Những Bài Toán Hình Lớp 7 Học Kỳ 2 Có Lời Giải

Có thể bạn quan tâm

Những Bài Toán Hình Lớp 7 Học Kỳ 2 Có Lời Giải là tài liệu học tập được Trang Tài Liệu biên soạn và sưu tầm từ những nguồn dữ liệu mới nhất hiện nay. Tài liệu này sẽ giúp các em luyện tập, củng cố kiến thức từ đó nâng cao điểm số cho môn học. Ngoài ra, cũng giúp các thầy cô giáo có nguồn tài nguyên phong phú để giảng dạy.

Bài viết này sẽ cung cấp cho các em những bài toán hình lớp 7 học kỳ 2 có lời giải chi tiết. Các em sẽ được hướng dẫn cách tiếp cận và giải quyết từng bài toán một, bằng cách sử dụng các phương pháp và công cụ hình học phù hợp. Từ đó, các em sẽ nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán hình một cách thành thạo.

Dưới đây là bản đọc trực tuyến giúp thầy cô và các em học sinh có thể nghiên cứu Online hoặc bạn có thể tải miễn phí với phiên bản word để dễ dàng in ấn cũng như học tập Offline.

CHUYÊN ĐỀ III. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
VÀ CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC

CHỦ ĐỀ 1. QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC

I . TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định lý 1

Trong một tam giác, góc đối diện với

cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Trong tam giác ABC, nếu AC > AB thì

2. Định lý 2

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Trong tam giác ABC, nếu thì AC > AB.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. So sánh hai góc trong một tam giác

Phương pháp giải:

- Xét hai góc cần so sánh là hai góc của một tam giác.

- Tìm cạnh lớn hơn trong hai cạnh đối diện của hai góc ấy.

- Kết luận.

1A. So sánh các góc của tam giác ABC, biết rằng AB = 2 cm,

BC = 4 cm, AC = 5 cm.

1B. So sánh các góc của tam giác MNP, biết rằng MN = 8cm,

NP = 3 cm, MP = 10 cm.

2A. Cho tam giác ABC có AC > AB. So sanh hai góc ngoài tại các đỉnh B và C.

2B. Cho tam giác DEF có DE = 5 cm, DF = 7 cm. So sánh hai góc ngoài tại các đỉnh E và F.

3A. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC. Kẻ BD vuông góc với AC tại D, CE vuông góc với AB tại E. So sánh hai và

3B. Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. So sánh và

Dạng 2. So sánh hai cạnh trong một tam giác

Phương pháp giải:

- Xét hai cạnh cần so sánh là hai cạnh của một tam giác.

- Tìm góc lớn hơn trong hai góc đối diện với hai cạnh ấy.

- Kết luận.

4A. So sánh các cạnh của tam giác ABC, biết = 80°, = 40°.

4B. So sánh các cạnh của tam giác PQR, biết = 70°, = 50°.

5A. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm K nằm giữa A và C. So sánh độ dài BK và BC

5B. Cho tam giác MNP vuông tại N. Trên tia đối của tia PN lấy điểm Q. So sánh độ dài MP và MQ.

6A. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC. Kẻ BD vuông góc với AC tại D, CE vuông góc với AB tại E. Gọi H là giao điểm cửa BD và CE. So sánh độ dài HB và HC.

6B. Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Từ I vẽ IH vuông góc với BC. So sánh độ dài HB và HC.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

7. Cho tam giác QMN có OM = 3 cm, ON = 4 cm, MN = 5 cm.

So sánh các góc của tam giác OMN.

8. Chứng minh trong tam giác vuông, cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông

9. Cho tam giác ABC cân tại A có = 50°. So sánh độ dài AB và BC.

10. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. So sánh và .

11. Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. So sánh và .

12. Cho tam giác ABC có = 90°, = 30°. Điểm D thuộc cạnh AC sao cho = 20°. So sánh các độ dài các cạnh của BDC.

13. Cho tam giác đều ABC, điểm M thuộc cạnh AB. So sánh độ dài các cạnh của tam giác BMC.

14. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc vói BC tại H. So sánh:

a) BA và BH; b) DA và DC.

15. Cho tam giác ABC có > 90°. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Chứng minh DE < DC <BC.

16. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ tia Bx nằm giữa hai tia BA và BC. Trên tia Bx lấy điểm D nằm ngoài tam giác ABC. Chứng minh

DC < DB.

17*. Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Chứng minh DB < DC.

18*. Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh .

HƯỚNG DẪN

1A. Ta có AB < BC < AC =>

1B. Ta có NP < MN < MP =>

2A. Ta có AC > AB => , do đó góc ngoài tại đỉnh B nhỏ hơn góc

ngoài tại đỉnh C.

2B. Ta có DE < DE => , do đó góc ngoài tại đỉnh E nhỏ hơn góc

ngoài tại đỉnh F.

3 A. Vì AB < AC nên .

Lại có và

, từ đó ta có

3B. Vì AB < AC nên , với

chú ý rằng

Từ đó ta có

4A. Tính được = 60°, do đó => AC < AB < BC.

4B. Tính được = 60°, do đó => PQ < PR < QR.

5 A. Chú ý là góc ngoài của AKB

nên > = 90° > .

BK < BC

5B. Tương tự 5A, ta có MP < MQ.

6A. Áp dụng 3A, ta có => HB < HC.

6B. Dùng kết quả bài 3B, ta có => IB < IC.

Mà HB² = IB² - IH², HC² = IC²- IH². Suy ra HB < HC.

7. Ta có OM < ON < MN => .

8. Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh huyền

(đối diện với góc vuông) là cạnh lớn nhất.

9. Tính được = 65°, do đó => AB > BC.

1 0. Ta có AB < AC => .

Chú ý và

, từ đó ta có

1 1. Chú ý:

Mà AB < AC =>

nên

12. Tính được

và , từ đó ta có

DB < DC < BC.

1 3. Ta có

Chú ý là góc ngoài của tam giác

nên

Do đó

bởi vậy MB < MC < BC.

1 4. a) Ta có ABD = HBD (cạnh huyền

- góc nhọn), từ đó BA = BH.

b) Chứng minh được DA = DH, lại có

tam giác DHC vuông tại H nên

DH < DC => DA < DC.

1 5. Chú ý là góc ngoài của tam giác

DAC nên

=> DE < DC.

Tương tự ta có

=> DC < BC, do đó DE < DC < BC.

1 6. Do Bx nằm giữa BA và BC nên

, chú ý D nằm ngoài tam

giác ABC nên CA nằm giữa CD và

CB, do đó

Từ đó DCB > DB =>DC < DB.

1 7*. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho

AB = AE, chứng minh được

ABD = AED (c.g.c).

=> và DB = DE.

Từ đó DB = DE < DC.

1 8*. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao

cho MA = MD, chứng minh được

MAB = MDC (c.g.c).

=> , chú ý rằng

CD = AB < AC =>

Do đó

..............................................................................................................................................................

CHỦ ĐỀ 2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Đ ịnh lý 1. Trong các đường xiên

và đường vuông góc kẻ từ một điểm

ở ngoài một đường thẳng đến đường

thẳng đó, đường vuông góc là đường

ngắn nhất

AH a => AH < AC, AH < AD

(Với C, D là điểm bất kì thuộc a)

2. Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu

Định lý 2. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

• Đường xiên nào có hình chiếu

lớn hơn thì lớn hơn.

AH a, HD > HC => AD > AC.

• Đường xiên nào lớn hơn thì có

hình chiếu lớn hơn.

AH a, AD > AC => HD > HC.

• Nếu hai đường xiên bằng nhau

thì hai hình chiếu bằng nhau và

ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

AB = AC  HB = HC (hình vẽ).

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. So sánh hai đường xiên hoặc hai hình chiếu

Phương pháp giải: Vận dụng Định lý 2.

1A. Cho tam giác ABC có AB <AC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. So sánh độ dài HB và HC

1B. Cho tam giác MNP có MN = 3 cm, MP = 4 cm. Kẻ MK vuông góc với NP tại K. So sánh độ dài KN và KP.

2A. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N.

a) Chứng minh MN < BN < BC.

b) Có thể nói BN có hình chiếu xuống AC là AN còn CM có hình chiếu xuống AC là AC nên CM > BN được không?

2B. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy các điểm M, N (M nằm giữa A, N). So sánh các độ dài BM, BN, BC.

3A. Cho tam giác ABC có AB > AC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H, điểm D thuộc đoạn AH. So sánh:

a) DB và DC; b) DB và AB.

3B. Cho tam giác MNP có MN < MP. Kẻ MK vuông góc với NP tại K. Trên tia đối của tia MK lấy điểm Q. So sánh độ dài QN và QP,

Dạng 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Phương pháp giải: Sử dụng định lý đường vuông góc ngắn hơn đường xiên (từ một điểm đến cùng một đường thẳng).

4A. Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC). Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC với tổng AE + CF.

4B. Cho tam giác ABC, điểm M nằm giữa B và C. Gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến các đường thẳng AB và AC. So sánh BC và tổng MH + MK.

5. Cho tam giác ABC không vuông. Kẻ BD vuông góc với AC tại D, kẻ CE vuông góc với AB tại E. Chứng minh BD + CE < AB + AC

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

6. Cho tam giác ABC vuông tại B. Trên cạnh BC lấy các điểm D và E (D nằm giữa B và E)

a) So sánh các độ dài các đoạn thẳng AB, AD, AE, AC.

b) Vẽ BI, BK, BH lần lượt vuông góc với AD, AE, AC. So sánh các góc ABH, ABK, ABI.

7. Cho tam giác OMN vuông tại O. Lấy điểm P trên cạnh OM, điểm Q trên cạnh ON. Chứng minh PQ < MQ < MN.

8. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC, điểm D thuộc cạnh BC (D khác H). Chứng minh AH < AD < AB.

9. Cho tam giác ABC có và là các góc nhọn. Gọi D là điểm bất kì thuộc cạnh BC, gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ B và c đến đường thẳng AD. So sánh:

a) BH và BD. Có khi nào BH bằng BD không?

b) HC và BK khi BD <

10. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM.

a) Chứng minh ME = MF.

b) So sánh AB và

11. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D.

a) So sánh AD và AB.

b) Vẽ BE AC và DF AB. So sánh BE và DF

HƯỚNG DẪN

1A. Đường xiên AB < AC nên hình chiến HB < HC.

1B. Đường xiên MN < MP nên hình chiếu KN < KP.

2 A. Hình chiếu AM < AB nên đường

xiên MN < BN.

Hình chiếu AN < AC nên đường xiên

BN < BC.

Bởi vậy MN < BN < BC.

b ) Không được vì M và B khác nhau.

2B. Tương tự 2A, chú ý: AM < AN < AC.

3 A. a) Đường xiên AB > AC nên hình chiếu

HB > HC.

Hình chiếu HB > HC nên đường xiên

DB > DC.

b) BA và BD có hình chiếu lần lượt là

A H và DH. Mà AH > BH => BA > BD.

3B. Tương tự 3A, chú ý KN < KP.

4A. AE là đường vuông góc, AD là đường

xiên nên AE < AD.

CF là đường vuông góc, CD là đường

xiên nên CF < CD.

Do đó AE + CF < AD + CD = AC.

4 B. Tương tự 4A, chú ý MH < MB, MK < MC.

5. Chứng minh được:

BD < AB, CE < AC.

Do đó BD + CE < AB + AC.

6. a) Tương tự 2B, ta có:

AB < AD < AE < AC.

b) Chứng minh được

Mà

Suy ra

7 . Do = 90° nên là góc tù.

Xét MPQ có lớn nhất nên

MQ > PQ.

Xét MQN có tù nên

MN > MQ.

8 . Ta có AH < AD (quan hệ đường

vuông góc, đường xiên).

Nếu D thuộc đoạn HC => HD < HC,

do đó AD < AC = AB.

Nếu D thuộc đoạn HB => HD < HB

=> AD < AB. Bởi vậy AH < AD < AB.

9 . a) Ta có BH BD (đương vuông góc ngắn

hơn mọi đường xiên).

BH = BD  H D AD BC.

b) Xét MPQ có BK² = BH² + HK².

Xét CHK có CH² = CK² + HK².

Mà BD < nên BH < CK.

Vậy BK < HC.

1 0. a) Chứng minh được

MAE = MCF (ch- gn)

=> ME = MF

b) Do ME = MF nên BE + BF

= BM - ME + BM + MF = 2BM.

Mặt khác AB < BM => AB <

1 1. a) Kẻ AH BC tại H

Ta có AB = AC => HB = HC.

Lại có D thuộc tia đối của tia CB

Vậy HD > HC =HB => AD > AB.

b) Diện tích ABC = AH. BC;

Diện tích ABD = AH.BD.

Mà BC < BD.

Suy ra Diện tích ABC < Diện tích ABD.

Lại có:

Diện tích ABC = AC.BE; Diện tích ABD = AB.DF

Suy ra AC.BE < AB.DF. Từ đó, ta có: BE < DF.

..............................................................................................................................................................

CHỦ ĐỀ 3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC
BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Trong một tam giác, độ dài của một

cạnh bao giờ cũng lớn hơn giá trị

tuyệt đối của hiệu và nhỏ hơn tổng

các độ dài của hai cạnh còn lại. Cụ thể:

|AB - AC| < BC < AB + AC.

II .BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Khẳng định có tồn tại hay không một tam giác biết độ dài ba cạnh

Phương pháp giải:

- Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c nếu:

hoặc |b - c | < a < b + c

- Trong trường hợp xác định được a là số lớn nhất trong ba số a, b, c thì điều kiện để tồn tại tam giác chỉ cần: a < b + c.

1A. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của 3 cạnh trong tam giác?

a) 5 cm; 10 cm; 12 cm, b) 1 m; 2 m; 3 m.

c) 6 m; 9 m; 8 m.

1B. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của 3 cạnh trong tam giác?

a) 3 cm; 4 cm; 5 cm. b) 2 m; 2 m; 5 m.

c) 5 m; 10 m; 15 m.

2A. Một tam giác cân có một cạnh bằng 6 cm. Tính hai cạnh còn lại, biết chu vi của tam giác đó bằng 20 cm

2B. Tính chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó là 3,9 cm và 7,9 cm.

3A. Cho tam giác ABC có BC = 1 cm, AC = 7 cm. Tìm độ dài cạnh AB, biết độ dài này là một số nguyên (cm).

3B. Cho tam giác MNP có MN = 1 m, NP = 3 m, độ dài cạnh MP là một số nguyên. Tính độ dài MP.

Dạng 2. Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài

Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về bất đẳng thức.

- Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức:

a< b => a + c < b + c.

- Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều:

4A. tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB.

a) So sánh MC với AM + AC.

b) Chứng minh MB + MC < AB + AC.

4B. Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AC lấy điểm K.

a) So sánh AB với KA + KB.

b) Chứng minh AB + AC < KB + KC.

5A. Cho tam giác ABC, điểm M bất kỳ nằm trong tam giác.

a) So sánh MB + MC với BC

b) Chứng minh MA + MB + MC >

5B. Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC.

a) So sánh AD với BA + BD.

b) Chứng minh AD <

6A. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Chứng minh DC > AB

6B. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D. Chứng minh DB > DC.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

7. Có hay không tam giác với độ dài các cạnh là

a) 2 m; 3 m; 5 m? b) 6 cm; 8 cm; 10 cm?

