Đề chính thức

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn: Toán 8

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Khóa thi: Ngày 2/05/2019

a) Tìm điều kiện đúng:

b) Rút gọn đúng:

=

5

(2đ)

Ta có:

cân ở C CA = CE (1)

0,5đ

Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF ở K. Ta có:

0,5đ

AE là phân giác của ABH

0,25đ

CAH và CBA đồng dạng (theo (1)) (4)

0,25đ

Từ (2), (3), (4) hay (đpcm)

0,5đ

Câu 1

3 điểm

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)

b)

c)

1 điểm

1 điểm

1 điểm

Câu 2

3 điểm

a) Rút gọn biểu thức: A =

b) Rút gọn:

c) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

1 điểm

1 điểm

1 điểm

Câu 3

4 điểm

1) Giải phương trình:

a)

Vậy pt có tập nghiệm

b) (ĐK: )

(tm) hoặc (loại)

Vậy pt có tập nghiệm

2) Gọi thời gian từ khi ô tô xuất phát đến khi cách đều xe đạp và xe máy là: x (giờ; )

Thì thời gian xe đạp đã đi là: x + 2 (giờ)

Thời gian xe máy đã đi là: x + 1 (giờ)

Quãng đường ô tô đi là: 50x (km);

Xe máy đã đi là: 30.(x+1) (km); Xe đạp đã đi là: 10.(x+2) (km)

Vì ô tô cách đều xe đạp và xe máy nên quãng đường ô tô đi nhiều hơn xe đạp bằng quãng đường xe máy đi nhiều hơn ô tô. Ta có phương trình:

(tm)

V ậy đến thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy

1 điểm

1 điểm

2 điểm

Câu 4

2 điểm

- Kẻ BE, CF//MN

HV: 0,5 điểm

1 điểm

Câu 5

6 điểm

a) Chứng minh được (g-g)

b)

- Chứng minh được:

c) Gọi T là giao điểm của DE và AH. Chứng minh:

- Chứng minh được EH; EA là phân giác trong, ngoài của tại đỉnh E

HV: 0,5 điểm

1 điểm

2,5 điểm

2 điểm

Câu 6

2 điểm

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a)

Dấu “=” xảy ra

b)

Đặt

Dấu “=” xảy ra

1 điểm

1 điểm

Câu

Nội dung

Điểm

1

a

- Rút gọn: A = =

=

1điểm

1điểm

b

Với mọi x ≠ - 1 thì A = =

Vì

1điểm

1điểm

2

a

* Với x 1 (*)  x - 1  0  ta có phương trình

x² -3x + 2 + x-1 = 0 ( Thoả mãn điều kiện *)

* Với x< 1 (**)  x - 1  0  ta có phương trình

x² -3x + 2 + 1 - x = 0

+ x - 1 = 0 ( Không thỏa mãn điều kiện **)

+ x - 3 = 0 ( Không thoả mãn điều kiện **)

Vậy nghiệm của phương trình là : x = 1

1điểm

1điểm

b

* Điều kiện x ≠ 0 (1)

* pt

hoặc x = -8

So sánh với điều kiện (1) , suy ra nghiệm của phương trình là x = - 8

0.5điểm

1điểm

0.5điểm

3

Ta có vì xy  0  x, y  0  x, y  0  y-1 0 và x-1  0

1điểm

1điểm

1điểm

4

Ta có: M =

Đặt a = x² - 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a² + 8a + 16 = ( a+ 4)²

M = x² - 10x + 20 )² ( đpcm)

1điểm

1điểm

1điểm

5

a

+ Hai tam giác ADC và BEC có:

Góc C chung.

(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).

Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).

Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:

1.5điểm

1điểm

b

Ta có: (do )

mà (tam giác AHD vuông vân tại H)

nên (do )

Do đó (c.g.c), suy ra:

1.5điểm

1điểm

c

Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

Suy ra: , mà

Do đó:

1điểm

Với x khác -1 và 1 thì :

A=

0,5đ

=

0,5đ

=

0,5đ

=

KL

0,5đ

Tại x = = thì A =

0,25đ

=

0,25đ

KL

0,5đ

Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1)

0,25đ

Vì với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi

KL

0,5đ

0,25đ

Biến đổi đẳng thức để được

0,5đ

Biến đổi để có

0,5đ

Biến đổi để có (*)

0,5đ

Vì ; ; ; với mọi a, b, c

nên (*) xảy ra khi và chỉ khi ; và ;

0,5đ

0,5đ

Từ đó suy ra a = b = c

0,5đ

Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là (x là số nguyên khác -11)

0,5đ

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số

(x khác -15)

0,5đ

Theo bài ra ta có phương trình =

0,5đ

Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)

1đ

Từ đó tìm được phân số

KL

0,5đ

Biến đổi để có A=

0,5đ

=

0,5đ

Vì và nên do đó

0,5đ

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

0,25đ

KL

0,25đ

Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang

0,5đ

Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân

0,5đ

Tính được AD = ; BD = 2AD =

AM =

0,5đ

Tính được NI = AM =

0,5đ

DC = BC = , MN =

0,5đ

Tính được AI =

0,5đ

Lập luận để có ,

0,5đ

Lập luận để có

0,5đ

OM = ON

0,5đ

Xét để có (1), xét để có (2)

Từ (1) và (2) OM.( )

0,5đ

Chứng minh tương tự ON.

0,5đ

từ đó có (OM + ON).

0,5đ

,

0,5đ

Chứng minh được

0,5đ

Thay số để có 2008².2009² = (S_AOD)² S_AOD = 2008.2009

0,5đ

Do đó S_ABCD= 2008² + 2.2008.2009 + 2009² = (2008 + 2009)² = 4017² (đơn vị DT)

0,5đ

Câu 1

4 điểm

_Đặt

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 2

3 điểm

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

Câu 3

4 điểm

_{Vậy tập nghiệm của phương trình là}

_ĐKXĐ:

2. Gọi số phải tìm là x (x > 0)

Vì phần nguyên x có một chữ số nên khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái thì số đó tăng thêm 20 đơn vị, nghĩa là ta có số có giá trị là 20 + x

Vì khi dịch dấu phẩy sang trái một chữ số thì số đó giảm đi 10 lần, nên khi dịch dấu phẩy của số có giá trị 20 + x sang trái thì được số có giá trị là

Số mới nhận được bằng số ban đầu nên ta có phương trình

Vậy số phải tìm là 2,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 4

2 điểm

Do

Lấy E trên AC sao cho . Khi đó AE < AC

và đồng dạng (g-g)

Gọi k là tỉ số đồng dạng của và

Ta có (1)

Xét và có:

(GT)

Suy ra và (g-g)

(2)

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 5

5 điểm

1. Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF

Chứng minh :

=> BE = DF

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.

2. Ta có:

Chứng minh :

3. Chứng minh :

Chứng minh :

Mà : CD = AB

Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC² .

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 6

2 điểm

Ta có

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

_{Đặt x2 + x – 2 = t}

_{Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -4}

_{Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 0}

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 1

4 điểm

_Đặt

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 2

3 điểm

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

Câu 3

4 điểm

_{Vậy tập nghiệm của phương trình là}

_ĐKXĐ:

4. Gọi số phải tìm là x (x > 0)

Vì phần nguyên x có một chữ số nên khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái thì số đó tăng thêm 20 đơn vị, nghĩa là ta có số có giá trị là 20 + x

Vì khi dịch dấu phẩy sang trái một chữ số thì số đó giảm đi 10 lần, nên khi dịch dấu phẩy của số có giá trị 20 + x sang trái thì được số có giá trị là

Số mới nhận được bằng số ban đầu nên ta có phương trình

Vậy số phải tìm là 2,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 4

2 điểm

Do

Lấy E trên AC sao cho . Khi đó AE < AC

và đồng dạng (g-g)

Gọi k là tỉ số đồng dạng của và

Ta có (1)

Xét và có:

(GT)

Suy ra và (g-g)

(2)

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 5

5 điểm

4. Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF

Chứng minh :

=> BE = DF

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.

