DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

A.Bài toán

1. _{Tìm các cặp số nguyên} sao cho:

_{Tìm nghiệm nguyên của phương trình:}

_{Tìm các số nguyên} thỏa mãn:

_{Tìm các số nguyên} thỏa mãn:

_{Tìm các giá trị} nguyên dương sao cho :

6. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3^x – y³ = 1

7. Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: x² + y² + 5x²y² + 60 = 37xy.

8. Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn và

9. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

10. _{Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng của ba tích của hai trong ba số ấy bằng .}

11. _. Tìm các giá trị nguyên dương sao cho:

12. : Tìm nguyên dương thỏa mãn:

13. Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên.

14. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

Bài 15: Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn:

15. Tìm các giá trị nguyên dương sao cho

16. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình:

17. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn

18. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn sao cho tích đạt giá trị lớn nhất.

19. Với giá trị nào của và thì đa thức phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên.

20. a) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn

b) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn sao cho tích đạt giá trị lớn nhất.

21. Ký hiệu (phần nguyên của ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá Tìm biết rằng:

22. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn:

Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:

Tìm nguyên dương thỏa mãn:

25. Tìm các số nguyên thỏa mãn:

26. Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

27. Tìm các số nguyên thỏa mãn

28. Giải phương trình nghiệm nguyên :

29. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn

1. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn:

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn:

31. Giải phương trình nghiệm nguyên:

32. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn

33. Tìm cặp số nguyên thỏa mãn phương trình:

34. Tìm các số nguyên thỏa mãn:

35. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

36. Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

37. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

38. Tìm các giá trị nguyên dương sao cho

39. Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn:

40. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn:

41. Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

42. Giải phương trình nghiệm nguyên:

43. Giải phương trình nghiệm nguyên :

_a) Tìm các số nguyên thỏa mãn:

b) Tìm các số nguyên thỏa mãn: với nguyên dương.

45. Tìm giá trị nguyên của x để biết và

46. Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

47. Giải phương trình nghiệm nguyên: .

48. Tìm nghiệm nguyên của phương trình

.

_{Tìm các số nguyên} x, y thỏa mãn

50. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

51. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn:

52. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:

x³ + 2x² + 3x + 2 = y³

53. Giải phương trình nghiệm nguyên : x² + y² = 3 - xy

54. Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

55. Tìm các số nguyên thỏa mãn:

Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên

57. Giải phương trình tìm nghiệm nguyên:

58. _{Tìm các số nguyên} thỏa mãn:

59. _{Giải phương trình nghiệm nguyên:}

60. _{Tìm các cặp số nguyên} thỏa mãn:

61. _{Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:}

62. _{Tìm các số nguyên} thỏa mãn:

63. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình:

64. _{Tìm các số nguyên} thỏa mãn:

65. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn

66. Giải phương trình nghiệm nguyên:

B. HƯỚNG DẪN

1. _{Tìm các cặp số nguyên} sao cho:

Lời giải

Ta có:

Đặt : và Suy ra và là các ước của có tích bằng Nhận thấy là số nguyên tố, từ đó ta có các trường hợp như bảng sau:

				10

Vậy các cặp số nguyên cần tìm là

_{Tìm nghiệm nguyên của phương trình:}

Lời giải

(vì không là nghiệm của )

Vì nguyên nên là ước của 3 hay

	2	6	4	8
	0	8	0	8

_{Vậy nghiệm của phương trình}

3. . Tìm các số nguyên thỏa mãn:

Lời giải

_{Ta có:}

Từ và ta có: mà nguyên suy ra

Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được

_Vậy

4. Tìm các số nguyên thỏa mãn:

Lời giải

Ta có:

Ta thấy nên do nguyên nên

Với thay vào ta được: tìm được

Với thay vào ta có: , không tìm được nguyên

Với thay vào ta có không tìm được nguyên

Vậy

5. Tìm các giá trị nguyên dương sao cho :

Lời giải

Ta có:

Do là số chẵn và nên Do đó và là hai số nguyên dương chẵn

Từ đó suy ra chỉ có một trường hợp : và

và Vậy

6. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3^x – y³ = 1

Lời giải

3^x – y³ = 1  3^x = y³ + 1 (1)

- Dễ thấy x = y = 0 là một nghiệm của (1).