8. Tìm chu vi của tam giác cân, nếu biết hai cạnh của nó bằng:

a) 7 cm và 3 cm; b) 8 cm và 2 cm.

9. Cho tam giác ABC có AB = 1 cm, AC = 4 cm, độ dài cạnh BC là một số nguyên. Tính độ dài BC.

10. Cho tam giác ABC điểm O nằm trong tam giác, tia BO cắt cạnh AC tại I

a) So sánh OA và IA + IO, từ đó suy ra OA + OB < IA + IB;

b) Chứng minh OA + OB < CA + CB.

c) Chứng minh

< OA + OB + OC < AB + BC + CA.

11. Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D, trên cạnh AC lấy E sao cho AE = AB.

a) So sánh DB và DE.

b) Chứng minh AC - AB > DC - DB.

1 2* Cho tam giác ABC. Gọi M là

trung điểm của BC.

a) Chứng minh AM <

b) Cho bốn điểm A, B, C, D như

hình vẽ. Gọi thứ tự là trung điểm

của AC và BD. Chứng minh

AB + BC + C + DA > 4MN

HƯỚNG DẪN

1A. a) Có, vì 12 < 5 + 10. b) Không, vì 1 + 2 = 3

c) Có, vì 9 < 6 + 8.

1B. a) Có, vì 5 < 3 + 4. b) Không, vì 5 > 2 + 2

Không, vì 5 +10 = 15.

2A. Nếu cạnh đã cho (6cm) là cạnh đáy thì hai cạnh còn lại là 7 cm và

7 cm, thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Nếu cạnh đã cho (6 cm) là cạnh bên thì hai cạnh còn lại là 6 cm và

8 cm, thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

2B. Nhận xét: Cạnh thứ ba của tam giác cân bằng một trong hai cạnh

kia.

Loại trường hợp cạnh thứ ba bằng 3,9 cm vì 3,9 + 3,9 < 7,9.

Trường hợp cạnh thứ ba bằng 7,9 cm thỏa mãn bất đẳng thức tam

giác vì 7,9 < 7,9 + 3,9. Từ đó tính được chu vi của tam giác là 19,7 cm.

3A. Chú ý |AC - BC| < AB < AC + BC => 6 < AB <8. Do AB là số

nguyên nên AB = 7 cm.

3B. Tương tự 3A, ta có

2 < MP < 4 => MP 3cm

4A. a) AMC có MC < AM + AC.

b) Dùng kết quả câu a, ta có

MB + MC' < MB + MA + AC

= AB + AC.

4B. Tương tự 4A.

5A. a) MBC có MB + MC > BC.

b) Tương tự ý a, ta có

MA + MC > AC, MA + MB > AB.

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức

2(MA + MB + MC) >AB + BC + CA.

MA + MB + MC >

Chú ý rằng kết quả trên vẫn đúng khi M ở ngoài tam giác hoặc ở

trên hai cạnh AB hoặc AC. Riêng khi M thuộc BC thì

BM + MC = BC

5 B. a) ABD có AD < BA + BD

b) Tương tự ý a, ta có : AD < CA + CD

Cộng trừ hai vế bất đẳng thức

=> 2AD < BA + BC + AC => ĐPCM.

6 A. ADC có DC > AD - AC = AB

6B. Tương tự 6A.

7. a) Không, vì 2 + 3 = 5.

b) Có, vì 6 + 8 > 10.

8. Tương tự 2B, ta có:

a) Chu vi tam giác là 7 + 7 + 3 = 17cm.

b) Chu vi tam giác là 8 + 8 + 2 = 18cm.

9 . Tương tự 3A, ta có 3 < BC < 5 => BC = 4cm.

10. a) OIA có OA < IA + IO, do đó

OA + OB < IA + IO + OB = IA + IB.

b) Tương tự ý a, chứng minh được

IA + IB < CA + CB.

Bởi vậy OA + OB < IA + IB < CA + CB.

c) Chứng minh được các bất đẳng thức

tương tự OB + OC < AB + AC, OC + OA

< BA + BC.

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức, ta được

O A + OB + OC < AB + BC + CA.

Kết hợp với kết quả của 5A, ta có ĐPCM

11. a) Chứng minh được

ADB = ADE (c.g.c) => DB = DE.

b) EDC có EC > DC - DE.

Chú ý rằng AC - AB = AC - AE =

và DC - DE = DC - DB.

Từ đó ta có AC - AB > DC - DB.

12*. a) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D

s ao cho MD = MA. Chứng minh được

MAB = MDC (c.g.c) => AB = CD.

ACD có AC + CD > AD, chú ý rằng

AD = 2AM, AB = CD nên

2AM < AB + AC =>AM <

b) Sử dụng kết quả ý a) ta có:

BA + BC > 2BM, DA + DC > 2DM.

Suy ra AB + BC + CD + DA > 2(MB + MD). (1)

Trong BMD, lại có

M B + MD > 2MN . (2)

Từ (1) và (2), ta có ĐPCM

..............................................................................................................................................................

CHỦ ĐỀ 4. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

CỦA TAM GIÁC

I . TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1- Đường trung tuyến của tam giác

• Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam

giác ABC với trung điểm M của cạnh.

BC gọi là đường trung tuyến của tam

giác ABC.

• Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

2. Tính chất ba đường trang tuyến của tam giác

Ba đường trung tuyến của một tam

giác cùng đi qua một điểm.

Đ iểm đó gọi là trọng tâm của tam

giác đó, điểm đó cách mỗi đỉnh

một khoảng bằng độ dài đường

trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Nếu G là trọng tâm của tam giác

ABC thì

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác

Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt các tỉ số liên quan tới trọng tâm của tam giác.

Ví dụ. Nếu ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G thì ta có

AG = = AM , AG = 2GM; GM = AM; ...

1A. Cho ABC có hai đường trung tuyến BD, CE

a) Tính các tỉ số

b) Chứng minh BD + CE > BC

1B. Cho ABC có BC = 8 cm, các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Chứng minh BD + CE > 12 cm.

2A. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia PB lấy điểm E sao cho PE = PG. Trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho QF = QG. Chứng minh:

a) GB = GE, GC = GE; b) EF = BC và EF//BC.

2B. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm của đoạn thẳng MG. Trên tia đối của tia EG lấy điểm N sao cho E là trung điểm GN. Chứng minh:

a) GN = GB, GM = GA; b) AN = MB và AN // MB.

Dạng 2. Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác

Phương pháp giải: Để chứng minh một điểm là trọng tâm của một tam giác, ta có thể dùng một trong hai cách sau:

- Chứng minh điểm đó là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.

- Chứng minh điểm đó thuộc một đường trung tuyến của tam giác và thỏa mãn một trong các tỉ lệ về tính chất trọng tâm của tam giác.

3A. Cho ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho

AD = AB. Lấy G thuộc cạnh AC sao cho AG = AC. Tia DG cắt BC tại E. Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm của EF và CD.

Chứng minh:

a) G là trọng tâm BCD;

b) BED = FDE, từ đó suy ra EC = DF;

c) DMF = CME;

d) B, G, M thẳng hàng.

3B. Cho ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 2CM. Vẽ điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi N là trung điểm của BD, Chứng minh:

a) M là trọng tâm tam giác ABD;

b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng;

c) Đường thẳng DM đi qua trung điểm của AB.

4A. Cho ABC với đường trung tuyến AD. Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE, trên tia BC lấy điểm M sao cho BC = CM. Chứng minh C là trọng tâm của AEM.

4B. Cho ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Chứng minh E là trọng tâm của ABC.

5A. Cho ABC. Vẽ trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao cho BG = BM và G là trung điểm của BK. Gọi E là trung điểm CK; GE cắt AC tại I Chứng minh:

a) I là trọng tâm của KGC; b) CI = AC.

5B. Cho ABC, M là trung điểm AC. Trên đoạn BM lấy điểm K sao cho KM = KB. Điểm H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH = 2BK. Gọi I là điểm thuộc cạnh AC và IC = CA. Đường KI cắt HC ở E.

a) Chứng minh I là trọng tâm của HKC và E là trung điểm của HC ở E

b) Tính các tỉ số . Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng ( I là trung điểm KC)

6A. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Đoạn thẳng AM, AN cắt BD lần lượt tại I và K. Chứng minh:

a) I là trọng tâm của ABC và K là trọng tâm của ADC;

b) BI = IK = KD.

6B. Cho tam giác ABC, đường trưng tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi P, Q lần lượt là điểm trên BE sao cho BP = PQ = QE. Chứng minh:

a) CP, CQ cắt AB, AE tại trung điểm của AB,AE.

b) CP//AQ và CQ//AP.

Dạng 2. Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều...

Phương pháp giải: Chú ý những tính chất của tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều.

7A. Cho ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a) Tính

b) Chứng minh ABD = BAC.

c) Chứng minh AM = BC

7B. Cho ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của ABC tới các đỉnh, của tam giác.

8A. Cho ABC , trung tuyến AM = BC.

a) Chứng minh và .

b ) Tính

8B. Cho hình vẽ, biết ABC có hai

đường trung tuyến BN,CP vuông

góc với nhau tại G. Tia AG cắt BC

tại I. BC = 5 cm.

Tính độ dài GI,AG.

9A. Cho ABC cân tại A có đường trung tuyến AM.

a) Chứng minh AM BC.

b) Biết AB = 10 cm, BC = 12 cm. Tính độ dài đoạn vuông góc kẻ từ B xuống AC.

9B. Cho ABC có AB = BC = 13 cm, AC = 10 cm, Đường trung tuyến BM, trọng tâm. G. Tính độ dài GM.

10A. Cho ABC có hai đường trung tuyến BM, CN.

a) Chứng minh nếu ABC cân tại A thì BM = CN.

b) Ngược lại nếu BM = CN, chứng minh:

i) GB = GC, GN = GM;

ii) BN = CM;

iii) ABC cân tại A

10B. Cho ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết BM = CN. Chứng minh AG BC.

11A. Cho ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G.

Biết AM = BN = CP. Chứng mình ABC đều.

11B. Cho ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G. Biết AG = BG = CG. Chứng minh ABC đều.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

12. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho

AE = 2AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BC. Chứng minh:

a) A là trọng tâm của CDE;

b) Đường thẳng CA đi qua trung điểm của DE.

13. Cho bốn điểm A, B,C, D không thẳng hàng như hình vẽ. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trung điểm của BD và AC lần lượt là M, N. Chứng minh AC + DB > 2MN.

14. Cho ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm.

a) Tính BC.

b) Đường thẳng đi qua trung điểm I của BC và vuông góc với BC cắt AC tại D. Chứng minh .

c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DC. Chứng minh BCE vuông.

15. Cho ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Biết AB = 6cm,

AC = 8cm.

a) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh AMB = DMC.

b) Chứng minh BAC = DCA.

c) Tính AM.

D0 Chứng minh AM <

16. Cho ABC có hai đường trung tuyến AM, BN vuông góc với nhau, trọng tâm G. Biết AM = 4,5 cm, BN cm. Tính độ dài các cạnh của ABC

HƯỚNG DẪN

1A. Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến BD,CE là G.
GBC có: GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Mà GB = BD, GC = CE nên: BD + CE > BC.

Do đó BD + CE > BC.

1B. Tương tự 1A.

BD + CE > . 8 = 12 cm.

2 A. a) Vì G là trọng tâm ABC

nên BG = 2GP, CG = 2GQ.

Lại có PE = PG, QF = QG

nên GE = 2GP, GF = 2GQ.

Do đó BG = GE,CG = GF.

b) Suy ra GBC = GEF (c.g.c)

Từ đó ta có EF = BC và

=> EF // BC.

2B. Tương tự 2A.

3A. a) Vì AD = AB nên A là trung điểm BD

=> CA là đường trung tuyến của BCD

Mà AG = AC => G là trọng tâm BCD

b) Ta có : BD || EF =>

và DE || BC =>

=> BED = FDE (g.c. g) => BE = DF

(hai cạnh tương ứng) (1). Mặt khác do G là trọng tâm BCD nên E là trung điểm BC

=> BE = EC (2).

Từ (1) và (2) suy ra EC = DF.

c) DMF = CME (g.c.g).

d) Do DMF = CME => MD = MC => M là trung điểm DC => BM là trung tuyến của BCD.

=> G BM => B, G, M thẳng hàng.

3 B. Tương tự 3A.

a) M thuộc đường trung tuyến BC

của ABD mà BM = 2CM nên M

là trọng tâm ABD.

Do đó M thuộc trung tuyến AN.

=> Ba điểm A, M, N thẳng hàng.

b) DM là trung tuyến thứ ba của

ABD nên DM đi qua trung điểm

của AB.

4 A. Theo đề bài ta có AD = DE nên

C thuộc MD là đường trung tuyến

của tam giác AEM (1)

Mặt khác ta có BC = 2CD và

BC = CM nên CM = 2CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra C là trọng

tâm của AEM.

4B. Từ giả thiết AD = DE = EM ta có AE = AM.

Mà E thuộc trung tuyến AM nên E là trọng tâm của ABC.

5 A. a) Theo đề bài BG = BM.

Suy ra BG = 2GM => GK = 2GM

=>M là trung điểm GK.

Do đó I là giao điểm ba đường trung

tuyến trong KGC.

b) I là trọng tâm KGC nên

CI = CM= . AC = AC.

5B. Tương tự 5A.

a) M là trung điểm KH. Suy ra I là trọng tâm của HKC. Suy ra KI là trung tuyến KHC.

b) . Suy ra HI

cũng là trung tuyến KHC.

6A. a) ABC có hai đường trung

B O, AM cắt nhau tại I nên

I là trọng tâm của ABC .

Tương tự ta có K là trọng tâm

của ADC.

b) Từ ý a) suy ra ta có:

BI = BO, DK = DO

Mặt khác BO = DO

=> BI = DK = BO = BD => IK = BC. Suy ra ĐPCM.

D o đó BI = IK = KD.

6B. Tương tự 6A.

a) Chứng minh được P,Q lần lượt là

trọng tâm ABC, AEC.Suy ra ĐPCM.

b) Chú ý ADP = CQD và

ADQ = CDP.

7A. a) AMC = DMB (c.g.c)

=> => BD //AC Mà AB AC nên AB BD

=> = 90°.

b ) ABD = BAC (c.g.c).

c) ABD = BAC (c.g.c) => AD = BC.

Mà AM = AD => AM = BC.

7 B. Áp đụng đinh lý Pytago trong tam giác

vuông ABC tínhđược BC = 10cm

Gọi M là trung điểm của BC.

Do đó AM = 5cm

=> AG =

Tương tự tính được

v à cm.

8A. a) Ta có: MA = MB = MC = BC

=> MAB, MAC là tam giác cân tại M.

Do đó

b) Theo ý (a) ta có 2. = 180°

=> = 90°.

8B. Vì GI là đường trung tuyến kẻ từ G đến BC

=> GI = BC = . 5 = 2,5 cm.

Lại có AI là đường trung tuyến của ABC, G là trọng tâm => AG = 2GI = 2.2,5 = 5cm.

9A. a) ABM = ACM (c.c.c) = 90° => AM BC.

b) BC = 12cm => BM = 6cm. Áp dụng Định lí Pytago cho tam giác vuông AMB, ta tính được: AM = 8cm.