5. Ta có:

Chứng minh :

6. Chứng minh :

Chứng minh :

Mà : CD = AB

Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC² .

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 6

2 điểm

Ta có

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

_{Đặt x2 + x – 2 = t}

_{Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -4}

_{Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 0}

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 1

4 điểm

_Đặt

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 2

3 điểm

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

Câu 3

4 điểm

_{Vậy tập nghiệm của phương trình là}

_ĐKXĐ:

6. Gọi số phải tìm là x (x > 0)

Vì phần nguyên x có một chữ số nên khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái thì số đó tăng thêm 20 đơn vị, nghĩa là ta có số có giá trị là 20 + x

Vì khi dịch dấu phẩy sang trái một chữ số thì số đó giảm đi 10 lần, nên khi dịch dấu phẩy của số có giá trị 20 + x sang trái thì được số có giá trị là

Số mới nhận được bằng số ban đầu nên ta có phương trình

Vậy số phải tìm là 2,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 4

2 điểm

Do

Lấy E trên AC sao cho . Khi đó AE < AC

và đồng dạng (g-g)

Gọi k là tỉ số đồng dạng của và

Ta có (1)

Xét và có:

(GT)

Suy ra và (g-g)

(2)

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 5

5 điểm

7. Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF

Chứng minh :

=> BE = DF

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.

8. Ta có:

Chứng minh :

9. Chứng minh :

Chứng minh :

Mà : CD = AB

Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC² .

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 6

2 điểm

Ta có

6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

_{Đặt x2 + x – 2 = t}

_{Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -4}

_{Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 0}

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

UBND HUYỆN

KỲ THI HỌC SINH GIỎI 03 MÔN VĂN HÓA LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019-2020

PHÒNG GD&ĐT

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ THI MÔN: Toán

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

UBND HUYỆN

KỲ THI HỌC SINH GIỎI 03 MÔN VĂN HÓA LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019-2020

PHÒNG GD&ĐT

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: Toán

Câu

Nội Dung

Điểm

Câu 1

Cho biểu thức M =

1. Rút gọn M

2. Tìm x để M ≥ 1

3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M.

4.0 đ

1. M =

=

=

=

Vậy M= với mọi x

0.5

0.5

0.5

0.5

2. Để M ≥ 1 thì

Do

Suy ra: x² -1 = 0

Vậy x = ± 1

0.25

0.25

0.25

0.25

3. Ta có M= với mọi x

• Nếu x=0 ta có M=0

• Nếu x , chia cả tử và mẫu của M cho x² ta có M=

Ta có với mọi x . Nên ta có với mọi x , dấu “=” xảy ra khi x = ±1.

Vậy M_max = 1 khi x = ±1

0.25

0.25

0.25

0.25

Câu 2

1. Cho số nguyên tố p > 3 và 2 số nguyên dương a, b sao cho: p² + a² = b² . Chứng minh a chia hết cho 12.

2. Cho x, y là số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: .

Chứng minh M = là bình phương của một số hữu tỷ

4.0 đ

1. Ta có: p² + a² = b²  p² = (b + a)(b - a)

Mà ước của p² là 1; p và p²

Do b + a > b – a với mọi a, b nguyên dương và p nguyên tố lớn hơn 3

Nên không xảy ra trường hợp b + a = b – a = p

Do đó (1)

Mà p nguyên tố và p > 3, suy ra p lẻ

nên p + 1 và p – 1 là hai số chẵn (2)

Từ (1) và (2) suy ra (p + 1)(p -1) chia hết cho 8

Suy ra 2a chia hết cho 8, nên a chia hết cho 4 (3)