- Nếu x < 0 thì 3^x = ( n nguyên dương, n = - x)

suy ra 0 < 3^x < 1. Mà y³ + 1 là số nguyên, suy ra (1) không có nghiệm nguyên.

- Nếu x > 0 thì 3^x 3

(1)  3^x = (y + 1)³ – 3y(y + 1)  (y + 1)³ 3 nên y + 1 3

Đặt y + 1 = 3k ( k nguyên), suy ra y = 3k – 1. Thay vào (1) ta được: 3^x = (3k – 1)³ + 1 = 9k(3k² – 3k + 1) nên 3k² – 3k + 1 là ước của 3^x mà 3k² – 3k + 1 3 và 3k² – 3k + 1=

nên 3k² – 3k + 1 = 1  3k(3k – 1) = 0  k = 0 hoặc k = 1.

Với k = 0 thì y = - 1 suy ra 3^x = 0 phương trình vô nghiệm.

Với k = 1 thì y = 2 suy ra 3^x = 9 nên x = 2.

7. Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: x² + y² + 5x²y² + 60 = 37xy.

Lời giải

a) x² + y² + 5x²y² + 60 = 37xy.

x² + y² – 2xy = 35xy - 5x²y² - 60

(x – y)² = 5(3 – xy)(xy – 4) (1)

Vì (x – y)² ≥ 0 nên 5(3 – xy)(xy – 4) ≥ 0 3 ≤ xy ≤ 4 xy {3;4}

Đẳng thức (1) xảy ra .
Vậy (x,y) {(2;2);(-2;-2)}

8. Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn và

Lời giải

_Vì nên , do đó

9. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Lời giải: Thêm vào hai vế của phương trình ta có:

Ta thấy là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0

TH1:

TH2: ta có nên

Thử lại ba cặp số đều là nghiệm của phương trình đã cho.

10. _{Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng của ba tích của hai trong ba số ấy bằng}

Lời giải

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là . Ta có:

Vậy ba số tự nhiên liên tiếp cần tìm là

11. . Tìm các giá trị nguyên dương sao cho:

Lời giải

Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng

Lập luận để có và là các ước dương của 12. Từ đó ta có các trường hợp:

		6	4
	1	2	3
		4

Mà nguyên dương nên

12. : Tìm nguyên dương thỏa mãn:

Lời giải

Vì nguyên dương nên và

Phương trình có nghiệm dương duy nhất

13. Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên.

Lời giải:

ĐKXĐ:

Ta có:

Để A có giá trị nguyên khi x nguyên thì

Lập bảng:

2x +1	-4	-2	-1	1	2	4
2x	-5	-3	-2	0	1	3
x			-1	0

Vậy, .

14. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

Giải:

+) Với dương, ta có:

(theo bất đẳng thức

Mặt khác:

Suy ra và đẳng thức xảy ra

+)Áp dụng với ta có:

_{Đẳng thức xảy ra}

15. Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn:

Giải:

1. 

_{Có các giá trị}

Tìm các giá trị nguyên dương sao cho

Giải:

Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng

Lập luận để có và là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp

	12
	1

_Mà nguyên dương nên

17. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình:

Lời giải

	7	-1	5	1	11	-5	4	2	19	-13
	1	-7	5	-11	-1	5	13	-19	-2	-4

Vậy các cặp số nguyên phải tìm là:

18. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn

Lời giải

V T (*) là số chính phương, VP (*) là tích hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0

Với

Với

19. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn sao cho tích đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

Điều kiện

Vì với mọi mọi y

Do đó mà

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

20. Với giá trị nào của và thì đa thức phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên.

Lời giải

Giả sử :

Khử ta có:

Vì nguyên ta có:

21. a) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn

b) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn sao cho tích đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

VT (*) là số chính phương, VP (*) là tích hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0

Với

Với

Điều kiện

Vì với mọi mọi y

Do đó mà

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

22. Ký hiệu (phần nguyên của ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá Tìm biết rằng:

Lời giải

vả

Do

23. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn:

Lời giải

1. 

Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:

Lời giải

Ta có:

Vì nên

(2) viết thành:

Vậy

25. Tìm nguyên dương thỏa mãn:

Lời giải

Ta có:

Vì nguyên dương nên

và

Phương trình có nghiệm dương duy nhất

26. Tìm các số nguyên thỏa mãn:

Lời giải

Ta có:

Từ và ta có: mà nguyên suy ra

Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được

Vậy

27. Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

Lời giải

Gọi các cạnh của tam giác vuông là trong đó cạnh huyền là

là các số nguyên dương). Ta có

và

Từ (2) suy ra thay (1) vào ta có:

thay vào (1) ta được:

Từ đó tìm được các giá trị của là:

28. Tìm các số nguyên thỏa mãn

Lời giải Ta có:

Từ (1) và (2) ta có : mà nguyên suy ra

Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được

Từ đó tìm được hai cặp số thỏa mãn Câu toán là:

29. Giải phương trình nghiệm nguyên :

Lời giải

Ta có:

Lại có:

Suy ra Mà

Lần lượt thử ta được là nghiệm của PT

30. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn

Lời giải

Ta có:

Vì nguyên nên nên ta có:

Vì nguyên nên ta có nguyên

Xét các trường hợp ta tìm được thỏa mãn và kết luận

1. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn:

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn:

Lời giải

1. Ta có: (*)

+Xét ta có:

+Xét và ta có VT(*) là số chẵn còn vế phải (*) là số lẻ, Vô lý

Vậy

2. Ta có:

Vì và nên

32. Giải phương trình nghiệm nguyên:

Lời giải

33. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn

Lời giải

Ta có:

Vì nguyên nên nên ta có:

Vì nguyên nên ta có nguyên

Xét các trường hợp ta tìm được

34. Tìm cặp số nguyên thỏa mãn phương trình:

Lời giải

Vì:

Mà

Mặt khác với mọi x

Với , ta có:

Vì y Z nên y³ = 1 y = 1

Vậy phương trình có một nghiệm nguyên

35. Tìm các số nguyên thỏa mãn:

Lời giải

Do nên

thỏa mãn nguyên

Vậy

36. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Lời giải

Ta thấy là nghiệm của phương trình đã cho.

Với ta xét:

Nếu thì

Với dễ thấy không phải là nghiệm của phương trình

Với ta đặt thì nên . Ta có:

Phương trình này vô nghiệm vì

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

37. Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

Lời giải: Gọi các cạnh của tam giác vuông là trong đó cạnh huyền là ( là các số nguyên dương)

Ta có: và

Từ (2) suy ra thay (1) vào ta có:

Suy ra thay vào ta được:

Từ đó ta tìm được các giá trị của là:

38. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

Lời giải

+) Với dương, ta có:

(theo bất đẳng thức

Mặt khác:

Suy ra và đẳng thức xảy ra

+)Áp dụng với ta có:

Đẳng thức xảy ra

39. Tìm các giá trị nguyên dương sao cho

Lời giải Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng

Lập luận để có và là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp

	12
	1

Mà nguyên dương nên

40. Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn:

Lời giải

Có các giá trị

41. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn:

Lời giải

42. Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

Lời giải

Gọi các cạnh của tam giác vuông là trong đó cạnh huyền là

là các số nguyên dương). Ta có

và

Từ (2) suy ra thay (1) vào ta có:

thay vào (1) ta được:

Từ đó tìm được các giá trị của là:

43. Giải phương trình nghiệm nguyên:

Lời giải

Từ suy ra

Vậy phương trình đã cho có các cặp nghiệm nguyên là

44. Giải phương trình nghiệm nguyên :

Lời giải

Ta có:

Lại có:

Suy ra Mà

Lần lượt thử ta được là nghiệm của phương trình

45. a) Tìm các số nguyên thỏa mãn:

b) Tìm các số nguyên thỏa mãn: với nguyên dương.