Vẽ BC. Chứng minh được dt ABC = BC. AM = AC. BN.

Từ đó tính được BN = 9,6cm.

9B. Tương tự 9A. BM = 12cm

= > GM = BG = . 12 = 4cm.

10A. a) BMC = CNB (c.g.c) => BM = CN.

b) i) Do G là trọng tâm ABC nên:

GB = BM,GM = BM,

GC = CN, GN = CN

Mà BM = CN nên GB = GC,GN = GM.

ii) Từ ý i) suy ra GBN = GCM (c.g.c) => BN = CM.

iii) Vì BN = CM nên BN = CM => AB = AC .

Do đó ABC cân tại A.

10B. Tương tự 10A.

Chứng minh được tam giác ABC cân tại A.

Kéo dài AG cắt BC tại M. Ta có AMB = AMC (c.c.c).

Suy ra ĐPCM.

1 1A. Ta có BN = CP nên GB = GC,GP = GN.

Tương tự 10A, ta có AB = AC.

Tương tự, ta có AB = BC.

Vậy AB = BC = CA.

Suy ra ABC đều.

11B. Ta có AG = BG = CG và AG = AM,

BG = BN, CG = CP

=> AM = BN = CP. Tương tự 11A suy ra ĐPCM.

12. Tương tự 3B. a) Ta có BD = BC,

do đó EB là đường trung tuyến của CDE .

Mặt khác AE = 2AB nên A là trọng tâm của

CDE.

b) Vì A là trọng tâm của CDE nên CA

là đường trung tuyến, suy ra ĐPCM

13. Ta có

OD + OA > AD

OA + OB > BC

OB + OC > BC

O C + OD > DC

2 (OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA

Hay 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA.

Sử dụng kết quả của 12 trang 93, ta có:

AB + BC + CD + DA > 4MN.

Suy ra ĐPCM.

C hú ý: Trung điểm G của MN được gọi là trọng tâm của hình ABCD.

14. a) BC = 10 cm.

b) BDI = CDI (hai cạnh góc vuông)

c) Ta có

BCD cân tại D => DC = DB.

CDE cân tại D => DE = DC

= > CD = BE => BCE vuông tại C

15. a) AMB = DMC (c.g.c).

b) Chứng minh được CD ||AB mà

AB AC nên AC DC. Từ đó suy ra

BAC = DCA (hai cạnh góc vuông).

c) AM = 5 cm.

d) Xét ABC có BC < AB + AC,

mà BC = 2AM nên AM <

1 6. Vì G là trọng tâm ABC nên :

AG = AM = . 4,5 = 3cm,

BG = BN = . 6 = 4cm.

ABG vuông tại G nên :

AB² = AG² + BG² = 3² + 4² = 25.

Suy ra AB = 5 cm

..............................................................................................................................................................

CHỦ ĐỀ 5. TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 .Định lí thuận

Điểm nằm trên tia phân giác của một

góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

2. Định lí đảo

Điểm nằm bên trong một góc và cách

đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia

phân giác của góc đó.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Vận dụng tính chất phân giác của một góc để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp giải: Áp dụng Định lí thuận.

1A. Cho ABC vuông tại A có AB = 3cm, AC = 6cm. Gọi E là trung điểm AC, tia phân giác của cắt BC tại D.

a) Tính BC.

b) Chứng minh: BAD = EAD.

c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh điểm D cách đều AB và AC.

1B. Cho khác 180°. Trên tia phân giác Ot của lấy điểm M bất kì. Chứng minh điểm M cách đều Ox và Oy.

2A. Cho ABC có = 120°. Tia phân giác của A cắt BC tại D. Tia phân giác của cắt AC tại I. Gọi H, K, E lần lượt là hình chiếu của I trên đương thẳng AB, BC, AD. Chứng minh:

a) AC là tia phân giác của .

b) IH = IK

2B. Cho ABC. Hai tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại I. Chứng minh điểm I cách đều hai cạnh AB, AC.

3A. Cho ABC có trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Trên tia AM lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh:

a) AB = CD.

b) ACD cân tại C.

c) Chứng minh ABC cân tại A.

3B. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kì trên cạnh BC, vẽ KH AC (H AC). Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh:

a) Chứng minh AB //HK;

b) Chứng minh

c) Chứng minh AKI cân,

Dạng 2. Chứng minh một tia là tia phân giác của một góc

Phương pháp giải: Để chứng minh một tia là tia phân giác của một góc, ta có thể sử dụng các cách sau:

Cách 1. Áp dụng Định lí đảo.

Cách 2. Chứng minh hai góc bằng nhau dựa vào hai tam giác bằng nhau.

Cách 3. Đường trung tuyến trong tam giác cân đồng thời là đường phân giác.

4A. Cho có tia phân giác Ot. Trên tia Ot lấy điểm C bất kì. Lấy

A Ox, B Oy sao cho OA = OB. Gọi H là giao điểm của AB và Ot. Chứng minh:

a) CA = CB và CO là phân giác của ;

b) OC vuông góc với AB tại trung điểm của AB;

c) Biết AB = 6 cm, OA = 5 cm. Tính OH

4B. Cho ABC, AB = AC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh:

a) BE = CD;

b) BMD = CME;

c) Đường vuông góc với OE tại E cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N. Chứng minh MN / / AC //BD.

5A. Cho . Lấy các điểm A,B thuộc tia Ox sao cho OA > OB. Lấy các điểm C, D thuộc Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh.:

a) AD = BC ;

b) ABE = CDE;

c) OE là tia phân giác của góc xOy.

5B. Cho góc nhọn xOy. Trên cạnh Ox lấy điểm A và trên cạnh Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Đường vuông góc với Ox kẻ từ A cắt Oy tại điểm C. Đường vuông góc với Oy kẻ từ B cắt Ox tại D và cắt AC tại I. Đường vuông góc với Ox kẻ qua D cắt Oy tại E. Đường vuông góc với Oy kẻ qua C cắt Ox tại F và cắt DE tại J.

a) Chứng minh OI là tia phân giác .

b) Chứng minh OC = OD. Từ đó suy ra OJ là tia phân giác của

c) Chứng minh ba điểm O, I, J thẳng hàng.

6A. Cho ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia Mx BC. Trên tia Mx lấy E sao cho ME = MB.

a) Tam giác BEC là tam giác gì?

b) Gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ E đến các đường thẳng AB, AC. Chứng minh .

c) Chứng minh rằng AE là tia phân giác của góc A

6B. Cho ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng BCD vuông cân tại D. Hạ DI AB, DH AC.

Chứng minh AD là tia phân giác của

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

7. Cho tam giác ABC vuông tại A có = 60°. Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho HB = AB. Đường thẳng vuông góc với BC tại H cắt AC tại D. Chứng minh:

a) BD là tia phân giác của ; b) BDC cân.

8. Cho khác góc bẹt.

a) Từ điểm M trên tia phân giác của , kẻ các đường vuông góc MA, MB đến hai cạnh Ox, Oy (A Ox, B Oy), OM cắt AB tại H. Chứng minh AB OM.

b) Trên tia đối của tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm C và D, sao cho OC = OD. Hai đương thẳng lần lượt vuông góc với Ox, Oy tại C và D cắt nhau ở E. Chứng minh ba điểm O, H, E thẳng hàng.

9. Cho hai góc nhọn và có các cạnh cắt nhau tạo thành hình ABCD như hình vẽ. Xét hình ABCD.

a) Chứng minh tổng bốn góc A + B + C + D bằng 360°.

b ) Cho biết = 130°, = 120°, = 50°.Các tia phân giác của , cắt nhau tại M, các tia phân

giác của , cắt nhau tại N.

Tính .

c) Chứng minh tia phân

giác của hai góc và

vuông góc với nhau.

HƯỚNG DẪN

1 A. a) Áp dụng Định lí Pytago

trong tam giác vuông ABC

tính, được BC cm.

Vì E là trung điểm AC nên

AE = AC = 3 cm => AE = AB

=> BAD = EAD (c.g.c).

c) Do DH AB nên DH là khoảng cách từ D đến AB.

Tương tự DK là khoảng cách từ D đến AC.

Suy ra DH = DK.

1B. Hạ ME, MF lần lượt vuông góc với Ox,Oy (E Ox, F Oy). Chứng

minh được OME = OMF (ch-gn) => ME = MF. Vậy M cách, đều hai cạnh Ox, Oy.

2A. a) Vì = 120° nên = 60°.

Do AD là phân giác nên

= 60°

=> AC là phân giác .

b) Khi đó IE = IH.

Mặt khác DI là phân giác

nên IE = IK.

Vậy IH = IK.

2B. Gọi E, F, P lần lượt là hình chiếu của I trên các đường thẳng AB,

BC, CA.

Theo Định lí thuận ta có IE = IF và IF = IP => IE = IP .

Vậy I cách đều hai cạnh AB, AC.

3A. a) Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho MA = MD.

=> MAB = MDC (c.g.c) => AB = CD

b) AM là phân giác nên

Lại có (hai góc tương ứng bằng nhau).

Do đó => CAD cân tại C => CA = CD.

c) Vậy AB = AC => ABC cân tại A

3B. a) Ta có: AB AC, KH AC

=> AB // KH.

b) AHK = AHI (ch-cgv)

=> .

c) AKI có AH vừa là đường

trung tuyến, vừa là đường phân

giác nên AKI cân tại A.

4A. a) Vì Ot là phân giác nên

=> AOC = BOC (c.g.c) => CA = CB,

= > CO là phân giác .

b) Chúng minh được: OAH = OBH (c.g.c).

=> = 90°, AH = BH.

Vậy OC vuông góc với AB tại

trung điểm của AB.

c) Vì H là trung điểm của AB

=> AH = AB = 3 cm.

Áp dụng định lí Pytago trong tam

giác vuông OHA, tính được OH = 4 cm.

4B. a) ABE = ACD (c.g.c) => BE = CD.

b) Do ABE = ACD => .

Mặt khác AB = AC, AD = AE => BD = CE.

Lại có: ABE = ACD =>

=> BMD = CME (g.c.g).

c) Vì BMD = CME => MD = ME => ADM = AEM(c.c.c).

=> => AM là phân giác của .

5A. a) OAD = OCB (c.g.c) => AD = CB.

b) Do OA = OC, OB = OD => AB = CD.

Lại có OAD = OCB (c.g.c) =>

Mà . Vậy ABE = CDE (g.c.g)

c) Vì ABE = CDE (g.c. g) =>

= > OE là tia phân giác của góc xOy.

Tam giác AOC và BOD đều

cân ở O nên OE BD

và OE AC. Suy ra

AC // MN // BD.

5B. a) b) Tương tự 5A.

c) Vì OI, OJ cùng là phân giác

của nên ba điểm O, I, J

thẳng hàng.

6A. a) BEC có trung tuyến

M E = BC => BEC vuông tại E..Mặt khác

BME vuông cân tại M nên = 45°

=> BEC vuông cân tại E.

b) Từ ý (a) suy ra BE = CE. (1)

AB AC, EK AC => AB // EK.

Mà EH AB nên EH EK => = 90°

=> (cùng phụ ). (2)

c) Từ (1) và (2) suy ra BHE = CKE (Ch-gn)

=> EH - EK.

Chứng minh được AHE = AKE => . Vậy AE là tia phân giác của góc A.

6 B. Tương tự 6A.

Chứng minh được BID = CHD => DI = DH.

Suy ra ADI = ADH =>

Vậy AD là tia phân giác của

7. a) Chứng minh được ABD và HBD

=> ABD = HBD =>

=> BD là tia phân giác của

=> => DBC cân tại D.

8. Tương tự 4A.

a) Ta có MA = MB suy ra OAM = OBM => OA = OB.

Do đó OAH = OBH nên = 90°.

Vậy AB OM tại H.

b) OCE = ODE => . Vậy E thuộc đường thẳng chứa tia phân giác của .

9. a) ABD có tổng các góc là 180°. Tương tự, DBC có tổng các góc là 180°. Cộng lại ta được ĐPCM.

b) Sử dụng kết quả của ý a) suy ra = 60°.

AMB có = 125° nên

= 55°.

Tương tự = 125°.

c) Gọi I là giao điểm tia phân giác

góc với AD và E là giao điểm

của hai tia phân giác góc và

. Ta có:

Suy ra

Vậy

..............................................................................................................................................................

CHỦ ĐỀ 6. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC

CỦA TAM GIÁC

I . TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định lí: Ba đường phân giác của một

tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm

này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Cụ thể:

=> ID = IE = IF .

2. Tính chất: Trong một tam giác cân,

đường phân giác của góc ở đỉnh đồng

thời là đường trung tuyến, đường cao

của tam giác đó. Ngược lại, nếu một

tam giác có đường phân giác vẽ từ

một đỉnh đồng thời là đường trung tuyến

(hoặc đường cao) thì tam giác ấy là tam

giác cân tại đỉnh đó.

=> BD = DC

ABC : AB = AC

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc

Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất:

• Giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong một tam giác nằm trên đường phân giác của góc thứ ba.

• Giao điểm các đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.

1A. Tìm x trong mỗi hình vẽ sau biết CI và BI là hai phân giác của và , còn EH và FH là hai phân giác của và .

1B. Tìm x trong mỗi hình vẽ sau biết I, H là giao điểm của ba đường phân giác của các góc trong của tam giác.

2 A. Cho hình vẽ bên, biết KN = 12 cm,

IN = 13 cm và I là giao điểm, các phân

giác của tam giác MNL.

a) So sánh IP và IH.

b) Tính IH

2B. Cho , tia phân giác Oz. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho

OA = 4cm. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Ox cắt Oz tại H, cắt Oy tại K. Lấy điểm B trên tia Ox sao cho A là trung điểm của OB. Hạ HI OK.

a) Chứng minh AH = HI

b) Biết OH = 5 cm, tính khoảng cách từ điểm H đến BK.

Dạng 2. Chứng minh 3 đường đồng quy, 3 điểm thẳng hàng

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác.

3A. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ các tia phân giác BD, CE. Lấy M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC.

b) Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy tại H.

c) Giả sử có MN = MP = NP, tính tỉ số

3B. Cho tam giác MNP có MN = MP. Hạ MK NP (K NP). Gọi NE, PF lần lượt là tia phân giác của các góc N và P trong tam giác MNP. Chứng minh:

a) MK là tia phân giác của góc NMP;

b) MK, NE, PF đồng quy.

4A. Cho tam giác ABC, tia phân giác AD. Các tia phân giác ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau ở E. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

4B. Cho góc xOy nhọn. Lấy điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy. Trên tia Ox lấy điểm C sao cho BC là tia phân giác của góc ABy. Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác góc xAB và xOy. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.

Dạng 3. Đường phân giác đối với các tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất trong tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường cao.

5A. Cho tam giác MNP cân tại M có G là trọng tâm.I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm M, G, I thẳng hàng.

5B. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh AI vuông góc với BC.

6A. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM là đường phân giác của góc A. Chứng minh tam giác ABC cân tại A.

6B. Cho tam giác ABC có đường cao AH đồng thời là đường phân giác của góc A Chúng minh tam giác ABC cân tại A.

Dạng 4. Chứng minh mối quan hệ giữa các góc

Phương pháp giải:

• Vận dụng các tính chất tia phân giác của một góc để tìm mối liên hệ giữa các góc.

