ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 9 – PHÂN SỐ

CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Số có dạng , trong đó gọi là phân số.

Số nguyên được đồng nhất với phân số .

Tính chất cơ bản của phân số: với và ƯC .

Nếu thì là phân số tối giản. Nếu là dạng tối giản của phân số thì tồn tại số nguyên sao cho .

PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Áp dụng các tính chất chia hết để giải các bài toán về phân số

I.Phương pháp giải

Bài toán tổng quát: Tìm số tự nhiên sao cho có giá trị nguyên.

Cách làm:

Ư .

Nếu ta tìm được và kết luận.

Nếu ta tìm được cần thử lại rồi kết luận.

Bài toán tổng quát: Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên để phân số tối giản hoặc rút gọn được” ta làm như sau:

Gọi là ước nguyên tố của tử và mẫu.

Dùng các phép toán cộng, trừ, nhân để khử để từ đó tìm .

Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên để phân số tối giản” ta tìm để tử số hoặc mẫu số không chia hết cho các ước nguyên tố.

Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên để phân số rút gọn được” ta tìm để tử số hoặc mẫu số chia hết cho các ước nguyên tố.

II.Bài toán

Bài 1: Cho

a) Tìm nguyên để là một phân số

b) Tìm nguyên để là một số nguyên.

Lời giải:

Điều kiện:

1. Để là phân số thì

2. Để phân số có giá trị là một số nguyên thì

Mà nên Ư .

Ư

Ta có bảng sau:

Vậy .

Bài 2: Tìm số tự nhiên để phân số có giá trị là một số nguyên.

Lời giải:

Điều kiện:

Để phân số có giá trị là một số nguyên thì

.

Ư .

Ư .

Mặt khác, là số tự nhiên nên .

Ta có bảng sau:

	( loại )	( loại)			( loại)

Vậy .

Bình luận:

- Ngoài cách lập bảng trên ta có thể để ý rằng:

.

Kết hợp với .

- Đối với bài toán trên với đều là số nguyên nhưng khi thay vào thì không được giá trị nguyên vì: theo bài ra thì nhưng không có điều ngược lại.

Bài 3: Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số tự nhiên .

Phân tích:

Để chứng minh một phân số là phân tối giản thì ta cần chứng minh ước chung lớn nhất của tử và mẫu phải bằng 1.

Lời giải:

Điều kiện:

Giả sử ƯCLN

Vì là số tự nhiên lẻ nên .

Vậy nên phân số là phân số tối giản với mọi số tự nhiên .

Bài 4: Tìm số tự nhiên để phân số rút gọn được.

Lời giải:

Điều kiện:

Gọi là ước nguyên tố của và .

.

Nếu ta thấy còn khi lẻ.

Nếu thì hay .

Với thì .

Vậy lẻ hoặc thì phân số rút gọn được.

Bài 5: Tìm các số tự nhiên nhỏ nhất sao cho: .

Lời giải:

Điều kiện: ,

Ta có:

.

Suy ra mà mặt khác nhỏ nhất nên .

Bài 6: Tìm số tự nhiên để phân số có giá trị nguyên.

Lời giải:

Điều kiện:

Cách 1:

Để phân số có giá trị nguyên thì

Suy ra là ước của .

Ư mặt khác là số tự nhiên nên nên

Ta có bảng sau:

	Loại	Loại

Vậy thì phân số có giá trị nguyên.

Cách 2:

Để phân số có giá trị nguyên thì

.

Suy ra là ước của

Ư mặt khác là số tự nhiên nên nên

Ta có bảng sau:

	( loại)	( loại)

Vậy thì phân số có giá trị nguyên.

Cách 3:

Để phân số có giá trị nguyên thì

.

Vậy thì phân số có giá trị nguyên.

Bài 7: Tìm số nguyên sao cho:

a) là số nguyên. b) là số tự nhiên.

Lời giải:

1. Điều kiện:

Để phân số có giá trị là một số nguyên thì

.

Ư .

Ư .

