b, suy ra DM là tia phân giác của góc BDE, EM là tia phân giác của góc CED.

Kẻ .

Ta có:

Do đó,

Ta lại có nên

Vậy, chu vi của tam giác AED là 3a.

Bài 85: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M nằm giữa A và D. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của MB và MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao điểm của DK và AC. Cmr: EF //IK.

Lời giải

Cmr: EF //IK.

Gọi N là trung điểm của AM.

C/m: (?)

Theo đl Ta –lét đảo suy ra EF //IK (đpcm )

* Chú ý: Có thể thay điều kiện:I, K là trung điểm của MB, MC bởi điều kiện tổng quát hơn là I, K chia trong MB, MC theo cùng một tỉ số.

Bài 86: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G, H thứ tự thuộc cạnh BC, CD sao cho . Gọi M là trung điểm của AB. Cmr:

a) Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB;

b) MG //AH

Lời giải

a) Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB

Ta có:

D o đó,

Từ đó suy ra đồng dạng (g.g) (?)

b) MG //AH:

Từ câu a, suy ra

Đặt thì

Ta có:

Từ đó, c/m được đồng dạng (c.g.c) (?)

Suy ra (đpcm ).

Bài 87: Cho tam giác ABC và hình bình hành AEDF có . Tính diện tích của hình bình hành, biết rằng .

Lời giải

C /m: đồng dạng (g.g) (?)

Suy ra . Mà .

Do đó

Suy ra AE = DF = 2DE , AF = ED=

Vậy ; ;

Tổng quát, nếu thì

Bài 88: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, DC. Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD. Tính

Lời giải

T rước hết tính

Ta c/m (?)

Ta có: đồng dạng (g.g) (?) nên

Ta có:

Vì đồng dạng (g.g) (?) có tỉ số đồng dạng là nên ta tính được

Do đó, . Từ đó suy ra .

Bài 89: Cho hình thang ABCD . Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của DA với CB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh: .

b) Chứng minh: Bốn điểm thẳng hàng.

c ) Giả sử và diện tích hình thang ABCD bằng S. Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo S.

Lời giải

a) Chứng minh: .

Chứng minh được: đồng dạng với

Suy ra

Chứng minh được: đồng dạng với

Suy ra

Từ và suy ra

b) Chứng minh: Bốn điểm thẳng hàng.

Ta có: và ( vì )

Từ và suy ra đồng dạng với

Do đó . Suy ra thẳng hàng

Ta lại có: và

Từ và suy ra đồng dạng với

Do đó . Suy ra thẳng hàng

Từ và suy ra bốn điểm thẳng hàng.

c) Giả sử và diện tích hình thang ABCD bằng S. Hãy tính diện tích tứ

giác IAOB theo S

Ta có

Ta lại có

Do đó

Mặt khác

Từ và suy ra .

Bài 90: Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm E. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BE tại F, nó cắt DC tại G. Gọi H, I, J, M, K lần lượt là giao điểm của GF với BC, EF với HD, EA với HC, AB với HD, AE với DH.

90.1.a) Chứng minh: . Từ đó suy ra và

b) Tìm GTLN của

90.2.a) Chứng minh: và

b) Chứng minh:

c) Chứng minh:

d) Chứng minh: đồng dạng với ; đồng dạng với

Từ đó có nhận xét gì về và .

90.3.a) Chứng minh:

b) Chứng minh:

c) Chứng minh:

90.4. Chứng minh: Khi E thay đổi trên tia đối của tia CD thì là không đổi.

90.5. Qua bài này, các em hãy khai thác thêm nhiều tính chất mới thú vị.

Lời giải

90.1.a) Chứng minh: . Từ đó suy ra và

+ C/ m: đồng dạng (g.g) . Từ đó, ta có:

+ C/ m: đồng dạng (g.g)

Từ (1) và (2) suy ra ( Vì )

( BĐT Cô-si cho hai số không âm ).

Dấu “=” cân tại F. Vì nên

b) Tìm GTLN của

Ta có: . Suy ra cân tại F.

90.2.a) Chứng minh: và

+ C/m: ( cùng phụ với )

+ C/ m:

b) Chứng minh:

Vì (cmt) nên , mà

Do đó, .

Xét có: ( Vì vuông tại D ).

Suy ra tại K.

c) Chứng minh:

Ta C/m được: + I là trực tâm của tam giác HAE suy ra

+ J là trực tâm của tam giác HDE suy ra

+ B là trực tâm của tam giác HGE suy ra

Từ (3), (4) và (5) suy ra .

d) Chứng minh: đồng dạng với ; đồng dạng với

Từ đó có nhận xét gì về và .

+ C/m được: đồng dạng với (g.g)

( Vì ).

Xét và có: - chung và

Do đó, đồng dạng (c.g.c). Suy ra =

90.3.a) Chứng minh:

Vì nên

Vì ( cùng vuông góc với GE ) nên

Từ (6) và (7) suy ra

b) Chứng minh:

+ C/m: đồng dạng (g.g)

Suy ra

+ C/m: đồng dạng (g.g)

Suy ra

Mà

Từ (8), (9) và (10) suy ra .

c) Chứng minh:

+ C/m: đồng dạng (g.g)

Suy ra

+ C/m: đồng dạng

Suy ra ( Vì )

Từ (11) và (12) suy ra (đpcm)

90.4. Chứng minh: Khi E thay đổi trên tia đối của tia CD thì là không đổi.

C/m: đồng dạng (g.g). Suy ra ( Vì HB = EC (cmt) )

Vậy, khi E di chuyển trên tia đối của tia CD thì không đổi.

90.5. Qua bài này, các em hãy khai thác thêm nhiều tính chất mới thú vị. ( HS tự giải)

Bài 91: Cho cân tại với là góc nhọn; là đường phân giác ; qua kẻ đường vuông góc với , đường này cắt đường thẳng tại . Chứng minh: .

Lời giải

G ọi K là trung điểm cạnh .

Ta có: vuông tại (gt) có là trung điểm cạnh huyền

và

cân tại

.

Vì (gt là đường phân giác )

nên .

Ta lại có: (góc ngoài tại điểm của )

(gt cân tại )

cân tại . (đpcm)

Bài 92: Cho tứ giác . Đường thẳng qua song song với , cắt tại và đường thẳng qua song song với cắt tại . Chứng minh // .

L ời giải

Gọi là giao điểm hai đường chéo và .

Áp dụng hệ quả định lý Talet, ta có:

- // (gt)

- // (gt)

// (định lý Talet đảo). (đpcm)

Bài 93: Cho hình thang ABCD, đáy AD và BC, có , E là giao điểm của hai đường chéo, F là hình chiếu của E lên AB.

a) Chứng minh ∆ ∆ .

b) Gọi K là giao điểm của AC và DF. Chứng minh KE.FC = CE.FK.

Lời giải

a ) Chứng minh ∆ ∆ .

Vì BC // AD nên ta có (1)

EF // AD nên ta có (2)

Từ (1) và (2) suy ra ;

Lại có . Suy ra ∆ ∆ (c-g-c)

b) Gọi K là giao điểm của AC và DF. Chứng minh KE.FC = CE.FK.

∆ ∆

Hay FE là phân đường giác của ∆CFK

(đpcm).

Bài 94: Cho hình bình hành có góc nhọn. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các tam giác đều và Tính số đo

Lời giải

Chứng minh được

Chứng minh được

Tương tự:

đều

Bài 95: Cho tam giác nhọn có các đường cao và H là trực tâm

a) Chứng minh

b) Chứng minh rằng:

c) Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt lần lượt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của

Lời giải

1. Chứng minh

Chứng minh

Từ (1) và (2)

Tương tự :

2. Có

Tương tự:

3. Chứng minh

Chứng minh

Bài 96: Cho hình vuông và đường thẳng cùng có tính chất chia hình vuông này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng Chứng minh rằng có ít nhất đường thẳng trong 2018 đường thẳng trên đồng quy.

Lời giải

Gọi lần lượt là trung điểm của Lấy các điểm trên EF và trên PQ thỏa mãn:

Xét d là một trong các đường thẳng bất kỳ đã cho cắt hai đoạn thẳng lần lượt tại Ta có:

hay qua G.

Từ lập luận trên suy ra mỗi đường thẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài đều đi qua một trong 4 điểm

Do có đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm theo nguyên lý Dirichle phải tồn tại ít nhất đường thẳng cùng đi qua một điểm trong 4 điểm trên.

Vậy có ít nhất 505 đường thẳng trong số 2018 đường thẳng đã cho đồng quy.