• Dùng định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.

7A. Cho ABC, Các tia phân giác ở góc B và C cắt nhau ở I

a) Biết = 70°, tính số đo góc BIC.

b) Biết = 140°, tính số đo góc A.

c) Chứng minh = 90° +

7B. Cho tam giác DEF cân tại D. Gọi I là giao điểm của các tia phân giác EP, FQ.

a) Biết = 110°, tính số đo góc D.

b) Biết = 50°, tính số đo ba góc của tam giác IPF

8A. Cho tam giác ABC có . Từ đỉnh A kẻ đường cao AH và tia phân giác AD.

a) Biết , tính số đo .

B) Chứng minh

8B. Cho ABC (AB > AC), I là giao điểm ba đường phân giác. Tia AI cắt BC tại D. Hạ IH vuông góc với BC tại H.

a) Nếu , Tính số đo góc HID.

b) Chứng minh

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ.

9. Tìm x, y biết M là giao điểm các phân giác của tam giác ABC.

10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi H, J, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến AB, AC, BC. Biết KI = lcm, BK = 2cm, KC = 3cm.

a) Chứng minh BHI = BKI

b) Chứng minh tam giác AHI là tam giác vuông cân.

c) Tính chu vi tam giác ABC

11. Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MB = AB, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho NC = AC. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB. Qua N kẻ đường thẳng song song với AC. Hai đường thẳng đó cắt nhau tại P. Chứng minh:

a) MA, NA lần lượt là tia phân giác của

b) Tia PA cắt BC tại K. Chứng minh PA là tia phân giác của , từ đó suy ra AK là tia phân giác của .

12. Cho tam giác ABC. Các đường phân, giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K.

a) Chứng minh BK là phân giác của góc ABC.

b) Cho các tia phân giác các góc A và C trong tam giác ABC cắt nhau ở I Chứng minh B, I, K thẳng hàng.

c) Cho biết = 70°. Tính .

13. Cho tam giác ABC, tia phân giác AD. Các tia phân giác ngoài Bx và Cy cắt nhau ở E. Chứng minh ba đường thẳng AD, Bx, Cy đồng quy và

14. Tam giác ABC cân tại. A. Tia phân giác của góc A cắt đường trung tuyến BD tại K. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh ba điểm I, K, C thẳng hàng.

15. Chứng minh trong tam giác cân, trung điểm của cạnh đáy cách đều hai cạnh bên.

16. Cho tam giác ABC cân tại A. CP, BQ là các tia phân giác trong của tam giác ABC (P AB, Q AC). Gọi O là giao điểm của CP và BQ.

a) Chứng minh tam giác OBC là tam giác cân.

b) Chứng minh điểm O cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

c) Chứng minh đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó.

d) Chứng minh CP = BQ.

e) Tam giác APQ là tam giác gì? Vì sao

17. Chứng minh trong tam giác cân, các đường phân giác ứng với cạnh bên thì bằng nhau.

18. Cho = 50°. Lấy các điểm A Ox, B Oy. Các tia phân giác của và cắt nhau ở E.

a) Tính số đo góc AEB.

b) Các đường AE, BE cắt phân giác ngoài góc ở K, F. Biết = 40°.Tính các góc của tam giác KEF.

19. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H BC).

Tia phân giác của cắt BC ở D.

a) Chứng minh tam giác ACD là tam giác cân.

b) Các tia phân giác của và cắt nhau ở I. Chứng minh. CI đi qua trung điểm, của AD. Từ đó tính góc .

20. Tam giác ABC có I là giao điểm các tia phân giác của các góc B và C. Gọi D là giao điểm của AI và BC. Kẻ IH vuông góc với BC (H BC). Chứng minh:

a) AD là tia phân giác của ;

21. Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AI. Chứng minh:

a) Các góc và là hai góc phụ nhau;

22*. Cho tam giác ABC đều. Qua B kẻ đường thẳng xy song song AC và hạ BM vuông góc với AC (M AC). Qua C kẻ đường thẳng x'y' song song AB và hạ CN vuông góc vói AB (N AB). Hai đường thẳng xy và x'y' cắt nhau tại P. Chứng minh:

a) Đường phân giác của và hai đường BM, CN đồng quy;

b) Đường phân giác của và hai đường thẳng xy và x'y' đồng quy.

HƯỚNG DẪN

1A. a) Ta có

Mà BI, CI lần lượt là tia phân giác của và nên I là giao điểm của ba đường phân giác trong ABC.

=> AI là tia phân giác của = 30°.

b) Ta có DEF cân tại D => .

=> FH là tia phân giác của

1B. Tương tự 1A.

a) x = 24°. b) x = 33°.

2A. a) I là giao điểm ba đường phân giác của MLN. Do đó I cách đều ba cạnh của MLN => IP = IH.

b) Xét IKN vuông tại K :

=> IH = IK = 5 cm..

2 B. a) Do KA vừa là đường cao vừa là

trung tuyến nên OKB cân tại K.

Suy ra KA là phân giác . Vì H

nằm trên tia phân giác của nên

H cách đều Ox, Oy => AH = HI

b) Tính AH =

Từ giả thiếp ta suy ra H là giao điểm

của ba đường phân giác trong OBK nên H cách đều ba cạnh của tam giác đó.

V ậy khoảng cách từ điểm H đến BK bằng AH = 3cm

3A. a) Chứng minh được AMB = AMC (c.c.c).

Từ đó suy ra AM là tia phân giác của góc BAC.

b) Xét ABC có AM, BD,CE là các tia

phân giác. Từ tính chất ba đường phân

giác trong tam giác, suy ra ba đường

thẳng AM,BD,CE đồng quy.

3B. a) b) tương tự 3A.

c) Khi MNP là tam giác đều thì

MN, KE, PF cũng là ba đường trung tuyến.

Vậy H là trọng tâm, hay

4A. Gọi F,H,G lần lượt là hình chiếu

vuông góc của điểm E xuống các

đường thẳng AB, AC và BC.

Từ giả thiết suy ra EF = EG

v à EH = EG.

=> EF = EH nên E thuộc tia phân

giác của góc BAC. Mà AD là tia

phân giác của góc BAC.

Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng.

4B. Tương tự 4A.

5A. I nằm trong tam giác và cách đều ba

c ạnh của tam giác nên MI là tia phân

giác của góc M.

Do MNP cân tại M nên đường

giác MI cũng là đường trưng tuyến.

G là trọng tâm của MNP nên G

nằm trên MI. Từ đó, suy ra M,G, I

thẳng hàng.

5 B. Tương tự 5A

6A. Hạ MD AB, ME AC.

Vì AM là tia phân giác của nên

MD = ME.

Do đó BDM = CEM (ch-cgv).

Suy ra . Vậy ABC cân tại A.

6B. Tương tự 6A.

Chứng minh ABH = ACH (g.c.g)

=> ABC cân tại A.

7 A. a) Xét ABC, ta tính được = 110°.

Do đó, = 55°.

Vậy = 180° - 55° = 125°.

b) Xét BIC, từ giả thiết suy ra

= 40°. Do đó, ta có:

= 80°.

Vậy = 100°.

c) Ta có: =

7B. Tương tự 7A.

a) = 40°.

8A. a) Từ giả thiết, ta tính được:

Do đó, xét AHD ta tính được

Có thể tính = 90° - 70° = 20°.

Vậy = 30°- 20° = 10°

b) = 90° -

8B. Tương tự 8A.

9. Tương tự 1A.

a) x = 19°. b) x = 33°; y = 24°.

10. a) BHI = BKI (ch-gn) Do đó, BH = BK = 2cm.

b) AI là tia phân giác của góc A nên

D o đó, AHI là tam giác vuông cân.

c) Ta có IH = IK = IJ = 1cm. Từ đó, suy ra

AH = HI = lcm.

Tương tự ý b), ta có AJ = KI = 1 cm.

IKC = IJC (ch-gn)

=> IC = KC = 3cm.

IBH = IBK (ch-gn) => BH = BK = 2cm.

Do đó, ta có: AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm.

Vậy chu vi tam giác ABC là 12cm.

1 1. a) ABM cân nên

Có AB // MP => (so le trong).

Vậy , nên MA là tia phân giác

của .

Tương tự, ACN có NA là tia phân giác

của .

b) Xét PMN có A là giao điểm của hai tia phân giác góc M và N nên PA là tia phân giác của góc MPN.

Có: AB //MP => ( đồng vị)

AC // PN => (đồng vị).

Mà (do PA là tia phân giác của góc MPN) nên . Do đó, AK là tia phân giác của BAC

1 2. a) Tương tự 4A.

b) Vì I là giao điểm các tia phân giác

các góc và trong ABC nên

BI cũng là phân giác của .

Suy ra B, I, K thẳng hàng.

c) Sử dụng 7A, ta có:

C hú ý = 90° nên suy ra

= 180° - 125° = 55°.

13. Từ 4A, ta chứng minh được E

thuộc tia phân giác của góc .

Do đó, tia AD sẽ đi qua điểm E.

Chú ý:

Suy ra ĐPCM.

1 4. Vì ABC cân tại A nên tia phân giác

AK đồng thời là đưòng trung tuyến.

Mà BD là trung tuyến của ABC nên

K là trọng tâm của ABC.

D o đó I, K, C thẳng hàng.

15. Ta có ABM = ACM (c.c.c), suy ra

AM là tia phân giác của .Vậy điểm

M cách đều hai cạnh bên AB, AC.

16. a) Vì ABC cân nên ,

do đó . Vậy OBC cân tại O.

b ) Vì O là giao điểm các tia phân giác CP

và BQ trong ABC nên O là giao điểm

ba đường phân, giác trong ABC. Do đó,

O cách đều ba cạnh của ABC.

c) Ta có ABC cân tại A, AO là tia phân

giác ở đỉnh A nên AO đồng thời là trung

tuyến và đường cao của ABC.

Vậy đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó.

d) PBC = QCS (g.c.g) => CP = BQ.

e ) Từ ý d), ta suy ra AP = AQ.

Vậy tam giác APQ cân tại A .

17. Vì ABC cân tại A nên .

Do đó ,

ABD = ACE (g.c.g) => BD = CE.

1 8. a) Xét OAB, vì = 50° nên ta có

Mặt khác

nên

Do đó,

Xét AEB, ta tính được

b) Tương tự, tính được

. Suy ra

1 9. a) Ta có:

=> ACD cân tại C.

b) Vì ACD cân tại C nên tia

phân giác CI đồng thời là đường

trung tuyến. Do đó CI đi qua trung điểm M của AD.

Do AMI vuông cân tại M nên , hay = 135°.

20. Xét ABC có I là giao điểm của

c ác tia phân giác góc và nên

AI là tia phân giác của .

=> AD là tia phân giác của .

c) Ta có

Kết hợp với câu b), suy ra .

2 1. a) Từ giả thiết suy ra

IA, IB, IC là các tia phân giác

của ABC.

Tương tự 20 ý b), chứng minh

được

Vậy các góc và là hai

góc phụ nhau.

b) Vì IBH vuông tại H nên:

V ậy

22*. a) Vì ABC đều nên các đường

cao BM,CN đồng thời là đường

phân giác của ABC.

Vậy đường phân giác của góc

và hai đường BM, CN đồng quy.

b) Từ giả thiết suy ra BM BP,

mà BM là tia phân giác trong của

ABC nên BP là tia phân giác

ngoài của ABC.

Tương tự, ta có CP là tia phân

giác ngoài của ABC.

Từ 5A, ta chứng minh được P thuộc

đường phân giác trong của góc A.

Vậy đường phân giác của góc và

hai đường thẳng xy và x'y' đồng quy

..............................................................................................................................................................

CHỦ ĐỀ 7. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC

CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 . Định nghĩa đường trung trực:

Đường trung trực của một đoạn

thẳng là đường thẳng vuông góc

với đoạn thẳng ấy tại trung điểm

của nó.

Trên hình vẽ bên, d là đường trung

trực của đoạn thẳng AB. Ta cũng

nói: A đối xứng B qua d.

2. Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

3. Định lí 2: Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

MA = MB  M thuộc đường trung trực của AB.

4. Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Vận dụng tính chất của đường trung trực để giải quyết bài toán

Phương pháp giải: Sử dụng Định lí 1.

1A. Cho hai điểm A, B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN, Chứng minh MAB = NAB.

1B. Cho ABC cân tại B. Lấy điểm D đối xứng với điểm B qua AC. Chứng minh ABD = CBD.

2A. Tam giác ABC vuông tại A có = 30°. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Tính số đo góc .

2B. Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực của BC.

Biết = 40°. Tính số đo của các góc trong ABC

3A. Tam giác DEF có DE < DF. Gọi d là đường trung trực của EF. M là giao điểm của d với DF.

a) Chứng minh DM + ME = DF.

b) Lấy bất kì điểm P nằm trên đường thẳng d (P M). Chứng minh DP + PE > DF.

c) So sánh chu vi của hai tam giác DEM và DEP.

3B. Tam giác ABC có = 30°. Đường trung trực của BC cắt AC ở K.

a) Chứng minh .

b) Tính số đo góc

c) Biết AB = 3 cm, AC = 5 cm. Tính chu vi tam giác ABK.

4A. Cho tam giác ABC. Các đường trung trực của AB và AC cắt BC tại M và N.

a) Biết = 30°, = 45°. Tính số đo góc và .

b) Chứng minh = 2 - 180°.

4B. Cho tam giác ABC cân có > 90°. Các đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC theo thứ tự ở D và E và hai trung trực cắt nhau ở F.

a) Biết = 110°. Tính số đo góc .

b) Chứng minh 2 = +180°.

c) Tính góc .

5A. Cho góc vuông . Trên các tia Ox, Oy lấy hai điểm A và B (không trùng với O). Đường trưng trực của các đoạn thẳng OA và OB cắt nhau ở M. Chứng minh:

a) A, M, B thẳng hàng.

b) M là trung điểm của AB.

5B. Cho ABC vuông tại A. Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt AC tại H, cắt BC tại D. Nối A và D.

a) So sánh số đo góc và .

b) Chứng minh D là trung điểm của BC

Dạng 2. Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực. Chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng

Phương pháp giải:

• Để chứng minh điểm M thuộc trung trực của đoạn thẳng AB, ta dùng Định lí 2 hoặc Định nghĩa đường trung trực.

• Để chứng minh đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách đều A và B, hoặc dùng định nghĩa đường trung trực.

6A. Cho đoạn thẳng AB = 5 cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 4 cm và đường tròn tâm B bán kính 3 cm. Hai đường tròn này cắt nhau tại D, E. Chứng minh:

a) Điểm A thuộc đường trung trực của DE;

b) AB là đường trung trực của DE;

c) = 90°.

6B. Cho đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác cân MAB, NAB lần lượt tại M và N (M, N nằm khác phía so với AB). Chứng minh:

a) Điểm M thuộc đường trung trực của AB;

b) MN là đường trung trực của AB.

7A. Cho DEF có DE = DF. Lấy điểm K nằm trong tam giác sao cho KE = KF. Kẻ KP vuông góc với DE (P DE), KQ vuông góc với DF (Q DF). Chứng minh:

a) K thuộc đường trung trực của EF và PQ;

b) DK là đường trung trực của EF và PQ. Từ đó suy ra PQ//EF.

