Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Ôn Thi HSG Đại Số 8 Có Lời Giải Chi Tiết

DẠNG 7: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

1. Bài toán

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 2: a) Tìm GTLN :

b) Tìm GTLN :

Bài 3: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất ( của biểu thức

Bài 4: Cho là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

_{Bài 5:} Cho số thực x thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với là số nguyên.

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a) b)

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

_{Bài 10:} Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của

Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 15:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có):

Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 19: Cho biểu thức

a) Rút gọn

b) Tìm giá trị lớn nhất của

Bài 20: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 23: Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :

_{Bài 27}:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết:

_{Bài 31.} Cho là các số dương thỏa mãn

_{Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:}

Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất :

Bài 33.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 34. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a² + b² + c².

Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

_{Bài 36}. Cho . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

_{Bài 37}. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 39. Cho các số thực dương thỏa mãn

_{Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức}

Bài 40: Cho là các số thực dương thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 41: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 43: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 44: Cho hai số không âm và thỏa mãn: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 45: Cho là các số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 46: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài 47: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 48: Cho biểu thức

1. Rút gọn

2. Tìm giá trị lớn nhất của

Bài 49: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 50: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 51: Cho và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 52: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Bài 53: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 54: Tìm các giá trị của để biểu thức:

có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 55: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 56: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 57: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 4x² + 4x + 5

Bài 58: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: .

Bài 59: Tìm giá trị của biến x để:

a) đạt giá trị lớn nhất b) đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 60: : a) Tìm GTLN của

b) Tìm GTNN của biểu thức , với

Bài 61: Tìm GTNN của:

a) ; b) ;

c)

Bài 62: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ;

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 63: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Tìm GTLN của

Bài 64: a) Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Tìm GTNN của

Bài 65: a) Tìm GTNN của biết

b) Tìm GTNN của

c) Tìm GTNN của

d) Tìm GTLN của với

Bài 66: Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng.

Bài 67: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của GTLN

Bài 68: Cho hai số không âm và thỏa mãn: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 69: Cho hai số dương thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 70: Cho là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của: biết

Bài 71: Tìm các giá trị của để biểu thức: có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 72: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 73: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 75: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài 76: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: .

Bài 77: Tìm giá trị của biến x để:

a) đạt giá trị lớn nhất b) đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 78: a) Tìm GTLN của

b) Tìm GTNN của biểu thức , với

Bài 79: Tìm GTNN của:

a) ; b) ; c)

Bài 80: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ;

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 81: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Tìm GTLN của

Bài 82: a) Tìm GTNN của biết

b) Tìm GTNN của

c) Tìm GTNN của

d) Tìm GTLN của với

Bài 83: : a) Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Tìm GTNN của

Bài 84: Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng.

Bài 85: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 86: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 87: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a² + b² = a + b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 88: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài 89: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài 90: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 91: a. Tìm giá trị lớn nhất của tổng x + y + z biết rằng x + 5y = 21 và 2x + 3z = 51 với x, y, z 0

b. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các phân thức B =

Bài 92: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 94: Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a² + b² + c²

Bài 95: Cho hai số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 96: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: .

Bài 97:

a) Cho thoả mãn .

Tìm GTNN của biểu thức .

b) Cho thoả mãn .

Tìm GTNN của biểu thức .

Bài 98:

Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

Bài 99: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 100: Cho là các số thực dương thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 101: Cho các số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 102: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 103: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 104: Cho là các số dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

_{Bài 105}: Cho là 3 số dương thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

_{Bài 106}: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của

_{Bài 107}: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 108: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 109:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 110: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

B. HƯỚNG DẪN

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Dấu xảy ra

Vậy

Bài 2: a) Tìm GTLN :

b) Tìm GTLN :

Lời giải

a) P=

1. 

_{Suy ra}

b)

Q đạt GTLN đạt GTNN mà

của C là

Bài 3: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất ( của biểu thức

Lời giải

Do: với

Ta có:

Bài 4: Cho là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Lời giải

Vậy

_{Bài 5:} Cho số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Đặt Biểu thức đã cho trở thành:

   

*) Vì

_{Đẳng thức xảy ra khi}

_Vậy

*) nên và là hai số không âm

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

Đẳng thức xảy ra khi hay

Vậy

Bài 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Lời giải

Ta có:

Vậy

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với là số nguyên.

