Các trường hợp đồng dạng của tam giác & Bài tập liên quan

Trong bài viết này hãy cùng tìm hiểu về định nghĩa, tính chất và các trường hợp đồng dạng của tam giác

Mục lục

Khái niệm hai tam giác đồng dạng
Ba trường hợp đồng dạng của tam giác
Tính chất của 2 tam giác đồng dạng
Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng
Bài tập vận dụng hai tam giác đồng dạng

Khái niệm hai tam giác đồng dạng

Đồng dạng ở đây có nhiều cách để nhận biết, ví dụ như 2 vật thể có kích thước và hình dáng như nhau được coi là đồng dạng. Tương tự như vậy trong tam giác khái niệm đồng dạng được so sánh dựa trên hệ số của cạnh và góc

Tam giác là loại hình học phẳng gồm 3 cạnh được nối lại với nhau và được chia thành nhiều loại tùy độ dài của cạnh và vị trí. Các loại tam giác thường gặp gồm tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,… Để hiểu về 2 tam giác đồng dạng ta sử dụng 2 tam giác cụ thể như sau

Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác MNP nếu:

Các góc: A = M; B = N; C = P và tỉ lệ các cạnh: BA/NM = CB/PN = CA/PM

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Hai tam giác đồng dạng là một phần kiến thức của chương trình toán học phần hai tam giác đồng dạng lớp 8, trong chương trình THCS và cả THPT các bạn đều gặp rất nhiều cho nên cần nắm chắc mảng kiến thức này để phục vụ cho phần kiến thức hình học trong toán

Ba trường hợp đồng dạng của tam giác

Hai tam giác đồng dạng được chia thành 3 trường hợp đó là cạnh – cạnh – cạnh, cạnh – góc – cạnh, góc – góc – góc

Trường hợp 1 (cạnh – cạnh – cạnh)

Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia

VD: Tam giác ABC có 3 cạnh lần lượt là 6,8,10 và tam giác A’B’C’ có 3 cạnh là 3,4,5. Ta thấy 2 tam giác này có tỉ lệ 6/3=8/4=10/5 cho nên tam giác ABC và tam giác A’B’C’ là 2 tam giác đồng dạng

Trường hợp 2 (cạnh – góc – cạnh)

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng với nhau

VD: Tam giác MNP có MN = 3cm, NP = 4cm và góc MNP = 60 độ. Tam giác M’N’P’ có M’N’ = 6cm, N’P’ = 8cm và góc M’N’P’ = 60 độ thì 2 tam giác này đồng dạng với nhau

Trường hợp 3 (góc – góc – góc)

Trường hợp góc – góc – góc được hiểu là nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau

VD: Tam giác DEF có góc DEF = 40 độ, EDF = 50 độ và tam giác D’E’F’ có góc D’E’F’ = 40 độ, E’D’F’ = 50 độ thì 2 tam giác này được coi là đồng dạng

Tính chất của 2 tam giác đồng dạng

Bất kì các trường hợp đặc biệt của tam giác nào cũng có những tính chất khác nhau và nó cực kỳ quan trọng trong việc áp dụng để giải các bài tập hình học. Ta sẽ luôn suy ra được tính chất của 2 tam giác đồng dạng như sau

Một là tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến, hai bán kính nội tiếp và ngoại tiếp, hai chu vi tương ứng sẽ bằng tỉ số đồng dạng nếu đó là 2 tam giác đồng dạng

Hai là tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng thì bằng bình phương tỉ số đồng dạng

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, bạn có thể áp dụng một trong bốn cách sau

4 cách chứng minh 2 tam giác đồng dạng

Cách 1: Dựa vào 1 trong 3 trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh, cụ thể trong trường hợp này là cạnh – cạnh – cạnh. Hai tam giác được coi là đồng dạng nếu chúng có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

Cách 2: Theo định lý Talet: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó tạo ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

Cách 3: Cần chứng minh các điều kiện cần và đủ theo định nghĩa: hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng, hai góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng

Cách 4: Chứng minh trường hợp cạnh-góc-cạnh, 2 tam giác được coi là đồng dạng nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau

Bài tập vận dụng hai tam giác đồng dạng

Bài tập 1: Cho tam giác vuông ABC (Â = ${{90}^{0}}$ ) có AB = 9cm, AC = 12cm. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Từ D kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AC).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, CD và DE.

b) Tính diện tích các tam giác ABD và ACD.

