Đề Thi Minh Hoạ THPT Quốc Gia 2021 Môn Toán (Đề 10)

ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ 10

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2021 Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề

Họ, tên thí sinh: …………………………………………………

Số báo danh: …………………………………………………….

Câu 1: Cho tập hợp có 20 phần tử. Số tập hợp con có 3 phần tử được thành lập từ là

A. . B. . C. . D. .

Câu 2. Cho cấp số nhân với và . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Số nghiệm của phương trình là

A. B. C. D.

Câu 4. Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng là

A. B. C. D.

Câu 5. Tập xác định của hàm số là

A. B. C. D.

Câu 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. B.

C. D. .

Câu 7. Một khối lập phương có thể tích bằng . Độ dài cạnh khối lập phương bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. Tính thể tích của khối trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 2.

A. . B. C. . D. .

Câu 9. Cho khối cầu có thể tích . Bán kính của khối cầu bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 11. Với là số thực dương tùy ý, bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 12. Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh và bán kính đáy là

A. . B. . C. . D. .

Câu 13. Cho hàm số xác định và liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại B. Hàm số đồng biến trên khoảng .

C. Hàm số đạt cực tiểu tại D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2.

Câu 14. Cho hàm số số có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 15. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. B. C. D.

Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình là

A. B. C. D.

Câu 17. Cho hàm số bậc ba có đồ thị trong hình dưới. Số nghiệm của phương trình là

A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.

Câu 18. Nếu và thì bằng

A. 6. B. - 6. C. 2. D. - 2.

Câu 19. Số phức liên hợp của số phức là

A. . B. . C. . D. .

Câu 20. Cho hai số phức và . Phần ảo của số phức bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 21. Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ dưới), số phức được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm

A. Điểm . B. Điểm . C. Điểm . D. Điểm .

Câu 22. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có toạ độ là

A. B. C. D.

Câu 23. Trong không gian cho mặt cầu : Tâm của có tọa độ là

A. B. C. . D.

Câu 24. Trong không gian cho mặt phẳng Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của

A. B. C. . D.

Câu 25. Trong không gian , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng

A. . B. . C. . D. .

Câu 26. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông cân tại và (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 27. Cho hàm số có bảng xét dấu của như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

Câu 28. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

A. . B. . C. . D. .

Câu 29. Cho các số dương , , thỏa mãn . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 30. Cho hàm số có đồ thị , số giao điểm của đồ thị với trục hoành là

A. . B. C. . D. .

Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình là

A. B. C. D. .

Câu 32. Trong không gian, cho tam giác vuông tại , , . Khi quay tam giác xung quanh cạnh góc vuông thì hình tam giác tạo thành một khối nón tròn xoay có thể tích bằng

A. B. C. D.

Câu 33. Xét , nếu đặt thì bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 34. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường và được tính bởi công thức nào dưới đây?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 35. Cho hai số phức và . Phần thực của số phức bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 36. Gọi là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình . Môđun của số phức là

A. . B. . C. . D. .

Câu 37. Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với có phương trình là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 38. Trong không gian , cho điểm và . Đường thẳng có phương trình tham số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 39. Một nhóm học sinh gồm nam trong đó có Bình và nữ trong đó có An được xếp ngẫu nhiên vào ghế trên một hàng ngang để dự lễ khai giảng năm họC. Xác suất để xếp được giữa bạn nữ gần nhau có đúng bạn nam, đồng thời Bình không ngồi cạnh An là

A. . B. . C. . D. .

Câu 40. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Gọi là trung điểm , là trọng tâm . Biết và . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng và là

A. . B. . C. . D. .

Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số đồng biến trên ?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 42. Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài thực vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức (đơn vị ). Hỏi sau bao lâu nhóm học sinh đó chỉ còn nhớ được dưới 10% của danh sách ?

