Số vô tỉ là gì? Số hữu tỉ là gì? Phân biệt số hữu tỉ và vô tỉ
Số vô tỉ là gì? Số hữu tỉ là gì? Phân biệt sự khác nhau giữa số hữu tỉ và số vô tỉ. Hãy cũng theo dõi bài viết dưới đây của Trang tài liệu để được giải đáp nhanh những thắc mắc nhé!
Mục lục
Số vô tỉ là gì?
Khái niệm: Số vô tỉ là tập hợp các số không thể biểu diễn dưới dạng tỉ số a/b (a, b là các số nguyên) và được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Trong toán học, số vô tỉ không thuộc tập hợp số hữu tỉ, và được ký hiệu là I.
Các ví dụ về số vô tỉ bao gồm căn bậc hai (√2), số thập phân vô hạn không có chu kỳ như 0.1010010001000010000010000001…, số π (pi) với giá trị vô hạn thập phân như 3.14159 26535 89793 26433 83279 50288 23846 41971 69399 37510 58209 74944…, và số logarit tự nhiên e với giá trị vô hạn thập phân như 2.71828 18284 59045 23536…
Tập hợp số vô tỉ là một tập hợp không đếm được và đại diện cho các giá trị không thể biểu diễn một cách chính xác bằng các tỉ số nguyên. Các số vô tỉ đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học và khoa học tự nhiên.
Số hữu tỉ là gì?
Số hữu tỉ là tập hợp các số có thể biểu diễn dưới dạng phân số (thương số) và có thể có một dạng thập phân vô hạn tuần hoàn. Một số hữu tỉ được biểu diễn dưới dạng a/b, trong đó a và b là các số nguyên và b phải khác 0.
Tập hợp số hữu tỉ được ký hiệu là Q và được định nghĩa như sau: Q = {a/b; a, b ∈ Z, b ≠ 0}.
Các tính chất của số hữu tỉ bao gồm:
- Tập hợp số hữu tỉ là một tập hợp đếm được, có số lượng phần tử có thể đếm được.
- Phép nhân hai số hữu tỉ có dạng a/b x c/d = (a.c)/(b.d).
- Phép chia hai số hữu tỉ có dạng a/b : c/d = (a.d)/(b.c).
- Nếu số hữu tỉ là số hữu tỉ dương, thì số đối của nó là số hữu tỉ âm và ngược lại. Tức là tổng của một số hữu tỉ và số đối của nó bằng 0.
Phân biệt số vô tỉ và số hữu tỉ
Số vô tỉ và số hữu tỉ là hai khái niệm khác nhau trong toán học:
- Số vô tỉ: Số vô tỉ là một số thực không thể biểu diễn dưới dạng tỉ số a/b, trong đó a và b là các số nguyên. Số vô tỉ thường được biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Ví dụ, căn bậc hai (√2) và số pi (π) là những số vô tỉ.
- Số hữu tỉ: Số hữu tỉ là một số có thể biểu diễn dưới dạng tỉ số a/b, trong đó a và b là các số nguyên và b khác 0. Số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ, 1/2, 3/4, và 5/8 là những số hữu tỉ.
Để phân biệt số vô tỉ và số hữu tỉ, ta có thể dựa vào cách biểu diễn và tính chất của chúng:
- Số vô tỉ không thể biểu diễn dưới dạng tỉ số a/b và thường có số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
- Số hữu tỉ có thể biểu diễn dưới dạng tỉ số a/b, trong đó a và b là các số nguyên và b khác 0, và có thể có số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Tóm lại, số vô tỉ không thể biểu diễn dưới dạng tỉ số, trong khi số hữu tỉ có thể biểu diễn dưới dạng tỉ số.
Mối quan hệ giữa các tập hợp số
Mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số được mô tả như sau:
- Tập hợp số tự nhiên (N) là tập hợp của các số dương không có phần thập phân. Ví dụ: 1, 2, 3, …
- Tập hợp số nguyên (Z) bao gồm tất cả các số tự nhiên, số 0 và các số âm. Ví dụ: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
- Tập hợp số hữu tỉ (Q) chứa tất cả các số có thể biểu diễn dưới dạng tỉ số a/b, trong đó a và b là các số nguyên và b khác 0. Ví dụ: 1/2, 3/4, -2/5, 0, 5/2, …
- Tập hợp số vô tỉ (I) chứa tất cả các số không thể biểu diễn dưới dạng tỉ số a/b, ví dụ như căn bậc hai (√2) và số pi (π).
- Tập hợp số thực (R) là hợp của tập hợp số hữu tỉ và tập hợp số vô tỉ. Tức là R = Q ∪ I. Tập hợp số thực bao gồm tất cả các số có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân.
Với quan hệ bao hàm, ta có sự mở rộng từ tập hợp số tự nhiên (N) đến tập hợp số nguyên (Z), từ tập hợp số nguyên (Z) đến tập hợp số hữu tỉ (Q), và từ tập hợp số hữu tỉ (Q) đến tập hợp số thực (R).
Bài tập về các số vô tỉ và căn bậc 2
Bài tập 1
a) Ta tính và so sánh: √12.13 và √12 . √13
Giải: √12.13 = √156 ≈ 12.49 √12 . √13 = √(12.13) = √156 ≈ 12.49
Như vậy, √12.13 = √12 . √13
b) Ta tính và so sánh: √16+25 và √16 + √25
Giải: √16+25 = √41 √16 + √25 = √16 + 5 = 4 + 5 = 9 = √81
Vì √41 < √81 Nên √16+25 < √16 + √25
Bài tập 2
Cho x ∈ Q (tập hợp số hữu tỉ) và y ∈ I (tập hợp số vô tỉ). Chúng ta cần chứng minh rằng những số sau đây đều là số vô tỉ: x+y, x-y, xy, x:y.
Sử dụng phương pháp phản chứng, giả sử rằng các số đã cho thuộc tập hợp số hữu tỉ. Sau đó, suy luận để chỉ ra rằng giả định này là vô lý, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Chi tiết lời giải:
+) Giả sử x+y ∈ Q, tức là x+y là số hữu tỉ. Khi đó, x+y = a ∈ Q (với a là một số hữu tỉ). Do đó, y = a-x.
Vì a, x thuộc tập hợp số hữu tỉ (Q), theo giả thiết y thuộc tập hợp số vô tỉ (I). Vậy giả định x+y ∈ Q là không đúng. Do đó, x+y là số vô tỉ.
+) Giả sử x-y ∈ Q, tức là x-y là số hữu tỉ. Khi đó, x-y = a ∈ Q (với a là một số hữu tỉ). Do đó, y = x-a.
Vì a, x thuộc tập hợp số hữu tỉ (Q), theo giả thiết y thuộc tập hợp số vô tỉ (I). Vậy giả định x-y ∈ Q là không đúng. Do đó, x-y là số vô tỉ.
+) Giả sử xy ∈ Q, tức là xy là số hữu tỉ. Khi đó, xy = a ∈ Q (với a là một số hữu tỉ). Do đó, y = ax.
Vì a, x thuộc tập hợp số hữu tỉ (Q), theo giả thiết y thuộc tập hợp số vô tỉ (I). Vậy giả định xy ∈ Q là không đúng. Do đó, xy là số vô tỉ.
Chứng minh tương tự cũng áp dụng cho đẳng thức x:y.