_{Bài 97:} Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE= AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N

1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật

2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH . Chứng minh rằng

AC = 2EF

3. Chứng minh rằng :

Lời giải

Lời giải

1. Ta có: (cùng phụ với )

AB = AD (gt) ; (ABCD là hình vuông)

Lại có: AE //DM ( vì AB // DC)

Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành . Mặt khác :

Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật

2. Ta có:

Lại có: (cùng phụ với )

E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD.

Do đó: BD = 2 EF hay AC = 2 EF (đpcm)

3. Do AD // CN. Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có:

Lại có: MC //AB (gt). Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có:

Bài 98: Cho hình chữ nhật ABCD , AB = 2AD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm P sao cho AM = CP. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi Q là trung điểm của CH đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC tại N.

1. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

2. Khi M là trung điểm của AD. Chứng minh BQ vuông góc với NP.

3. Đường thẳng AP cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng :

Lời giải

a)Chứng minh được DH // BK (1)

Chứng minh được

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b)Gọi E là trung điểm BK chứng minh được QE là đường trung bình nên

QE // BC (vì BC và QE = AD

Chứng minh AM = QE và AM // QE là hình bình hành

Chứng minh AE // NP // MQ (3)

Xét có BK và QE là hai đường cao của tam giác nên E là trực tâm của tam giác nên AE là đường cao thứ ba của tam giác AE

c)

Vẽ tia Ax vuông góc với AF. Gọi giao của Ax với CD là G.

Chứng minh (cùng phụ với

Ta có: vuông tại A có AD nên AG. AF = AD.GF =

Ta chia hai vế của (1) cho (đl Pytago)

Bài 99: Cho đoạn thẳng AB dài a(cm) . Lấy điểm C bất kỳ thuộc đoạn thẳng AB (C khác A và B). Vẽ tia Cx vuông góc với AB. Trên tia Cx lấy hai điểm D và E sao cho CD = CA và CE = CB.

1. Chứng minh AE vuôn góc với BD

2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB để đa giác CMEDN có diện tích lớn nhất

3. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến AB không phụ thuộc vào vị trí điểm C.

Lời giải

1. Gọi H là giao điểm của BD và AE

Suy ra

2. Ta có:

Mặt khác, theo bđt AM-GM ta có:

Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AC = CB hay C là trung điểm AB

3. Gọi J,M’,N’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của I,M,N lên AB

Ta có: IJ là đường trung bình của hình thang MNN’M’ nên IJ

Ta lại có MM’ là đường trung bình của và NN’ là đường trung bình nên

và

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy khoảng cách của điểm I đến đoạn AB không phụ thuộc vào vị trí của điểm C.

Bài 100: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD = 2AB = 2AD và

1. Tính diện tích hình thang ABCD theo a

2. Gọi I là trung điểm của BC , H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Chứng minh

Lời giải

1. Gọi E là trung điểm của CD, chỉ ra ABED là hình vuông và BEC là tam giác vuông cân

Từ đó suy ra AB = AD = a; BC = 2a

Diện tích của hình thang ABCD là

2. (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vuông góc)

Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có:

Do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng

Suy ra (2)

Từ (1), (2)

Mà hay

Bài 101: Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c.Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A,B,C lần lượt là Chứng minh rằng:

Lời giải

Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại M

Ta có: (hai góc ở vị trí đồng vị)

(hai góc ở vị trí so le trong)

Mà nên hay cân tại A, suy ra AM = AC = b

Do AD // CM nên

Mà CM < AM + AC = 2b (1)

Tương tự ta có: ; ;

Cộng (1);(2);(3) vế theo vế ta có điều phải chứng minh.

Bài 102: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, M là trung điểm của BC. quay quanh đỉnh M cố định sao cho hai tia Mx; My cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) và tích BD.CE không phụ thuộc vào vị trí của

b) DM là phân giác của

c) BD.ME + CE.MD > a.DE

d) Chu vi không đổi khi quay quanh M

Lời giải

1. Ta có:

Suy ra :

Suy ra (không đổi)

2. Vì hay

Lại có:

suy ra DM là phân giác của

3. Vì

Tương tự chứng minh được:

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được:

BD.ME+CE.MD = a.DM + a.ME = a.(DM + ME) < a.DE

4. Kẻ MH, MI, MK lần lượt vuông góc với AB, DE, AC tại H,I,K suy ra

MH = MI = MK

Suy ra DI = DH, EI = EK. Suy ra chu vi

Vì và BM = a nên BH = Suy ra chu vi tam giác ADE không đổi và bằng 3a

Bài 103: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC> AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD=HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1. Chứng minh AE = AB

2. Gọi M là trung điểm của BE . Tính góc AHM.

Lời giải

1. Kẻ tứ giác HDEF là hình chữ nhật

mà HD = AH (gt)

Xét và có: ( cùng phụ )

Do đó:

2. Ta có vuông tại A

vuông tại D

Do đó: AM = DM

Xét và có:

AM = MD

_{AH = HD}

HM là cạnh chung

Vậy =

Bài 104: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

1. Chứng minh : EA.EB = ED.EC

2. Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi

3. Kẻ ( Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, CH. Chứng minh CQ .

Lời giải

1. Chứng minh

2. Kẻ MI BC (I . Ta có :

Tương tự:

Từ (1) và (2) suy ra BM.BD + CM.CA = BI.BC + CI.BC = BC.(BI + CI) = BC²

(Không đổi)

3. 

Chứng minh được:

Mà

Bài 105: Cho tam giác ABC có và chu vi bằng 18cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết các độ dài đều là số nguyên dương và BC có độ dài là một số chẵn.

Lời giải

Vì nên

Theo BĐT tam giác ta có:

Từ và suy ra mà BC có độ dài là một số chẵn. Do đó .

Tương tự, c/m được và

Suy ra hoặc

Vậy, hoặc .

Bài 106: Cho tam giác ABC có AC = 3AB và số đo của góc A bằng 60⁰. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho . Trên đường thẳng vuông góc với AD tại D lấy điểm E sao cho DE = DC (E và A cùng phía với BC). Chứng minh rằng AE//BC.

Lời giải

Chứng minh rằng AE//BC.

Gọi K là giao điểm của AC và DE.

Vì:

Suy ra

Và  DEC đều

Nên ABCDKC (g.g) .

Do đó .

Kẻ CHDE (HDE) thì ;

Mặt khác AD//CH (cùng vuông góc với DH) ;

Nên theo Talet ta có: (2).

Từ (1), (2) và do nên theo Talet AE//CD.

Bài 107: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AC và các đường thẳng AD, BM và CE đồng qui tại K . Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là 10 và 20. Tính diện tích tam giác ABC

Lời giải

Tính diện tích tam giác ABC.

+ Gọi h là khoảng cách từ K đến AB, ta có:

.

+ Suy ra:

+ Tương tự:

Đặt , ta có:

Do đó,

Mà BE = 2AE (đvdt)

Bài 108: Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC (Q khác B, C). Trên AQ lấy điểm P (P khác A, Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB, AC tại M, N.

a) Chứng minh rằng:

b) Xác định vị trí điểm Q để .

Lời giải

1. Chứng minh rằng:

Gọi E, F là giao điểm của NP, MP với BC.

Do NE//AB, MF//AC nên theo Thales ta có:

Từ đó: (đpcm).

b) Xác định vị trí điểm Q để .

Áp dụng câu a) và BĐT Cauchy cho 3 số dương: :

1= .

Dấu “=” xảy ra .

Khi đó MN//BC. Vì AQ đi qua trung điểm MN nên Q là trung điểm của BC.

Vậy, khi Q là trung điểm của BC thì .

Bài 109: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Gọi G là giao điểm của đường thẳng đi qua E vuông góc với AD với đường thẳng đi qua F vuông góc với BC. So sánh GA và GB.

Lời giải

So sánh GA và GB.

Gọi I là trung điểm của AB.

Nối EF, EI, IF, ta có IE là đường trung bình của ∆ABC IE // BC

Mà GF  BC GF IE (1)

Chứng minh tương tự GE  IF (2)

Từ (1) và (2) G là trực tâm của ∆EIF

IG EF (3)

Dễ chứng minh EF // AB (4)

Từ (3) và (4) IG AB

Vậy ∆AGB cân tại G GA = GB.