Lời giải

• Xét

• Xét thì do nên

+ Khi

+ Khi

+ Khi

Vậy

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a) b)

Lời giải

a) Áp dụng tính chất dấu xảy ra ta có:

Dấu “=” xảy ra và và

Vậy

b) Ta có

Với mọi ta có:

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

_{Ta có:}

. Dấu bằng xảy ra

Vậy

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của :

Lời giải

Đặt

Khi đó:

Vậy

Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Chứng tỏ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

_Vậy

Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của

Lời giải

Ta có:

Ta có:

Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Biến đổi để có:

Vì và nên

Do đó:

Dấu xảy ra khi và chỉ khi

Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Vậy giá trị nhỏ nhất của

Bài 15: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Lời giải

a) Ta có:

Do Nên

Dấu xảy ra

Vậy GTNN của là

b)

Do nên Dấu xảy ra

Vậy của là

Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Ta có:

Vậy

Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có):

Lời giải

Ta có

Vì

Vậy

Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Đẳng thức xảy ra

Giá trị nhỏ nhất của B là

Bài 19: Cho biểu thức

a) Rút gọn b) Tìm giá trị lớn nhất của

Lời giải

a)

Vậy với mọi

b) Ta có : với mọi

- Nếu ta có

- Nếu , chia cả tử và mẫu của cho ta có:

Ta có:

Nên ta có: . Dấu xảy ra khi

Vậy lớn nhất là khi

Bài 20: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Ta có:

Dấu xảy ra và

và Vậy nhỏ nhất là

Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

với mọi

với mọi

Từ

Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Vậy

Bài 23: Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Lời giải

a) ĐKXĐ:

b)

Vì nên Áp dụng BĐT Cosi ta có:

Dấu “=” xảy ra

Vậy của P là

Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi

Bài 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Dấu xảy ra

Vậy

Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :

Lời giải

Vậy

Bài 27: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Lời giải

1. Ta có:

Do Nên

Dấu “=” xảy ra

Vậy

b)

Do . Đẳng thức xảy ra

Vậy

Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Lời giải

Ta có :

_Vậy

Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi

Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết:

_{Lời giải}

Đặt ta có:

Dấu xảy ra và

_{Vậy giá trị nhỏ nhất của} bằng 8 tại

_{Bài 31.}

Cho là các số dương thỏa mãn

_{Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:}

_{Lời giải}

Theo BĐT Cô si ta có: Dấu xảy ra

Tương tự: , dấu “=” xảy ra

, dấu xảy ra

Dấu xảy ra

Vậy khi với

Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất :

_{Lời giải}

_{Giá trị nhỏ nhất} khi

_{Bài 33.} Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

_{Lời giải}

Ta có:

Mà

_{Vậy giá trị lớn nhất của} là

Bài 34. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a² + b² + c².

_{Lời giải}

Từ giả thiết 0 ≤ a, b, c ≤ 2 suy ra (2 – a)(2 – b)(2 – c) + abc ≥ 0

 8 – 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) ≥ 0

 8 – 12 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 0 (vì a + b + c = 3)

 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4

 a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4 + a² + b² + c²

 ( a + b + c)² ≥ 4 + a² + b² + c²

 a² + b² + c² ≤ 5 (vì a + b + c = 3)

Dấu đẳng thức xảy ra  (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này.

Vậy P có GTLN nhất là 5  (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này.

Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

_{Lời giải}

= = ≥ 2

Vậy min C = 2 x = 1

= = ≤ 4

Vậy max C = 4 x = -1

_{Bài 36}. Cho . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

_{Lời giải}

(với mọi

_{Vậy giá trị nhỏ nhất của}

_{Bài 37}. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

_{Lời giải}

Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

_{Lời giải}

_Vậy

Bài 39. Cho các số thực dương thỏa mãn

_{Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức}

_{Lời giải}

1. 

Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng xảy ra

Ta có:

Bởi vậy :

Vậy

Bài 40: Cho là các số thực dương thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Vì nên:

Ta có:

Tương tự:

Từ đó . Dấu xảy ra

Vậy GTNN của là

Bài 41: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Vậy

Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Đặt ta có biểu thức:

Dấu xảy ra

Với thì đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Bài 43: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Vì

Dấu xảy ra

Bài 44: Cho hai số không âm và thỏa mãn: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

Lời giải

Ta có:

Chứng minh được với hai số dương thì

Do đó:

Vậy của S là 1, dạt được khi

Bài 45: Cho là các số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có:

Theo BĐT cô si ta có: Dấu “=” xảy ra

Tương tự: dấu “=” xảy ra

, dấu “=” xảy ra

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy

Bài 46: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Lời giải

Vậy

Bài 47: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

với mọi

với mọi

Từ

Bài 48: Cho biểu thức

1. Rút gọn

2. Tìm giá trị lớn nhất của

Lời giải

Vậy với mọi

b) Ta có : với mọi

• Nếu ta có

• Nếu , chia cả tử và mẫu của cho ta có:

Ta có:

Nên ta có: . Dấu xảy ra khi

Vậy lớn nhất là khi

Bài 49: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Ta có:

Dấu xảy ra và

và Vậy nhỏ nhất là

Bài 50: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Vậy

Bài 51: Cho và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải

Vì

Ta có:

Lại có:

Vậy là hoán vị của

Bài 52: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Lời giải

a) Ta có:

Do

Nên

Dấu xảy ra

Vậy GTNN của là

B)

Do nên Dấu xảy ra

Vậy của là

Bài 53: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi

Bài 54: Tìm các giá trị của để biểu thức:

có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải

Ta thấy nên

Do dó

Bài 55: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Vậy

Bài 56: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Vậy giá trị nhỏ nhất của khi

Bài 57: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Ta có :

Vì

Vậy GTNN của

Bài 58: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: .

Lời giải:

HD: + Tìm GTLN:

Ta có:

Dấu “ =”

Suy ra GTLN(A) = 2 .

+ Tìm GTNN:

Ta có:

Dấu “ =”

Suy ra GTNN(A) =

Bài 59: Tìm giá trị của biến x để:

a) đạt giá trị lớn nhất b) đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải:

a) đạt giá trị lớn nhất.

HD: Ta có: ( Vì 1 > 0 và )

Dấu « = »

Suy ra GTLN(P) = .

b) đạt giá trị nhỏ nhất

HD: ĐKXĐ:

Ta có:

Đặt . Ta có:

Dấu « = »

Suy ra GTNN(Q) =

Bài 60 : a) Tìm GTLN của

b) Tìm GTNN của biểu thức , với

Lời giải:

a) Tìm GTLN của

Ta có:

Đặt , khi đó:

Dấu “=”

Suy ra

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , với .

Ta có:

Dấu “ =”

Vậy, GTNN(B) = .

Chú ý: BĐT AM-GM cho 2 số không âm, ta có: . Dấu “=”

* Cách biến đổi B : Ta viết .

Biến đổi và đồng nhất thức hai vế, suy ra .

Bài 61: Tìm GTNN của:

a) ; b) ; c)

Lời giải:

Tìm GTNN của:

a) Ta có:

( Vì nên , dùng BĐT Cô-si cho hai số dương và )

Dấu « = »

Suy ra .

b)

Dấu “=” ( thỏa )

Suy ra

c)

Dấu “=” ( thỏa )

Suy ra .

Bài 62: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ;

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Từ ,

Khi đó,

Dấu “=”

Suy ra

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Từ ,

Khi đó,

Dấu « = »

Suy ra

Bài 63: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Tìm GTLN của

Lời giải:

a) Ta có :

Dấu “=”

Suy ra GTNN(Q) = 7 .

b) Ta có:

Dấu “=”

_{Suy ra GTLN(A) = 1}

Bài 64: a) Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Tìm GTNN của

Lời giải:

a) Ta có: ( Vì )

( Vì )

Dấu “=”

Suy ra .

b) Tìm GTNN của

Ta có:

Dấu “=”

Suy ra và .

Bài 65: a) Tìm GTNN của biết

b) Tìm GTNN của

c) Tìm GTNN của

d) Tìm GTLN của với

Lời giải:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: biết

* Cách 1 : Ta có: + = 4 + 2 + = 16 (1)

Ta lại có: - 2 + 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2 + 2 16 + 8

Vậy giá trị nhỏ nhất của

* Cách 2: Ta có :

Suy ra

Dấu “=”

Vậy, .

b) Ta có :

Dấu “=”

Suy ra GTNN (B ) = 5

c) Ta có:

Đặt ( chú ý : )

Khi đó,

Dấu “=”

d) Tìm giá trị của để biểu thức sau đạt GTLN: với

*Cách 1: Đặt

Khi đó

( Vì ).

Dấu “=” .

Suy ra .

*Cách 2: Đặt

Ta có: ( Vì nên )

Suy ra ( Vì )

Dấu “=” .

Suy ra .

Bài 66: Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng.

Lời giải:

Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng.

Ta biết: .

