Lược đồ Hoocne & Bài tập vận dụng lược đồ Horner vào giải toán

Trang Tài Liệu chia sẻ cách ứng dụng lược đồ Hoocne (Horner) để chia đa thức trong môn Toán lớp 8, 9. Nội dung của tài liệu tập trung vào kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử, cách chia đa thức và áp dụng trong các biểu thức phân số có chứa biến.

Mục lục

Lược đồ Hoocne là gì?
Một số dạng toán ứng dụng lược đồ Hoocne (Horner)
Cách sử dụng lược đồ hoocne (Horner)
Bài tập vận dụng chia đa thức cho đa thức

Tài liệu giúp các bạn học sinh tiếp cận phương pháp chia đa thức và phân tích đa thức nhân tử một cách tiết kiệm thời gian và chính xác, đồng thời giúp ôn tập và hiểu rõ hơn về Đa thức và cách chia đa thức cũng như ôn luyện thi học sinh giỏi.

Lược đồ Hoocne là gì?

Lược đồ Horner là một phương pháp đơn giản để chia đa thức thành nhân tử và tìm các nghiệm của đa thức. Nó được đặt tên theo nhà toán học người Anh William George Horner. Phương pháp này thường được sử dụng để giảm bớt số lượng phép tính trong quá trình chia đa thức và tìm nghiệm của đa thức. Nó rất hữu ích trong việc giải các bài toán liên quan đến đa thức và được áp dụng rộng rãi trong các bài toán toán học và khoa học ứng dụng.

Một số dạng toán ứng dụng lược đồ Hoocne (Horner)

Lược đồ Horner là một công cụ quan trọng trong đại số đa thức và có thể được sử dụng để giải quyết một số vấn đề toán học khác nhau. Sau đây là một số dạng toán ứng dụng lược đồ Horner:

Tìm nghiệm của đa thức: Lược đồ Horner được sử dụng để tính toán nghiệm của một đa thức. Bằng cách chèn giá trị xấp xỉ vào lược đồ Horner, ta có thể tính toán giá trị đa thức ở giá trị x đó. Nếu giá trị đó bằng 0, thì x là một nghiệm của đa thức đó.
Chia đa thức: Lược đồ Horner cũng được sử dụng để chia đa thức. Bằng cách thực hiện phép chia trên lược đồ, ta có thể tính được kết quả chia của hai đa thức.
Tính tổng và hiệu đa thức: Lược đồ Horner có thể được sử dụng để tính tổng và hiệu của hai đa thức. Bằng cách thực hiện phép cộng và trừ trên lược đồ, ta có thể tính được kết quả của hai đa thức.
Tính giá trị đạo hàm của đa thức: Lược đồ Horner có thể được sử dụng để tính giá trị đạo hàm của đa thức tại một điểm xác định. Bằng cách lấy giá trị cuối cùng trên lược đồ, ta có thể tính được giá trị đạo hàm của đa thức tại giá trị x tương ứng.
Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị đa thức: Lược đồ Horner cũng có thể được sử dụng để tìm phương trình của đường tiếp tuyến của đồ thị của đa thức tại một điểm xác định. Bằng cách tính giá trị đạo hàm của đa thức tại điểm đó, ta có thể tính được phương trình của đường tiếp tuyến.

Cách sử dụng lược đồ hoocne (Horner)

Cách sử dụng lược đồ Horner để chia đa thức như sau:

Sắp xếp các hệ số của đa thức theo thứ tự giảm dần của các số mũ.
Lấy hệ số đầu tiên của đa thức và viết vào phần bên trái của lược đồ Horner.
Nhân số hạng đó với giá trị của biến x và cộng với hệ số tiếp theo.
Kết quả thu được ở bước 3 sẽ là hệ số của đa thức mới, viết hệ số đó vào bên phải của hệ số ban đầu trên lược đồ.
Lặp lại bước 3 và 4 cho đến khi hết các hệ số của đa thức.
Kết quả cuối cùng của phép chia đa thức là hệ số cuối cùng được viết bên dưới cùng của lược đồ Horner.

Chú ý: Trong quá trình sử dụng lược đồ Horner, ta chỉ cần thay giá trị của biến x bằng giá trị được cho hoặc giá trị cần tính để tìm ra kết quả cuối cùng của phép chia đa thức.

Ví dụ minh họa:

f\left( x \right) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}{x^1} + {a_n}

Khi đó đa thức thương $g\left( x \right) = {b_0}{x^{n - 1}} + {b_1}{x^{n - 2}} + ... + {b_{n - 1}}$ và đa thức dư được xác định theo lược đồ sau:

Sử dụng sơ đồ Hoocne (Horner) để chia đa thức

Ta được cách làm theo các bước như sau:

Bước 1: Sắp xếp các hệ số của đa thức f(x) theo ẩn giảm dần và đặt số α vào cột đầu tiên của hàng thứ 2. Nếu trong đa thức mà khuyết ẩn nào đó thì ta coi hệ số của nó bằng 0 và vẫn phải điền vào lược đồ.

Bước 2: Cột thứ 2 của hàng 2 ta hạ hệ số a₀ ở hàng trên xuống. Đây chính là hệ số đầu tiên của g(x) tìm được, tức là b₀.

Bước 3: Lấy số α nhân với hệ số vừa tìm được ở hàng 2 rồi cộng chéo với hệ số hàng 1 (Ví dụ nếu ta muốn tìm hệ số b₁ ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy α nhân với hệ số b₀ sau đó cộng với hệ số a₁ ở hàng trên; tương tự như vậy nếu ta muốn tìm hệ số b₂ ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy α nhân với hệ số b₁ sau đó cộng với hệ số a₂ ở hàng trên,….)