Bài 110: a) Cho tam giác ABC cân tại A , có BH là đường cao, BD là phân giác của góc . Chứng minh rằng: .

b) Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong của góc A . Gọi là khoảng cách từ D đến AB ( hoặc AC). Tương tự, gọi BE là phân giác trong của góc B và là khoảng cách từ E đến BA ( hoặc BC), gọi CF là phân giác trong của góc C và là khoảng cách từ F đến CA ( hoặc CB). Gọi tương ứng là 3 chiều cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác đã cho. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức

Lời giải

1. Chứng minh rằng:

Kẻ DK vuông góc với AC tại D, , kẻ DL vuông góc với BC tại L,

Gọi O là giao điểm của DL và BH.

Ta có

Suy ra tam giác BDL vuông cân tại L .

C/m:

Suy ra BO = DC

Mà BH = BO + OH > BO. Do đó, BH > DC

Suy ra (đpcm)

b). Tìm giá trị bé nhất của biểu thức

Đ ặt .

Ta có

Mặt khác,

Từ (1) và (2) suy ra

Tương tự,

Suy ra ( theo câu a)

Suy ra . Lúc đó tam giác ABC đều.

Bài 111: Cho hình bình hành ABCD có . Dựng các tam giác vuông cân tại A là BAM và DAN (B và N cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN.

Lời giải

ABCD là hình bình hành nên

Từ giả thiết ta lại có

Suy ra

Từ đó .

Do đó .

Lại có AB  AM

Suy ra MN  AC.

Bài 112: Cho hình bình hành ABCD có . Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm I của cạnh AB.

1. Chứng minh: .

b) Kẻ . Chứng minh: .

c) Chứng minh: .

Lời giải

1. Chứng minh:

Ta có: AB = 2AI (Vì I là trung điểm của AB ) (1)

Ta lại có: ( Vì DI là phân giác của ),

mà ( Vì AB // DC, slt)

Do đó, suy ra cân tại A nên

Từ (1) và (2) suy ra

2. Kẻ . Chứng minh:

Gọi M là trung điểm của DC, E là giao điểm của AM và DI.

Ta có và nên tam giác ADM đều.

Suy ra DI là đường phân giác nên cũng là đường cao.

Do đó, tại E.

Vì đều có AH, DE là hai đường cao nên

Vì cân tại A, có tại E nên

Từ (3) và (4) suy ra .

3. Chứng minh:

Xét tam giác ADC có AM là đường trung tuyến và nên . Vậy, .

Bài 113: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, kẻ các đường cao BD và CE. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh AC, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại điểm F.

2. Chứng minh: . b) Chứng minh: .

Lời giải

1. Chứng minh hệ thức: .

Ta có : ( cùng vuông góc với AC )

Suy ra (1)

Ta lại có: và (?) (2)

Từ (1) và (2) suy ra , do đó .

2. Chứng minh: .

+ C/m :

Suy ra

+ Mặt khác, ( Vì BD // FC, slt )

Suy ra

Khi đó CB là đường phân giác của .

Suy ra ( đpcm )

Bài 114: Cho hình thang vuông ABCD và , H là hình chiếu của D trên AC và M là trung điểm của đoạn HC. Chứng minh: .

Lời giải

Gọi K là trung điểm của DH.

C/m: MK là đường trung bình của .

Suy ra và

Ta lại có: và AB // DC (gt) (2)

Từ (1) và (2) suy ra và

Do đó, ABMK là hình bình hành, cho ta (3)

Vì và nên

Trong tam giác ADM có và nên K là trực tâm của tam giác ADM, do đó (4)

Từ (3) và (4) suy ra (đpcm)

Bài 115: Cho hình bình hành có góc nhọn. Vẽ ra phía ngoiaf hình bình hành các tam giác đều và Tính số đo

Lời giải

Chứng minh được

Chứng minh được

Tương tự:

đều

Bài 116: Cho hình vuông có cạnh bằng biết hai đường chéo cắt nhau tại O.Lấy điểm thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh sao cho (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của và , K là giao điểm của và

3. Chứng minh và tính diện tích tứ giác theo

4. Chứng minh

Chứng minh

Lời giải

1. (Tính chất đường chéo hình vuông)

(tính chất đường chéo hình vuông)

(cùng phụ với

mà

Do đó:

2. Ta có:

Vì nên

Ta có: cân tại O

Vì

3. Qua kẻ tia vuông góc cắt CD tại E.

Chứng minh

Ta có: vuông tại A có

Áp dụng định lý Pytago vào ta có:

Mà và

_{Bài 117:} Cho tam giác trọng tâm Qua G vẽ đường thẳng cắt các cạnh theo thứ tự ở và E. Tính giá trị biểu thức

Lời giải

Gọi M là trung điểm của BC

Qua B vẽ đường thẳng song song với cắt AM tại I, ta có:

Qua C vẽ đường thẳng song song với cắt tại ta có:

Từ (1) và (2) suy ra

Mặt khác :

(Vì do

_{Từ (3) và (4) suy ra}

Bài 118: Cho hình chữ nhật có Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD

4. Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác

5. Tính độ dài đoạn thẳng

6. Tính diện tích tam giác

Lời giải

1. Chứng minh được

2. 

Áp dụng định lý Pytago được:

Từ đó tính được:

3. theo tỉ số

Gọi lần lượt là diện tích của và , ta có:

Vậy diện tích tam giác AHB bằng

_{Bài 119:} Cho tam giác đều Gọi lần lượt là các điểm trên các cạnh AB và BC sao cho Gọi G là trọng tâm và I là trung điểm của Tính các góc của tam giác

Lời giải

Ta có BMN là tam giác đều , nên G là trọng tâm của Gọi P là trung điểm của MN,

Ta có: (tính chất trọng tâm tam giác đều)

Lại có: suy ra

Mặt khác:

Và , do đó : (2)

Từ (1) và (2) suy ra và

Mà

Gọi K là trung điểm của GC thì suy ra đều nên

Điều này chứng tỏ vuông tại I

_Vậy

Bài 120: Cho hình vuông gọi thứ tự là trung điểm của

3. Chứng minh rằng:

4. Gọi là giao điểm của và Chứng minh rằng:

Lời giải

1. Chứng minh được

Lại có:

2. Gọi là trung điểm của CD. Chứng mnh được tứ giác là hình bình hành suy ra

Gọi là giao điểm của và có và nên N là trung điểm của DM. Vì câu a),

Tam giác có là đường cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác cân tại

Bài 121: Cho tam giác Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông

1. Chứng minh rằng

2. Gọi thứ tự là tâm của các hình vuông Gọi I là trung điểm của Tam giác là tam giác gì ? Vì sao ?

Lời giải

1. Chứng minh được:

Gọi và O thứ tự là giao điểm của với BA và BH

Xét và có:

Vậy

2. Ta có:

Mà và nên và

Vậy tam giác vuông cân tại I

Bài 122: Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đường chéo đến hai cạnh kể (hai cạnh kề và đường chéo cùng đi qua một đỉnh của hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy.

Lời giải

Kẻ

Chứng minh

(do PMDN là hình bình hành)

Chứng minh

Bài 123: Gọi M là diểm nằm trong Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của trên Gọi H, K lần lượt là trung điểm của

3. Chứng minh

4. Tính số đo theo m

Lời giải

1. vuông tại P, đường trung tuyến

vuông tại Q, đường trung tuyến

cân tại H

2. 

Bài 124: Cho tam giác vuông cân tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho

3. Chứng minh rằng:

4. Trên BC lấy điểm sao cho Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có chứa điểm A, vẽ tia sao cho Tia cắt tia CA tại D. Tính số đo

Lời giải

Tia cắt BC tại H

vuông cân tại A nên vuông cân tại M nên

có

Chứng minh được M là trực tâm

Gọi là điểm đối xứng với qua PD

cân tại P nên đường trung trực của PD cũng là phân giác

Chứng minh được vuông tại C

Chứng minh được là phân giác của

Chứng minh được là phân giác ngoài tại đỉnh E của

Chứng minh được

Chứng minh được hay

Bài 125: Cho hình thang ABCD hai đường chéo và cắt nhau tại O. Một đường thẳng qua O song song với đáy cắt hai cạnh bên lần lượt tại và F. Chứng minh rằng

Lời giải

Xét có (Hệ quả định lý Talet) (1)

Xét có (hệ quả định lý Talet ) (2)

Xét có (hệ quả định lý Ta let ) (3)

Xét có (Hệ quả định lý Ta let ) (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra

Bài 126: Cho hình bình hành Các điểm theo thứ tự thuộc các cạnh sao cho Gọi K là giao điểm của và Chứng minh rằng là tia phân giác của

Lời giải

Kẻ lần lượt vuông góc với

Ta có: (Do chung đáy AD, cùng chiều cao hạ từ N) (1)

(Do chung đáy CD, cùng chiều cao hạ từ M ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra : (Vì

(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

là tia phân giác

Bài 127: Cho tam giác đều gọi M là trung điểm của BC. Một góc quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh luôn cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh

4. 

5. DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc và

6. Chu vi tam giác không đổi.

Lời giải

1. Chứng minh

Vì nên ta có:

2. Chứng minh , do đó là tia phân giác

Chứng minh tương tự ta có là tia phân giác

3. Gọi là hình chiếu của trên

Chứng minh Suy ra chu vi không đổi

Bài 128: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia cùng vuông góc với AB. Trên tia lấy điểm (C khác A). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt tại D. Từ hạ đường vuông góc xuống CD (M thuộc CD)

1. Chứng minh

2. Chứng minh tam giác vuông

3. Gọi N là giao điểm của và Chứng minh

Lời giải

1. Xét và có:

(cùng phụ với

Nên

Mà nên

2. Xét và có:

(cùng phụ với

Mà

Từ (1) và (2) ta có:

(cạnh huyền, góc nhọn)

vuông tại M

3. Ta có: (cùng vuông góc với

Mà ( )

Tương tự ta chứng minh

Nên

Bài 129: Cho O là trung điểm của đoạn thẳng có độ dài bằng Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng vẽ hai tia cùng vuông góc với AB. Trên tia lấy điểm D bất kỳ, qua O vẽ hai dường thẳng vuông góc với tại O cắt By tại C

1. Chứng minh

2. Chứng minh và CO lần lượt là tia phân giác của và

3. Vẽ Gọi I là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AH và DO, F là giao điểm của BH và CO. Chứng minh ba điểm thẳng hàng

4. Xác định vị trí của điểm D trên tia để tích có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải

1. Chứng minh (cùng phụ với

Chứng minh

2. Chứng minh Từ đó chứng minh

Suy ra và kết luận CO là tia phân giác của

Chỉ ra (cùng đồng dạng với

Chứng minh là tia phân giác của

3. Chứng minh vuông OBC vuông OHC (cạnh huyền – góc nhọn)

Chứng minh là đường trung trực HB

Tương tự chứng minh và OD là trung trực của

Chứng minh EF là đường trung bình

Chỉ ra

Suy ra Áp dụng định lý Ta let đảo cho

Theo tiên đề Oclit kết luận thẳng hàng

4. Chỉ ra nhỏ nhất

nhỏ nhất là hình chữ nhật

Mà

Xét tam giác vuông có là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền

Suy ra GTNN của bằng khi và chỉ khi và

Bài 130: Cho tam giác vuông tại A đường cao Trên tia HC lấy điểm D sao cho Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

1. Chứng minh rằng: Tính độ dài đoạn BE theo

2. Gọi M là trung điểm của đoạn Chứng minh rằng hai tam giác đồng dạng. Tính số đo của

3. Tia cắt tại G. Chứng minh :

Lời giải

4.1 và có: chung;

Hai tam giác và có:

chung;

Suy ra : (Vì vuông cân tại H theo giả thiết)

Nên , do đó vuông cân tại A

Suy ra

4.2 Ta có: (do

Mà ( vuông cân tại H)

Nên

Do đó:

4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là tia phân giác góc BAC

Suy ra mà

Ta lại có:

Mà

Bài 131: Cho hình chữ nhật Vẽ vuông góc với Gọi M là trung điểm của là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: .

Lời giải

Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BH

Ta có lần lượt là trung điểm của nên: MO là đường trung bình

Vậy

Mà

Do đó: suy ra tứ giác là hình bình hành.

Từ đó có:

Ta có:

Tam giác có nên O là trực tâm

Ta có: và nên

Bài 132:

Một trường học được xây dựng trên khu đất hình chữ nhật ABCD có Ở phía chiều rộng AB tiếp giáp đường chính, người ra sử dụng hai lô đất hình vuông để xây dựng phòng làm việc và nhà để xe. Diện tích còn lại để xây phòng học và các công trình khác (như hình vẽ). Tính diện tích lớn nhất còn lại để xây phòng học và các cong trình khác.

Lời giải

Đặt :

Diện tích nhỏ nhất

Diện tích lớn nhất còn lại:

Bài 133: Cho hình chữ nhật có Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi lần lượt là trung điểm của

1. Tính diện tích tứ giác

2. Chứng minh

Lời giải

Tính

Kẻ

2. 

Bài 134: Cho hình vuông Trên tia đối của tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho

1. Chứng minh vuông cân

2. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh thẳng hàng

Lời giải

1. Ta có cân tại D

Mặt khác

Mà

Vậy vuông cân

2. Theo tính chất đường chéo hình vuông là trung trực BD

Mà vuông cân , tương tự:

thuộc đường trung trực của DB thuộc đường thẳng CO

Hay thẳng hàng.

135. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho Xác định vị trí điểm D, E sao cho

1. DE có độ dài nhỏ nhất

2. Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

Lời giải

1. Đặt không đổi ;

Áp dụng định lý Pytago với vuông tại A có:

Ta có

là trung điểm AB, AC

2. Tứ giác có diện tích nhỏ nhất .

Ta có:

Vậy (Không đổi)

Do đó khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC

135. Cho O là trung điểm của đoạn Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia cùng vuông góc với Trên tia lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tia By tại D

1. Chứng minh

2. Kẻ tại M. Chứng minh

3. Từ kẻ MH vuông góc với AB tại H. Chứng minh đi qua trung điểm MH

4. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác nhỏ nhất

Lời giải

1. Chứng minh

2. Theo câu a ta có:

Mà

+) Chứng minh :

+)Chứng minh :

3. Ta có là trung trực AM

Mặt khác vuông tại M

(vì cùng vuông góc với AM) hay

+)Xét có OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra đi qua trung điểm

+) theo hệ quả định lý ta let ta có:

Mà đi qua trung điểm

4. Tứ giác là hình thang vuông

Ta thấy , nên theo BĐT Cô si ta có:

Dấu xảy ra

Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một đoạn bằng OA.

135. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của Gọi P là giao điểm của AN với DM

1. Chứng minh là tam giác vuông

2. Tính diện tích của tam giác

3. Chứng minh tam giác là tam giác cân

Lời giả

1. Chứng minh

Mà ( vuông tại A)

Do đó: Hay vuông tại P

2. Tính được

3. Gọi I là trung điểm của AD. Nối C với I; CI cắt DM tại H

Chứng minh tứ giác là hình bình hành

mà

Hay là đường cao trong

Vận dụng định lý về đường trung bình trong chứng minh được H là trung điểm DP suy ra là trung tuyến trong

Từ (1) và (2) suy ra cân tại C

135. Cho hình thang cân có là giao điểm của hai đường chéo. Gọi theo thứ tụ là trung điểm của Tam giác là tam giác gì ? Vì sao?

Lời giải

Do là hình thang cân và suy ra và là các tam giác đều

Chứng minh vuông tại F

Xét vuông tại F có:

Chứng minh vuông tại E có

Xét EF là đường trung bình (ABCD hthang cân)

Suy ra đều

Cho hình bình hành có thứ tự là trung điểm của

1. Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy

2. Gọi giao điểm của với và theo thứ tự là và Chứng minh rằng là hình bình hành

Lời giải

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ta có là trung điểm của BD.

Chứng minh là hình bình hành

Có là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của EF

Vậy đồng quy tại O

1. Xét có M là trọng tâm, nên

Xét có N là trọng tâm, nên

Mà nên

Tứ giác có nên là hình bình hành

135. Cho đoạn thẳng Gọi M là một điểm nằm giữa và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của

1. Tính khoảng cách từ đến

2. Khi điểm di chuyển trên đoạn thẳng thì điểm di chuyển trên đường nào ?

Lời giải

1. Kẻ cùng vuông góc với suy ra tứ giác là hình thang vuông.

Chứng minh được:

2. Khi M di chuyển trên AB thì I di chuyển trên đoạn RS song song với AB và cách AB một khoảng bằng (R là trung điểm của

S là trung điểm của BQ, là giao điểm của và

135. Cho hình thang ( ). Gọi N và M theo thứ tự là trung điểm của các đường chéo Chứng minh rằng:

1. 

2. 

Lời giải

1. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD và BC

Chứng minh được (định lý Talet đảo)

Mà (đường trung bình)

thẳng hàng (Tiên đề Ơ clit)

Vậy

2. Tương tự thẳng hàng

Rút ra ta được:

Từ suy ra

135. Cho hình thang ( và ; Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, Đường thẳng qua A và song song với BC cắt BD tại E, cắt CD tại A’ ; đường thẳng qua B và song song với AD cắt AC tại F, cắt CD tại . Gọi diện tích các tam giác lần lượt là . Chứng minh:

1. 

