Đề Thi HSG Toán 12 Tỉnh Quảng Trị Có Đáp Án – Đề 2

Câu

Ý

Nội dung

Điểm

1

(3,0đ)

Ta có

_{Hàm số nghịch biến trong khoảng}

Xét hàm số trên khoảng

Ta có

Từ bảng biến thiên suy ra

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

2

(4,0đ)

1

(1,0đ)

Giải: Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương với

Đặt ta có ,

Phương trình trở thành:

Với ta có Phương trình vô nghiệm do

Với ta có

Vậy phương trình có nghiệm

0,5

0,5

0,5

0,5

2

(2,0đ)

Điều kiện:

_{Xét hàm số} ta có , hàm số đồng biến trên nên từ ta có

Thế vào ta có phương trình:

( điều kiện )

Với ta có

Do đó phương trình vô nghiệm, phương trình có hai nghiệm

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm

0,5

0,5

0,5

0,5

3

(2,0đ)

Tương tự ta có

Xét

Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra

Ta có dấu đẳng thức xảy ra khi

Vậy

0,5

0,5

0,5

0,5

4

(2,0đ)

Gọi là số cạnh của đa giác.

Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác

Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và có 1 cạnh chung với (H) là

Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và có 2 cạnh chung với (H) là

Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và không có cạnh chung với (H) là

Theo giả thiết

Giải phương trình này, ta được

0,5

0,5

0,5

0,5

5

(6,0đ)

1

(3,0đ)

Gọi

Ta có và chung nên

Ta có

Suy ra

Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm

Phương trình đường thẳng

Tọa độ là nghiệm của hệ:

Do có hoành độ dương nên

Phương trình đường thẳng

Gọi là giao điểm thứ 2 của và đường tròn

Phương trình đường thẳng

Tọa độ là nghiệm của hệ

Suy ra

Do nên

1,0

0,5

0,5

0,5

0,5

2

(3,0đ)

Góc giữa và là suy ra

Ta có

Ta có

Hạ ta có mặt khác

suy ra Vậy

Ta có và

Vậy

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

6

(3đ)

1

(1,5đ)

Ta có

khi

khi

Do đó nếu thì . Do nên

Ta lại có:

Dãy tăng và bị chặn nên có giới hạn hữu hạn.

Đặt Ta có

Vậy

0,5

0,5

0,5

2

(1,5đ)

Từ ý 1, ta có thì dãy có giới hạn hữu hạn.

Hiển nhiên với thì dãy là dãy hằng nên có giới hạn hữu hạn.

Với , dễ dàng chứng minh được và dãy giảm nên có giới hạn

Với hoặc thì nên có giới hạn hữu hạn

Vậy với mọi , dãy có giới hạn hữu hạn.

0,5

0,5

0,5