Quy tắc nhớ: NHÂN NGANG, CỘNG CHÉO.

Bước 4: Cứ tiếp tục như vậy cho tới hệ số cuối cùng và kết quả ta sẽ có

f\left( x \right) = \left( {x - \alpha } \right).g\left( x \right) + r

hay

{a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}{x^1} + {a_n} = \left( {x - \alpha } \right)\left( {{b_0}{x^{n - 1}} + {b_1}{x^{n - 2}} + ... + {b_{n - 1}}} \right) + r

* Chú ý:

+ Bậc của đa thức g(x) luôn nhỏ hơn bậc của đa thức f(x) 1 đơn vị vì đa thức chia x – α có bậc là 1.

+ Nếu r = 0 thì đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) và x = α sẽ là một nghiệm của đa thức f(x). Trong trường hợp này chính là phân tích đa thức thành nhân tử. Để tìm được α, ta sẽ nhẩm một nghiệm nguyên của đa thức f(x), α chính là nghiệm mà ta vừa nhẩm được.

Bài tập vận dụng chia đa thức cho đa thức

Bài 1: Thực hiện phép chia:

a) $\left(-3 x^{3}+5 x^{2}-9 x+15\right):(-3 x+5)$

b) $\left(5 x^{4}+9 x^{3}-2 x^{2}-4 x-8\right):(x-1)$

c) $\left(5 x^{3}+14 x^{2}+12 x+8\right):(x+2);$

d) $\left(x^{4}-2 x^{3}+2 x-1\right):\left(x^{2}-1\right).$

Bài 2: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:

a) $\left(x^{8}-2 x^{4} y^{4}+y^{8}\right):\left(x^{2}+y^{2}\right)$

b) $\left(64 x^{3}+27\right):\left(16 x^{2}-12 x+9\right)$

c) $\left(x^{3}-9 x^{2}+27 x-27\right):\left(x^{2}-6 x+9\right)$

d) $\left(x^{3} y^{6} z^{9}-1\right):\left(x y^{2} z^{3}-1\right).$

Bài 3: Sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến rồi làm phép chia:

a) $\left(13 x+41 x^{2}+35 x^{3}-14\right):(5 x-2) ;$

b) $\left(16 x^{2}-22 x+15-6 x^{3}+x^{4}\right):\left(x^{2}-2 x+3\right)$

c) $\left(6 x+2 x^{3}-5-11 x^{2}\right):\left(-x+2 x^{2}+1\right).$

Bài 4: Tìm m đề đa thức $3 x^{3}+2 x^{2}-7 x+m$ chia hết cho đa thức 3x-1

Bài 5 Tìm số dư trong phép chia đa thức $f(y)=y^{243}+y^{81}+y^{27}+y^{9}+y^{3}+y$ cho đa thức
$g(y)=y^{2}-1$

Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, ${x^3} - 4{x^2} + x + 6$

b, ${x^3} - 5{x^2} - 2x + 24$

c, $2{x^4} - {x^3} - 17{x^2} + x + 15$

d, $3{x^4} + 5{x^3} - 5{x^2} - 5x + 2$

Bài 7: Thực hiện phép chia đa thức:

a, ${x^5} + 6{x^4} + 3{x^2} - 2x - 10$ cho $x + 8$

b, $2{x^7} - 8{x^5} + 3{x^3} - 9{x^2} - 10x + 1$ cho $x - 5$

c, ${x^4} + 12{x^2} - 25$ cho $2x + 5$

d, ${x^5} - 7{x^4} + 8{x^3} - 4{x^2} - 10x + 13$ cho $x + 1$

Bài 8: Giải các phương trình sau:

a, $2{x^4} - 5{x^3} + 6{x^2} - 5x + 2 = 0$

b, $\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x - 6} \right) + 6{x^2} = 0$

c, $\left( {{x^2} + x + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 3} \right) = 6$

d, $2{x^4} - 21{x^3} + 34{x^2} + 105x + 50 = 0$

Hy vọng hướng dẫn sử dụng lược đồ Hoocne mà Trang Tài Liệu vừa cung cấp đã giúp em nhanh chóng giải đa thức, đồng thời nâng cao được kỹ năng giải toán. Từ đó dành được số điểm cao trong các kỳ thi sắp tới. Đừng quên theo dõi trangtailieu.com để cập nhật thêm nhiều tài liệu học tập khác.

Tagged:
Tổng Hợp Kiến Thức Toán 8

Lược đồ Hoocne & Bài tập vận dụng lược đồ Horner vào giải toán

Lược đồ Hoocne là gì?

Một số dạng toán ứng dụng lược đồ Hoocne (Horner)

Cách sử dụng lược đồ hoocne (Horner)

Bài tập vận dụng chia đa thức cho đa thức

Bài viết liên quan

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức lớp 8 – Luyện tập

Các trường hợp đồng dạng của tam giác & Bài tập liên quan

Nội dung mới nhất

Blog

Chính sách bảo mật

Về chúng tôi

Liên Hệ

Ma Trận Đề Thi Giữa Kì 1 Tiếng Anh 9 Chương Trình 7 Năm (2 Kỹ Năng) Năm Học 2020-2021

Phiếu Bài Tập Toán 9 Tuần 11 Có Lời Giải Chi Tiết - Toán 9

Tổng Hợp Các Đề Thi Vào Lớp 10 Môn Văn Có Đáp Án [2023]

Bài Tập Chuyên Đề Passive Voice-Câu Bị Động Có Đáp Án Ôn Thi Vào Lớp 10

Đề Thi Tiếng Anh Giữa Kì 1 Năm 2022-2023 Kèm Lời Giải Chi Tiết

Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Ngữ Văn 9 Cả Năm - Ngữ Văn Lớp 9