Docly

Ôn tập các dạng toán chứng minh tam giác cân mới nhất

Có những cách chứng minh tam giác cân nào, ứng dụng vào thực tiễn giải hình học lớp 8 ra sao mời các em học sinh cùng theo dõi nhưng chia sẻ dưới đây của Trangtailieu.com.

Tam giác cân là một loại tam giác có hai cạnh bằng nhau và đỉnh của nó là giao điểm của hai cạnh bên. Góc ở đỉnh được tạo bởi hai cạnh bằng nhau trong tam giác cân được gọi là góc đỉnh, trong khi hai góc còn lại được gọi là góc đáy.

Định nghĩa tam giác cân

Tam giác cân là một loại tam giác có hai cạnh bằng nhau, góc giữa hai cạnh bằng nhau cũng bằng nhau. Nói cách khác, đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác cân xuống đáy là đường trung tuyến của đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại của tam giác. Tam giác cân có đặc điểm đối xứng qua đường trung tuyến của nó, nghĩa là các góc ở đỉnh đối xứng với nhau và các đường trung trực của các cạnh bằng nhau.

Tính chất của tam giác cân

Tam giác cân là một loại tam giác có hai cạnh bằng nhau và đỉnh của nó là giao điểm của hai cạnh bên. Các tính chất của tam giác cân bao gồm:

  1. Đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác xuống đáy là đường trung tuyến của đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại của tam giác.
  2. Tam giác cân có đối xứng qua đường trung tuyến của nó, nghĩa là các góc ở đỉnh đối xứng với nhau và các đường trung trực của các cạnh bằng nhau.
  3. Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau.
  4. Tam giác cân có hai góc đối diện với hai cạnh bằng nhau là bằng nhau.
  5. Điểm trung điểm của cạnh đáy của tam giác cân nằm trên đường cao của tam giác.
  6. Hai đường trung tuyến bằng nhau và cắt nhau tại một điểm nằm trên đường cao của tam giác.
  7. Tam giác cân cũng có thể là tam giác vuông.

Những tính chất trên rất hữu ích trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác cân.

Cách chứng minh tam giác cân

Có nhiều cách để chứng minh một tam giác là tam giác cân. Dưới đây là 3 cách chứng minh thường được sử dụng:

  1. Chứng minh bằng định lí Euclid:

Theo định lí Euclid, “trong một tam giác, nếu hai đoạn thẳng từ hai đỉnh tới đối diện với cạnh thứ ba bằng nhau, thì tam giác đó là tam giác cân”. Vì vậy, để chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta chỉ cần chứng minh rằng hai cạnh bên của tam giác có độ dài bằng nhau.

  1. Chứng minh bằng đối xứng:

Với một tam giác cân, ta có thể dùng đường trung tuyến của nó làm đường đối xứng để chứng minh. Ta lấy đường trung tuyến làm đường đối xứng qua tam giác, từ đó chứng minh được các góc và các đường trung trực của cạnh bằng nhau.

  1. Chứng minh bằng đường cao:

Một cách chứng minh khác là dùng đường cao của tam giác. Nếu tam giác có đường cao bằng nhau với cạnh đáy, thì tam giác đó là tam giác cân. Bằng cách so sánh độ dài đường cao và độ dài đoạn thẳng từ đỉnh tới đối diện với cạnh thứ ba, ta có thể chứng minh tam giác cân.

Trên đây là 3 cách thường được sử dụng để chứng minh một tam giác là tam giác cân. Tuy nhiên, để chắc chắn rằng tam giác đó là tam giác cân, ta cần chứng minh được ít nhất một trong các tính chất của tam giác cân.

Bài tập vận dụng cách chứng minh tam giác cân

A. Trắc nghiệm

Bài 1: Chọn câu sai

A. Tam giác đều có ba góc bằng nhau va bằng 60°

B. Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.

C. Tam giác cân là tam giác đều.

D. Tam giác đều là tam giác cân.

Gợi ý

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau

Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60°

Tam giác đều cũng là tam giác cân nhưng tam giác cân chưa chắc là tam giác đều

Chọn đáp án C.

Bài 2: Hai góc nhọn của tam giác vuông cân bằng

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng 45°

Chọn đáp án B.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Chọn phát biểu sai

A. \widehat{B}=\widehat{C}

B. \widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}

C. \hat{A}=180^{\circ}-2 \widehat{C}

D. \hat{B} \neq \widehat{C}

Gợi ý

Do tam giác ABC cân tại A nên ∠B = ∠C

Do đó đáp án D sai

Chọn đáp án D.

Bài 4: Một tam giác cân có góc ở đỉnh là 64° thì số đo góc đáy bằng?