A. 24,79 tháng. B. 23,79 tháng. C. 22,97 tháng. D. 25,97 tháng.

Câu 43. Cho hàm số (với là các số thực) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Chọn khẳng định đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 44. Cho hình nón có bán kính đáy bằng . Mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón cắt hình nón theo một thiết diện là hình tròn có bán kính bằng , khoảng cách giữa mặt phẳng với mặt phẳng chứa đáy của hình nón là . Diện tích xung quanh của hình nón bằng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 45. Cho hàm số thỏa mãn và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 46. Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm trong đoạn của phương trình bằng

A. 1. B. 2. C. 3. D.4.

Câu 47. Cho ; và . Giá trị lớn nhất của biểu thức thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 48. Cho hàm số ( là tham số thực). Gọi là tập hợp các giá trị của sao cho . Tổng các phần tử của là

A. 7. B. -14. C. -7. D. `14.

Câu 49. Cho hình hộp có diện tích đáy bằng , chiều cao bằng 3. Gọi là những điểm thỏa mãn , . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 50. Cho phương trình . Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn phương trình trên, biết rằng ?

A. . B. . C. . D. .

------------------HẾT-----------------

----------------------Hết--------------------

BẢNG ĐÁP ÁN

1.B	2.B	3.B	4.C	5.C	6.D	7.B	8.A	9.C	10.C
11.A	12.B	13.C	14.C	15.A	16.D	17.A	18.B	19.B	20.A
21.B	22.D	23.A	24.B	25.A	26.B	27.C	28.A	29.D	30.C
31.C	32.A	33.B	34.C	35.B	36.C	37.D	38.D	39.D	40.D
41.A	42.A	43.C	44.C	45.A	46.B	47.D	48.C	49.D	50.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Cho tập hợp có 20 phần tử. Số tập hợp con có 3 phần tử được thành lập từ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Số tập hợp con có 3 phần tử được thành lập từ là .

Câu 2. Cho cấp số nhân với và . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có: .

Câu 3. Số nghiệm của phương trình là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Câu 4. Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Thể tích khối lập phương là:

Câu 5. Tập xác định của hàm số là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

+ ĐKXĐ:

Câu 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. B.

C. D. .

Lời giải

Chọn D

Câu 7. Một khối lập phương có thể tích bằng . Độ dài cạnh khối lập phương bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là độ dài cạnh của khối lập phương

Câu 8. Tính thể tích của khối trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 2.

A. . B. C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Thể tích của khối trụ .

Câu 9. Cho khối cầu có thể tích . Bán kính của khối cầu bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là bán kính của khối cầu. Ta có .

Câu 10. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Theo bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên .

Câu 11. Với là số thực dương tùy ý, bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Với là số dương theo công thức ta có

Câu 12. Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh và bán kính đáy là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Áp dụng công thức ta có .

Câu 13. Cho hàm số xác định và liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại B. Hàm số đồng biến trên khoảng .

C. Hàm số đạt cực tiểu tại D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại là phương án sai vì qua thì không đổi dấu từ âm sang dương.

Câu 14. Cho hàm số có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có Hệ số .

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ Hệ số .

Gọi lần lượt là hoành độ các điểm cực trị.

là nghiệm của .

Dựa vào đồ thị .

Mặt khác (Vì .

Câu 15. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có và

Suy ra là tiệm cận ngang của đồ thị.

Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có: .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Câu 17. Cho hàm số bậc ba có đồ thị trong hình dưới. Số nghiệm của phương trình là

A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình .

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số . Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt, suy ra phương trình có 3 nghiệm.

Câu 18. Nếu và thì bằng

A. 6. B. - 6. C. 2. D. - 2.

Lời giải

Chọn B

Áp dụng tính chất của tích phân ta có: .

Suy ra: .

Câu 19. Số phức liên hợp của số phức là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Số phức liên hợp của số phức là

Câu 20. Cho hai số phức và . Phần ảo của số phức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

Phần ảo của số phức bằng 7.