7B. Cho góc khác góc bẹt Oz là tia phân giác của . Gọi M là một điểm bất kì thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C và vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh.:

a) Điểm O thuộc đường trung trực của AB;

b) OM là đường trung trực của AB;

c) Điểm M thuộc đường trung trực của CD

Dạng 3. Xác định vị trí của điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Phương pháp giải: Sử dụng Định lí 2 để xác định một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng.

8A. Cho hai điểm A, B nằm cùng phía với đường thẳng d. Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho M cách đều hai điểm A và B.

8B. Cho tam giác ABC. Một đường thẳng d đi qua A và không cắt đoạn thẳng BC. Tìm vị trí điểm D trên đường thẳng d sao cho D cách đều hai điểm B và C.

Dạng 4. Sử dụng tính chất đường trung trực vào bài toán về cực trị (tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất)

Phương pháp giải:

• Sử dụng tính chất đường trung trực để thay đổi độ dài một đoạn thẳng bằng độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó.

• Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.

9A. Hai điểm A, B cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d. Tìm vị trí điểm C trên đường thẳng d sao cho giá trị của tổng CA + CB là nhỏ nhất.

9B. Hai nhà máy được xây dựng tại hai địa điểm A và B cùng nằm về một phía của khúc sông thẳng. Tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A và đến B là nhỏ nhất.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

10. Cho góc = 35°. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Gọi C là điểm đối xứng với A qua Oy.

a) Chứng minh OAB = OCB.

b) Tính số đo góc

11. Cho tam giác ABC vuông tại A có góc = 60°. Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua AB.

a) Chứng minh BCD là tam giác đều.

b) Biết BC = . Tính độ dài các cạnh AB, AC.

12. Cho ABC, đường phân giác AD. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh:

a) DB = DE;

b) AD là đường trung trực của BE.

13. Cho ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AC. Chứng minh:

a) AM là trung trực của của BC;

b) ME = MF và AM là trung trực của EF;

c) EF// BC.

14. Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Hai đường trung trực của BD và AC cắt nhau tại E. Chứng minh:

a) ABE = CDE;

b) Điểm E cách đều hai cạnh AB và AC.

15. Cho tam giác ABC cân tại A ( < 90°). Đường trung trực của cạnh AC cắt tia CB tại điểm D. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = BD. Chứng minh.:

a) Chứng minh ADC cân;

b) Chứng minh ;

c) Chứng minh AD = CE;

d) Lấy F là trung điểm của DE. Chứng minh CF là đường trung trực của DE.

16. Cho ABC nhọn, đường cao AH. Lấy các điểm P và Q lần lượt đối xứng với H qua AB; AC.

a) Chứng minh AP = AQ.

b) Cho = 60°. Tính số đo góc

c) Gọi I , K lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AC. Chứng minh và .

d) Chứng minh HA là tia phân giác của .

17. Cho = 90°. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Kẻ đường trung trực HM của đoạn thẳng OA (H OA, M AB). Chứng minh M thuộc đường trung trực của OB.

18. Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI ( I BC ). Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H. Từ H kẻ đường thẳng song song với AI, cắt AB kéo dài tại E và cắt AC tại F. Chứng minh:

a) Đường trung trực của EF luôn đi qua đỉnh A của tam giác ABC;

b) Khi H di động trên đoạn thẳng ỈC thì đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn cố định.

19. Cho tam giác ABC có AB < AC. Xác định điểm D trên AC sao cho DA + DB = AC.

20. Cho góc , B và C là hai điểm lần lượt thuộc hai tia Ax và Ay. Tìm một điểm M cách đều hai cạnh của góc và cách đều hai điểm B và C.

2 1. Cho bốn điểm A, B, C, D

tạo thành hình có AB / / CD

và BC//AD như hình vẽ.

Giao điểm của AC và BD

là O. Từ O vẽ vuông góc

với AC cắt cạnh BC, AD

lần lượt tại M, N. Chứng minh AC là trung trực của MN và AM = MC = CN = NA

22. Cho ABC có AB = 10 cm, AC = 13 cm, Trên tia đối tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với BE. M là điểm bất kì trên đường thẳng d.

a) Chứng minh MB + MC EC.

b) Tìm vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất và cho biết giá trị đó là bao nhiêu.

23. Cho tam giác ABC. Tìm điểm E thuộc đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh A sao cho tam giác EBC có chu vì nhỏ nhất.

24*. Cho điểm A nằm trong góc nhọn .

a) Tìm hai điểm M, N thuộc Ox và Oy sao cho AM + AN là nhỏ nhất.

b) Tìm hai điểm B, C thuộc Ox và Oy sao cho ABC có chu vi nhỏ nhất

HƯỚNG DẪN

1A. Do A, B nằm trên đường trung trực

của đoạn thẳng MN nên

AM = AN, BM = BN.

Suy ra MAB = NAB (c.c.c).

1B. Tương tự 1A.

2 A. AB là đường trung trực của AC

=> BD = BC => DBC cân tại B

2B. Tương tự 2A

T ính được:

3A. Do DE < DF nên M thuộc cạnh DF.

a) Có M thuộc đường trung trực của

EF nên ME = MF

=> DM + ME = DM + MF = DF.

b) Vì P thuộc đường trung trực của

EF nên PE = PF =>DP + PE = DP + PF.

Xét DEF: DP + PF > DF.

Vậy DE + PE > DF.

c) Từ ý a) và ý b) suy ra DP + PE > DM + ME.

Vậy chu vi tam giác DEP lớn hơn chu vi tam giác DEM.

3B. Do nên AC > AB và K thuộc cạnh AC.

a) K thuộc đường trung trực của BC => KB = KC

= > BKC cân tại K =>

b) Ta có:

c) Ta có:

AK + BK = AK + KC = AC = 5cm.

=> AB + AK + BK= 3 + 5 = 8 cm.

Vậy chu vi tam giác ABK là 8 cm

4A. a) Từ giả thiết suy ra AB > AC và M nằm giữa B và N.

Ta có MA = MB, NA = NC.

. Nên AN BC

Xét ABC: = 105°.

Vậy

b) Có:

Vậy

4B. Tương tự 4A. Có

và

5A. a) Gọi M₁,M₂ lần lượt là

giao điểm của trung trực

đoạn OA,OB với AB.

M₁A = M₁O nên

M₂O = M₂B nên .

Vậy A, B, M thẳng hàng.

b) Từ kết quả ý a) và MA = MB nên M là trung điểm của AB.

5 B. a) Từ giả thiết suy ra DC = DA =>

b) => DA = DB.

Mà DC = DA => DC = DB.

=> ĐPCM

6 A. a) Từ giả thiết suy ra AD = AE.

Suy ra điểm A thuộc đường trung

trực của DE.

b) Tương tự ý a), ta có điểm điểm B

thuộc đường trung trực của DE.

Vậy AB là đường trung trực của DE.

c) Ta có AD² + DB² = 4² + 3² = 25.

Mà AB² = 25.

Vậy ABD vuông tại D.

6 B. Tương tự 6A.

7A. a) Ta có: nên K, D thuộc

trung trực của EF.

DEK = DFK (c.c.c)

=> => DK là đường phân

giác góc .

=> DPK = DQK

=> KP = KQ và DP = DQ.

Từ đó suy ra K, D thuộc trung trực của PQ.

b) Từ ý a) ta có DK là đường trung trực của PQ và DK là đường trung trực của EF. Suy ra DK PQ, DK EF.

Vậy PQ // EF.

7 B. a) OAM = OEM (ch-gn)

=> O thuộc trung trực của AB.

b) Từ ý a) ta có OM là trung trực

của AB.

OBD = OAC (cgv-gn)

Tương tự 7A, ta có OM là trung

trực của DC.

8 A. Vì điểm M cách đều hai điểm A

và B nên M thuộc đường trung

trực của đoạn thẳng AB.

Vậy điểm M là giao điểm của

đường thẳng d với đường trung

trực của AB.

Chú ý: Nếu A, B nằm sao cho

AB d thì không tồn tại điểm cần tìm.

8B. Tương tự 8A.

9 A. Lấy D là điểm đối xứng, với A

qua d. Theo tính chất đường trung

trực: CA = CD.

Do đó CA + CB = CD + CB.

Gọi M là giao điểm của BD và d.

Nếu C không trùng với M thì xét

BCD, ta có: CB + CD > BD hay

CA + CB > BD (1).

Nếu C trùng với M thì:

CA + CB = MA + MB = MD + MB = BD (2).

So sánh (1) và (2) ta thấy điểm C trùng M hay C là giao điểm của BD và d thì giá trị của tổng CA + CB là nhỏ nhất.

Chú ý: Điểm C tìm được ở vị trí M như vậy là điểm duy nhất. Thật vậy, nếu lấy E đối xứng với B qua d thì AE vẫn cắt d ở M đúng vị trí mà BD cắt d.

9B. Tương tự 9A.

1 0. a) Từ giả thiết suy ra OB là đường

trung trực của AC.

=> OA = OC, BA = BC.

=> OAB = OCB (c .c .c).

b) Từ ý a) suy ra:

1 1. a) Có AB là đường trung trực của

CD nên BD = BC

=> BCD cân có = 60°

=> BCD đều.

b) BCD đều

=> CD = BC =

Xét ABC vuông tại A, ta có:

A B = = 3

12. ABD = AED (c.g.c)

=> DB = DE (1).

b) Theo giả thiết: AB = AE (2).

Từ (1) và (2) , suy ra AD là đường

trung trực của BE.

13. a) Từ giả thiết suy ra AB = AC và MB = MC

= > AM là trung trực của của BC

b) ABC cân tại A nên .

BEM = CFM ( ch-gn) => ME = MF.

BEM = CFM (ch-gn) => BE = CF.

Mà AB = AC =>AE = AF.

Mặt khác, ME = MF. Do đó AM là

trung trực của EF.

c) Ta có: AM là đương trung trực của

BC và EF

=> AM BC, AM EF => EF // BC.

1 4. a) Vì hai đường trung trực của BD

và AC cắt nhau tại E nên EA = EC,

EB = ED.

=> ABE = CDE (c.c.c).

b) ABE = CDE =>

Mà EA = EC =>

=> AE là tia phân giác của góc

=> điểm E cách đều hai cạnh AB và AC.

1 5. a) Vì D thuộc đường trung trực của

AC nên DA = DC.

=> ADC cân.

b) ADC cân => .

Vì AB = AC nên .

c) Ta có :

Từ kết quả ý a), suy ra .

Chứng minh được EAC = DBA (c.g.c) => AD = CE.

d) Ta có: AD = CE, AD = CD nên CE = CD.

=> CF là đường trung trực của DE.

16. a) Từ giả thiết suy ra AP = AH và AQ = AH nên AP = AQ

b ) Ta có:

c) API = AHI (c.c.c)

(1)

AHK = AQK ( c.c.c)

=> (2)

d) Có AP = AQ => PAQ cân tại A => (3).

Từ (1),(2) và (3) có:

=> HA là tia phân giác của .

1 7. Ta có MA = MO =>

Mặt khác,

=> => MO = MB.

Vậy M thuộc trung trực của OB

18. a) Vì HE // AI nên (đồng vị) và (so le trong).

M à , do đó

=> AE = AF

=> Đường trung trực của EF luôn

đi qua đỉnh A của tam giác ABC.

b) Vì EF//AI nên đường trung trực

của EF vuông góc với AI.

Từ kết quả ý a), suy ra đường trung

trực của EF luôn đi qua điểm A và

vuông góc với AI cố định. Vậy đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn cố định.

1 9. Ta có: AC = DA + DC. Suy ra:

DA + DB = AC

 DA + DB = AD + DC

 DB = DC

 D thuộc đường trung trực của BC.

Vậy D là giao điểm của AC với đường

trung trực của BC thì

DA + DB = AC.

V ì M cách đều hai cạnh của góc

nên M thuộc tia phân giác của .

Vì M cách đều B và C nên M thuộc

đường trung trực của BC.

Vậy M là giao điểm của tia phân giác

góc và đường trung trực của BC

Chú ý: Nếu B, C ở vị trí mà AB = AC

thì sẽ tìm được vô số điểm M nằm trên trung trực của BC.

21. Chứng minh được:

BAC = DCA (g.c.g) nên BC = AD;

BOC = DOA (g.c.g) nên OC = AO

Do BC // AD nên (so le trong)

MOC = NO A => OM = ON,

AC MN tại trung điểm của MN nên AC là trung trực của MN. Suy ra AM = AN và CM = CN, và được MN cũng là trung trực của AC nên AM = MC. Suy ra ĐPCM.

22. a) Gọi F là giao điểm của đường

thẳng d với AB nên AF BE.

AEF = ABF (ch-cgv).

=> FE = FB => AF là đường trung

trực của AB => ME = MB.

=>MB + MC = ME + MC.

Nếu điểm M không trùng điểm A,

xét MEC có ME + MC > EC

nên MB + MC > EC (1).

Nếu điểm M trùng điểm A, khi đó:

MB + MC = AB + AC = AE + AC = EC (2).

Từ (1) và (2) suy ra MB + MC EC.

b) Từ ý a) ta thấy khi điểm M trùng điểm A thì MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, ta có:

MB + MC = EC = AB + AC = 23cm.

23. Lấy điểm D đối xứng với

đ iểm C qua đường thẳng AE.

=> AE là đường trung trực

của CD =>ED = EC

=> EB + EC = EB + ED.

Tương tự 9A. suy ra điểm E

trùng với điểm A thì giá trị

của tổng EB + EC nhỏ nhất.

Khi đó, chu vi của tam giác

EBC cũng là nhỏ nhất

24*. a) Từ A vẽ AM Ox. Đoạn AM nhỏ hơn các đoạn từ A đến bất cứ điểm nào trên Ox.

Tương tự AN Oy.

S uy ra AM + AN tìm được như

trên là có giá trị nhỏ nhất.

b) Lấy D đối xứng với A qua Ox,

lấy E đối xứng với A qua Oy.

Đường DE cắt Ox, Oy lần lượt

tại B, C cần tìm.

Thật vậy, lấy bất kì điểm B',C'

khác B,C thì ta luôn có:

BD + BC + CE < B' D + B'C' + C' E.

Mặt khác, ta có: AB + BC + CA = BD + BC + CE,

AB' + B'C' + C'A + B'D + B'C' + C'E.

Vậy B, C là hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

..............................................................................................................................................................

CHỦ ĐỀ 8. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
CỦA TAM GIÁC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định lí 1. Ba đường trung trực của

một tam giác cùng đi qua một điểm.

Điểm này cách đểu ba đỉnh của tam

giác đó.

Trên hình bên, điểm O là giao điểm các

đ ường trung trực của ABC. Ta có

OA = OB = OC. Điểm O là tâm đường

tròn ngoại tiếp ABC.

2. Định lí 2. Trong một tam giác cân,

đường trung trực của cạnh đáy đồng

thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.

II. BÀI TẬP YÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực trong tam giác thì cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

1A. Cho A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Hãy xác định đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.

1B. Ông Hùng có ba cửa hàng A, B, C không nằm trên một đường thẳng và đang muốn tìm địa điểm O để làm kho hàng. Phải chọn vị trí của kho hàng ở đâu để khoảng cách từ kho đến các cửa hàng bằng nhau.?

2A. Chứng minh trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền.

