DẠNG 3: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

A.Bài toán

1. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số , biết rằng nó là một số chính phương, số chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố.

2. Cho là một số gồm chữ số , là một số gồm chữ số , là một số gồm chữ số . Cmr: là một số chính phương .

3. Tìm số nguyên dương để và là số chính phương

4. Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương

5. a) Tìm số có hai chữ sô mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.

b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích, mỗi tích của hai trong ba số đó thì được 26.

c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 120

6. Cho các số nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn:

Chứng minh là số chính phương.

7. Cho Chứng minh rằng là một số chính phương

8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì:

là số chính phương

9. Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ

10. Tìm số tự nhiên để: là số chính phương.

11. Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương.

12. Chứng minh rằng tổng hai số chính phương liên tiếp cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.

13. Tìm tất cả các số nguyên sao cho: là số chính phương.

14. Chứng minh: số có dạng với và không phải là số chính phương.

15. Tìm các số nguyên để là số chính phương?

16. Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương

17. Cho Chứng minh rằng là một số chính phương

18. Cho trong đó là số nguyên tố. Tìm các giá trị của để tổng các ước dương của là số chính phương.

19. Tìm số tự nhiên để là một số chính phương.

20. Cho (với

Chứng minh rằng là bình phương của một số tự nhiên

21. Tìm số tự nhiên sao cho số là số chính phương.

22. Tìm số tự nhiên để là một số chính phương.

23. Cho n là tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng cũng là tổng của hai số chính phương

24. Cho các số nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn:

Chứng minh là số chính phương.

25. Cho Chứng minh rằng là một số chính phương.

26. Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì:

là số chính phương.

27. Cho Chứng minh rằng là một số chính phương.

28. Cho là các số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng biểu thức là bình phương của một số hữu tỷ.

29. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương.

30. Tìm số tự nhiên để là một số chính phương

31. Cho và là các số tự nhiên thỏa mãn

Chứng minh rằng: và là các số chính phương.

32. Cho trong đó là số nguyên tố. Tìm các giá trị của để tổng các ước dương của là số chính phương.

33. Tìm số tự nhiên để là một số chính phương.

34. Cho

Chứng minh rằng là bình phương của một số tự nhiên

35. Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.

36. Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì ta vẫn được một số chính phương.

37. Tìm số tự nhiên sao cho số là số chính phương.

B. HƯỚNG DẪN

1. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số , biết rằng nó là một số chính phương, số chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố.

Lời giải:

Vì là số chính phương và d là một số nguyên tố có 1 chữ số nên .

Đặt . Khi đó có chữ số tận cùng là 5 (1)

Mặt khác, suy ra ( 2)

Từ (1) và (2) suy ra

Suy ra

Ta lại có: .

Do đó, chọn .

2. Cho là một số gồm chữ số , là một số gồm chữ số , là một số gồm chữ số . Cmr: là một số chính phương .

Lời giải:

Ta có :

Vậy, là một số chính phương

3. Tìm số nguyên dương để và là số chính phương

Lời giải:

Đặt

Ta có:

Mà nên và nên suy ra và

Do đó, . Vậy, .

4. Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương

Lời giải:

1. Để và là hai số chính phương

và

Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:

Từ

Thay vào ta được

Vậy với thì và là hai số chính phương

5. a) Tìm số có hai chữ sô mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.

b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích, mỗi tích của hai trong ba số đó thì được 26.

c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 120

Lời giải:

a) Số cần tìm có dạng , với

Theo đề bài ta có:

Hệ thức (1) chứng tỏ phải là một số lập phương và phải là một số chính phương.

Do hoặc

+Nếu ( chính phương )

+Nếu ( không chính phương nên loại )

Vậy, số cần tìm là .

b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là ( ĐK : )

Ta có : ( Vì ) Vậy, ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4.

c) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là

( ĐK : )

Ta có :

Vì nên ( Vì )

Vậy, bốn số nguyên dương liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4, 5

6. Cho các số nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn:

Chứng minh là số chính phương.

Lời giải:

Vậy là số chính phương

7. Cho Chứng minh rằng là một số chính phương.

Lời giải:

Ta có:

là một số chính phương.

8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì:

là số chính phương

Lời giải:

Ta có:

Đặt thì

Vì nên

Vậy A là số chính phương

9. Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ

Lời giải

Gọi hai số lần lượt là và

Theo đề bài ra ta có:

= là một số chính phương lẻ vì là số chẵn

là số lẻ

10. Tìm số tự nhiên để: là số chính phương.

Lời giải

Mà (tích 5 số tự nhiên liên tiếp)

Và . Vậy chia 5 dư 2

Do đó có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải là số chính phương.

Vậy không có giá trị nào của để D là số chính phương

11. Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương.

Lời giải

Gọi là số phải tìm ,

Ta có:

Do đó:

hoặc

Kết luận đúng:

12. Chứng minh rằng tổng hai số chính phương liên tiếp cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.

Lời giải

Gọi hai số chính phương liên tiếp đó là k² và (k+1)².