Đặt: .

Khi đó biểu thức (*) viết thành: .

Dấu “=” xảy ra

.

*) .

*) .

Vậy

Bài 67: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của GTLN

Lời giải

Ta có:

Dấu xảy ra và

và Vậy nhỏ nhất là

Bài 68: Cho hai số không âm và thỏa mãn: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

Lời giải

Ta có:

Chứng minh được với hai số dương thì

Do đó:

Vậy của S là 1, dạt được khi

Bài 69: Cho hai số dương thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

. Dấu xảy ra

Vậy GTNN của

Bài 70: Cho là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của : biết

Lời giải

Áp dụng công thức Bunhiacopski ta có:

Vậy GTNN của là

Bài 71: Tìm các giá trị của để biểu thức: có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải

Ta thấy nên

Do dó

Bài 72: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Do

Đẳng thức xảy ra Vậy với thì L có giá trị nhỏ nhất.

Giá trị nhỏ nhất của L là 8

Bài 73: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Lời giải

Vậy GTNN của là khi

Bài 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

với mọi

với mọi

Từ

Bài 75: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Lời giải

Đặt

Bài 76: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: .

Lời giải

+ Tìm GTLN:

Ta có:

Dấu “ =”

Suy ra GTLN(A) = 2 .

+ Tìm GTNN:

Ta có:

Dấu “ =”

Suy ra GTNN(A) =

Bài 77: Tìm giá trị của biến x để:

a) đạt giá trị lớn nhất b) đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

a)

Ta có: ( Vì 1 > 0 và )

Dấu « = »

Suy ra GTLN(P) = .

b) ĐKXĐ:

Ta có:

Đặt . Ta có:

Dấu « = »

Suy ra GTNN(Q) =

Bài 78: a) Tìm GTLN của

b) Tìm GTNN của biểu thức , với

Lời giải

a) Tìm GTLN của

Ta có:

Đặt , khi đó:

Dấu “=”

Suy ra

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , với .

Ta có:

Dấu “ =”

Vậy, GTNN(B) = .

Bài 79: Tìm GTNN của:

a) ; b) ; c)

Lời giải

a) Ta có:

( Vì nên , dùng BĐT Cô-si cho hai số dương và )

Dấu « = »

Suy ra .

b)Ta có

Dấu “=” ( thỏa )

Suy ra

c)

Dấu “=” ( thỏa )

Suy ra .

Bài 80: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ;

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Từ ,

Khi đó,

Dấu “=”

Suy ra

4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Từ ,

Khi đó,

Dấu « = »

Suy ra

Bài 81: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

5. Tìm GTLN của

Lời giải

a) Ta có :

Dấu “=”

Suy ra GTNN(Q) = 7 .

b) Ta có:

Dấu “=”

Suy ra GTLN(A) = 1

Bài 82: a) Tìm GTNN của biết

b) Tìm GTNN của

c) Tìm GTNN của

d) Tìm GTLN của với

Lời giải

a) * Cách 1 : Ta có: + = 4 + 2 + = 16 (1)

Ta lại có: - 2 + 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2 + 2 16 + 8

Vậy giá trị nhỏ nhất của

* Cách 2: Ta có :

Suy ra

Dấu “=”

Vậy, .

b) Ta có :

Dấu “=”

Suy ra GTNN (B ) = 5

c) Ta có:

Đặt ( chú ý : )

Khi đó,

Dấu “=”

d) Tìm giá trị của để biểu thức sau đạt GTLN: với

*Cách 1: Đặt

Khi đó

( Vì ).

Dấu “=” .

Suy ra .

*Cách 2: Đặt

Ta có: ( Vì nên )

Suy ra ( Vì )

Dấu “=” .

Suy ra .

Bài 83: : a) Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Tìm GTNN của

Lời giải

a) Ta có: ( Vì )

( Vì )

Dấu “=”

Suy ra .

b) Tìm GTNN của

Ta có:

Dấu “=”

Suy ra và .

Bài 84: Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng.

Lời giải

Ta biết: .

Đặt: .

Khi đó biểu thức (*) viết thành: .

Dấu “=” xảy ra

.

*) .

*) .