Ta có bảng sau:

	(loại vì )			(loại vì )		(loại vì )	(loại vì )
						(loại)		0

Vậy thì có giá trị nguyên.

2. Điều kiện:

Để phân số là số tự nhiên thì

hay .

Mà nên Ư .

Ư .

Ta có bảng sau:

	(loại vì )			(loại vì )
		(loại)		0

Vậy thì là số tự nhiên.

Bài 8: Tìm số tự nhiên để phân số .

a) Có giá trị là số tự nhiên.

b) Là phân số tối giản.

c) Phân số rút gọn được với .

Lời giải:

Điều kiện:

1. Để phân số là số tự nhiên thì

hay

Mà Ư

Ư .

Mà là số tự nhiên nên hay suy ra

Ta có bảng sau:

		(loại vì )

Vậy thì là số tự nhiên.

2. Gọi là ước nguyên tố của và thì:

với và là số nguyên tố.

Với ta có

Do đó hay

Với ta có

Do đó hay

Vậy với và thì phân số tối giản.

3. Từ câu b) ta có:

Để phân số rút gọn được thì và

Vì nên:

TH1:

Với thì

Với thì

TH2:

Với thì

Vậy thì phân số rút gọn được.

Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên để phân số có thể rút gọn được.

Lời giải:

Điều kiện:

Gọi là ước nguyên tố của và thì:

với và là số nguyên tố.

Với mà nên để phân số có thể rút gọn được thì

Mà (vì và )

Với thì nên để phân số rút gọn được thì

Vậy với thì phân số rút gọn được.

Bài 10: Tìm số nguyên để phân số có giá trị là một số nguyên.

Lời giải

Điều kiện:

Để phân số là số nguyên thì

hay

Mà Ư

Ư .

Ta có bảng sau:

Vậy thì là số nguyên.

Bài 11: Cho biểu thức : Tìm giá trị của để:

a) là một phân số.

b) là một số nguyên.

Lời giải:

Ta có:

1. Để là phân số thì

2. Để là số nguyên thì

hay hay

Mà Ư

Ư .

Ta có bảng sau:

Vậy thì là số nguyên.

Bài 12: Với giá trị nào của số tự nhiên thì :

a) có giá trị nguyên

b) có giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Điều kiện:

1. Để là số nguyên thì

hay hay

Mà Ư

Ư .

Ta có bảng sau:

		(loại vì )		(loại vì )

Vậy thì là số nguyên.

1. Ta có:

Để có giá trị lớn nhất thì có giá trị nhỏ nhất

Mà nên .

Vậy thì có giá trị lớn nhất.

Bài 13: Tìm biết và .

Lời giải:

Ta có:

Theo đề:

Suy ra

Vậy

Bài 14: Tìm các số nguyên sao cho

Lời giải: Ta có:

Do đó:

Do là các số nguyên nên là ước của 18, mặt khác là số lẻ. Ước lẻ của 18 là: Ta có:

Vậy có sáu cặp số ở bảng trên thỏa mãn bài toán.

Bài 15: Tìm các số tự nhiên sao cho:

Lời giải:

Ta luôn có:

(xảy ra dấu bằng với )

(xảy ra dấu bằng với )

Do đó:

Xảy ra chỉ trong trường hợp

Dạng 2: Tìm phân số biết mối liên hệ giữa tử và mẫu

Một số điều kiện cho trước thường gặp:

 Biết tử số (hoặc mẫu số), phân số cần tìm lớn hơn phân số này và nhỏ hơn phân số kia.

 Viết phân số dưới dạng tổng các phân số đã biết cùng số tử (hoặc cùng số mẫu).

 Liên hệ về phép chia giữa phân số cần tìm với phân số đã cho.

 Biết phân số bằng phân số nào đó và biết quan hệ ƯCLN(Tử , Mẫu) hoặc tổng (hiệu) của tử và mẫu.

 Cộng một số vào tử hoặc mẫu được một phân số mới....

