10 Đề thi HSG Môn Toán 8 cấp huyện có lời giải chi tiết

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

Câu 1. (4,0 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

b)

Câu 2. (5,0 điểm)

Cho biểu thức :

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của để

c) Tính giá trị của A trong trường hợp

Câu 3. (5,0 điểm)

a) Tìm thỏa mãn phương trình sau:

b) Cho và Chứng minh rằng:

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho hình bình hành có đường chéo lớn hơn đường chéo Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD

a) Tứ giác là hình gì ? Vì sao ?

b) Chứng minh rằng :

c) Chứng minh rằng:

ĐÁP ÁN

Câu 1.

Câu 2.

ĐKXĐ:

b)

Vậy thì

Câu 3.

a)

Do

Nên :

b) Từ

Ta có:

Câu 4.

a) Ta có

Chứng minh

Suy ra tứ giác là hình bình hành

b) Ta có :

Chứng minh

c) Chứng minh

Chứng minh

Mà

Suy ra

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1. (2,0 điểm)

Rút gọn biểu thức

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Tìm số dư trong phép chia đa thức cho

b) Tìm mọi số nguyên sao cho chia hết cho

Câu 3. (4,0 điểm)

Giải các phương trình:

a)

b)

Câu 4. (4,0 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a)

b)

Câu 5. (4,0 điểm)

Cho tam giác cân tại A. tương ứng là trung điểm của BC, AM. H là hình chiếu của M trên CD. AH cắt BC tại N, BH cắt AM tại E. Chứng minh rằng

a)

b) là trực tâm

Câu 6. (2,0 điểm)

Cho hình chữ nhật Gọi là trung điểm của cạnh CD và N là một điểm trên đường chéo sao cho Gọi F là điểm đối xứng của A qua N. Chứng minh rằng

ĐÁP ÁN

Câu 1. Ta có:

Vậy

Câu 2.

a) Đặt

Ta có:

Vậy số dư trong phép chia cho là

b) Thực hiện phép chia đa thức cho , ta được: Đa thức thương: đa thức dư:

Suy ra :

Do đó

Vì nên:

Vì nên xảy ra một tong hai trường hợp sau:

không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy

Câu 3.

a) Đặt

Ta có (pt đề)

Vậy

b) ĐKXĐ:

Vậy

Câu 4.

a) Áp dụng tính chất dấu xảy ra ta có:

Dấu “=” xảy ra và và

Vậy

b) Ta có

Với mọi ta có:

Câu 5.

a) Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của

Mà cân tại A (gt) nên AM là đường cao của

Xét và có:

b) (câu a)

Mặt khác ta có:

Suy ra

Do đó:

Kết hợp với là trực tâm

Câu 6.

Gọi I là trung điểm của BF, đường thẳng NI cắt BC tại E

Ta có: đối xứng với A qua N (gt) là trung điểm của

Mà I là trung điểm của BF nên NI là đường trung bình

Mặt khác (ABCD là hình chữ nhật và M là trung điểm của CD)

suy ra và

Tứ giác là hình bình hành

Mà tại K

Do đó I là trực tâm

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MÔN: TOÁN LỚP 8

Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 2. Tìm đa thức A, biết rằng

Bài 3. Cho phân thức

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định

b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1

Bài 4. a) Giải phương trình :

b) Giải bất phương trình :

Bài 5. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình

Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất được 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất được 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày

Bài 6. Cho vuông tại A, có Kẻ đường cao AH và trung tuyến AM

a) Chứng minh

b) Tính BC; AH; BH; CH

c) Tính diện tích

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TOÁN 8 CẤP HUYỆN

Bài 1.

Bài 2.

Bài 3.

b) Rút gọn

Bài 4. a) Điều kiện xác định

Vậy

b)

Vậy nghiệm của phương trình là

Bài 5.

- Gọi số ngày tổ dự đinh sản xuất là : x ngày (

- Vậy số ngày tổ đã thực hiện (ngày)

- Số sản phẩm làm theo kế hoạch là : (sản phẩm)

- Số sản phẩm thực hiện là : (sản phẩm)

Theo đề bài ta có phương trình :

(thỏa mãn)

Vậy số ngày dự định sản xuất là 10 ngày

Số sản phẩm phải làm theo kế hoạch là : (sản phẩm)

Bài 6

a) Xét và có: ; chung

b) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC có

Vì nên

ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 8

Bài 1. (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh :

chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n

Bài 2. (2 điểm)

Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức tại

c) Tìm giá trị của để

Bài 3. (1 điểm) Cho ba số thỏa mãn

Tính

Bài 4. (4 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của Gọi P là giao điểm của AN với DM

a) Chứng minh là tam giác vuông

b) Tính diện tích của tam giác

c) Chứng minh tam giác là tam giác cân

Bài 5. (1 điểm)

Tìm các giá trị nguyên dương sao cho

ĐÁP ÁN

Bài 1.

b) Theo phần a ta có:

Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên có một bộ của 2, 1 bội của 3, 1 bội của 5, 1 bội của 7

Mà nên

Bài 2.

a) Với thì

b) Tại

c) Với thì

Bài 3

Thay vào M ta có:

Bài 4.

a) Chứng minh

Mà ( vuông tại A)

Do đó: Hay vuông tại P

b) Tính được

c) Gọi I là trung điểm của AD. Nối C với I; CI cắt DM tại H

Chứng minh tứ giác là hình bình hành

mà

Hay là đường cao trong

Vận dụng định lý về đường trung bình trong chứng minh được H là trung điểm DP suy ra là trung tuyến trong

Từ (1) và (2) suy ra cân tại C

Bài 5.

Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng

Lập luận để có và là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp

	12
	1

Mà nguyên dương nên

ĐỀ BÀI

Câu 1. ( 5 điểm) Tìm số tự nhiên để:

a) là số nguyên tố

b) có giá trị là một số nguyên

c) là số chính phương.

Câu 2. (5 điểm) Chứng minh rằng:

a) biết

b) Với thì

c)

Câu 3. (5 điểm) Giải các phương trình sau:

a)

b)

c) với nguyên dương.

Câu 4. (5 diểm) Cho hình thang , O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với cắt tại E, cắt tại F

a) Chứng minh : Diện tích tam giác bằng diện tích tam giác

b) Chứng minh:

c) Gọi là điểm bất kỳ thuộc Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác

ĐÁP ÁN

Câu 1.

a)

Để A là nguyên tố thì . Khi đó

b)

có giá trị nguyên

là ước tự nhiên của 2

Vậy với thì B có giá trị nguyên.

c)

Mà (tích 5 số tự nhiên liên tiếp)

Và . Vậy chia 5 dư 2

Do đó có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải là số chính phương.

Vậy không có giá trị nào của để D là số chính phương.

Câu 2.

a)

b)

(Vì )

Từ (1) và (2)

c) Áp dụng bất đẳng thức . Dấu bằng xảy ra khi

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:

Dấu xảy ra khi

Câu 3.

a)

Vậy

b)

Đặt

Ta có:

Với ta có phương trình :

Với ta có phương trình:

(vô nghiệm)

Vậy

c)

Vì nguyên dương nên

và

Phương trình có nghiệm dương duy nhất

Câu 4.

a) Vì (cùng đáy và cùng đường cao)

hay

b) Vì Mặt khác

c) Dựng trung tuyến dựng

Kẻ đường thẳng là đường phải dựng.

Chứng minh:

Gọi giao điểm của và là I thì

Từ (1) và (2) suy ra

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

MÔN TOÁN 8

Bài 1 (3 điểm) Chứng minh rằng:

a) chia hết cho 17

b) chia hết cho 44

Bài 2. (3 điểm)

a) Rút gọn biểu thức :

b) Cho Tính

Bài 3. (3 điểm)

Cho tam giác Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia sao cho Gọi O là giao điểm của và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng

Bài 4. (1 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có):

ĐÁP ÁN

Bài 1.

a) Ta có:

Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17

b) Áp dụng hằng đẳng thức

với mọi n lẻ

Ta có:

chia hết cho 44

Bài 2.

a) Ta có:

b) Vì

Do đó:

Bài 3.

Vẽ hình bình hành ta có:

Để chứng minh ta cần chứng minh

Thật vậy, xét tam giác có cân tại C

Vì góc là góc ngoài của tam giác

mà (ta vẽ) nên BO là tia phân giác của Hoàn toàn tương tự ta có là tia phân giác của . Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy tại O

là tia phân giác của

Mà là hai góc đối của hình bình hành BMCA với tia phân giác của góc A theo giả thiết tia phân giác của góc A còn song song với OK

thẳng hàng

Ta lại có: mà (2 góc đồng vị)

cân tại C

Kết hợp

Bài 4.

Ta có

Vì

Vậy

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

MÔN : Toán 8. Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. (2 điểm) Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức

b) Chứng minh rằng giá trị của luôn dương với mọi

Câu 2. (3 điểm)

a) Chứng minh rằng: Với mọi thì giá trị của đa thức :

là bình phương của một số hữu tỉ

b) Giải phương trình :

Câu 3. (1,5 điểm) Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết .

Hãy tính giá trị của biểu thức

Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi và F lần lượt là giao điểm của và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng

a) song song với

b)

Câu 5. (1 điểm) Chứng minh bất đẳng thức:

với

ĐÁP ÁN

Câu 1.

a)

b) Với mọi thì

Vì

Câu 2.

a) Ta có:

Đặt

Suy ra

Vậy

Câu 3.

Ta có:

Nên có dạng

Khi đó:

Câu 4.

a) Chứng minh được hay

b) Do

Tương tự:

Từ (1) và (2) suy ra

Mà và nên

Ta có:

Câu 5.

Gọi vế trái là ta có:

Vậy

TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 150 phút

Bài 1. (2 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử:

b) Đa thức chia hết cho các đa thức Tính

Bài 2. (2 điểm)

a) Cho Chứng minh rằng là một số chính phương

b) Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên thì phân số tối giản

Bài 3. (3 điểm)

a) Cho Hãy rút gọn phân thức :

b) Tìm tích:

Bài 4. (4 điểm)

a) Cho và .

CMR:

b) Cho tính giá trị của biểu thức

Bài 5. (3 điểm) Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm để

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Bài 6. (3 điểm). Cho hình vuông gọi thứ tự là trung điểm của

a) Chứng minh rằng:

b) Gọi là giao điểm của và Chứng minh rằng:

Bài 7. (3 điểm) Cho tam giác Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông

a) Chứng minh rằng

b) Gọi thứ tự là tâm của các hình vuông Gọi I là trung điểm của Tam giác là tam giác gì ? Vì sao ?

ĐÁP ÁN

Bài 1.

a)

b) Đa thức chia hết cho các đa thức nên:

Từ và ta tìm được

Vậy

Bài 2.

a) Ta có:

là một số chính phương.

b) Gọi là ƯCLN của và

là số tự nhiên lẻ

Mặt khác : , mà lẻ nên

Vậy phân số trên tối giản

Bài 3.

a) Từ chỉ ra được hoặc

b) Nhận xét được: . Do đó:

Bài 4.

a) Từ giả thiết

Tương tự: . Khi đó:

b) Từ

Khi đó:

Bài 5. a) ĐKXĐ:

Rút gọn ta có:

b)

Vậy với và thì

c) Ta có:

Khi Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: . Dấu xảy ra khi và chỉ khi Vậy GTNN của P bằng

Bài 6.

a) Chứng minh được

Lại có:

b) Gọi là trung điểm của CD. Chứng mnh được tứ giác là hình bình hành suy ra

Gọi là giao điểm của và có và nên N là trung điểm của DM. Vì câu a),

Tam giác có là đường cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác cân tại

Bài 7.

a) Chứng minh được:

Gọi và O thứ tự là giao điểm của với BA và BH

Xét và có:

Vậy

b) Ta có:

Mà và nên và

Vậy tam giác vuông cân tại I

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

MÔN: TOÁN 8

(Thời gian làm bài : 120 phút)

Câu 1. (3 điểm)

a) Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì

b) Chứng minh rằng

Câu 2. (2 điểm)

Giải phương trình :

Câu 3. (1,5 điểm)

Cho Chứng minh rằng

Câu 4. (1,5 điểm)

Cho hình thang ABCD hai đường chéo và cắt nhau tại O. Một đường thẳng qua O song song với đáy cắt hai cạnh bên lần lượt tại và F. Chứng minh rằng

Câu 5. (2 điểm)

Cho hình bình hành Các điểm theo thứ tự thuộc các cạnh sao cho Gọi K là giao điểm của và Chứng minh rằng là tia phân giác của

ĐÁP ÁN

Câu 1.

a)

Do là 3 cạnh của một tam giác nên

b)

Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và

Suy ra và

Vậy

Câu 2.

(1)

Do

Với thì

Khi đó từ phương trình (1)

và

Vậy tập nghiệm của phương trình là :

Câu 3.

Giả sử

Vậy

Câu 4.

Xét có (Hệ quả định lý Talet) (1)

Xét có (hệ quả định lý Talet ) (2)

Xét có (hệ quả định lý Ta let ) (3)

Xét có (Hệ quả định lý Ta let ) (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra

Câu 5.

Kẻ lần lượt vuông góc với

Ta có: (Do chung đáy AD, cùng chiều cao hạ từ N) (1)

(Do chung đáy CD, cùng chiều cao hạ từ M ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra : (Vì

(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

là tia phân giác