2. và

3. 

Lời giải

1. 

(Ta let đảo)

2. 

được: (Do

3. 

(Tỷ số DT hai tam giác có cùng đáy bằng tỉ số đường cao)

Cộng (1) (2) vế theo vế ta có : đpcm

135. Cho hình bình hành Với Từ đỉnh A, kẻ một đường thẳng bất kỳ cắt đường chéo tại E, cắt cạnh BC tại và cắt tia DC tại G.

1. Chứng minh :

2. Chứng minh rằng khi đường thẳng quay quanh A thay đổi thì tích không đổi

Lời giải

1. Do nên ta có:

Do nên ta có:

Từ (1) và (2) hay

b) Từ (1) và (2) (không đổi)

135. Cho hình thang ( có Qua và kẻ các đường thẳng song song với BC và AD lần lượt cắt CD ở K và I. Gọi E là giao điểm của và BD, F là giao điểm của và AC. Chứng minh rằng:

1. 

2. 

Lời giải

1. Ta có: AB//CD nên theo hệ quả Ta let ta có:

Mặt khác ta có:

Tứ giác ABCK là hình bình hành (do nên AB = CK (3)

Tứ giác là hình bình hành (do nên

Từ (3) (4) suy ra

Từ (1) (2) (5) suy ra

2. Ta có: AB // CD

(Do nên

Mặt khác

mà

Từ (*) và (**) suy ra hay (đpcm).

135. Cho tam giác vuông tại là điểm di động trên cạnh BC. Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lên

1. Xác định vị trí của điểm để tứ giác là hình vuông

2. Xác định vị trí của điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

1. Tứ giác là hình chữ nhật (vì

Để tứ giác là hình vuông thì là tia phân giác của

2. Do tứ giác là hình chữ nhật nên

nhỏ nhất nhỏ nhất là hình chiếu vuông góc của lên

Trong tam giác các điểm tương ứng nằm trên các cạnh sao cho

1. Chứng minh rằng:

2. Cho Tính độ dài đoạn

Lời giải

1. Đặt

Ta có:

Qua lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác

Ta có:

Từ

2. Chứng minh tương tự câu a) ta có:

Ta lại có:

Từ (3) và (4)

135. Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

Lời giải

Gọi các cạnh của tam giác vuông là trong đó cạnh huyền là

( là các số nguyên dương)

Ta có: và

Từ (2) suy ra thay (1) vào ta có:

Suy ra thay vào ta được:

Từ đó ta tìm được các giá trị của là:

135. Cho tam giác đường cao AH, vẽ phân giác của góc và phân giác của . Kẻ AD vuông góc với , AE vuông góc với

Chứng minh rằng tứ giác là hình vuông.

Lời giải

Tứ giác là hình vuông

là phân giác của là phân giác của mà và là hai góc kề bù nên

Hay , mặt khác: nên tứ giác là hình chữ nhật (1)

, Do

Hay là phân giác

Từ (1) và (2) ta có tứ giác là hình vuông.

Cho hình bình hành có đường chéo lớn hơn đường chéo Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD

1. Tứ giác là hình gì ? Vì sao ?

2. Chứng minh rằng :

3. Chứng minh rằng:

Lời giải

1. Ta có

Chứng minh

Suy ra tứ giác là hình bình hành

2. Ta có :

Chứng minh

3. Chứng minh

Chứng minh

Mà

Suy ra

135. Cho tam giác vuông tại A, phân giác BD. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của

1. Chứng minh là hình thang cân

2. Biết Tính độ dài của

Lời giải

1. là đường trung bình tam giác suy ra nên là hình thang.

(trung tuyến tam giác vuông ABC)

(đường trung bình tam giác DBC)

Suy ra là hình thang cân

2. Tính được

Tính chất đường phân giác trong của

Thay số tính đúng

Kết quả

Bài 151: Cho hình bình hành Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD tại M, cắt đường chéo AC tại N và cắt đường thẳng AD tại K. Chứng minh:

Lời giải

AB//AC (hai cạnh đối diện hình bình hành). Theo định lý Talet có:

Từ (1) và (2)

Mà nên (Điều phải chứng minh)

Bài 152: Cho tam giác phân giác Trên nửa mặt phẳng không chứa bờ vẽ tia sao cho cắt AD tại E; I là trung điểm DE. Chứng minh rằng:

5. 

6. 

7. 

8. Trung trực của đi qua E

Lời giải

1. Xét và có: (đối đỉnh)

2. Xét và có:

Vậy

3. Ta có: Mà (câu b)

Vì

Xét và có: (đối đỉnh);

cân tại E Trung trực qua E

Bài 153: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE. Gọi P là giao điểm của AC và KE

a) Chứng minh vuông cân

b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh H, I, E thẳng hàng

c) Tứ giác HEKQ là hình gì? Chứng minh

Lời giải

a/ CM được (g.c.g)

AB = AP mà (gt)

Vậy vuông cân

b/Ta có : HA = HK

H nằm trên đường trung trực của AK

Ta có : AE = KE

E nằm trên đường trung trực của KA

vuông có IB = IP (t/c đ/c hbh ABQP)

(*)

Ta có ABQP là hbh(gt), có BA= AP ( vuông cân tại A) là hình thoi, mà (gt)

là hình vuông nên PI = IA(**).

Từ (*) và(**) suy ra IK = IA nên I nằm trên đường trung trực của AK

Vậy H, I, E thẳng hàng.

c/ Ta có APQB là hình vuông (cmt) nên AP = BQ

mà IK =

có AI = IQ(t/c đ/c hv) 

Mà (cmt) vuông ở K

mà (EAHK là hv) QK // HE

Vậy HEKQ là hình thang

Bài 154: Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm, ; và chiều cao của hình thang bằng 18m

Lời giải

Qua A và B kẻ AA’ và BB’ vuông góc với CD.

Tứ giác ABB’A’là hcn và A’A = BB’ = 18m

Do đó A’AD vuông cân

A’D = A’A = 18m

vì thế trong tam giác vuông B’BC

ta có B’C = . Theo định lí Pi ta go, ta có:

B’C² = BC² – B’B²

B’C² = 4B’C² – B’B²

3B’C² = B’B²

B’C = (cm)

Suy ra : CD = A’B’ – A’D – B’C = 42 – 18 - (cm)

Vậy S_ABCD = (cm²)

Bài 155: Cho tam giác vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi và F lần lượt là giao điểm của và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng

3. song song với

4. 

Lời giả

1. Chứng minh được hay

2. Do

Tương tự:

Từ (1) và (2) suy ra

Mà và nên

Ta có:

Bài 156: Cho tam giác vuông cân là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho cắt tại E. Chứng minh :

3. Tam giác đồng dạng với tam giác

4. 

Lời giải

1. vuông tại N (vì

Mà

Mặt khác (đối đỉnh)

2. Trên tia đối tia MN lấy điểm sao cho

Tứ giác là hình chữ nhật (vì có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

(đồng vị)

Bài 157: Cho tam giác vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia cắt tia tại H, cắt tia tại O. Chứng minh rằng:

b) có số đo không đổi

c) Tổng không đổi

Lời giải

1. 

2. và chung

(không đổi)

3. Vẽ

Cộng từng vế của (3) và (4) ta có:

(Không đổi)

Bài 158: Cho tam giác có ba góc nhọn, các đường caao cắt nhau tại H

1. Chứng minh

2. Chứng minh

3. Nối với E, cho biết Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a

Lời giải

1. Xét và có: chung;

2. Xét và có:

(đối đỉnh)

3. Khi thì cân tại A

Suy ra được

Gọi giao điểm của và BC là F

Bài 159: Cho hình bình hành Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C lên AB và AD. Chứng minh

3. 

4. 

Lời giải

1. Chứng tỏ được

Và (cùng bù với

2. Gọi E, lần lượt là hình chiếu của trên AC.

Cộng được :

Chứng tỏ được: Thay được:

Bài 160: Cho hình vuông là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ chứa C dựng hình vuông Qua dựng đường thẳng song song với AB, d cắt ở E, cắt DC ở F.

5. Chứng minh rằng

6. Chứng minh rằng thẳng hàng

7. là hình gì ?