Phương pháp giải:

• Nếu bài toán cho tử số (mẫu số), biến đổi sao cho ba phân số đồng tử (đồng mẫu) rồi so sánh các phân số ta tìm được mẫu số(tử số) còn thiếu.

• Ở dạng toán viết phân số dưới dạng tổng các phân số đã biết cùng số tử (hoặc cùng số mẫu) ta phải tìm được bộ số thuộc các ước của mẫu sao cho tổng của chúng bằng tử. Khi đó ta tìm được bộ phân số có tổng bằng phân số ban đầu, các phân số này có tử số là ước của mẫu nên khi viết dưới dạng tối giản đều có tử số bằng 1.

• Từ các dữ kiện bài toán ta vận dụng linh hoạt các tính chất của phân số tối giản với tính chia hết để giải toán.

• Dạng toán: Tìm phân số bằng phân số , biết ƯCLN của cả tử và mẫu của phân số đó là , ta tìm phân số tối giản của sau đó nhân cả tử và mẫu phân số tối giản với ta được số cần tìm.

Bài 1: Tìm phân số có tử là , biết rằng phân số đó lớn hơn và nhỏ hơn .

Phân tích:

Do phân số có tử số bằng 5 nên ta có thể gọi dạng phân số cần tìm là , sau đó ta biến đổi cả ba phân số trên có cùng tử số. Khi so sánh hai phân số cùng tử, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn. Khi đó ta tìm được khoảng giá trị của và chọn được giá trị phù hợp.

Lời giải:

Gọi mẫu phân số cần tìm là

Ta có: .

Vậy phân số cần tìm là .

Bình luận: Bài toán thuộc dạng biết tử số (hoặc mẫu số), phân số cần tìm lớn hơn phân số này và nhỏ hơn phân số kia.

Bài 2: Tìm phân số có mẫu là , biết rằng phân số đó lớn hơn và nhỏ hơn .

Lời giải:

Gọi tử phân số cần tìm là

Ta có: .

Vậy các phân số cần tìm là:

Bài 3: Hãy viết phân số dưới dạng tổng của 3 phân số có tử số đều bằng và có mẫu số khác nhau.

Phân tích: Nhận thấy nếu mẫu số bằng , Ư ta không tìm được bộ ba số nào có tổng bằng 11. Lặp lại cách thử này đối với mẫu và tử của phân số khi nhân cả tử và mẫu của phân số với cùng một số cho đến khi tìm được bộ số thỏa mãn. Dễ thấy khi nhân cả tử và mẫu phân số với ta được phân số , Ư khi đó ta tìm được bộ ba số cộng với nhau bằng là .

Lời giải:

Ư

.

Bài 4: Hãy viết phân số dưới dạng tổng của 3 phân số có tử số đều bằng và có mẫu số khác nhau.

Lời giải:

Ư

.

Bài 5: Tìm phân số tối giản nhỏ nhất (với ) biết khi chia cho và được thương là các số nguyên.

Phân tích:

Do tính chất chia hết ta có: chia hết cho nên là số nguyên, vậy chia hết cho , chia hết cho . Tương tự, chia hết cho nên là số nguyên, vậy chia hết cho , chia hết cho . Do tính chất của phân số tối giản và lớn hơn nên ta có và ƯCLN

Lời giải:

Vì tối giản nên ƯCLN và là các số nguyên nên chia hết cho và còn và chia hết cho .

Do đó và ƯC

Vì là phân số tối giản nhỏ nhất lớn hơn nên và ƯCLN nên Do đó phân số cần tìm là .

Bài 6: Tìm phân số tối giản nhỏ nhất (với ) biết khi chia cho và được thương là các số nguyên.

Lời giải:

Vì tối giản nên ƯCLN và là các số nguyên nên chia hết cho và còn và chia hết cho .

Do đó và ƯC

Vì là phân số tối giản nhỏ nhất lớn hơn nên và ƯCLN nên Do đó phân số cần tìm là .