Câu 21. Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ dưới), số phức được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm

A. Điểm . B. Điểm . C. Điểm . D. Điểm .

Lời giải

Chọn B

Câu 22. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có toạ độ là

A. B. C. D.

Lời giải

ghia

Chọn D

Câu 23. Trong không gian cho mặt cầu : Tâm của có tọa độ là

A. B. C. . D.

Lời giải

Chọn A

_{Mặt cầu} :

_{Tâm của} là

Câu 24. Trong không gian cho mặt phẳng Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của

A. B. C. . D.

Lời giải

Chọn B

Vectơ pháp tuyến của là

Câu 25. Trong không gian , cho đường thẳng . Điểm nào dưới đây thuộc ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta có:

Vậy điểm .

Câu 26. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông cân tại và (minh họa như hình bên).

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Hình chiếu vuông góc của trên mặt là nên góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc .

Vì tam giác vuông cân tại và nên .

Vì tam giác vuông cân tại nên .

Câu 27. Cho hàm số có bảng xét dấu của như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

Lời giải

Chọn C

Từ bảng xét dấu của ta thấy đổi dấu qua và suy ra hàm số có hai điểm cực trị.

Câu 28. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Tập xác định: .

Hàm số liên tục trên đoạn .

; .

Ta có , , .

Do đó đạt được khi .

Câu 29. Cho các số dương , , thỏa mãn . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có: .

.

Câu 30. Cho hàm số có đồ thị , số giao điểm của đồ thị với trục hoành là

A. . B. C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Xét phương trình hoành độ giao điểm của với trục hoành:

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt, do vậy số giao điểm của đồ thị với trục hoành chính là số nghiệm của phương trình (*), là 2.

Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình là

A. B. C. D. .

Lời giải

Chọn C

Đặt , điều kiện .

Từ bpt ta có: .

Với ta có .

_{Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là} .

Câu 32. Trong không gian, cho tam giác vuông tại , , . Khi quay tam giác xung quanh cạnh góc vuông thì hình tam giác tạo thành một khối nón tròn xoay có thể tích bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Hình nón nhận được có đỉnh là tâm đường tròn đáy là ,

chiều cao hình nón là , độ dài đường sinh là

Suy ra bán kính đáy là

Vậy thể tích:

Câu 33. Xét , nếu đặt thì bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Xét . Đặt . Ta có .

Đổi cận:

.

Vậy .

Câu 34. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường và được tính bởi công thức nào dưới đây?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Đặt .

.

Vậy diện tích S được tính theo công thức .

Câu 35. Cho hai số phức và . Phần thực của số phức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có . Vậy phần thực của số phức bằng .

Câu 36. Gọi là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình . Môđun của số phức là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có . Do có phần ảo dương nên chọn .

Do đó .

Câu 37. Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với có phương trình là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng có vecto chỉ phương .

Mặt phẳng nên có vecto pháp tuyến là và qua điểm .

Nên phương trình .

Câu 38. Trong không gian , cho điểm và . Đường thẳng có phương trình tham số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng có vecto chỉ phương và qua

Nên phương trình .

Câu 39. Một nhóm học sinh gồm nam trong đó có Bình và nữ trong đó có An được xếp ngẫu nhiên vào ghế trên một hàng ngang để dự lễ khai giảng năm học. Xác suất để xếp được giữa bạn nữ gần nhau có đúng bạn nam, đồng thời Bình không ngồi cạnh An là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có . Giả sử các ghế được đánh số từ đến .

Để có cách xếp sao cho giữa bạn nữ có đúng bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số , , , , , . Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là cách.

Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho giữa hai bạn nữ gần nhau có đúng hai bạn nam đồng thời Bình và An ngồi cạnh nhau .

Nếu An ngồi ở ghế hoặc thì có cách xếp chỗ ngồi cho Bình. Nếu An ngồi ở ghế hoặc thì có cách xếp chỗ ngồi cho Bình.

Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Bình và An ngồi cạnh nhau là .

Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho người sao cho giữa hai bạn nữ gần nhau có đúng hai bạn nam đồng thời Bình và An ngồi cạnh nhau là

Gọi A là biến cố : “ Giữa bạn nữ gần nhau có đúng bạn nam, đồng thời Bình không ngồi cạnh An”.

Ta có

Vậy xác suất cần tìm là .