Lời giải

a) Ta có:

Từ và ta có: mà nguyên suy ra

Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được

_Vậy

Vì nguyên dương nên

Vậy

46. Tìm giá trị nguyên của x để biết và

Lời giải

Xét

Với thì khi

Mà Ư nên thì

47. Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

Lời giải

Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y , z ; trong đó cạnh huyền là z

(x, y, z là các số nguyên dương)

Ta có : và

Từ (2) suy ra thay (1) vào ta có :

thay (1) vào ta có:

, thay vào (1) ta được:

Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là :

48. Giải phương trình nghiệm nguyên: .

Lời giải

Đặt x²- 4x = t. ĐK t - 4

Khi đó ta có được phương trình: t² + 2t - 35 = 0 (t + 7)(t – 5) = 0

t = -7 (loại) hoặc t = 5

Với t = 5, khi đó x² - 4x - 5 = 0 (x +1)(x – 5) = 0 x = 5 hoặc x = -1

Vậy tập nghiệm phương trình là S = {-1; 5}

49. Tìm nghiệm nguyên của phương trình

.

Lời giải

Đặt ta được

Vì x, y là những số nguyên nên và cũng là những số nguyên. Do đó ta có hai trường hợp sau:

* TH1: và . Suy ra và .

Với thì hoặc .

* TH2: và . Suy ra và .

Với thì hoặc .

Vậy PT đã cho có 4 nghiệm nguyên là

50. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn

Lời giải

Ta có (1)

(2)

Từ (1) và (2) ta có x < y < x + 2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1

Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = 1;

Từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:

(-1 ; 0) và (1; 2)

KL nghiệm

51. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Lời giải

Ta có:

Vì và 64 chỉ được phân tích thành nên ta có:

hoặc hoặc

Vậy pt đã cho có 4 nghiệm nguyên:

52. : Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn:

Lời giải

Ta có: (*)

VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0

*) Với

*) Với

Vậy có 2 cặp số nguyên hoặc .

53. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: x³ + 2x² + 3x + 2 = y³

Lời giải

Ta có: = 2

> 0

Từ (1) và (2) ta có :

Thay y = x + 1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x = 1 hoặc -1.

Từ đó tìm được hai cặp số (x;y) thỏa mãn bài toán là (-1;0); (1;2)

54. Giải phương trình nghiệm nguyên : x² + y² = 3 - xy

Lời giải

Ta có:

Lại có:

Suy ra

Lần lượt thử ta được là nghiệm của phương trình.

Lời giảiGọi các cạnh của tam giác vuông là trong đó cạnh huyền là z.

là các số nguyên dương).

Ta có:

Từ (2) suy ra , thay (1) vào ta có:

Suy ra thay vào (1) ta được:

Từ đó tìm được các giá trị của là:

56. Tìm các số nguyên thỏa mãn:

Lời giải

1. Ta có:

Từ và ta có: mà nguyên suy ra

Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được

Vậy

57. Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên

Lời giải

Để B nhận giá trị nguyên thì

58. Giải phương trình tìm nghiệm nguyên:

Lời giải

Ta nhận thấy với mọi

Nên

Theo câu a):

Suy ra :

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên

Ta có:

Ta thấy: nên do nguyên nên

Với thay vào ta được tìm được

Với thay vào ta có : không tìm được x nguyên

Với thay vào ta có: không tìm được nguyên.

Vậy nguyên tìm được

60. Biến đổi về dạng :

Xét 4 trường hợp

61. Ta có:

VT của (*) là số chính phương ; VP của (*) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên phải có một số bằng 0

Vậy có 2 cặp số nguyên

62. 

(vì không là nghiệm của phương trình (2))

Vì nguyên nên là ước của 3

Hay hay

Khi Khi

Khi Khi

_{Vậy phương trình có nghiệm nguyên là}

63. Ta có:

Từ và ta có: mà nguyên suy ra

Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được

Vậy

64. Bài 6.

	7	-1	5	1	11	-5	4	2	19	-13
	1	-7	5	-11	-1	-5	13	-19	-2	-4

Vậy các cặp số nguyên phải tìm là:

Lời giải

Ta có:

Từ và ta có: mà nguyên suy ra

Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được

_Vậy

66. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn

Lời giải

Ta có:

Vì nguyên nên nên ta có:

Vì nguyên nên ta có nguyên

Xét các trường hợp ta tìm được thỏa mãn và kết luận.

67. Giải phương trình nghiệm nguyên:

Lời giải

1.