Bài 7: Tìm phân số bằng phân số , biết ƯCLN của cả tử và mẫu của phân số đó là

Lời giải:

Ta thấy ƯCLN . Suy ra phân số là phân số tối giản.

Mà ƯCLN của cả tử và mẫu của phân số cần tìm là

Nên phân số cần tìm đã được rút gọn thành bằng cách chia cả tử và mẫu cho Vậy phân số cần tìm là .

Bài 8: Tìm phân số bằng phân số , biết ƯCLN của cả tử và mẫu của phân số đó là

Lời giải:

Ta thấy ƯCLN Suy ra và là phân số tối giản.

Mà ƯCLN của cả tử và mẫu của phân số cần tìm là

Nên phân số cần tìm đã được rút gọn thành bằng cách chia cả tử và mẫu cho Vậy phân số cần tìm là

Bài 9: Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số của phân số ấy thì được một phân số mới, lớn gấp lần phân số ban đầu ?

Lời giải:

Gọi phân số tối giản lúc đầu là . Nếu chỉ cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số ta được phân số .

Để gấp lần phân số lúc đầu thì phải bằng lần

 Mẫu số phải gấp lần tử số .

Phân số tối giản thoả mãn điều kiện trên là .

Bình luận: Từ giả thiết bài toán ta tìm được mối liên hệ giữa tử và mẫu. Từ đó tìm được phân ban đầu.

Bài 10: Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng tử số vào tử số và cộng tử số vào mẫu số của phân số ấy thì được một phân số mới, giảm lần phân số ban đầu ?

Lời giải:

Gọi phân số tối giản lúc đầu là . Nếu chỉ cộng tử số vào tử số và cộng tử số vào mẫu số ta được phân số .

Để giảm lần phân số ban đầu thì phải bằng lần

 Tử số phải gấp lần mẫu số .

Phân số tối giản thoả mãn điều kiện trên là .

Bài 11: Tìm các số tự nhiên và biết rằng: ƯCLN

Lời giải:

Ta có:

(1)

ƯCLN (2)

Từ (1) và (2) suy ra (Vì )

Bài 12: Tìm các số tự nhiên và biết rằng:

a) .

b) ƯCLN .

Lời giải:

a) Ta có:

nên (1)

Lại có: ƯCLN ƯCLN và (2)

Theo đề bài thì: (3)

Từ (1), (2) và (3)

Khi đó

Vậy

b) Ta có:

nên (1)

Lại có: ƯCLN ƯCLN (2)

Theo đề bài thì: ƯCLN (3)

Từ (1), (2) và (3)

Khi đó

Vậy

Bài 13: Cho ba phân số . Biến đổi ba phân số trên thành các phân số bằng chúng sao cho mẫu của phân số thứ nhất bằng tử của phân số thứ hai, mẫu của phân số thứ hai bằng tử của phân số thứ ba.

Lời giải:

Vì mẫu của phân số thứ nhất bằng tử của phân số thứ hai nên ta có:

Vì mẫu của phân số thứ hai bằng tử của phân số thứ ba nên ta có:

Vậy ba phân số cần tìm là:

Bài 14: Trung bình cộng của tử số và mẫu số của một phân số là . Cộng thêm vào tử số của phân số đó đơn vị thì ta được phân số mới bằng phân số Tìm phân số ban đầu.

Lời giải:

Tổng của tử số và mẫu số là:

Nếu cộng thêm vào tử số đơn vị thì ta được tổng mới là:

Ta có sơ đồ:

Tử số: |---|---|---|

Mẫu số: |---|---|

Tử số mới là:

Tử số ban đầu là:

Mẫu số ban đầu là:

Vậy phân số ban đầu là:

Bài 15: Cho hai số và thỏa mãn: . Chứng minh Tính . Tìm .

Lời giải:

Ta có:

Thay vào ta được:

Suy ra

Vậy

Bài 16: Tìm các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: và

Lời giải:

Theo đề bài ta có:

Vì nên

Khi đó:

Lại có:

Vì nên

Với thì

Với thì

Vậy hoặc

 HẾT 