2B. Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh O là trung điểm của BC thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Dạng 2. Vận dụng tính chất ba đưòng trung trực trong tam giác để giải quyết các bài toán khác

Phương pháp giải: Từ Định lí 2, ta có tính chất trong một tam giác, giao điểm của hai đường trung trực thì thuộc đường trung trực còn lại của tam giác đó.

Lưu ý: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng là đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao.

3A. Cho ABC. M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Tính số đo góc .

3B. Cho MNP. Đường trung trực của MN cắt đường trung trực của MP tại I. Hạ IH NP. Chứng minh H là trung điểm của NP.

4A. Cho ABC có góc = 110°. Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) BIC cân;

b) = 2(180° - ) và tính sốđo góc .

4B. Cho ABC vuông tại A. Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) OB = OC;

b) = 2(180° - ) và O là trung điểm của BC.

5A. Cho ABC (AB = AC). Đường trung trực của BC cắt trung tuyến BD tại G. Chứng minh G là trọng tâm của ABC.

5B. Cho ABC cân tại A. AM là đường trung trực của cạnh BC (M BC). Trên đoạn thẳng AM lấy điểm G sao cho AG = AM. Chứng minh đường thẳng BG đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.

6A. Cho tam giác MNP cân tại M. Trên cạnh MN lấy điểm K, trên cạnh MP lấy điểm D sao cho MK = DP. Đường trung trực của MP cắt đường trung trực của DK tại O. Chứng minh:

a) ;

b) O thuộc đường trung trực của MN;

c) MO là tia phân giác của .

6B. Cho ABC cân tại A Gọi O là điểm cách đều ba đỉnh A, B, C. Nối OA, OB, OC.

a) Chứng minh .

b) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM = AN. Chứng minh O thuộc đường trung trực của MN.

Dạng 3. Chứng minh ba đường thẳng đổng quy, ba điểm thẳng hàng

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác.

7A. Cho tam giác ABC cân ở A. Gọi M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau ở E. Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng.

7B. Cho tam giác MNP cân ở M, đường cao MH. Các đường trung trực của MN và MP cắt nhau ở D. Chứng minh ba điểm M, D, H thẳng hàng.

8A. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng tam giác cân BCD. Chứng minh các đưòmg trung trực của AB và AC đồng quy với đường thẳng AD,

8B. Cho tam giác ABC cân có A là góc tù. Gọi M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, dựng tam giác BNC cân tại N. Chứng minh đường thẳng AM và các đường trung trực của NB, NC đồng quy.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

9. Tam giác ABC có là góc tù. Các đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở O. Các điểm B và C có thuộc đường tròn tâm O bán kính OA hay không? Vì sao?

10. ABC nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OB = OD.

a) Chứng minh O thuộc đường trung trực của AD và CD.

b) Chứng minh các tam giác ABD, CBD vuông.

c) Biết = 70°. Tính số đo góc .

11. Cho ABC có O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Biết BO là tia phân giác của góc . Chứng minh:

a) BOA = BOC; b) BO là trung trực của AC.

12. Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD = CE. Chứng minh:

a) DOB = EOC;

b) AO là đường trung trực của DE;

c) DE // BC.

13. Cho tam giác ABC vuông tại A có = 60°. Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua AB.

a) Có nhận xét gì về tam giác DBC ? Vì sao?

b) Chứng minh AC = BC.

c) Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = BA. Chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp DBC.

14. Cho tam giác ABC có > 90°. Trên cạnh BC lấy các điểm D và E sao cho BD = BA, CE = CA. Gọi I là giao điểm các tia phân giác trong của tam giác ABC. Chứng minh:

a) BI, CI là đường trung trực của AD, AE;

b) IA = ID = IE.

15. Trên ba cạnh AB, BC và CA của tam giác đều ABC lấy các điểm theo thứ tự M, N, P sao cho AM = BN = CP. Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

a) Tính số đo góc .

b) Chứng minh MAO = OPC.

c) Chứng minh O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác MNP.

16. Cho ABC cân (AB = AC ). Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC tại M và N (M và N nằm ngoài đoạn thẳng BC ). Chứng minh:

a) AMB và ANC cân;

b) AMC = ANB;

c) AO là đường trung trực của MN

17.

Cho ABC vuông tại A, = 30°. Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AC, cắt AC tại H và cắt BC tại D. Nối A và D.

a) Chứng minh ABD đều.

b) Kẻ phân giác góc cắt AD tại K, cắt DH kéo dài tại I. Chứng minh I là tâm đường trong đi qua ba đỉnh, của tam giác ADC.

c) Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của I xuống các đường thẳng BC, BA. Chứng minh IE = IF = IK.

d) Tính số đo góc

18. Cho ABC có góc A tù, tia phân giác của B và C cắt nhau tại O

Lấy E là điểm trên cạnh AB. Từ E hạ EP BO (P thuộc BC), từ P hạ PF OC (F thuộc AC). Chứng minh:

a) OB và OC lần lượt là đường trung trực của PE và PF;

b) BE + CF = BC.

19. Cho tam giác ABC cân ở A, đường phân giác AK. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O.

a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng.

b) Kéo dài CO cắt AB ở D, kéo dài BO cắt AC ở E. Chúng minh AK và các đường trung trực của AD và AE đồng quy.

20*. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC, H BC. Tia phân giác của góc cắt BC tại D, tia phân giác của góc cắt BC tại E. Chứng minh điểm cách đều ba cạnh của ABC chính là điểm cách đều ba đỉnh của ADE.

21*. Cho ABC có ba góc nhọn. Các điểm F, K, I là trung điểm, các cạnh BC, BA, AC. Gọi H là giao điểm các đường trung trực ABC. Trên tia đối của tia FH lấy điểm A' sao cho A'F = FH. Trên tia đối của tia KH lấy điểm C' sao cho KH = KC' . Trên tia đối của tia IH lấy điểm B' sao cho IH = IB'

a) Chứng minh hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh bằng nhau và trong sáu cạnh đó có từng đôi một song song.

b) Cho . Tính các góc của hình sáu cạnh A'BC'AB'C

HƯỚNG DẪN

1A. Gọi đường tròn đi qua ba điểm A, B, C có tâm O. Ta có

OA = OB = OC.

Ba điểm phân biệt A, B, C không thẳng hàng tạo thành tam giác ABC. Vì OA = OB = OC nên O là giao điểm ba đường trưng trực của tam giác ABC.

1B. Tương tự 1A.

2A. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

D o đó, OA = OB = OC.

Suy ra:

=> B, O, C thẳng hàng, mà OB = OC

=> O là trưng điểm của BC

2 B. Tương tự 2A

3A. Từ giả thiết suy ra O thuộc đường

trung trực của BC

=> OM là đường trung trực của BC

=> = 90°

3B. Tương tự 3A

4A. a) Từ giả thiết suy ra I thuộc đường

t rung trực của BC

=> IB = IC = BIC cân tại I

b) Có

Từ đó, suy ra = 140°.

4B. Tương tự 4A.

5A. Vì ABC cân tại A nên đường trung trực của cạnh đáy BC đồng thời là trung tuyến của ABC ứng với cạnh BC.

Kết hợp với giả thiết suy ra G là trọng tâm của ABC.

5B. Tương tự 5A.

6A. a) Từ giả thiết suy ra OK = OD,

OM = OP.

MKO = PDO (c.c.c) =>

b)Từ kết quả ý a), suy ra .

M ặt khác MN = MP, MK = PD.

=>NK = MD.

Chứng minh được

OKN = ODM (c.g.c) => ON = OM.

=> O thuộc đường trung trực của MN.

c) Xét MNP có O là giao điểm các

đường trung trực của MN

và MP.

=> MO là đường trung trực của NP.

M à MNP cân tại M nên MO đồng

thời là tia phân giác của góc .

6B. a) Từ giả thiết suy ra OA = OB = OC.

Suy ra AOB = AOC (c.c.c)

Mà AOB, AOC là các tam giác

cân đỉnh O nên

b) Chứng minh được BMO = ANO

(c.g.c) => OM = ON.

=> O thuộc đường trung trực của MN.

7 A. Chứng minh được: ABM = ACM (c.c.c).

Từ đó, suy ra AM là đường trung trực của BC.

Theo tính chất ba đường trung trực của

tam giác, ta suy ra điểm E thuộc đường

trung trực của BC.

Vậy ba điểm A, E, M thẳng hàng.

7B. Tương tự 7A.

8 A. Từ giả thiết, ta có: AB = AC, DB = DC.

=> AD là đường trung trực của BC.

Xét ABC, theo tính chất ba đường

trung trực trong tam giác ta có các

đường trung trực của AB và AC

đồng quy với đường thẳng AD.

8 B. Tương tự 8A.

9. Từ giả thiết suy ra OA = OB = OC.

Vậy các điểm B và C có thuộc

đường tròn tâm O bán kính OA.

10. a) Ta có OA = OB = OC nên

OA = OD = OC.

=> O là giao điểm hai đường trung trực của AD và DC.

b ) Ta có : OA = OB => .

OA = OD => .

Xét BAD có:

Vậy tam giác ABD vuông tại A

Tương tự, ta chứng minh được tam giác BCD vuông tại C

Ta có thể chú ý rằng AO = BD và OC = BD. Suy ra kết quả

ABD vuông tại A và BCD vuông tại C.

c) Ta có:

Suy ra

1 1. a) Ta có OA = OB = OC và

nên

=> AOB = COB (c.g.c).

b) AOB = COB => BA = BC.

Mà OA = OC => BO là đường trung trực

c ủa AC.

12. Ta có OB = OC, AB = AC.

=> DOB = EOC (c.g.c).

b) DOB = EOC => OD = OE.

Mặt khác: AD = AB - BD = AC - CE = AE

=> AO là đường trung trực của DE.

c) AO là đường trung trực của DE

và BC nên AO DE, AO BC => DE // BC.

13. a)Từ giả thiết suy ra AB là đường

trung trực của CD. Suy ra BD = BC.

Mà = 60° => BCD là tam giác đều.

b) Ta có: AC = DA = CD.

Từ kết quả ý a), suy ra CD = BC.

Do đó AC = BC.

c) Xét DBC đều có trung tuyến BA và BO = BA => O là trọng tâm DBC.

=> O cũng là giao của ba đường trung trực của DBC.

= > OA = OB = OC => O là tâm đường tròn ngoại tiếp DBC.

14. a) BAC = BAD nên BCD

là tam giác đều.

b) AC = DC = BC.

c) Do BA là trung tuyến nên

O là trọng tâm. Suy ra CO, DO

là trung tuyến.

Mà BCD đều nên DO,CO cũng là trung trực của BC, BD.

V ậy A là tâm đường tròn ngoại tiếp A.

15. a) Vì ABC đều và O là giao điểm ba

đường trung trực nên AO là tia phân

giác của .

b) Tương tự ý a),

Chứng minh được MAO = PCO (c.g.c).

Ta có: MAO = OPC => OM = OP (1).

Tương tự ý b), MAO = NBO (c.g.c)

=> OM = ON (2).

Từ (1) và (2) suy ra O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác MNP.

1 6. a) Từ giả thiết suy ra

NA = NC, MA = MB nên

AMC cân tại N và

ANB cân tại M

b) Ta có:

(1).

Từ ý a) và ABC cân tại A, ta có:

(2).

Từ (1) và (2) suy ra . Ta chứng minh được

AMC = ANB (c.g.c).

c) O là giao điểm của các trung trực của ABC => OB = OC.

Từ ý b), suy ra AN = AM.

Từ OBN = OCM suy ra OM = ON.

Vậy OA là trung trực của MN.

1 7. a)

Ta có: DA = DC =>

=> = 60° => ABD đều.

b) ABD đều => BK là đường trung

trực của AD => IA = ID,

Mà I DH =>IA = IC.Vậy IA = IC = ID.

=> I là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của

tam giác ADC.

c) I thuộc phân giác của góc => IE = IF.

DH là đường trung trực của AC => DH là phân giác của

=> IK = IE. Vậy IE = IF = IK.

d) IK = IF => AI là tia phân giác của .

1 8. a) Gọi H là giao điể của PE

với OB và I là giao điểm của

PF với OC

Chứng minh được:

BEH = BPH (cgv- gn)

=>BE = BP, HE = HP.

=> OB là đường trung trực của PE.

Tương tự, FOC = POC => CF = CP, IF = IP.

=> OC là đường trung trực của PF.

b) Từ ý a), ta có: BE + CF = PB + PC = BC.

1 9. a) Ta có: ABE = ACD (c.g.c). Từ đó

suy ra AO là đường trung trực của

đoạn DE.

Xét ABC, theo tính chất ba đường

trung trực của tam giác nên O thuộc

đường trung trực của BC.

Vậy ba điểm A, D, O thẳng hàng.

b) Ta có

Chứng minh ADC = AEB (g.c.g), suy ra AD = AE (1).

Mặt khác, có OB = OC, BE = CD (vì ADC = AEB) nên

OD = OE (2).

Từ (1) và (2) suy ra AK là đường trung trực của DE.

Xét ADE, theo tính chất ba đường trung trực của tam giác, ta có AK và các đường trung trực của AD và AE đồng quy.

20*. Vẽ các tia phân giác trong tại B và C của ABC, chúng cắt nhau tại O. Suy ra O cách đều ba cạnh của ABC.

T a có:

Vì (do cùng phụ với góc )

và , nên .

Suy ra ABE cân tại B.

Vậy đường phân giác BO của góc là

đường trung trực của cạnh AE

Tương tự, ta cũng có đường phân giác

CO của góc cũng là đường trung trực

của cạnh AD.

Từ đó, suy ra O cách đều

ba đỉnh của ADE.

21*. a) Từ giả thiết suy ra

AKH = BKC' (c.g.c)

=> AH = BC'.

Mà => AH // BC'

Tương tự, AHI = CB'J

=>AH = CB', AH // CB'.

Vậy ta có BC' = CB' (= AH)

và BC' // CB'( //AH).

Tương tự, ta có:

AC' = CA' ( = BH ) và AC' // CA' ( // BH);

AB' = BA' (= CH ) và AB' // BA' (//CH).

Mà H là giao điểm các đường trung trực ABC

nên AH = BH = CH.

Vậy hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh bằng nhau và trong sáu cạnh đó có từng đôi một song song.

b) Tính được = 40°

Do C'BH, HBA' cân nên và

Suy ra

Tương tự, và

..............................................................................................................................................................

CHỦ ĐỀ 9. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Đường cao của tam giác

Đ ường cao của tam giác là đoạn vuông góc kẻ tà một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.

2. Tính chất ba đường cao của tam giác

Ba đường cao của một tam giác cùng

đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực

tâm của tam giác.

Trong hình vẽ AD, BE, CF là các

đường cao, H là trực tâm của tam

giác ABC.

3. Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân

- Trong một tam giác cân, đường cao

ứng với cạnh đáy đồng thời là đường

phân giác, đường trung tuyến, đường

trung trực của tam giác đó.

- Trong một tam giác, nếu có hai trong

bốn loại đường (đường trung tuyến, đường

phân giác, đường trung trực,đường cao)

trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

- Trong một tam giác vuông, trực tâm của tam giác chính là đỉnh góc vuông của tam giác đó.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Xác định trực tâm của một tam giác

Phương pháp giải: Để xác định trực tâm của một tam giác, ta cần tìm giao điểm hai đường cao của tam giác đó

1A. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chỉ ra các đường cao của tam giác HBC Từ đó chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

b) Chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.