Câu 40. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Gọi là trung điểm , là trọng tâm . Biết và . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng và là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Cách 1

Gọi là trung điểm .

Vẽ //

Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên , .

Ta có

tại

.

Ta có đều cạnh

Trong : //

Trong vuông tại : là đường cao nên .

Trong vuông tại : là đường cao nên

.

Mà // // .

Cách 2

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với .

Ta có tọa độ các điểm , , , .

Vì là trọng tâm .

; ;

.

Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số đồng biến trên ?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải

Chọn A

Tập xác định .

.

Hàm số đồng biến trên .

.

là số nguyên dương .

Vậy không có giá trị nguyên dương của thỏa mãn yêu cầu.

Câu 42. Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài thực vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức (đơn vị ). Hỏi sau bao lâu nhóm học sinh đó chỉ còn nhớ được dưới 10% của danh sách ?

A. 24,79 tháng. B. 23,79 tháng. C. 22,97 tháng. D. 25,97 tháng.

Lời giải

Chọn A

Theo công thức tỷ lệ % thì cần tìm t thỏa mãn: .

Câu 43. Cho hàm số (với là các số thực) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Chọn khẳng định đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Hàm số có đạo hàm .

Hàm số có 2 điểm cực trị thỏa .

Vì nên .

Từ và suy ra và .

Lại có đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ nên .

Vậy . Chọn đáp án .

Câu 44. Cho hình nón có bán kính đáy bằng . Mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón cắt hình nón theo một thiết diện là hình tròn có bán kính bằng , khoảng cách giữa mặt phẳng với mặt phẳng chứa đáy của hình nón là . Diện tích xung quanh của hình nón bằng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là khoảng cách từ đỉnh nón đến mặt phẳng .

Từ giả thiết suy ra

Suy ra chiều cao của hình nón là

Vậy diện tích xung quanh hình nón là .

Câu 45. Cho hàm số thỏa mãn và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Đặt khi đó

Câu 46. Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm trong đoạn của phương trình bằng

A. 1. B. 2. C. 3. D.4.

Lời giải

Chọn B

Đặt .

Khi đó phương trình trở thành

Xét hàm số trên

Ta có bảng biến thiên:

Vậy phương trình có 2 nghiệm trên .

Câu 47. Cho ; và . Giá trị lớn nhất của biểu thức thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có:

Do đó:

Suy ra:

Ta có: ( ).

Mặc khác, .

Dấu “=” xảy ra .

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là tại .

Câu 48. Cho hàm số ( là tham số thực). Gọi là tập hợp các giá trị của sao cho . Tổng các phần tử của là

A. 7. B. -14. C. -7. D. `14.

Lời giải

Chọn C

Xét hàm số liên tục trên đoạn .

Ta có .

Khi đó ; ; .

Suy ra .

Đồ thị của hàm số thu được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành của , còn phần đồ thị phía dưới trục hoành của thì lấy đối xứng qua trục hoành lên trên. Do đó, ta có biện luận sau đây:

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1. thì . Do đó:

(loại).

Trường hợp 2. , thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại với . Do đó . Suy ra .

Mặt khác .

Suy ra .

Trường hợp 3. , thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại với . Do đó .

Măt khác .

Suy ra (loại).

Trường hợp 4. thì . Do đó:

(loại).

Suy ra .

Vậy tổng các phần tử của là .

Câu 49. Cho hình hộp có diện tích đáy bằng , chiều cao bằng 3. Gọi là những điểm thỏa mãn , . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Mặt phẳng cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành và ta có

Ta có và .

.

Câu 50. Cho phương trình . Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn phương trình trên, biết rằng ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Phương trình đã cho .

Đặt , suy ra .

Khi đó ta có phương trình:

.

Xét hàm số với .

Ta có .

Vì nên suy ra: .

Khi đó nên hàm số nghịch biến trên tập .

Từ phương trình suy ra hay .

Nhận thấy với là các số nguyên thì luôn là số lẻ, mà luôn là số chẵn nên không thể tồn tại cặp nào thỏa mãn phương trình đã cho, với là các số nguyên.