Hướng dẫn giải bài tập

a. Ta có tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lý Pi – ta – go ta có:

\begin{align}

& A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Rightarrow B{{C}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}}=225 \\

& \Rightarrow BC=15cm \\

\end{align}

Ta lại có AD là phân giác góc $\widehat{A}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{DAE}=\frac{{{90}^{0}}}{2}={{45}^{0}}$

Mặt khác tam giác ADE vuông tại E suy ra tam giác ADE vuông cân tại E

Xét tam giác ABC và tam giác DEC có:

$\widehat{C}$ chung

\begin{align}

& \Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta EDC \\

& \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{EC}{AC} \\

& \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{AC-AE}{AC} \\

\end{align}

\begin{align}

& \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{AC-DE}{AC}\text{ }\left( ED=EA \right) \\

& \Rightarrow \frac{DE}{9}=\frac{12-DE}{12} \\

& \Rightarrow 12DE=9\left( 12-DE \right) \\

& \Rightarrow 12DE=108-9DE \\

& \Rightarrow 21DE=108\Rightarrow DE=AE=\frac{36}{7}cm \\

\end{align}

\begin{align}

& \Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta EDC \\

& \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{DC}{BC}\Rightarrow \frac{\frac{36}{7}}{9}=\frac{DC}{15}\Rightarrow DC=\frac{36}{7}.15:9=\frac{60}{7}cm \\

& \Rightarrow BD=BC-DC=15-\frac{60}{7}=\frac{45}{7}cm \\

\end{align}

b. Diện tích tam giác ADC là: ${{S}_{ADC}}=\frac{1}{2}.DE.AC=\frac{1}{2}.\frac{36}{7}.12=\frac{216}{7}c{{m}^{2}}$

Diện tích tam giác ABC là: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.9.12=54c{{m}^{2}}$

Vậy diện tích tam giác BAD là: ${{S}_{ABD}}={{S}_{ABC}}-{{S}_{ADC}}=54-\frac{216}{7}=\frac{162}{7}c{{m}^{2}}$

Bài tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm; và góc $\widehat{DAB}=\widehat{DBC}$ .

a) Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng.

b) Tính độ dài các cạnh BC và CD.

Hướng dẫn giải bài tập

Gọi E là giao điểm của AD và CB

Ta có $\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{B}_{1}}}\Rightarrow \Delta ABE$ cân tại E $\Rightarrow EA=BE$ (1)

Ta coa AB // BC (do ABCD là hình thang) $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{D}_{1}}} \\ \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}} \\ \end{matrix} \right.$ (vị trí so le trong) $\Rightarrow \Delta ECD$ cân tại E $\Rightarrow EC=ED$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow EA+ED=BE+EC\Rightarrow AD=BC$

Suy ra hình thang ABCD là hình thang cân $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \widehat{A}=\widehat{B} \\ \widehat{D}=\widehat{C} \\ \end{matrix} \right.$

Xét tam giác ABC và tam giác ABD

Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =15cm; AC = 20cm. Kẻ đường cao AH

a/ Chứng minh: ΔABC đồng dạng ΔHBA từ đó suy ra: $A{{B}^{2}}=BC.BH$

b/ Tính BH và CH.

Hướng dẫn giải bài tập

Theo định lí Pitago ta có: $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Rightarrow BC=\sqrt{{{15}^{2}}+{{20}^{2}}}=25cm$

Xét tam giác ABH vuông tại H và tam giác ABC vuông tại A ta có:

$\widehat{ABH}$ chung

Suy ra tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBA

\begin{align}

& \Rightarrow \frac{AB}{CB}=\frac{BH}{AB}\Rightarrow A{{B}^{2}}=BH.CB \\

& \Rightarrow BH=\frac{A{{B}^{2}}}{CB}=\frac{{{15}^{2}}}{25}=9\left( cm \right) \\

& \Rightarrow CH=BC-BH=25-9=16\left( cm \right) \\

\end{align}

Bài tập 4: Cho tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH, biết AB = 15 cm, AH = 12cm

a/ CM: ΔAHB đồng dạng ΔCHA

b/ Tính các đoạn BH, CH, AC

Bài tập 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm; AC = 4cm. Vẽ đường cao AH (H ∈ BC)

a. Tính độ dài BC.

b. Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC.

c. Kẻ đường phân giác AD (D ∈ BC). Tính các độ dài DB và DC?