1B. Cho tam giác HBC có > 90°, các đường cao BD và CE cắt nhau tại A. Tìm trực tâm của tam giác ABC.

2A. Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông?

2B. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH và trung tuyến AM. Chứng minh trực tâm của các tam giác ABC, MAB và MAC thẳng hàng.

Dạng 2. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp giải: Nếu H là giao điểm hai đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC thì AH BC.

3A. Cho tam giác MNP có ba góc nhọn, các đường cao NQ, PR cắt nhau tại S.

a) Chứng minh MS NP. b) Cho = 65°. Tính .

3B. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE cắt nhau tại I.

a) Chứng minh CI AB.

Cho = 50°. Tính .

4A. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC. Qua K kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AH tại D. Chứng minh AK CD.

4B. Cho tam giác MNP vuông tại M. Trên cạnh MN lấy điểm Q, kẻ QR NP (R NP). Gọi O là giao điểm của các đường thẳng PM và RQ. Chứng minh PQ ON.

5A. Cho tam giác MNP vuông tại M (MP < MN). Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho MQ = MP, trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR = MN. Chứng minh:

a) PQ NR. b) RQ NP.

5B. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác A, B), trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AD. Tia ED cắt BC tại F. Chứng minh:

a) EF BC b) DF = BF; c) CD BE.

Dạng 3. Đường cao đối với tam giác cân

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Trong một tam giác cân đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.

6A. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BE cắt đường trung tuyến AD ở H. Chứng minh CH AB.

6B. Cho tam giác MNP cân tại M, đường cao PQ cắt đường phân giác MS ở K. Chứng minh NK MP.

7A. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Chứng minh AH là tia phân giác của .

7B. Cho tam giác DEF cân tại D, các đường cao EM, FN cắt nhau tại O. Gọi I là giao điểm của DO với EF. Chứng minh IE = IF.

Dạng 4. Sử dụng tính chất trực tâm để chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Nếu ba đường thẳng là ba đường cao của một tam giác thì chúng cùng đi qua một điểm.

8A. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA.

a) Chứng minh BM AD.

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC,K là hình chiếu vuông góc của A trên DM. Chứng minh ba đường thẳng AK, BM, DH đồng quy.

8B. Cho tam giác ABC vuông tại B, kẻ đường phân giác AD. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AB = AE.

a) Chứng minh DE AC.

b) Gọi F là hình chiêu vuông góc của C trên đường thẳng AD

Chứng minh ba đường thẳng AB, ED, CF đồng quy.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

9. Trong các câu sau, câu nào đúng?

Cho MNP không vuông, H là trực tâm, khi đó:

a) M là trực tâm của tam giác HNP;

b) N là trực tâm của tam giác MPH;

c) P là trực tâm của tam giác MHN;

d) M là trực tâm của tam giác MNP.

10. Cho tam giác MNO có ba góc nhọn. Gọi K, P lần lượt là các chân đường cao kẻ từ M và N . Gọi S là giao điểm của MK và NP.

a) Chứng minh OS MN. b) Cho = 70 . Tính .

11. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao CD. Đường trung trực của BC cắt CD tại M.

a) Chứng minh BM AC.

b) Tính biết = 70°.

12. Cho tam giác ABC có AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

13. Cho tam giác ABC có BC là cạnh lớn nhất. Gọi I là giao điểm các đường phân giác của góc B và góc C. Trên cạnh BC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho CD = CA, BE = BA.

a) Chứng minh BI AE và CI AD.

b) Gọi M là giao điểm của BI và AD, N là giao điểm của CI và AE. Chứng minh AI MN.

14. Cho tam giác AMN cân tại A. Đường trung trực d của AM cắt đường thẳng MN tại P. Gọi D là hình chiếu vuông góc của M trên AP và E là trung điểm của MN. Chứng minh ba đường thẳng d,MD, AE đồng quy.

15*. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HB, HA. Chứng minh AM vuông góc với CN.

HƯỚNG DẪN

1A. Học sinh tự làm.

1B. Học sinh tự làm.

2A. Học sinh tự làm.

2B. Học sinh tự làm.

Các trực tâm cùng nằm trên đường cao AH.

3 A. Chú ý S là trực tâm MNP, từ đó

MS NP.

b) Gọi H là giao điểm của MS với

NP. Chú ý MHN vuông, từ đó tính

được

3B. a) Chú ý I là trực tâm ABC.

b ) Tính được

4A. Chú ý AB AC, từ đó DK AC.

Bởi vậy K là trực tâm ADC, suy ra

AK CD.

4B. Chú ý Q là trực tâm PNO.

5 A. a) Gọi S là giao điểm của PQ và

NR. Tính được ,

từ đó PQ NR.

b) Từ kết quả ý a, ta có Q là trực

tâm PNR => RQ NP.

5B. a) Chú ý và BDF vuông cân.

b) Dùng kết quả ý a, để có D là trực tâm EBC.

Từ đó CD BE.

6A. Chú ý AD cũng là đường cao

của ABC, từ

đó H là trực tâm

ABC suy ra CH AB.

6B. Tương tự 6A, chứng minh được K là trực tâm

của MNP

7A. Chú ý H là trực tâm ABC, từ đó AH

vừa là đường cao vừa là đường phân giác.

7B. Tương tự 7A, chứng minh được AI là

đường trung tuyến của ABC, từ đó

I E = IF.

8A. Chú ý tam giác ABD cân tại B nên

BM là đường phân giác cũng là đường

Cao, từ đó BM AD.

b) Chú ý AK, BM, DH là ba đường cao

của AMD.

8 B. a) Chứng minh được

ABD = AED(c.g.c)

Từ đó = 90° => DE AC.

b) Chú ý AB, ED, CF

là ba đường cao của ADC.

9. Học sinh tự làm.

10. a) Tương tự 3A.

b) OS cắt MN tại Q, chú ý ONQ vuông, từ đó = 70°.

11. Tương tự 6A, chứng minh được M là trực tâm ABC.

Tính được = 180° - 140° - 40° => = 90° - 40° = 50°.

Suy ra = 40°.

12. Chú ý AM là đường cao, từ đó dùng Định lý Pytago tính được

A M = 12 cm.

13. a) Tam giác ABE cân tại B có BI

là phân giác nên cũng là đường cao,

từ đó BI AE.

Tương tự CI AD.

b) Từ kết quả ý a, chứng minh được

I là trực tâm. AMN, từ đó AI MN

1 4. Ta có tam giác AMN cân tại A, do đó

AE MN.

Từ đó d, MD, AE là ba đường cao của

AMP, bởi vậy chúng đồng quy.

Chú ý: Điểm P ở giữa M và N thì

chứng minh không thay đổi.

1 5. Dùng tính chất đường trung bình cho

AHB ta có:

MN // AB => MN AC.

Chứng minh được N là trực tâm

AMC, từ đó dẫn đến AM CN

..............................................................................................................................................................

ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ 3

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Xem phẩn Tóm tắt lý thuyết từ Bài 1 đến Bài 9.

II. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1A. Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AC. So sánh:

a) và ; b) AD và AE.

1B. Cho tam giác ABC có góc A tù, AB < AC. Trên cạnh BC lấy M và N sao cho BN = BA, CM = CA.

a) So sánh và .

b) So sánh AM và AN.

c) Cho biết .Tính ba góc AMN.

2A. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM và trọng tâm G. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF.

a) Chứng minh G là trọng tâm tam giác AEF.

b) Gọi N là trung điểm của AF. Chứng minh ba điểm E, G, N thẳng hàng.

c) Gọi H là trung điểm của GA, I là trung điểm GE. Chứng minh

IH // MN và IH = MN.

2B. Cho tam giác ABC, trung tuyên AM. Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho MD = MA.

a) Chứng minh AB // CD và AB = CD.

b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD. AF cắt BC tại I, DE cắt BC tại K. Chứng minh I là trọng tâm tam giác ABD, K là trọng tâm tam giác ACD.

c) Chứng minh BI = IK = KC.

d) Chứng minh E, M, F thẳng hàng.

3A. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy M sao cho BM = BA. Trên tia đối tia CB lấy N sao cho CN = CA. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua N kẻ đường thẳng song song với AC, chúng cắt nhau tại P.

a) Chứng minh MA là tia phân giác của , NA là tia phân giác của .

b) Chứng minh PA là tia phân giác của .

c) Gọi D là trung điểm AM, E là trung điểm AN, các đường thẳng BD, CE cắt nhau tại Q. Chứng minh QM = QN.

d) Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng.

3B. Cho tam giác ABC, đường phân giác của góc B và đường phân giác của C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E, F.

a) Chứng mình BEI, CFI là các tam giác cân.

b) Chứng minh BE + CF = EF.

c) Gọi M là trung điểm của IB, N là trung điểm của IC, các đường thẳng EM, FN cắt nhau tại O. Chứng minh OB = OC.

d) Chứng minh ba điểm A, I, O thẳng hàng.

4A. Cho tam giác ABC cân tại A ( < 90°), đường phân giác AD. Kẻ đường cao BE, gọi H là giao điểm của BE và AD.

a) Chứng minh CH AB.

b) Gọi F là giao điểm của CH và AB. Chứng minh AD là trung trực của EF.

c) Kẻ EI HC, FJ HB với I HC, J HB. Chứng minh các đường thẳng EI, FJ,AD cùng đi qua một điểm, kí hiệu điểm đó là O.

d) Chứng minh AC - AF > OF - OC.

4B. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC ở D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E.

a) Chứng minh DA = DE.

b) Chứng minh BD là trung trực của AE.

c) Kẻ CK vuông góc với BD tại K, các đường thẳng CK, BA cắt .nhau tại F. Chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng.

d) Chứng minh BC - BA > DC - DA.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

5. Cho tam giác ABC có AB < AC, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a) Chứng minh AB = CD, AB // CD.

b) So sánh và .

c) So sánh và .

6. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy E sao cho AE = 2AB. Trên tia đối của tia BC lấy D sao cho BD = BC.

a) Chứng minh A là trọng tâm CDE.

b) Gọi F là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm C, A, F thẳng hàng.

c) Chứng minh BE + CF > EC.

7. Cho tam giác ABC, các đường phân giác của và cắt nhau tại I. Kẻ ID AB, IE AC với D AB, E AC.

a) Chứng minh ADE cân tại A.

b) Chúng minh AI là trung trực của DE.

c) Biết = 60°. Tính số đo .

8. Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE.

a) Chứng minh ADE cân tại A

b) Chứng minh AM là tia phân giác .

c) Kẻ BH AD, CK AE với H AD, K AE. Chứng minh

d) Gọi N là giao điểm của HB và KC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng.

9. Cho tam giác ABC cân tại A ( < 90°), kẻ đường phân giác AD. Trên tia đối của tia DC lấy điểm M sao cho MD = AD.

a.) Chứng minh DAM vuông cân tại D.

b) Kẻ BN vuông góc với AM tại N, các đường thẳng BN và AD cắt nhau tại O. Chứng minh OM AB.

c) Chứng minh OB = OC.

d) Chứng minh AM // OC.

10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và đường phân giác BD cắt nhau tại I. Tia phân giác cắt cạnh BC tại E.

a) Chứng minh BAE cân tại B.

b) Chứng minh I là trực tâm ABE,

c) Chứng minh EI //AC.

d) Cho biết = 40°. Tính các góc của IAE.

11. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BA = BM. .

a) Chứng minh AM là tia phân giác của .

b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên AC. Chứng minh AM là trung trực của HK.

c) Gọi I là hình chiếu vuông góc của C trên tia AM. Chứng minh AH, KM, CI đồng quy.

d) Chứng minh AB + AC < AH + BC

12* Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC. Kẻ đường cao AD. Vẽ điểm M sao cho AB là trung trực của DM, vẽ điểm N sao cho AC là trung trực của DN.

a) Chứng minh AMN cân tại A

b) Đường thẳng MN cắt AB, AC lần lượt tại F, E. Chứng minh DA là tia phân giác của .

c) Chứng minh EB là tia phân giác của .

d) Chứng minh BE AC.

e) Chứng minh AD, BE, CF đồng quy

HƯỚNG DẪN

1 A. a) Chú ý các tam giác BAD,

CAE cân, từ đó ta có

Lại có AB < AC =>

b ) Dùng kết quả ý a, =>AD < AE.

1B. a) Chú ý các tam giác BAN, CAM

cân, từ đó và

Mà AB < AC =>

b) Dùng kết quả ý a, =>AM < AN.

Vậy

2 A. a) Ta có ME = NF nên AM là

đường trung tuyến của AEE,

chú ý AG = 2GM => G là trọng

tâm AEF.

b) EN là đường trung tuyến của

AEF nên EN đi qua G, do đó

E,G,N thẳng hàng.

c) Ta có GH = GM = và

GI = GN=

Từ đó ta chứng minh được:

GMN= GHI ( c-g-c) => IH = MN, IH //MN

2B. a) Chứng minh được AMB = DMC (c-g-c).

= >AB = CD, AB//CD.

b) Chú ý rằng AF, BM là các

đường trung tuyến của ABD

và DE, CM là các đường trung

tuyến của ACD => ĐPCM.

c) Dùng kết quả ý b, ta có

BI = MB = MC = CK

Lại có IK = MI + MK = MB + MC = MB=> ĐPCM.

d) ME là đường trung bình của ABC => EM //AB.

MF là đường trung bình của BDA => EM //AB.

Vậy E, M, F thẳng hàng.

3 A. a) Chứng minh được:

Từ đó MA là tia phân giác của

, NA là tia phân giác của .

b) Xét PMN, dùng kết quả câu a,

ta có PA là tia phân giác của .

c) Chú ý tam giác ABM cân tại B,

tam giác ACN cân tại C, do BD và CE lần lượt là trung trực của AM và AN=> QM = QA = QN.

d) Gọi Ax là tia đối của tia AP, chứng minh được

=> PA là phân giác của .

Xét ABC, chú ý BD, CE lần lượt là các đường phân giác ngoài tại đỉnh B, C => AQ là phân giác của . Từ đó ba điểm P,A,Q thẳng hàng.

3B. Ta có và

. Từ đó BEI,CFI là

các tam giác cân tại E và F.

b) Dùng kết quả ý a, ta có:

EF = IE + IF = BE + CF.

c) Chú ý EM, FN lần lượt là trung

trực của IB, IC, từ đó OB = OI = OC.

Xét AEF, chú ý EO, BO lần lượt
là các đường phân giác ngoài tại
đ ỉnh E, F => AO là phân giác của .

Mà AI là phân giác của A, I, O thẳng hàng.

4A. a) Chứng minh được H là trực tâm của

ABC => CH AB

b) Ta có AEB = AFC (ch - gn).

Từ đó suy ra AE = AF.

Do đó AEF cân, chú ý AD là phân giác

=> AD là trung trực của đoạn thẳng EF.

c ) Chú ý EI , FJ, AD là ba đường cao của

EHF.

d) Chú ý: AF = AE, FO = OE.

Vậy AC - AF = EC > OF - OC.