8. Chứng minh: và chu vi tam giác không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC.

Lời giải

1. là hình vuông (gt)

Vì là hình vuông (gt)

Từ (1) và (2) suy ra

Ta có: và

2. là hình vuông

thẳng hàng

3. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo và của hình vuông

là tâm đối xứng của hình vuông

là đường trung trực của đoạn

mà và

Tam giác vuông tam giác vuông

Từ (3) và (4) là hình thoi (5)

4. Từ (5) mà

Gọi chu vi tam giác là p và cạnh hình vuông là

Hình vuông cho trước không đổi không đổi

Bài 161: Cho hình chữ nhật Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của qua P.

5. Tứ giác là hình gì ?

6. Gọi và lần lượt là hình chiếu của điểm M lân AB, AD. Chứng minh và ba điểm thẳng hàng

7. Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật không phụ thuộc vào vị trí điểm

Giả sử và Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD

Lời giải

1. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD

là đường trung bình tam giác

là hình thang

2. Do nên (đồng vị)

Tam giác cân ở O nên

Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì cân ở I nên

Từ chứng minh trên : có do đó:

Mặt khác là đường trung bình của nên

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm thẳng hàng

3. Không đổi

4. Nếu

Nếu thì

Do đó:

Chứng minh , do đó:

Bài 162: Cho hình thang vuông tại và Biết và .Gọi E là trung điểm của

4. Tứ giác là hình gì ? Tại sao ?

5. Tính diện tích hình thang theo

6. Gọi là trung điểm của là chân đường vuông góc kẻ từ xuống Tính góc

Lời giải

1. Chỉ ra là hình bình hành

Chỉ ra ABED là hình thoi (AB=AD)

Chỉ ra là hình vuông

2. Chỉ ra vuông cân

Từ đó suy ra

Diện tích của hình thang là :

3. (cùng phụ với góc

Xét và vuông tại D và B có:

Suy ra

Từ và suy ra

Mà hay

Bài 163: Cho tam giác Gọi là một điểm di chuyển trên cạnh Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh cắt cạnh tại M. Qua , kẻ đường thẳng song song với cạnh cắt cạnh tại N

4. Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng

5. Kẻ vuông góc với lần lượt tại Chứng minh rằng

6. Tìm vị trí của điểm để song song với

Lời giải

1. Ta có: là hình bình hành

cắt AI tại trung điểm mỗi đường. Mà là trung điểm AI

thẳng hàng (đpcm)

2. Kẻ vuông góc với Chứng minh là hình thang vuông.

Ta có: O là trung điểm mà . Suy ra là đường trung bình của hình thang vuông nên (1)

Xét có O là trung điểm của và Suy ra là đường trung bình của nên

Từ (1) và (2) ta có:

3. Ta có: là đường trung bình của (do O là trung điểm AI) là trung điểm BC (Vì

Vậy để song song với thì là trung điểm BC.

Bài 164: Cho tam giác các góc và nhọn. Hai đường cao và cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

4. 

5. 

6. 

Lời giải

1. 

2. 

có chung và

3. Vẽ

_{Cộng từng vế (1) và (2) ta được:}

Bài 165: Cho hình vuông có hai đường chéo và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M và trên cạnh lấy sao cho Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của với BE.

a) Chứng minh vuông cân

b) Chứng minh song song với

c) Chứng minh vuông góc với

d)Qua vẽ đường song song với cắt tại H. Chứng minh:

Lời giải

a) Ta có : vì

Ta có BD là phân giác

Tương tự ta có: . Vậy ta có :

Xét và có

Xét có vuông cân

b) mà

Ta có:

Vậy ta có: (Theo định lý Talet đảo)

c) Vì (đồng vị và có tam giác vuông cân)

(vì có

Xét có

Vậy ta có:

d) Vì mà mà

Xét có là phân giác trong của , mà

là phân giác ngoài của

Chứng minh tương tự ta có :

Vậy ta có

Bài 166: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD; I và J thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng và Tính số đo của góc

b) Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, trên đoạn BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng

Lời giải

a)

Gọi P là trung điểm của AH là đường trung bình của tam giác

Mà nên và là trực tâm

Từ đó ta có tứ giác là hình bình hành

Mà nên

Bài 167: Cho hình bình hành hình chiếu vuông góc của C lên lần lượt là và Chứng minh:

1) và đồng dạng với

2)

Lời giải

1) Chứng minh

Chứng minh

2) H, K là hình chiếu vuông góc của lên

Chứng minh

Chứng minh

Bài 168: Cho hình vuông có hai đường chéo cắt nhâu tại O. Một đường thẳng kẻ qua cắt cạnh tại và cắt đường thẳng tại N. Gọi K là giao của và Chứng minh vuông góc với BN.

Lời giải

Trên cạnh lấy sao cho

Xét và có:

vuông cân tại O nên

Vì nên và nên

Từ (1) và (2) (Talet đảo) do đó (đồng vị)

Xét và có: và (đối đỉnh)

mà

Vậy vuông góc với

Bài 169: Cho tam giác nhọn . Các đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) Tam giác đồng dạng với tam giác

b)

c)

d) Gọi lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống , . Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường thẳng.

Lời giải

a) Ta có:

Từ đó suy ra

b)

Từ (1) và (2) suy ra

c) Chứng minh được

Lại có:

Do đó:

a) Từ giả thiết suy ra

Áp dụng định lý Talet ta có:

Từ suy ra bốn điểm thẳng hàng

Bài 170: Cho tam giác Trên tia đối của các tia lấy theo thứ tự các điểm sao cho Gọi là giao điểm của và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh

Lời giải

Vẽ hình bình hành

Ta có: nên là tia phân giác của

Tương tự là tia phân giác của

Do đó là tia phân giác của

Suy ra song song với tia phân giác của , suy ra thẳng hàng

Ta có:

Nên tam giác cân tại

Từ (1) và (2) suy ra

Bài 171: Cho tam giác nhọn, BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng:

b) Chứng minh rằng:

c) Gọi M là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB tại I, cắt AC tại K. Chứng minh tam giác IMK là tam giác cân

Lời giải

a)

b)

c) Kẻ Gọi O là giao điểm của KF và HD là trực tâm tam giác CHO

là đường trung bình của tam giác BCO

(cạnh huyền – góc nhọn)

cân tại M (vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến)

Bài 172: Cho tam giác có Các phân giác và CF

a) Chứng minh rằng

b)Tính

Lời giải

a) Từ B kẻ cắt tại K, ta có tam giác đều

Do đó:

b) Áp dụng tính chất đườn phân giác tính được

Từ ( suy ra

Suy ra nên DE là phân giác của

Chứng minh tương tự được là phân giác

Từ đó suy ra

Bài 173: Cho tam giác vuông cân . Trên cạnh lấy điểm sao cho , trên nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm vẽ đường thẳng vuông góc với trên lấy điểm sao cho . Đường thẳng cắt tại đường thẳng cắt đường thẳng tại

a) Chứng minh

b) Gọi là trung điểm của Chứng minh

Lời giải

a) Đường thẳng cắt đường thẳng BN tại K.

Ta có:

Từ (1) và (2) (Đpcm)

b) Từ chứng minh trên suy ra

Mà

Mà

Bài 174: Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đường chéo đến hai cạnh kể (hai cạnh kề và đường chéo cùng đi qua một đỉnh của hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy.

Lời giải

Kẻ

Chứng minh

(do PMDN là hình bình hành)

Chứng minh

Bài 175: Gọi M là diểm nằm trong Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của trên Gọi H, K lần lượt là trung điểm của

a) Chứng minh

b) Tính số đo theo m

Lời giải

a) vuông tại P, đường trung tuyến

vuông tại Q, đường trung tuyến

cân tại H

b)

Bài 176: Cho tam giác vuông tại A . Vẽ đường cao Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.

a) Chứng minh : Tam giác đồng dạng với tam giác

b) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác

c) Tia cắt BC tại I. Chứng minh .

Lời giải

a)

Suy ra

b) vuông cân tại H Từ (1) vuông cân tại A

Chứng minh

và có: chung

c) vuông cân tại A, AQ là trung tuyến nên cũng là phân giác là phân giác ngoài của

Từ (2) và (3) ta có:

Bài 177: Cho tam giác vuông tại A đường cao Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa vẽ hình vuông Gọi P là giao điểm của và

a) Chứng minh vuông cân

b) Gọi là đỉnh thứ tư của hình bình hành gọi là giao điểm của và Chứng minh thẳng hàng.

c) Tứ giác là hình gì ?