Lại có p nguyên tố và p > 3. Nên p không chia hết cho 3 và p² là số chính phương lẻ. Do đó p² chia 3 dư 1

Suy ra p² – 1 chia hết cho 3, nên 2a chia hết cho 3

Suy ra a chia hết cho 3 ( vì (2, 3) = 1) (4)

Tư (3) và (4) suy ra a chia hết cho 12 (do (3, 4) = 1) (đpcm)

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

2. Ta có

Khi đó: M=

Vì x, y nên là số hữu tỷ, vậy M là bình phương của một số hữu tỷ

0.5

0.5

0.5

0.5

Câu 3

1. Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn:

2. Giải phương trình:

4.0 đ

1. Ta có: (1)

Do x, y nguyên dương nên: 41 ≤ 40x + 1 < 40x + 40y

Suy ra

Nên 16 < (x + y)⁴ và (x + y)³ < 40. Suy ra 2 < x + y < 4

Mà x, y nguyên dương; nên x + y = 3 (2)

Thay (2) vào (1) ta có: 40x + 1 = 3⁴ x = 2, thay vào (2) tìm được y = 1

Vậy (x; y) = (2; 1)

0.5

0.5

0.5

0.5

2. -Ta có

Đặt . Ta có PT

-Xét các trường hợp của t ta tìm được x=0 ; x= ; x= ; x=

-KL

0.5

0.5

0.5

0.5

Câu 4

Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M ( 0 < MB < MA) và trên cạnh BC lấy N sao cho . Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE

1. Chứng minh vuông cân

2. Chứng minh: MN // BE và CK BE.

3. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh:

Hình vẽ:

6.0 đ

1. -Ta có ;

vì

-Ta có BD là phân giác góc ABC

Tương tự ta có Vậy ta có

-Xét và có OB=OC ; ;

*Xét có vuông cân tại O

0.5

0.5

0.5

0.5

2. + ; mà AB=BC

Ta có AB//CD

( theo định ký Ta- lét đảo )

0.25

0.25

0.25

0.25

+ Vì MN//BE ( 2 góc đồng vị và có tam giác MON vuông cân)

( vì có )

Xét có ;

Vậy ta có

0.25

0.25

0.25

0.25

3. -Vì KH//OM mà ,

mà

Xét có là phân giác trong của , mà là phân giác ngoài của .

Chứng minh tương tự ta có

-Vậy ta có

0.5

0.5

0.5

0.5

Câu 5

Cho hai số không âm và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2.0 đ

0.5

0.5

0.5

0.5

Điểm toàn bài

20 đ

Bài 1

(5,0điểm)

Hướng dẫn giải

Điểm

a)

(3,0điểm)

Rút gọn A

- Phân tích được 4x³ - 8x² + 3x - 6 = (x - 2)(4x² + 3)

1,0

- Phân tích được 2x² - 3x - 2 = (x - 2)(2x + 1)

1,0

- Rút gọn được kết quả

1,0

b)

(2,0điểm)

Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

_{- Tìm ĐKXĐ:}

0,25

1,0

_{-Lập luận để A có giá trị nguyên xZ và 2x + 1 là ước lẻ của 4}

0,5

_{- Tìm được x = 0; -1}

0,25

Bài 2

(3,0điểm)

a)

(1,5 điểm)

Vì n chẵn nên n = 2k (k  Z)

Do đó n³ + 2012n = (2k)³ + 2012.2k

= 8k³ + 4024k

0,5

= 8k³ - 8k + 4032k

0,5

= 8k(k² - 1) + 4032k

= 8k(k + 1)(k - 1) + 4032k

0,25

và lập luận suy ra điều phải chứng minh

0,25

b)

(1,5 điểm)

Nhận xét : B = với mà > 0 với mọi nên:

Nếu x + 1 < 0 x < -1 thì B < 0

Nếu x + 1 = 0 x = -1 thì B = 0

Nếu x + 1 > 0 x > -1 thì B > 0

Suy ra B đạt giá trị lớn nhất nếu x > -1

0,5

Do x là số nguyên, , x > -1

Nên ta xét các trường hợp sau

x = 0 thì B = (1)

x = 1 thì B = 2 (2)

x > 2 thì B =

0,5

Với x > 2 ta có B = =

B lớn nhất khi lớn nhất

mà 3 > 0 và x > 2 x - 2 > 0

nên: lớn nhất khi x - 2 nhỏ nhất và x - 2 nguyên x - 2 = 1

x = 3 B = 4 (3)

0,25

Từ (1), (2), (3) suy ra: B lớn nhất bằng 4 khi x = 3

0,25

Bài 3

(3,0 điểm)

ĐKXĐ: x  0

0,25

Đặt (y 0) Khi đó ta có phương trình

(2)

0,5

Giải (2) tìm được y = 2 (tmđk); (tmđk)

0,5

Với y = 2 . Tìm được x = 1 (tmđk)

0,75

Với . Lập luận chứng tỏ phương trình này vô nghiệm

0,75

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm x = 1

0,25

Bài 4

(3,0 điểm)

a)

(1,5 điểm)

0,5

Do x nguyên nên

0,25

+ x² = 0(x - y)² = 17 (loại)

+ x² = 1(x - y)² = 13 (loại)

+ x² = 4(x - y)² = 1

0,25

Với x = 2 thì (2 - y)² = 1 tìm được y = 1 ; y = 3

Với x = - 2 thì (- 2 - y)² = 1 tìm được y = -1 ; y = -3

0,25

_{Vậy các cặp số nguyên (x; y) là (2;1); (2;3); (-2;-1); (-2;-3)}

0,25

b)

(1,5 điểm)

_{Chứng tỏ được} với mọi x

_{Dấu bằng xảy ra} -2  x  1

0,25

_{Chứng tỏ được} với mọi y

0,25

_{Do đó}

tìm được y = - 2

khi -2  x  1 mà x  Z

_ x = -2; -1; 0; 1

0,75

_{Vậy các cặp số nguyên (x; y) là: (-2; -2); (-1; -2); (0; -2); (1; -2)}

0,25

Bài 5

(6,0 điểm)

Hình vẽ

a,

(2,0 điểm)

_{Chứng minh: KF // EH}

_{Chứng minh được:}

0,5

_{Chứng minh được: (hệ quả định lý Ta - lét)}

0,5

_{Suy ra  KF // AC (Định lý Ta - lét đảo)}

0,25

_{Chứng minh tương tự ta có EH // AC}

0,5

_{Kết luận KF // EH}

0,25

b,

(2,0điểm)

_{Chứng minh: các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy}

_{Gọi giao điểm của BD với KF và HE lần lượt là O và Q. N là giao điểm của AC và BD}

_{Chứng minh được}

0,75

_{Gọi giao điểm của đường thẳng EK và HF là P, giao điểm của đường thẳng EK và DB là P’.}

_{Chứng minh được P và P’ trùng nhau}

1,0

_{Kết luận các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy}

0,25

c,

(2,0 điểm)

_{Chứng minh: SMKAE = SMHCF}

_{Kẻ EG và FI vuông góc với HK, I và G thuộc HK}

_{Chỉ ra được : SMKAE = MK.EG; SMHCF = MH.FI}

0,5

_{Chứng minh được:}

0,25

_{Suy ra}

0,25

_{Chứng minh được:}

0,25

_{Suy ra , suy ra MK.EG = MH.FI}

0,5

_{Suy ra điều phải chứng minh}

0,25

UBND HUYỆN CẨM GIÀNG

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2019- 2020

MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

(Đề gồm 01 trang)

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

CẨM GIÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC: 2019 - 2020

MÔN: TOÁN 8

Hướng dẫn chấm gồm 04 trang