Vậy

Bài 85: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Ta có:

Vậy

Bài 86: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có:

Vì x² + x + 1 =

Suy ra :

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Bài 87: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a² + b² = a + b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

Lời giải

Ta có:

Chứng minh được với hai số dương x,y thì

Do đó:

Vậy GTLN của S là 1, dạt được khi a = b = 1

Bài 88: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Lời giải

Ta có:

Theo BĐT cô si ta có : . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = 2x

Tương tự : . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z = 4x

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z = 2y

Suy ra: . Dấu “=” xảy ra khi

Vậy: Min P =

Bài 89: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Lời giải

Ta có:

Vậy Min P = 8100312,5

Bài 90: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi

Bài 91: a. Tìm giá trị lớn nhất của tổng x + y + z biết rằng x + 5y = 21 và 2x + 3z = 51 với x, y, z 0

b. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các phân thức B =

Lời giải

a) Cộng vế với vế của các đẳng thức x + 5y = 21 và 2x + 3z =51 ta được

3(x + y + z) + 2y = 72

Như vậy 3(x + y + z) lớn nhất khi và chỉ khi 2y nhỏ nhất . Mặt khác y 0 nên 2y nhỏ nhất khi y = 0 x = 21 và z = 3

Do đó 3(x + y + z) lớn nhất bằng 72 x + y + z lớn nhất bằng 24 khi x = 21; y = 0 và z = 3

b) Ta có = minB = -1 với x = -2

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là B = -1 khi x = -2

Mặt khác ta lại có =

maxB = 4 với x =

Vậy giá trị lớn nhất của B là B = 4 khi x =

Bài 92: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Lời giải

Ta có =

Đẳng thức xảy ra khi

Vậy Min P =

Bài 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có với mọi x, y.

P = khi x = 10 và y = 10

Vậy Max P = khi x = 10 và y = 10.

Bài 94: Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a² + b² + c²

Lời giải

Ta có: với mọi a

với mọi a

với mọi a (1)

Tương tự: với mọi b (2)

với mọi c (3)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được :

.

Vì nên: P =

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là đạt được khi và chỉ khi a = b = c = .

Bài 95: Cho hai số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

=

=

Áp dụng BĐT AM-GM ta có (*)

Áp dụng BĐT AM-GM và kết hợp (*) ta có:

Đẳng thức xảy ra . Vậy khi .

Bài 96:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: .

Lời giải

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: .

Ta có: (2)

Mặt khác: (3)

Từ (2) và (3) suy ra:

Hay : .Do đó .

Đẳng thức xảy ra khi: (4).

Từ (1) và (4) ta có: .

Vậy Min (P) = 0 khi x = y =1.

Bài 97:

a) Cho thoả mãn .

Tìm GTNN của biểu thức .

b) Cho thoả mãn .

Tìm GTNN của biểu thức .

Lời giải

a) Ta có:

Dấu “=” .

Vậy, . Dấu “=” .

b) Ta có:

Dấu “=” .

Vậy, . Dấu “=” .

Bài 98: Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

Lời giải

Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho (1). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (2).

Từ (2) ta có:

Do đó:

Suy ra: (do (1)) .

Dấu “=” xảy ra .

Vậy Min Q = -2 khi m =-2, n =1 hoặc m =1, n = -2.

Bài 99:

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có:

Dấu “=”

Suy ra

Ta có:

Dấu “=”

Suy ra

Bài 100:

Cho là các số thực dương thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Vì nên:

Ta có:

Tương tự:

Từ đó . Dấu xảy ra

Vậy GTNN của là

Bài 101: Cho các số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

1. 

Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng xảy ra

Ta có:

Bởi vậy :

Vậy

Bài 102: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có:

Vậy

. Vậy

Bài 103: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời gải

Vậy

Bài 104: Cho là các số dương thỏa mãn

Lời gải

Theo BĐT cô si ta có:

Tương tự

. Dấu bằng xảy ra khi

_{Bài 105}: Cho là 3 số dương thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời gải

Ta có:

Tương tự:

Dấu xảy ra

Bài 106: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời gải

Đặt . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

hay Dấu bằng xảy ra

Bài 107: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Giá trị nhỏ nhất của là

Nên giá trị nhỏ nhất của là

Bài 108: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Dấu xảy ra

Vậy

Bài 109:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

1. Ta có:

Do

Nên

Dấu xảy ra

Vậy GTNN của là

2. 

Do nên Dấu xảy ra

Vậy của là

3. Ta có:

Nhận thấy với mọi ta có:

Dấu xảy ra khi

Vậy Giá trị nhỏ nhất của là đạt được khi

Bài 110: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Đặt ta có biểu thức:

Dấu xảy ra

Với thì đạt giá trị nhỏ nhất bằng