A. 54°

B. 58°

C. 72°

D. 90°

Gợi ý

Góc ở đỉnh là \widehat{A}=180^{\circ}-2 \widehat{C}, góc ở đáy là \widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}

Áp dụng công thức số đo ở đáy là:\frac{180^{\circ}-64^{\circ}}{2}=58^{\circ}

Chọn đáp án B.

Bài 5: Một tam giác cân có góc ở đáy bằng 70° thì góc ở đỉnh bằng bao nhiêu?

A. 64°

B. 53°

C. 70°

D. 40°

Góc ở đỉnh là \hat{A}=180^{\circ}-2 \widehat{C} góc ở đáy là \widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}

Áp dụng công thức số đo ở đỉnh là: 180° – 2.70° = 40°

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho tam giác cân ABC cân tại A có \hat{A} = 50 . Tính số đo của \hat{B} và \hat{C}.

A.\hat{B} = \hat{C} = 50

B.\hat{B} = \hat{C} = 60

C.\hat{B} = \hat{C} = 65

D.\hat{B} = \hat{C} = 70

Câu 7: Cho tam giác MNP cân tại M có \hat{N} = 70 . Tính số đo của \hat{M}. Câu nào sau đây đúng:

A.40

B.48

C.52

D.60

Câu 8: CHo tam giác ABC cân tại A. lấy điểm M thuộc canh AB và N thuốc cjanh AC sao cho AM=AN. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Câu nào sau đây sai:

A.BM=CN

B.BN=CM

C. Δ A M N là tam giác cân

D.A,B đúng, C sai

Câu 9: Với đề bài câu trên, tam giác BIC là tam giác gì?

A.Tam giác vuông

B.Tam giác cân

C.Tam giác vuông cân

D.A,B,C đều sai

Câu 10: Cho tam giác ABC, về phía ngoài Δ A B C vẽ hai tam giác đều ABH và ACK. So sánh đoạn thẳng BK và CH

A.BK=CH

B.BK<CH

C.BK>CH

Câu 11: Một tam giác cân có góc ở đỉnh là 64° thì số đo góc đáy bằng?

A. 54°

B. 58°

C. 72°

D. 90°

Câu 12: Một tam giác cân có góc ở đáy bằng 70° thì góc ở đỉnh bằng bao nhiêu?

A. 64°

B. 53°

C. 70°

D. 40°

B. Tự luận 

Bài 1. Cho \triangle ABC cân tại A có \widehat{A}=70^{\circ}. Tính số đo các góc B và C.

Bài 2. Cho  \triangleABC  cân tại A có \widehat{A}=120^{\circ}. Tính số đo các góc B và C.

Bài 3. Cho \Delta M N P cân tại P có \hat{P}=70^{\circ}. Tính số đo các góc \mathrm{M} và \mathrm{N}.

Bài 4. Cho \triangleABC vuông cân tại A có . Tính số đo các góc B và C.

Bài 5. Cho \triangleABC cân tại A có \hat{B}=30^{\circ}. Tính số đo các góc A và C.

Bài 6. Cho \Delta M E F cân tai \mathrm{M} có \widehat{E}=70^{\circ}. Tính số đo các góc M và F

Bài 7. Cho \Delta P Q R cân tai Q có \hat{R}=42^{\circ}. Tính số đo các góc P và Q

Bài 8. Cho \triangleABC  vuông cân tại A. Trên tia đối của tia B C lấy điểm D sao cho B D=A B. Tính số đo góc ADB.

Bài 9. Cho \triangle A B C cân tại A có \widehat{A}=70^{\circ}. Hai tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I. Tính Bài số đo góc BIC.

Bài 10. Cho \triangleABC  cân tại A có . Hai tia phân giác góc B và C cắt nhau tai I, biết số đo \widehat{B I C}=120^{\circ}. Tính số đo góc A.

Bài 11. Cho tam giác \triangleABC  cân tại A có \widehat{\mathrm{A}}=80^{\circ}. Tia phân giác góc B cắt AC tai I. Tính số đo góc BIC

Bài 12: Cho góc nhọn xOy. Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy. Từ H dựng các đường vuông góc xuống hai cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy).

a) Chứng minh tamgiác HAB là tamgiác cân

b)Dlà hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với O. Chứng minh BC ⊥ Ox.

c) Khi góc xOy bằng 600, chứng minh OA = 2O

Bài 13: Cho ∆ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K.

a) Chứng minh rBNC = rCMB

b) Chứng minh ∆BKCcân tại K

c) Chứngminh BC < KM

Bài 14: Cho ∆ ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE ⊥ BC ( E∈BC ). Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng

a) BD là trung trực của AE

b) DF = DC

c) AD < DC; d) AE // FC.

Kết thúc: Chúng tôi hy vọng bài viết trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn về định nghĩa, tính chất và cách chứng minh các tam giác đặc biệt trong môn Hình học lớp 7. Nếu bạn cần sự hỗ trợ trong việc học tập liên hệ ngay với Trangtailieu.com theo số điện thoại: 033 600 8484.