Ước chung là gì, Hướng dẫn cách tìm ước chung đơn giản

Ước số chung là một khái niệm hoàn toàn mới trong chương trình Toán lớp 6. Vậy ước chung là gì? Ước chung lớn nhất là gì? Và làm thế nào để tìm ước chung và ước chung lớn nhất,… Chúng ta cùng nhau tìm hiểu thông qua bài viết này của Trang Tài Liệu.

Khái niệm Ước chung

Khái niệm ước chung

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.

Kí hiệu của ước chung: ƯC(a,b) là tập hợp các ước chung của a và b.

Chú ý: Ta chỉ xét ước chung của các số khác 0.

Ví dụ về ước số chung

Ví dụ 1. Viết tập hợp các ước chung của 6 và 8.

Ta có:

Ư(6) = {1; 2; 3; 6},

Ư(8) = {1; 2; 4; 8}.

Các số 1; 2 đều là ước của hai số 6 và 8 nên ƯC(6,8) = {1; 2}.

Ví dụ 2. Viết tập hợp các ước chung của 8; 12 và 16.

Ta có:

Ư(8) = {1; 2; 4; 8}

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12},

Ư(16) = {1; 2; 4; 8; 16}.

Các số 1; 2; 4 đều là ước của ba số 8; 12 và 16 nên ƯC(8, 12, 16) = {1; 2; 4}.

Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Khái niệm Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Kí hiệu của ước chung lớn nhất: ƯCLN(a,b) là ước chung lớn nhất của a và b.

Cách tìm ước ƯCLN

Để tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số, ta có thể thực hiện theo hai cách sau:

Cách 1. Liệt kê các ước chung của các số rồi chọn ra số lớn nhất, số đó là ước chung lớn nhất phải tìm.

*Phương pháp giải:

• Bước 1: Tìm tập hợp ước của hai hay nhiều số đã cho.
• Bước 2: Tìm tập hợp ước chung của hai hay nhiều số đó.
• Bước 3: Chọn ra số lớn nhất trong tập hợp ước chung vừa tìm được. Số đó là ước chung lớn nhất phải tìm.

Ví dụ 3. Tìm ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên 18 và 30.

Ta có:

Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

ƯC(18; 30) = {1; 2; 3; 6}

Vậy ƯCLN(18; 30) = 6.

Cách 2. Tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

*Phương pháp giải:

• Bước 1.  Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
• Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
• Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất
• Bước 4. Lập tích các lũy thừa đã chọn, tích đó là ước chung lớn nhất cần tìm

Ví dụ 4. Tìm ƯCLN (18; 24).

– Bước 1. Phân tích hai số 18 và 24 ra thừa số nguyên tố.

Ta có:

– Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung của 18 và 24 là 2 và 3.

– Bước 3. Với hai thừa số đã chọn là 2 và 3, ta lấy với số mũ nhỏ nhất.

• Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1.
• Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1.

Vậy ƯCLN(18, 24) = 2.3 = 6.

Ví dụ 5. Tìm ƯCLN(56; 140; 252).

Cách giải:

Ta có:

Vậy ƯCLN(56; 140; 252) = 2² . 7 = 28^..

Chú ý. Khi tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số ta cần lưu ý một số điều sau:

• Với mọi số tự nhiên a và b ta có:

ƯCLN(1, a) = 1

ƯCLN(1, a, b) = 1

Cách tìm ước chung thông qua ƯCLN

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

*Phương pháp giải:

• Bước 1. Tìm ƯCLN của các số đó.
• Bước 2. Tìm các ước của ƯCLN đó.

Ví dụ 6. Tìm ƯCLN(28, 72), từ đó tìm ƯC(28, 72).

Ta có:

Khi đó ƯCLN(28, 72) = 

Vậy ƯC(28, 72) = Ư(4) = {1; 2; 4}.

Lưu ý về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

• Tích của hai số tự nhiên khác 0 bằng tích của ƯCLN và BCNN của chúng:  a.b = ƯCLN (a;b).BCNN (a,b)
• Nếu tích a.b chia hết cho m, trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a⋮m.
• Một cách khác để tìm ƯCLN của hai số a và b (với a > b) là chia số lớn cho số nhỏ.
• Nếu a⋮b thì ƯCLN (a,b) = b
• Nếu phép chia a cho b có số dư r1, lấy b chia cho r1
• Nếu phép chia b cho r1 có số dư r2, lấy r1 chia cho r2
• Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi số dư bằng 0 thì số chia cuối cùng là ƯCLN phải tìm.

Bài tập luyện tập liên quan đến ước số chung

Bài 1: Tìm số tự nhiên A có bốn chữ số sao cho đó chia cho 131 thì dư 112, chia cho 132 thì dư 97 nhưng chia hết cho 99.

Giải:

Theo đề bài, ta có:

A = 131p + 112 = 132q + 97

Hay 131p = 132q – 15 = 131q + (q – 15)

⇒q–15⋮131⇒q=131x+15(x∈N)

mà  A = 132q + 97 = 132. (131x + 15) = 132 .131x + 1980

Vì A có bốn chữ số nên x = 0 và 1980 : 99 = 20

Vậy số cần tìm là A = 1980.

Bài 2: Cho a = 123456789; b = 987654321.

1. Tìm ƯCLN của (a; b)
2. Tìm số dư trong phép chia BCNN (a; b) cho 11.

Giải:

1. Ta có: a⋮9,b⋮9 (vì tổng các chữ số của nó chia hết 9)

Mặt khác b – 8a = 9 nên nếu ƯC (a; b) = d thì 9⋮d

Vậy mọi ƯC của a, b đều là ƯC của 9 hay 9 = ƯCLN (a; b)

    2. Vì BCNN(a;b)=a.bUCLN(a;b)=a.b9=a9.b

Nhưng a9.b=11m+3

b9=11n+5

Vậy BCNN (a,b) = 11p + 4

Vậy số dư cần tìm là 4.

Bài 3:

1. Tìm a∈N∗, biết: a⋮378,a⋮594
2. Tìm b∈N∗, biết: 112⋮b,280⋮b

Giải:

1. a⋮378,a⋮594⇒a=BCNN(378;594)

Ta có:

378=2.33.7

594=2.33.11

Vậy a = BCNN (378;594)

   2. 112⋮b,280⋮b⇒b=UCLN(112;280)

Ta có:

112=24.7

280=23.5.7

Vậy b = ƯCLN (112; 280) = 23.7=56

Như vậy, thông qua bài viết này các bạn đã biết ước số chung là gì, cách tìm ước chung như nào. Hy vọng rằng với những kiến thức và các phương pháp giải trên đây có thể giúp các bạn nắm vững kiến thức và làm tốt các bài tập dạng này.