Bài Tập Toán Hình Lớp 8 Bài Đường Trung Bình Của Hình Thang Có Lời Giải

5. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Đ ịnh nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên của hình thang.

Định lí 3: Đường thẳng đi trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

III. BÀI TẬP

B ài 1: Cho và đường thẳng qua không cắt đoạn thẳng . Vẽ . Gọi là trung điểm của .Chứng minh

Bài 2: Cho hình thang vuông tại và Gọi lần lượt là trung điểm của Chứng minh:

a) cân tại

b)

Bài 3: Tính các độ dài x và y trên hình. Biết (cm).

Bài 4: Cho hình thang ABCD có và M là trung điểm của AD . Qua M vẽ đường thẳng song song với hai đáy của hình thang cắt hai đường chéo BD và AC tại E và F, cắt BC tại N.

a, Chứng minh rằng N, E, F lần lượt là trung điểm của BC, BD, AC.

b, Gọi I là trung điểm của AB , đường thẳng vuông góc với IE tại E và đường thẳng vuông góc với IF tại F cắt nhau ở K. Chứng minh : .

Bài 5: Cho hình thang ABCD, AB là đáy nhỏ. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD và AC.

a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng;

b) Chứng minh PQ // CD và

c) Hình thang ABCD phải có điều kiện gì để MP = PQ = QN.

Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD), tia phân giác của góc C đi qua trung điểm M của cạnh bên AD. Chứng minh rằng:

a) b)

Bài 7: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC. Gọi thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên đường thẳng d. Chứng minh rằng .

Tự luyện: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD; AD = BC), có đáy nhỏ AB. Độ dài đường cao BH bằng độ dài đường trung bình MN (M thuộc AD, N thuộc BC) của hình thang ABCD. Vẽ BE// AC (E thuộc DC). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng

a) b)Tam giác OAB cân c) Tam giác DBE vuông cân

KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ

B ài 1: (cùng vuông góc với )

Tứ giác là hình thang,

Từ I kẻ

Hình thang có và nên

Ta có ; nên là đường trung trực của đoạn thẳng

B ài 2:

Chỉ ra là đường trung bình của hình thang ABCD nên

. là đường trung trực của AB nên hay cân tại

b) ( cùng phụ với 2 góc bằng nhau )

B ài 3:

Theo tính chất của đường trung bình của hình thang,

ta có hay:

(1)

và (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Ta tính được và

B ài 4:

a) Xét hình thang có ; là trung điểm của

Xét có ;

Xét có ;

b ) là đường trung bình của

là đường trung bình của

Vậy

Có

Chứng minh tương tự ta có ;

có ; nên là trực tâm mà ; vậy KO là đường trung trực của DC hay

B ài 5: a) Xét ABD có MP là đường trung bình

 MP // AB  MP // CD.

Xét ADC có MQ là đường trung bình  MQ // CD.

Xét hình thang ABCD có MN là đường trung bình

.

Qua điểm M có các đường thẳng MP, MQ, MN cùng song song với CD nên các đường thẳng này trùng nhau, suy ra bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

b) Ta có MN // CD nên PQ // CD;

c) Ta có

(đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ).

B ài 6: a) Gọi N là trung điểm BC.

Ta có

Mà (vì CM là phân giác )

_{Suy ra}

Tam giác MCN cân tại N , do đó MNB cân tại N . Mặt khác , suy ra

_{b) Vì MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên}

T a lại có . Do đó

Bài 7: Gọi N là hình chiếu của M trên d.

Xét tứ giác có (cùng vuông góc d)

là hình thang.

M là trung điểm BC và (cùng vuông góc d)

là đường trung bình của hình thang

Chứng minh được

Từ ; suy ra