DẠNG 2: SỐ NGUYÊN TỐ

A.Bài toán

1. Chứng minh thì là hợp số

2. Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố

3. Cho và là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng là hợp số.

4. Số tự nhiên là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích

5. Cho là các số nguyên khác 0, sao cho Chứng minh rằng không phải là số nguyên tố.

6. Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố.

7. Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố

8. Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương

9. Chứng minh rằng nếu thì không là số nguyên tố

10. Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pⁿ có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau.

11. Tìm các số nguyên dương n để là số nguyên tố.

12. Chứng minh: và là hai số nguyên tố cùng nhau

Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên

13. Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố.

Số tự nhiên là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích

15. Tìm tất cả các số nguyên dương để là số nguyên tố

16. Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết:

17. Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố

18. Cho là số tự nhiên lẻ. Chứng minh chia hết cho

19. Cho trong đó là số nguyên tố. Tìm các giá trị của để tổng các ước dương của là số chính phương.

20. Tìm các số nguyên tố và sao cho

21. Tìm các số tự nhiên để là số nguyên tố

22. Chứng minh rằng: Nếu a N, a > 1 thì A = (a² + a +1)(a² + a + 2) – 12 là hợp số

23. Tìm tất cả các số nguyên dương là số nguyên tố

24. Cho Tìm tất cả các số tự nhiên .. ..để là số nguyên tố.

25. Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết: .

26. Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết: . .

27. Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố

B. HƯỚNG DẪN

1. Chứng minh thì là hợp số

Lời giải

Ta có:

Do nên và . Vậy là hợp số

2. Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố

Lời giải

Để A là nguyên tố thì . Khi đó

3. Cho và là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng là hợp số

Lời giải

Do là số nguyên tố lớn hơn nên có dạng

với

+ Nếu

thì

Suy ra

là hợp số (vô lý)

+Nếu thì

Do nên Do đó là hợp số.

4. Số tự nhiên là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích

Lời giải

nên có thể viết

là hợp số

5. Cho là các số nguyên khác 0, sao cho Chứng minh rằng không phải là số nguyên tố.

Lời giải

Ta có:

Mà

Ta thấy do đó nếu là các số nguyên tố thì xảy ra các trường hợp sau:

6. Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố.

Lời giải

Vì là số tự nhiên nên Như vậy muốn là số nguyên tố thì ta phải có

Khi đó là số nguyên tố .

7. Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố

Lời giải

Ta có:

Vì

Có: và

Vậy là số nguyên tố thì

8. Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương

Lời giải

Để và là hai số chính phương

và

Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:

Từ

Thay vào ta được

Vậy với thì và là hai số chính phương

9. Chứng minh rằng nếu thì không là số nguyên tố

Lời giải

Vì nên giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ nhất là 1 khi

Giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ hai là nếu

Còn các trường hợp khác là tích

Vậy ngoài khi đó thì có thể phân tích thành tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên không thể là số nguyên tố.

10. Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pⁿ có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau.

Lời giải

Do p là số nguyên tố và p > 3 nên p không chia hết cho 3. (*)

pⁿ có 20 chữ số. Các chữ số chỉ có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gồm 10 chữ số đôi một khác nhau.

Nếu không có quá nhiều hơn 2 chữ số giống nhau thì mỗi chữ số phải có mặt đúng 2 lần trong cách viết số pⁿ. Như vậy tổng các chữ số của số pⁿ là: 2(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 90 3 nên pⁿ . .3

Điều này mâu thuẫn (*).

Vậy trong số pⁿ phải có ít nhất 3 chữ số giống nhau.

11. Tìm các số nguyên dương n để là số nguyên tố.

Lời giải:

+ Với ta có là số nguyên tố.

+ Với ta có

Mặt khác, ta có

* Chú ý :

Mà

Suy ra

Tương tự,

Khi đó,

Suy ra với thì là hợp số.

Vậy, thì là số nguyên tố.

Chứng minh: và là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải

Chứng minh: và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Gọi ,

Khi đó,

Vậy, và là hai số nguyên tố cùng nhau.

13. Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên

Lời giải

Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên.

Giả sử , mà

Khi đó (*)

Vì 7, p là các số nguyên tố,

nên từ (*) suy ra hoặc .

, đúng.

.

Giải ra ta được m = 2 hoặc m = -3 đều không thỏa mãn điều kiện .

Vậy chỉ có số nguyên tố p = 73 là số cần tìm.

Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố.

Lời giải

Vì là số tự nhiên nên Như vậy muốn là số nguyên tố thì ta phải có

Khi đó là số nguyên tố

15. Số tự nhiên là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích

Lời giải

nên có thể viết

là hợp số

16. Tìm tất cả các số nguyên dương

để là số nguyên tố

Lời giải

Đặt:
Với thì là số nguyên tố

Với ta có:

Ta lại có:

. Suy ra mà nên A là hợp số.

Vậy là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện

17. Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết:

Lời giải

Biến đổi được

Nếu không thỏa mãn đề Câu

Nếu thỏa mãn đề Câu vì

Nếu không thỏa mãn đề Câu vì khi đó có từ 3 ước trở lên là và

Vậy thì là số nguyên tố.

18. Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố

Lời giải

Ta có:

Vì

Có: và

Vậy là số nguyên tố thì

19. Cho là số tự nhiên lẻ. Chứng minh chia hết cho

Lời giải

Ta có:

Vì là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết cho 3.

Do đó

Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với suy ra

20. Cho trong đó là số nguyên tố. Tìm các giá trị của để tổng các ước dương của . _. là số chính phương.

Lời giải

Các ước dương của là

Tổng các ước là

Ta có:

Do đó :

Vậy

21. Tìm các số nguyên tố và sao cho

Lời giải

Ta có:

Xét trường hợp :

Khi đó ta có (do nguyên tố) . Từ đó suy ra

Xét trường hợp

Khi đó ta có: (do y nguyên tố) suy ra

22. Ta có:

Với thì

Nên để B là số nguyên tố thì trước hết

Hay

Thử lại , với thì

37 là số nguyên tố nên là giá tị cần tìm

23. Đặt a²+ a + 1 = x (1)

A = x(x + 1) – 12 = x² + x – 12= x² – 3x + 4x – 12

= (x² – 3x) + (4x – 12) = x(x - 3) + 4(x - 3)

= (x - 3)(x + 4)

Thay (1) vào biểu thức A, ta có

A = (a² + a - 2)(a² + a + 5)

= (a² + 2a – a - 2)(a² + a + 5)

= (a - )( a + 2)(a² + a + 5)

Ta thấy

Vậy A là hợp số

Lời giải

Đặt:
Với thì là số nguyên tố

Với ta có:

Ta lại có:

Suy ra nên A là hợp số

Vậy n =1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện.

25. Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố.

Lời giải

Vì n là số tự nhiên nên . Như vậy muốn là số nguyên tố thì phải có hay

Khi đó là số nguyên tố.

26. Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết: .

Lời giải

Biến đổi được

Nếu không thỏa mãn đề bài

Nếu thỏa mãn đề bài vì

Nếu không thỏa mãn đề bài vì khi đó có từ 3 ước trở lên là và

Vậy thì là số nguyên tố.

27. Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết:

Lời giải

1) Biến đổi được

Nếu không thỏa mãn đề bài

Nếu thỏa mãn đề bài vì

Nếu không thỏa mãn đề bài vì khi đó có từ 3 ước trở lên là và

Vậy thì là số nguyên tố.

28. Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố

Lời giải

Ta có:

Vì

Có: và

Vậy là số nguyên tố thì