4B. a) Chú ý BAD = BED (ch - gn)

Từ đó DA = DE.

b) Vì BA = BE, DA = DE nên BD là

trung trực của AE.

c) Chứng minh được D là trực tâm

FBC, từ đó FD BC, lại có

DE BC => E, D, F thẳng hàng.

d) Chứng minh được:

B C - BA = EC > DC - DE = DC - DA

5. a) Chứng minh được

AMB = DMC (c-g-c).

Từ đó suy ra AB = CD, AB // CD.

b) Chú ý và

CD = AB < AC.

Từ đó ta có .

c ) Dùng kết quả ý a, chú ý

6. a) Chú ý BE là đường trung tuyến

của CED và AE = 2AB, từ đó A

là trọng tâm CDE.

b) Ta có CF là đường trung tuyến

của CDE => C, A, F thẳng hàng.

c) Chứng minh được

B E + CF = (AE + AC) > EC.

7. a) Chứng minh được AI là tia

phân giác của , từ đó ta có:

AID = AIE (ch - gn)

=> AD = AE => ĐPCM.

b) Ta có ADE cân tại A có AI là

phân giác của => AI là trung

trực của DE.

c ) Ta có

từ đó = 120°

8. a) Chứng minh được MD = ME và

AM BC => ADE cân tại A

(AM vừa là đường cao vừa

là đường trung tuyến).

b) Dùng kết quả ý a, ta có

A M là tia phân giác

c) Chú ý => ĐPCM.

d) Dùng kết quả ý c, chứng minh

được NB = NC, chú ý AB = AC

nên AN là trung trực BC, từ đó

ba điểm A, M, N thẳng hàng.

9. a) Chứng minh được AD BC,

mà DM = DA nên DAM vuông

cân tại D.

b) Chứng minh được B là trực tâm

AOM, từ đó OM AB.

c) Ta có AD là trung trực của BC,

từ đó suy ra OB = OC.

d) Tính được = 45°.

Từ đó = 90° => OC ON => AM //OC.

1 0. a) Chú ý , từ đó

chứng minh được

nên BAE cân tại B.

b) Dùng kết quả ý a, với chú ý

BI là phân giác của suy

ra BI AE.

Từ đó I là trực tâm ABE.

c) Dùng kết quả ý b, ta có IE AB

=> IE //AC.

Suy ra = 180° - 50° = 130°.

1 1. a) Chú ý .

Từ đó nên AM là

tia phân giác của

b) Dùng kết quả ý a, chúng minh

được AH = AK, MH = MK. Do

đó AM là trung trực của HK.

c) Chú ý AH, KM, CI là ba

đường cao của MAC.

d) Chú ý AH = AK, AB = BM, từ

đó ta có:

AC - AH = CK < CM = BC - BA => AB + AC < AH + BC.

12. a) Vẽ DH AB và lấy

HM = HD. Suy ra AB là trung

trực của DM. Thực hiện tương

tự với N.

Dùng tính chất của đường trung

trực, ta có:

AM = AD = AN

Từ đó ta có AMN cân tại A.

b) Chứng minh được:

Mặt khác dùng kết quả ý a, ta có . Từ đó DA là phân giác của .

c) Do DB DA nên DB là đường phân giác ngoài tại đỉnh D của DEF. Vậy B cách đều hai cạnh DF và ED.

Do FB là phân giác ngoài đỉnh F của DFE nên B cách đều

FE và DF.

Suy ra B cách đều FE và DE, do đó EB là phân giác .

d) Chú ý EB, EC lần lượt là các đường phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh E của DEF, từ đó BE AC.

e) Tương tự ý d, ta có CF AB, do đó AD, BE,CF là ba đường cao của ABC, từ đó chúng đồng quy

..............................................................................................................................................................

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ 3
Thời gian làm bài cho mỗi đề là 45 phút

ĐỀ SỐ l

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)

Khoanh vào chữ cáỉ đứng trước câu trả lời đúng;

Câu 1. Độ dài hai cạnh của một tam giác là 2 cm và 10 cm. Trong các số đo sau đây, số đo nào sau đây là độ dài cạnh thứ ba của tam giác đó?

A. 6 cm. B. 7 cm. C. 8 cm D. 9 cm.

Câu 2. Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Gọi G là điểm nằm giữa A và D sao cho . Tia BG cắt AC tại E, tia CG cắt AB tại F. Khẳng định nào sau đây sai?

A. B. E là trung điểm của cạnh AC

C. D. F là trung điểm của cạnh AB

Câu 3. Cho tam giác ABC có . Hai đường phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Khi đó số đo bằng:

A. 85°. B. 90°. C. 135°. D. 150°.

Câu 4. Tam giác ABC có góc A tù, . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. BC >AC >AB. B. AC >AB >BC.

C. BC >AB > AC. D. AB > AC > BC.

Câu 5. Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH và các đường xiên AB,AC đến đường thẳng d (H, B, C đều thuộc d). Biết rằng HB < HC. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. AB > AC. B. AB < AC.

C. AB = AC. D. AH > AB

Câu 6. Cho góc xOy có số đo bằng 60°. Điểm M nằm trong góc đó và cùng cách Ox, Oy một khoảng bằng 2 cm. Khi đó đoạn thẳng OM bằng:

A. 2 cm. B. 3 cm. C. 4 cm. D. 5 cm.

Câu 7. Trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, lấy hai điểm phân biệt M,N. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. AMN = BMN.

C. . D. .

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi P, Q, K lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, AC, BC. Gọi O là giao điểm của ba đường phân giác của ABC. Khỉ đó tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là:

A. O. B. P. C. Q. D. R.

PHẦN II. TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)

Bài 1. (2,5 điểm) Cho ABC cân tại A có AD là đường phân giác.

a) Chứng minh ABD = ACD.

b) Gọi G là trọng tâm của ABC. Chứng mình ba điểm A, D, G thẳng hàng.

c) Tính DG biết AB = 13 cm, BC = 10 cm.

Bài 2. (3,5 điểm) Cho ABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB,AC.

Trên tia đối của tia FB lấy P sao cho PF = BF. Trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao cho QE = CE.

a) Chứng minh A là trung điểm của PQ.

b) Chứng minh BQ // AC và CP // AB.

c) Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB. Chứng minh chu vi PQR bằng hai lần chu vi ABC.

d) Chứng minh AR, BP,CQ đồng quy tại một điểm

HƯỚNG DẪN

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM

Câu 1. D. Câu 5. B.

Câu 2. C. Câu 6. C.

Câu 3. C. Câu 7. B.

Câu 4. A. Câu 8. D.

PHẦN II. TỰ LUẬN

Bài 1. a) ABD = ACD (c.g.c).

b) ABD = ACD => BD = CD nên AD là đường trưng tuyến. Do G là trọng tâm nên G AD. Vậy A, D, G thẳng hàng.

c) Ta có: BD = BC = .10 = 5cm.

Do tam giác ABC cân tại A nên trung tuyến AD đồng thời là đường cao, do đó ABD vuông tại D.

Theo định lí pytago: AB² = AD² + BD² => AD = 12 cm.

Vì G là trọng tâm ABC nên DG = AD = . 12 = 4 cm.

Bài 2. a) AEQ = BEC (c.g.c), suy

r a: AQ = BC và AQ// BC.

Tương tự, ta có: AP = BC

và AP//BC.

Từ đó suy ra AP = AQ và

A, P, Q thẳng hàng.

Vậy A là trung điểm của PQ.

b) BEQ = ABC (c.g.c) =>

=> BQ // AC.

Tương tự ta có: CP // AB.

c) Chứng minh APC = CBA (g.c.g).

Chứng minh APC = BCR (g.c.g). .

Từ đó, suy ra AB = CP = CR nên PK = 2AB.

Tương tự, ta có QR = 2 AC.

Từ câu a), suy ra PQ = 2BC.

Vậy chu vi PQR bằng hai lần chu vi ABC.

d) PQR có RA, PB, QC là các đường trung tuyến nên AR, BP, CQ đồng quy

..............................................................................................................................................................

ĐỀ SỐ 2

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Câu 1. (1,0 điểm) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

A. Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

B. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc nhọn là cạnh nhỏ nhất.

C. Trong một tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn.

D. Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn nhất là góc tù.

Cân 2 (1,0 điểm) Khoanh vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:

a) Tam giác DEF có thì:

A. DF < EF < DE B. EF < DF < DE

C. DE < EF < DF C. EF < DE < DF

b) Trực tâm của một tam giác thường là:

A. Giao điểm các đường trung tuyến của tam giác.

B. Giao điểm các đường trưng trực của tam giác

C. Giao điểm các đường cao của tam giác.

D. Giao điểm các đường phân giác của tam giác.

PHẦN II. TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

Cho tam giác ABC vuông tại B, BC < BA. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của CE.

a) Chứng minh AB là tia phân giác của góc CAE.

b) Vẽ CM vuông góc với AE tại M, CM cắt AB tại H. Vẽ HN vuông góc với CA tại N. Chứng minh MAN cân và MN song song với CE.

c) So sánh HM và HC.

d) Tìm điều kiện của ABC để CMN cân tại N

HƯỚNG DẪN

PHẦN I .TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Câu 1.

A. Đúng. B. Sai. C. Đúng. D. Sai.

Câu 2.

a) B. b) C.

P HẦN II. TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

HS tự ghi giả thiết, kết luận.

a) Chứng minh được:

ABC = ABE (c.g.c).

Suy ra .

Vậy AB là tia phân giác của .

b) Chứng minh được:

AHM = AHN (ch- gn).

Suy ra AM = AN. Do đó AMN cân tại A.

Mà AB là phân giác nên AB MN,

Khi đó MN song song với CE (cùng vuông góc vói I).

c) Do AHM = AHN nên HN = HM.

Mặt khác, trong tam giác vuông CNH có HC > HN.

Do đó HC > HM.

d) CMN cân tại N thì

Mà MN // CE nên (so le trong).

Suy ra

Chứng minh được CME = CMA (g.c.g). Suy ra CE = CA.

Như vậy CA = CE = AE nên ACE là tam giác đều.

= 60°.

Vậy tam giác ABC cần thêm điều kiện = 60° thì CMN cân tại N.

Chứng minh lại:

Khi ABC có = 60° thì CMN vừa là đường cao, vừa là phân giác nên = 30°. Suy ra CMN cân tại N

..............................................................................................................................................................

Link tải về

Ngoài Những Bài Toán Hình Lớp 7 Học Kỳ 2 Có Lời Giải thì các tài liệu học tập trong chương trình 7 sẽ được cập nhật liên tục và nhanh nhất có thể sau khi kỳ thi diễn ra trên Danh mục Tài Liệu Học Tập nhằm giúp các bạn đọc thuận tiện trong việc nghiên cứu tài liệu. Quý thày cô và các bạn đọc có thể chia sẻ thêm những tài liệu học tập hữu ích đến địa chỉ email của chúng tôi, nhằm xây dựng nên kho đề thi phong phú, đa dạng cho các em học sinh tham khảo và rèn luyện.

Hãy cùng khám phá và thử sức với những bài toán hình lớp 7 học kỳ 2 có lời giải! Bằng việc thực hành và rèn luyện, các em sẽ nâng cao khả năng giải toán hình, phát triển tư duy hình học và xây dựng nền tảng vững chắc cho việc học tập toán học trong tương lai.

Đừng ngần ngại, hãy bắt đầu hành trình khám phá và giải quyết những bài toán hình lớp 7 học kỳ 2 có lời giải ngay bây giờ!

Xem thêm

Giáo Án Lớp 7 Môn GDCD 7 Bài 3 Quan Tâm Cảm Thông Và Chia Sẻ

Kế Hoạch Giáo Dục Toán 7-Bộ 2

Giáo Án Lớp 7 Môn GDCD 7 Bài 2 Bảo Tồn Di Sản Văn Hoá

Giáo Án Lớp 7 Môn GDCD 7 Bài 7 Ứng Phó Với Tâm Lí Căng Thẳng

Giáo Án GDCD 7 Bài 6 Nhận Diện Tình Huống Gây Căng Thẳng

Đề Thi Tiếng Anh Giữa Kì 2 Lớp 7 Năm Học 2020-2021

Bài Tập Ôn Tập Đại Số 7 Chương 4

Những Bài Toán Hình Lớp 7 Học Kỳ 2 Có Lời Giải

Bài viết liên quan

Giáo Án Stem Hình Học 7 Cả Năm 5 Hoạt Động

Bài Tập Ôn Tập Chương 1 Đại Số 7 Số Hữu Tỉ Có Lời Giải

Phân Phối Chương Trình Toán 7 Sách Chân Trời Sáng Tạo

Đề Cương Ôn Tập Giữa Kì 2 Toán 7 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Bài Tập Toán 7 Tập Hợp Các Số Hữu Tỉ Có Lời Giải

Đề Ôn Tập Học Kì 1 Toán 7 Năm 2022-2023 Có Lời Giải-Đề 4

Giáo Án Toán 7 Kết Nối Tri Thức Học Kì Năm 2022-2023

Bài Tập Hình Học 7 Trường Hợp Bằng Nhau Thứ Nhất Của Tam Giác Có Lời Giải

Đề Thi Cuối Ki 1 Lớp 7 Môn Toán Năm 2022-2023 Đề 1

Chuyên Đề Cộng Trừ Số Hữu Tỉ Lớp 7 Có Lời Giải Chi Tiết

Bài viết được quan tâm

Đề Cương Ôn Tập Toán 7 Học Kì 2 Có Đáp Án

Chuyên Đề Tập Hợp Số Hữu Tỉ Lớp 7 Có Lời Giải Chi Tiết

Chuyên Đề Thứ Tự Thực Hiện Các Phép Tính Toán 7 Có Lời Giải Chi Tiết

Đề Ôn Tập Học Kì 1 Toán 7 Chân Trời Sáng Tạo Có Đáp Án-Đề 3

Bài Tập Toán Tính Số Trung Bình Cộng Lớp 7 Có Lời Giải

Chuyên Đề Số Thập Phân Vô Hạn Tuần Hoàn Toán 7 Có Lời Giải Chi Tiết

Các Dạng Toán Về Tính Chất Phép Nhân Đối Với Phép Cộng Trong Tập Hợp Số Hữu Tỉ Lớp 7 Có Lời Giải Chi Tiết

Bài Tập Toán 7 Hàm Số Có Lời Giải

Bài Tập Toán Lớp 7 Học Kì 2 Đại Số Có Lời Giải

Bài Tập Toán 7 Một Số Bài Toán Về Đại Lượng Tỉ Lệ Thuận Có Lời Giải

Nội dung mới nhất

Blog

Chính sách bảo mật

Về chúng tôi

Liên Hệ

Ma Trận Đề Thi Giữa Kì 1 Tiếng Anh 9 Chương Trình 7 Năm (2 Kỹ Năng) Năm Học 2020-2021

Phiếu Bài Tập Toán 9 Tuần 11 Có Lời Giải Chi Tiết - Toán 9

Tổng Hợp Các Đề Thi Vào Lớp 10 Môn Văn Có Đáp Án [2023]

Bài Tập Chuyên Đề Passive Voice-Câu Bị Động Có Đáp Án Ôn Thi Vào Lớp 10

Đề Thi Tiếng Anh Giữa Kì 1 Năm 2022-2023 Kèm Lời Giải Chi Tiết

Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Ngữ Văn 9 Cả Năm - Ngữ Văn Lớp 9