Lời giải

a) Chứng minh được:

mà vậy vuông cân

b) Ta có: nằm trên đường trung trực của

Ta có: nằm trên dường trung trực của

vuông có (tính chất đường chéo hình bình hành

Ta có là hình bình hành (giả thiết), có ( vuông cân tại A)

là hình thoi, mà

là hình vuông nên

Từ suy ra nên I nằm trên đường trung trực của AK

Vậy thẳng hàng

c) Ta có: là hình vuông nên mà

có (tính chất đường chéo hình vuông)

Mà vuông ở

mà (EAHK là hình vuông)

Vậy là hình thang

Bài 178: Tính diện tích hình thang , biết chiều cao của hình thang bằng

Lời giải

Qua A và B kẻ và vuông góc với

Tứ giác là hình chữ nhật và

. Do đó vuông cân

vì thế trong tam giác vuông ta có .

Theo định lý Pytago ta có:

Suy ra :

Vậy

Bài 179: Cho hình vuông trên tia đối của tia lấy điểm M bất kỳ , vẽ hình vuông (P nằm giữa và C), cắt BM tại H, MP cắt BD tại K.

a) Chứng minh: vuông góc với

b) Tính

c) Chứng minh:

Lời giải

a) Chứng minh được : DH vuông góc với

Chứng minh được:

b) Chứng minh được:

Tương tự

c) Chứng minh:

Chứng minh:

Từ

Bài 180: Cho hình vuông có cạnh bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh M là giao điểm của và

a) Chứng minh vuông góc với

b) Chứng minh

c) Tính diện tích theo

Lời giải

a)

vuông tại C vuông tại

Hay

b) Xét và có: ; chung

Mà do đó:

c)

Do đó:

Mà:

Vậy:

Trong theo Pitago ta có:

Do đó:

Bài 181: Cho tam giác có Đường phân giác và cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác

1. Tính độ dài đoạn thẳng BD theo

2. Chứng minh

3. Tính tỉ số diện tích của tứ giác và

Lời giải

1. 

2. 

G là trọng tâm

(ta let đảo )

3. 

Tính

Bài 182: Cho hình bình hành có đường phân giác các góc và cắt nhau tại M. Chứng minh thẳng hàng

Lời giải

Gọi N là trung điểm AB, P là trung điểm

Chứng minh và là các hình thoi

Suy ra là giao điểm của phân giác các góc và D

Suy ra trùng với M

Vậy thẳng hàng

Bài 183: Cho tam giác đều. Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh lần lượt tại và E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của và Gọi O là trọng tâm của tam giác

1. Chứng minh

2. Chứng minh vuông góc với

Lời giải

a)

b)

Từ , ta có: và

Suy ra

Bài 184: Cho hình chữ nhật có Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi lần lượt là trung điểm của

5. Tính diện tích tứ giác

6. Chứng minh

Lời giải

Tính

Kẻ

4. 

Bài 185: Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minh vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, I, C thẳng hàng

Lời giải

1. Chứng minh vuông cân

Ta có cân tại D

Mặt khác

Mà

Vậy vuông cân

2. Chứng minh O, C, I thẳng hàng

Theo tính chất đường chéo hình vuông là trung trực BD

Mà vuông cân

Tương tự

thuộc đường trung trực của DB, nên I thuộc đường thẳng CO

Hay O, C, I thẳng hàng.

Bài 186: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí điểm D, E sao cho

a) DE có độ dài nhỏ nhất

b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất

Lời giải

1. DE có độ dài nhỏ nhất

Đặt AB = AC = a không đổi ;

Áp dụng định lý Pytago với vuông tại A có:

Ta có DE nhỏ nhất nhỏ nhất

Nên D, E là trung điểm AB, AC

2. Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất

Ta có:

Vậy không đổi

Do đó khi D,E lần lượt là trung điểm AB, AC

Bài 187: Cho vuông tại A, có Kẻ đường cao AH và trung tuyến AM

a) Chứng minh

b) Tính BC; AH; BH; CH

c) Tính diện tích

Lời giải

1. Xét và có: ; chung

2. Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC có

Vì nên

Bài 188: Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ đường cao AH . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.

a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC.

b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK.

Lời giải

a) Chứng minh: _ABC  KPC ( g.g)

b) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK.

Ta có: (Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền trong tam giác vuông).

Lại có: (Giả thiết). Do đó: QH là đường trung trực của AK.

Bài 189: Cho tam giác ABC có . Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho . Đường phân giác của góc cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng: CF // AE.

Lời giải

Ta có:

cân ở C CA = CE (1)

Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF ở K. Ta có:

AE là phân giác của ABH

CAH và CBA đồng dạng (theo (1)) (4)

Từ (2), (3), (4) hay (đpcm)

Bài 190: Từ đỉnh A của ABC ta hạ các đường vuông góc AM, AN với phân giác trong và ngoài tương ứng của góc B. Hạ các đường vuông góc AP, AQ với phân giác trong và ngoài tương ứng của góc C.

a. Chứng minh rằng 4 điểm MNPQ thẳng hàng

b. Cho QN = 10 cm tính chu vi tam giác ABC

c. Cho điểm O chuyển động trên BC tìm vị trí của O sao cho tích khoảng cách từ O đến AB và AC đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

a) Gọi E = AB MN và F = AC PQ

ta thấy tứ giác AQCP và AMBN là hình chữ nhật

E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC EF // BC

Mà (vì cùng bằng ) nên PQ // BC PQ thuộc EF (1)

Tương tự M,N thuộc đường thẳng EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra M, N, P, Q thẳng hàng.

b) Ta có QN = QF + EF + EN (1)

Theo tính chất hình chữ nhật ta có

QF = (tính chất) (2)

NE = BC (tính chất) (3)

EF = (Tính chất đường trung bình tam giác) (4)

Từ (1) (2) (3) và (4) ta có QN = (AB + BC + CA)

Vậy QN = 10 cm thì chu vi của ABC = 2QN = 20 cm

C) Kẻ BI vuông góc với AC và CJ vuông góc với AB

Vì OH // CJ, OK // BI nên theo định lí ta lét ta có

Đặt OH = x, BI = p và CJ = q

Ta có 0 x q ; 0 OK p và

Do đó

OH. OK

Vậy OH . OK đạt giá trị lớn nhất là khi và chỉ khi x = hay O là trung điểm của BC

Bài 191: Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC (M khác B và C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K.

1. Chứng minh KM vuông góc với DB.

2. Chứng minh rằng: KC.KD = KH.KB.

3. Ký hiệu lần lượt là diện tích các tam giác ABM và DCM.

a) Chứng minh tổng không đổi.

b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a.

Lời giải

1.

Vì nên M là trực tâm do đó

2.

Xét có chung và

3a)

Vậy không đổi

3b)

Với hai số thực x , y bất kỳ ta có

.

Dấu bằng xảy ra khi x = y

Áp dụng ta có

Đẳng thức xảy ra khi là trung điểm của BC

Vậy min . Khi M là trung điểm của BC

Bài 192: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.

a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.

b) Chứng minh đồng dạng với

c) Biết diện tích gấp bốn lần diện tích .Chứng minh rằng: AC = 2EF.

d) Chứng minh rằng: .

Lời giải

a) Ta có (cùng phụ )

AB = AD ( gt)

(ABCD là hình vuông)

(g.c.g)

=> DM=AF, mà AF = AE (gt)

Nên. AE = DM

Lại có AE // DM ( vì AB // DC )

Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành

Mặt khác. (gt)

Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật

b) Ta có (g.g)

hay ( AB=BC, AE=AF)

Lại có (cùng phụ )

(c.g.c)

c) Từ ( cmt)

, mà (gt) nên BC² = (2AE)²

BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD

Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)

d) Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:

Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:

hay

(đpcm)

Bài 193: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.

a) Chứng minh rằng OM = ON.

b) Chứng minh rằng .

c) Biết S_AOB= 2015² (đơn vị diện tích); S_COD= 2016² (đơn vị diện tích). Tính S_ABCD.

Lời giải

a) Lập luận để có ,

Lập luận để có

OM = ON

b) Xét để có (1), xét để có (2)

Từ (1) và (2) OM.( )

Chứng minh tương tự ON.

từ đó có (OM + ON).

c) Từ ( cmt)

, mà (gt) nên BC² = (2AE)²

BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD

Chứng minh được

Thay số để có 2015².2016² = (S_AOD)² S_AOD = 2015.2016

Do đó S_ABCD= 2015² + 2.2015.2016 + 2016² = (2015 + 2016)² = 4031² (đơn vị DT)

_{Bài 1}94: _{Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HA. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E.}

1.Chứng minh CD.CB = CA.CE

2. Tính số đo góc BEC.

3. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Tia AM cắt BC tại G.