Bài tập 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm; AC = 8cm, BC =10cm. Đường cao AH (H ∈ BC);

a) Chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng.

b) Cho AD là đường phân giác của tam giác ABC (D ∈ BC). Tính độ dài DB và DC;

c) Chứng minh rằng $A{{B}^{2}}=BH.HC$

d) Vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt đường phân giác AD tại E. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng tam giác ECD.

Bài tập 7: Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF gặp nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh rằng

a) ΔABE đồng dạng ΔACF

b) AE . CB = AB . EF

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, D thẳng hàng.

Bài tập 8: Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ, MN < PQ), NP = 15 cm, đường cao NI = 12 cm, QI = 16 cm.

a) Tính độ dài IP, MN

b) Chứng minh rằng: QN ⊥ NP

c) Tính diện tích hình thang MNPQ

d) Gọi E là trung điểm của PQ. Đường thẳng vuông góc với EN tại N cắt đường thẳng PQ tại K. Chứng minh rằng: KN 2 = KP. KQ

Bài tập 9: Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy DM = AB, trên tia đối của tia BA lấy BN = AD. Chứng minh:

d) ΔCBN và ΔCDM cân.

e) ΔCBN đồng dạng ΔMDC

f) Chứng minh M, C, N thẳng hàng.

Bài tập 10: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.

a) CMR: AE . AC = AF . AB

b) CMR: ΔAFE đồng dạng ΔACB

c) CMR: ΔFHE đồng dạng ΔBHC

d) CMR: BF . BA + CE . CA = $B{{C}^{2}}$

Bài tập 11: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.

a) CMR: AE . AC = AF . AB

b) CMR AFE ACB

c) CMR: FHE BHC

d) CMR: BF . BA + CE . CA = BC2

Bài tập 12: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho góc DME bằng góc B.

a) Chứng minh BDM đồng dạng với CME.

b) Chứng minh BD . CE không đổi.

c) Chứng minh DM là phân giác của góc BDE.

Bài tập 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm; AC = 8cm. Vẽ đường cao AH (H ∈ BC)

a) Tính độ dài cạnh BC.

b) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC.

c) Vẽ phân giác AD của góc A (D ∈ BC). Chứng minh rằng điểm H nằm giữa hai điểm B và D.

Bài tập 14: Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF gặp nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh

a) ΔABE đồng dạng ΔACF

b) AE . CB = AB . EF

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, D thẳng hàng.

Bài tập 15: Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy DM = AB, trên tia đối của tia BA lấy BN = AD. Chứng minh:

a) ΔCBN và ΔCDM cân.

b) ΔCBN đồng dạng ΔMDC

c) Chứng minh M, C, N thẳng hàng.

Kết luận: Như vậy qua bài viết này chắc hẳn các bạn đã nắm chắc được kiến thức hình học về hai tam giác đồng dạng cũng như các trường hợp của 2 tam giác đồng dạng Trang Tài Liệu cung cấp. Để biết thêm những kiến thức học tập toán bổ ích hãy tiếp tục theo dõi các bài viết sau nhé

Tagged:
Tổng Hợp Kiến Thức Toán 8

Các trường hợp đồng dạng của tam giác & Bài tập liên quan

Khái niệm hai tam giác đồng dạng

Ba trường hợp đồng dạng của tam giác

Trường hợp 1 (cạnh – cạnh – cạnh)

Trường hợp 2 (cạnh – góc – cạnh)

Trường hợp 3 (góc – góc – góc)

Tính chất của 2 tam giác đồng dạng

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

Bài tập vận dụng hai tam giác đồng dạng

Bài viết liên quan

Lược đồ Hoocne & Bài tập vận dụng lược đồ Horner vào giải toán

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức lớp 8 – Luyện tập

Nội dung mới nhất

Blog

Chính sách bảo mật

Về chúng tôi

Liên Hệ

Ma Trận Đề Thi Giữa Kì 1 Tiếng Anh 9 Chương Trình 7 Năm (2 Kỹ Năng) Năm Học 2020-2021

Phiếu Bài Tập Toán 9 Tuần 11 Có Lời Giải Chi Tiết - Toán 9

Tổng Hợp Các Đề Thi Vào Lớp 10 Môn Văn Có Đáp Án [2023]

Bài Tập Chuyên Đề Passive Voice-Câu Bị Động Có Đáp Án Ôn Thi Vào Lớp 10

Đề Thi Tiếng Anh Giữa Kì 1 Năm 2022-2023 Kèm Lời Giải Chi Tiết

Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Ngữ Văn 9 Cả Năm - Ngữ Văn Lớp 9