Ta có: k² + (k+1)² + k².(k+1)² = k⁴ +2k³+ 3k² + 2k +1 = (k² + k +1)² = [k(k + 1) +1]² là số chính phương. (1)

Vì k(k + 1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên k(k + 1) chẵn k(k + 1) +1 lẻ [k(k + 1) +1]² lẻ (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

13. Tìm tất cả các số nguyên sao cho: là số chính phương.

Lời giải

Giả sử

Ta có:

Thay

Thử trực tiếp thỏa mãn

Vậy số nguyên n cần tìm là

Chứng minh: số có dạng với và không phải là số chính phương.

Lời giải

) Chứng minh: số có dạng với và không phải là số chính phương.

Ta có

Với và thì và

Suy ra với và do đó không phải là số chính phương.

Vậy, số có dạng với và không phải là số chính phương

Tìm các số nguyên để là số chính phương?

Lời giải

Ta có là số chính phương thì cũng là số chính phương.

Đặt

Khi đó,

Vì nên ta có 4 trường hợp:

Giải ra ta lần lượt được:

Vậy, khi hoặc hoặc hoặc thì là số chính phương.

Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương

Lời giải

Để và là hai số chính phương

và

Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:

Từ

Thay vào ta được

Vậy với thì và là hai số chính phương

Cho Chứng minh rằng là một số chính phương

Lời giải

Ta có:

là một số chính phương.

18. Cho trong đó là số nguyên tố. Tìm các giá trị của để tổng các ước dương của là số chính phương.

Lời giải

Các ước dương của là

Tổng các ước là

Ta có:

Do đó :

Vậy

19. Tìm số tự nhiên để là một số chính phương.

Lời giải

Giả sử

Suy ra

Mặt khác và nên có các trường hợp sau:

Vậy các số cần tìm là

20. Cho (với

Chứng minh rằng là bình phương của một số tự nhiên

Lời giải

Ta có:

Mặt khác:

Mà nên nên suy ra đpcm.

21. Tìm số tự nhiên sao cho số là số chính phương.

Lời giải

Giả sử là số chính phương, suy ra tồn tại số sao cho :

Do nên dễ thấy và là các số nguyên

Ngoài ra và

Suy ra

Căn cứ các lập luận trên và là số nguyên tố nên từ (*) suy ra

Với thì là số chính phương

Vậy là số tự nhiên cần tìm

22. Tìm số tự nhiên để là một số chính phương.

Lời giải

Giả sử

Suy ra

Mặt khác và nên có các trường hợp sau:

Vậy các số cần tìm là

23. Cho n là tổng của hai số chính phương. cũng là tổng của hai số chính phương

Lời giải

Đặt với

Khi đó là tổng của hai số chính phương.

24. Cho các số nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn:

Chứng minh là số chính phương.

Lời giải

Vậy là số chính phương

Cho Chứng minh rằng là một số chính phương.

Lời giải

Ta có:

là một số chính phương.

26. Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì:

là số chính phương.

Lời giải

Ta có:

Đặt thì

Vì nên

Vậy A là số chính phương

27. Cho Chứng minh rằng là một số chính phương.

Lời giải

Ta có:

là một số chính phương.

28. Cho là các số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng biểu thức là bình phương của một số hữu tỷ.

Lời giải

Vì nên

Tương tự:

Do đó:

29. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương.

Lời giải

Ta có:

Vơi x là số nguyên thì P là một số CP.

30. Tìm số tự nhiên để là một số chính phương

Lời giải

b) Giả sử

Suy ra

Mặt khác và nên có các trường hợp sau xảy ra:

TH1:

TH2:

TH3:

Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2

31. Từ có

Cũng có : Suy ra

Gọi . Chứng minh được

là số chính phương là số chính phương (đpcm)

32. Tìm số tự nhiên để là một số chính phương.

Lời giải

Các ước dương của là

Tổng các ước là

Ta có:

Do đó :

Vậy

33. Tìm số tự nhiên để là một số chính phương.

Lời giải

Giả sử

Suy ra

Mặt khác 2009= 2009.1=287.7 = 49.41 và nên có các trường hợp sau:

Vậy các số cần tìm là 1002; 138; 2.

34. Cho

Chứng minh rằng là bình phương của một số tự nhiên

Lời giải

Ta có:

Mặt khác:

Mà nên suy ra đpcm.

35. Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.

Lời giải

Gọi hại số lần lượt là và

Theo bài ra ta có:

là một số chính phương lẻ vì là số chẵn nên là số lẻ

Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì ta vẫn được một số chính phương.

Lời giải

Gọi là số phải tìm

Ta có:

Do đó:

Vậy số cần tìm là

37. Tìm số tự nhiên sao cho số là số chính phương.

Lời giải

Giả sử là số chính phương, suy ra tồn tại số sao cho :

Do nên dễ thấy và là các số nguyên

Ngoài ra và

Suy ra

Căn cứ các lập luận trên và là số nguyên tố nên từ (*) suy ra

Với thì là số chính phương

Vậy là số tự nhiên cần tìm.