Chứng minh:

Lời giải

a) Xét ABC và DEC

Có BAC = EDC = 90⁰

C chung

ABC đồng dạng với DEC (g.g)

CD.CB = CA.CE (Đpcm)

b) Xét ADC và BEC có:

(Chứng minh trên)

C chung

ADC đồng dạng với BEC (c.g.c)

BEC = ADC ( cặp góc tương ứng) (1)

Lại có: HA = HD (gt)

AHD vuông cân tại H

ADH = 45⁰

ADC = 135⁰ (2)

Từ (1) và (2) BEC = 135⁰

c) Ta có : BEC = 135⁰ (cm ý b)

Mà BEC + BEA =180⁰

BEA = 45⁰

ABE vu«ng c©n t¹i A.

Mà M là trung điểm của BE nên tia AM là tia phân giác của góc BAC

Suy ra: (t/c đường phân giác của tam giác) (3)

Mà ABC đồng dạng với DEC (cm ý a)

(4)

Lại có ED // AH (Cùng vuông góc với BC)

(hệ quả định lí Talet)

Mặt khác AH = HD (gt)

= (5)

Từ (3), (4) và (5)

Bài 195: Cho tam giác vuông tại ( ), kẻ đường cao và đường trung tuyến ( ). Gọi lần lượt là hình chiếu của trên .

1. Chứng minh rằng:

a) .

b)

c) vuông góc với .

2. Giả sử diện tích tam giác bằng 2 lần diện tích tứ giác Chứng minh tam giác vuông cân.

Lời giải

1.

a) Chứng minh: .

Xét và

Có , (vì cùng phụ với

 (g-g)

Lại có nên Tứ giác là hình chữ nhật

b. Chứng minh:

Chứng minh 

Chứng minh 

Mà tứ giác là hình chữ nhật nên . Do đó = = ( Định lý Pytago áp dụng vào tam giác vuông ).

c) Chứng minh: .

Gọi là giao điểm của và , Tứ giác là hình chữ nhật nên

cân tại

vuông tại , có là trung điểm của nên cân tại

2. Theo giả thiết

Ta có

Từ (1) và (2) nên vuông cân tại .

Bài 196: Cho hình chữ nhật Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm P sao cho Kẻ vuông góc với AC tại H. Gọi Q là trung điểm của đường thẳng kẻ qua P song song với cắt AC tại N.

1. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

2. Khi M là trung điểm của Chứng minh vuông góc với

3. Đường thẳng cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng

Lời giải

1. Chứng minh được

Chứng minh được

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác là hình bình hành.

2. Gọi E là trung điểm chứng minh được là đường trung bình nên (vì và

Chứng minh và là hình hành

Chứng minh

Xét có BK và QE là hai đường cao của tam giác nên là trực tâm của tam giác nên là đường cao thứ ba của tam giác

Vẽ tia vuông góc với AF. Gọi giao của với CD là G.

Chứng minh (cùng phụ với

Ta có: vuông tại A có nên

Ta chia hai vế của (1) cho mà (đl Pytago)

Bài 197: Cho tam giác vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia tại D, cắt tia BA tại E.

1. Chứng minh :

2. Chứng minh rằng khi điểm di chuyển trên cạnh thì tổng có giá trị không đổi

3. Kẻ Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng Chứng minh

Lời giải

4. Chứng minh

5. Kẻ . Ta có :

Tương tự:

Từ (1) và (2) suy ra

(Không đổi)

6. 

Chứng minh được:

_Mà

Bài 198: Cho tam giác vuông ở A có AM là phân giác . Đường thẳng qua M và vuông góc với BC cắt đường thẳng tại N. Chứng minh rằng

Lời giải

Kẻ tại H , tại K là hình vuông

Ta có: (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) (2)

Từ (1) và (2)

Bài 199: Cho hình vuông có cạnh bằng Trên cạnh lấy điểm Đường thẳng vuông góc với tại M cắt tại N.

1. Cho Tính diện tích tam giác

2. Xác định vị trí của trên cạnh để có độ dài lớn nhất.

Lời giải

1. Hai tam giác vuông và có:

(cùng phụ với

Ta có:

2. Đặt

Từ

Độ dài ND lớn nhất là khi hay M là trung điểm của

Vậy để độ dài ND lớn nhất thì vị trí của là trung điểm của CD.

Bài 200: Cho hình vuông có AC cắt BD tại O. là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC . Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho

1. Chứng minh : vuông cân

2. Chứng minh:

3. Từ C kẻ . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.

Lời giải

1. Xét và

Vì là hình vuông nên ta có: OB=OC

Và

và

Lại có: vì tứ giác là hình vuông

kết hợp với vuông cân tại O

2. Từ giả thiết tứ giác là hình vuông và AB = CD

+) (định lý Ta let) (*)

Mà BE và thay vào

Ta có: (Ta let đảo)

3. Gọi là giao điểm của và BN

Từ (cặp góc so le trong)

Mà vì vuông cân tại O

kết hợp (hai góc đối đỉnh)

Vậy

Mà hay 3 điểm thẳng hàng (đpcm)

Bài 201: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) . Các đường cao cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng vuông góc với HM, cắt lần lượt tại I và K

1. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EFC

2. Qua kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng cắt AH, AB theo thứ tự tại và D. Chứng minh

3. Chứng minh

Lời giải

1. Ta có

Xét và có chung

2. Vì là trực tâm

mà (H là trực tâm

Do là trung điểm BC

3. Ta có:

Tương tự ta có:

Dấu xảy ra khi đều mà theo gt nên không xảy ra dấu bằng.

Bài 202: Cho tam giác nhọn, các đường cao là trực tâm.

1. Tính tổng

2. Gọi là phân giác của tam giác thứ tự là phân giác của góc và góc Chứng minh rằng:

3. Chứng minh rằng:

Lời giải

1. 

Tương tự:

2. Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác

3. Vẽ Gọi là điểm đối xứng của qua

Chứng minh được góc vuông,

Xét 3 điểm ta có :

vuông tại A nên :

Tương tự:

Chứng minh được:

Đẳng thức xảy ra đều

Bài 203: 1) Cho hình vuông , gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, dựng hình vuông Qua dựng đường thẳng song song với AB, d cắt AH tại E.Đường thẳng AH cắt DC tại F.

4. Chứng minh rằng

5. Tứ giác là hình gì

6. Chứng minh chu vi tam giác không đổi khi thay đổi trên BC

2) Cho tam giác có Các điểm E và F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho và Tính

Lời giải

4.1

a) Do ABCD là hình vuông nên

mà là hình vuông

Từ suy ra

Do đó, và

b) Do là hình vuông

thẳng hàng

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông

là tâm đối xứng của hình vuông

là đường trung trực đoạn MN, mà

và

Từ là hình thoi (5)

c) Từ (5) suy ra

Mà

Gọi chu vi tam giác là và cạnh hình vuông là

Ta có:

(Vì

Do đó, chu vi tam giác không đổi khi thay đổi trên BC

4.2

Xét có

có

Gọi D là trung điểm của và G là điểm trên AB sao cho

Khi đó,

Do đó CG và lần lượt là tia phân giác của và nên:

Do đó,

Từ đó suy ra (Định lý Talet đảo)

Bài 204: Cho tam giác vuông tại A có là tia phân giác của . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên và là giao điểm của và là giao điểm của CM và

1. Chứng minh tứ giác là hình vuông và

2. Gọi là giao điểm của và Chứng minh đồng dạng với và H là trực tâm

3. Gọi giao điểm của và là K, giao điểm của và BC là O, giao điểm của và AD là Chứng minh :

Lời giải

1. *Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông

+) Chứng minh

Suy ra tứ giác là hình chữ nhật

+)Hình chữ nhật có AD là phân giác của nên tứ giác là hình vuông.

*Chứng minh EF // BC

+) Chứng minh :

Chứng minh:

Chứng minh

Chứng minh

Từ suy ra

2. Chứng minh

Chứng minh suy ra

Chứng minh

Chứng minh

Chứng minh Suy ra

Từ (5) (6) (7) (8) suy ra

*chứng minh H là trực tâm tam giác AEF

Vì nên

Mà

Suy ra , Tương tự: , suy ra H là trực tâm

3. Đặt Khi đó:

Theo định lý AM-GM ta có:

Tương tự :

Suy ra

Dấu xảy ra khi và chỉ khi là tam giác đều, suy ra trái với giả thiết.